Собственные векторы матрицы поворота

Искусство использования матриц и векторов для решения задач физики

Видео:Матрица поворотаСкачать

Собственные значения
и собственные векторы

Одно из наиболее важных применений линейной алгебры в физике – это собственные значения и собственные векторы. Они есть в математической физике, классической механике, квантовой механике, численном анализе. В применении к матрицам задача о собственных значениях выглядит так.

Дана квадратная матрица A. Какими должны быть векторы x j и числа λ j , чтобы при умножении A на x j получался вектор x j , умноженный на число λ j ?

Существуют ли такие x j и λ j , что можно записать:

Поскольку умножение матрицы на вектор одновременно вращает вектор и умножает его на число, неясно, есть ли решение у этой задачи. Но можно доказать, что в большинстве случаев для матрицы размером есть N таких векторов и значений, которые называются собственными значениями и собственными векторами. Зачастую это комплексные величины, которые, как кажется, не имеют физического смысла, но даже если так, физический смысл с их помощью (или из них) можно получить. Если собственные значения – действительные числа, то собственные векторы обладают очень особым свойством.

Если собственный вектор x j умножается на A, то результат есть вектор, который либо параллелен x j (если λ j положительно), либо противоположно направлен (если λ j отрицательно).

Простая иллюстрация этой идеи:

OК, ясно, что получено «нечто вроде». Обычно нужны числа, а не гигантские абстрактные выражения. Простой путь их получения – ввести в матрицу элементы в виде чисел с плавающей запятой, т. е. с десятичной точкой:

Это намного лучше.

Теперь посмотрим на выдачу.

Из справки Maple help для Eigenvectors :

Первый набор чисел – это вектор-столбец, содержащий числа – собственные значения, а второй набор – это матрица, столбцы которой есть собственные векторы.

Поэтому если нужно получить третье собственное значение, то следует записать:

(Это выглядит странным, но так как v[1] – это вектор-столбец, имеет смысл спрашивать о его третьем элементе [3] .) Теперь нам нужен третий столбец v[2] , это делает команда Maple Column .

Теперь, умножая v3 на A , можно проверить, действительно ли это собственный вектор. Если так, то вернет

Для проверки правильности разделим y на λ 3 и посмотрим, получается ли собственный вектор :

Если в матрице, созданной Eigenvector , сравнить этот вектор с , окажется, что это то же самое с точностью, установленной командой Digits (= 10) для арифметики с плавающей запятой в Maple.

Поверните матрицу Rx из задачи о повороте вектора и найдите ее собственные значения и собственные векторы. Подумайте, что означает вращение и можно ли дать физический смысл ответам, полученным из Maple. При выборе значения theta попробуйте:

(b) θ = ,

(c) θ = .

(Учтите, что (c) понадобится при изучении спина в квантовой механике.) Хороший способ решить эту задачу – определить матрицу Rx с помощью функции Maple M(θ)

и затем применить ее для вычисления трех матриц в заданиях (a)–(c). (Из-за того, что в Maple10 есть ошибка, не стоит использовать в задаче evalf .)

Если трехкомпонентные векторы поворачиваются матрицей вращения, то матрицы тоже можно вращать. Поворот вектора v – это R*v, а поворот матрицы M – это inv(R)*M*R, где inv(R) означает инверсию матрицы R. В курсах физики и математики про это сказано много. Здесь только краткий пример.

(a) Создайте диагональную матрицу и преобразуйте ее, повернув систему координат с помощью ортонормальной матрицы поворотов:

Назовите новую матрицу M2.

(b) Вычислите собственные значения и собственные векторы матриц M1 и M2. Как их сравнить?

(c) Умножьте с обеих сторон M1 на вектор по правилу: transpose(a)*M1*a , приравняйте получившееся уравнение 4, чтобы создать квадратное уравнение 4x 2 + y 2 + 2z 2 = 4 , и используйте implicitplot3d для его визуализации. Примените в графике опцию axes=boxed. Форма одинаковая, кроме ориентации. Собственные значения M1 обусловлены геометрической шириной соответствующего эллипсоида и не зависят от поворота. Покажите это визуально для M2.

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Матрицы поворота, углы Эйлера и кватернионы (Rotation matrices, Euler angles and quaternions)

Объект обычно определяется в удобной для его описания локальной системе координат (ЛСК), а его положение в пространстве — в глобальной системе координат (ГСК).

В трёхмерном пространстве переход из одной СК в другую описывается в общем случае системой линейных уравнений:

Уравнения могут быть записаны через матрицы аффинных преобразований в однородных координатах одним из 2-х способов:

В ортогональных СК оси X, Y и Z взаимно перпендикулярны и расположены по правилу правой руки:

На рисунке справа большой палец определяет направление оси, остальные пальцы — положительное направление вращения относительно этой оси.

Все три вектора направлений есть единичными.

Ниже приводится единичная матрица для 2-х способов записи уравнений геометрических преобразований. Такая матрица не описывает ни перемещения, ни вращения. Оси ЛСК и ГСК совпадают.

Далее рассматривается матрица для второго способа матричной записи уравнений (матрица справа). Этот способ встречается в статьях значительно чаще.

При использовании матрицы вы можете игнорировать нижнюю строку. В ней всегда хранятся одни и те же значения 0, 0, 0, 1. Она добавлена для того, чтобы мы могли перемножать матрицы (напомню правило перемножения матриц и отмечу, что всегда можно перемножать квадратные матрицы). Подробнее см. Композиция матриц. Однородные координаты.

Остальные 12 значений определяют координатную систему. Первый столбец описывает компоненты направления оси X(1,0,0). Второй столбец задает направление оси Y(0,1,0), третий – оси Z (0,0,1). Последний столбец определяет положение начала системы координат (0,0,0).

Как будет выглядеть матрица Евклидового преобразования (преобразование движения) для задания ЛСК , с началом в точке (10,5,0) и повёрнутой на 45° вокруг оси Z глобальной СК, показано на рисунке.

Рассмотрим сначала ось X. Если новая система координат повернута на 45° вокруг оси z, значит и ось x повернута относительно базовой оси X на 45° в положительном направлении отсчета углов. Таким образом, ось X направлена вдоль вектора (1, 1, 0), но поскольку вектор системы координат должен быть единичным, то результат должен выглядеть так (0.707, 0.707, 0). Соответственно, ось Y имеет отрицательную компоненту по X и положительную по Y и будет выглядеть следующим образом (-0.707, 0.707, 0). Ось Z направления не меняет (0, 0, 1). Наконец, в четвертом столбце вписываются координаты точки начала системы координат (10, 5, 0).

Частным случаем матриц геометрических преобразований есть матрицы поворота ЛСК относительно базовых осей ГСК. Вектора осей ЛСК здесь выражены через синусы и косинусы углов вращения относительно оси, перпендикулярной к плоскости вращения.

От матрицы преобразований размером 4*4 можно перейти непосредственно к матрице поворота 3*3, убрав нижний ряд и правый столбец. При этом, система линейных уравнений записывается без свободных элементов (лямда, мю, ню), которые определяют перемещение вдоль осей координат.

Путем перемножения базовых матриц можно получать комбинированные вращения. Ниже рассмотрены возможности комбинировать вращениями через матрицы поворота на примерах работы с углами Эйлера.

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Матрицы поворота и углы Эйлера

От выбора осей и последовательности вращения зависит конечный результат. На рисунках отображена следующая последовательность вращения относительно осей ЛСК:

• оси Z (угол alpha);
• оси X (угол beta);
• оси Z (угол gamma).

Получил от читателя этой статьи вопрос: «Как понять, из каких углов поворота вокруг осей X,Y,Z можно получить текущее положение объекта, когда в качестве задания мы уже имеем повернутый объект, а нужно вывести его в это положение, последовательно повернув его из какого-то начального положения до полного совмещения с заданным?»

Мой ответ: «Если я правильно понял вопрос, то Вас интересует, как от начального положения перейти к заданному положению объекта, используя для этого элементарные базовые аффинные преобразования.

Начну с аналогии. Это как в шахматах. Мы знаем как ходит конь. Необходимо переместить его в результате многоходовки в нужную клетку на доске — при условии, что это возможно.

Подробно эта проблематика рассмотрена в статье Преобразование координат при калибровке роботов.

Умение правильно выбирать последовательность элементарных геометрических преобразований помогает в решении множества других задач (см. Примеры геометрических преобразований).»

Можно получить результирующую матрицу, которая определяет положение ГСК относительно ЛСК. Для этого необходимо перемножить матрицы с отрицательными углами в последовательности выполнения поворотов:

Почему знак угла поворота меняется на противоположный? Объяснение этому простое. Движение относительно. Абстрагируемся и представим, что ГСК меняет положение относительно неподвижной ЛСК. При этом направление вращения меняется на противоположное.

Перемножение матриц даст следующий результат:

Результирующую матрицу можно использовать для пересчета координат из ГСК в ЛСК:

Для пересчета координат из ЛСК в ГСК используется результирующая обратная матрица.

В обратной матрице последовательность поворота и знаки углов меняются на противоположные (в рассматриваемом примере снова на положительные) по сравнению с матрицей определения положения ГСК относительно ЛСК.

Перемножение матриц даст следующий результат:

Выше был рассмотрен случай определения углов Эйлера через вращение относительно осей ЛСК. То же взаимное положение СК можно получить, выполняя вращение относительно осей ГСК:

• оси z (угол (gamma+pi/2));
• оси y (угол угол beta);
• оси z (угол (-alpha)).

Определение углов Эйлера через вращение относительно осей ГСК позволяет также просто получить зависимости для пересчета координат из ЛСК в ГСК через перемножение матриц поворота.

В рамках рассматриваемой задачи вместо угла gamma в матрицe Az используем угол gamma+pi/2.

Также легко можно перейти к зависимостям для пересчета координат из ГСК в ЛСК.

Обратная матрица получается перемножением обратных матриц в обратном порядке по сравнению с прямым преобразованием. При этом каждая из обратных матриц вращения может быть получена заменой знака угла на противоположный.

Детально с теоретическими основами аффинных преобразований (включая и вращение) можно ознакомиться в статье Геометрические преобразования в графических приложениях

Примеры преобразований рассмотрены в статьях:

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Axis Angle представление вращения

Выбрав подходящую ось (англ. rotation axis) и угол (англ. rotation angle) можно задать любую ориентацию объекта.

Обычно хранят ось вращения в виде единичного вектора и угол поворота вокруг этой оси в радианах или градусах.

q = [ x, y, z, w ] = [ v, w ]

В некоторых случаях удобно хранить угол вращения и ось в одном векторе. Направление вектора при этом совпадает с направлением оси вращения, а его длина равна углу поворота:

q = [ x, y, z]; w=sqrt (x*x +y*y +z*z)

В физике, таким образом хранят угловую скорость. Направление вектора совпадает с направлением оси вращения, а длина вектора равна скорости (в радианах в секунду).

Можно описать рассмотренные выше углы Эйлера через Axis Angle представление в 3 этапа:

q1 = [ 0, 0, 1, alpha]; q2 = [ 1, 0, 0, beta]; q3 = [ 0, 0, 1, gamma ]

Здесь каждое вращение выполняется относительно осей текущего положения ЛСК. Такое преобразование равнозначно рассмотренному выше преобразованию через матрицы поворота:

Возникает вопрос, а можно ли 3 этапа Axis Angle представления объединить в одно, подобно матрицам поворота? Попробуем решить геометрическую задачу по определению координат последнего вектора вращения в последовательности преобразований через Axis Angle представления:

q = [ x, y, z, gamma ]

Есть ли представление q= [x, y, z, gamma] композицией последовательности из 3-х этапов преобразований? Нет! Координаты x, y, z определяют всего лишь положение оси Z ЛСК после первого и второго этапов преобразований:

При этом ось Z, отнюдь, не есть вектор вращения для Axis Angle представления, которое могло бы заменить рассмотренные 3-х этапа преобразований.

Еще раз сформулирую задачу, которая математически пока не решена: «Необходимо найти значение угла (rotation angle) и положение оси (rotation axis), вращением относительно которой на этот угол можно заменить комбинацию из 3-х поворотов Эйлера вокруг осей координат».

К сожалению, никакие операции (типа объединения нескольких преобразований в одно) с Axis Angle представлениями нельзя выполнить. Не будем расстраиваться. Это можно сделать через кватернионы, которые также определяют вращение через параметры оси и угол.

Видео:А.7.35 Собственные вектора и собственные значения матрицыСкачать

Кватернионы

Кватернион (как это и видно по названию) представляет собой набор из четырёх параметров, которые определяют вектор и угол вращения вокруг этого вектора. По сути такое определение ничем не отличается от Axis Angle представления вращения. Отличия лишь в способе представления. Как же хранят вращение в кватернионе?

q = [ V*sin(alpha/2), cos(alpha/2) ]

В кватернионе параметры единичного вектора умножается на синус половины угла поворота. Четвертый компонент — косинус половины угла поворота.

Таблица с примерами значений кватернионов:

Представление вращения кватернионом кажется необычным по сравнению с Axis Angle представлением. Почему параметры вектора умножаются на синус половины угла вращения, четвертый параметр — косинус половины угла вращения, а не просто угол?

Откуда получено такое необычное представление кватерниона детально можно ознакомиться в статье Доступно о кватернионах и их преимуществах. Хотя программисту не обязательно знать эти детали, точно также как и знать, каким образом получены матрицы преобразования пространства. Достаточно лишь знать основные операции с кватернионами, их смысл и правила применения.

Видео:Собственные значения и собственные векторыСкачать

Основные операции над кватернионами

Кватернион удобно рассматривать как 4d вектор, и некоторые операции с ним выполняются как над векторами.

Видео:Трехмерные линейные трансформации | Сущность Линейной Алгебры, примечаниеСкачать

Сложение, вычитание и умножение на скаляр.

Смысл операции сложения можно описать как «смесь» вращений, т.е. мы получим вращение, которое находится между q и q’.

Что-то подобное сложению кватернионов выполнялось при неудачной попытке объединить 3 этапа Axis Angle представления.

Умножение на скаляр на вращении не отражается. Кватернион, умноженный на скаляр, представляет то же самое вращение, кроме случая умножения на 0. При умножении на 0 мы получим «неопределенное» вращение.

Пример сложения 2-х кватернионов:

Видео:ИМРС 5.2 Матрица поворотаСкачать

Норма и модуль

Следует различать (а путают их часто) эти две операции:

Модуль (magnitude), или как иногда говорят «длина» кватерниона:

Через модуль кватернион можно нормализовать. Нормализация кватерниона — это приведение к длине = 1 (так же как и в векторах):

Видео:7 4 Собственные векторы и собственные значенияСкачать

Обратный кватернион или сопряжение ( conjugate )

Обратный кватернион задает вращение, обратное данному. Чтобы получить обратный кватернион достаточно развернуть вектор оси в другую сторону и при необходимости нормализовать кватернион.

Например, если разворот вокруг оси Y на 90 градусов = (w=0,707; x = 0; y = 0,707; z=0), то обратный = (w=0,707; x = 0; y = -0,707; z=0).

Казалось бы, можно инвертировать только компоненту W, но при поворотах на 180 кватернион представляется как (w=1; x = 0; y = 0; z=0), то есть, у него длина вектора оси = 0.

Фрагмент программной реализации:

Видео:Смольянинов А.В. - Лекция 3 - Матрицы поворотов и другие вопросыСкачать

Инверсный (inverse) кватернион

Существует такой кватернион, при умножении на который произведение дает нулевое вращение и соответствующее тождественному кватерниону (identity quaternion), и определяется как:

Видео:Матрицы масштабирования, переноса и поворотаСкачать

Тождественный кватернион

Записывается как q[0, 0, 0, 1]. Он описывает нулевой поворот (по аналогии с единичной матрицей), и не изменяет другой кватернион при умножении.

Видео:Диагональный вид матрицы. Приведение матрицы к диагональному виду. Собственные векторыСкачать

Скалярное произведение

Скалярное произведение полезно тем, что дает косинус половины угла между двумя кватернионами, умноженный на их длину. Соответственно, скалярное произведение двух единичных кватернионов даст косинус половины угла между двумя ориентациями. Угол между кватернионами — это угол поворота из q в q’ (по кратчайшей дуге).

Видео:А.7.19 Поворот в трехмерном пространствеСкачать

Вращение 3d вектора

Вращение 3d вектора v кватернионом q определяется как

причем вектор конвертируется в кватернион как

и кватернион обратно в вектор как

Видео:Кинематика вращательного движения. Часть 2. Матрица поворота.Скачать

Умножение кватернионов

Одна из самых полезных операций, она аналогична умножению двух матриц поворота. Итоговый кватернион представляет собой комбинацию вращений — сначала объект повернули на q, а затем на q’ (если смотреть из глобальной системы координат).

Примеры векторного и скалярного перемножения 2-х векторов векторное произведение — вектор: Скалярное произведение — число:

Пример умножения 2-х кватернионов:

Видео:А.7.18 Вот: это поворот!!! (+ДЗ)Скачать

Конвертирование между кватернионом и Axis Angle представлением

В разделе Axis Angle представление вращения была сделана неудачная попытка объединить 3 Axis Angle представления в одно . Это можно сделать опосредовано. Сначала Axis Angle представления конвертируются в кватернионы, затем кватернионы перемножаются и результат конвертируется в Axis Angle представление.

Пример конвертирования произведения 2-х кватернионов в Axis Angle представление:

Фрагмент программы на C:

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Конвертирование кватерниона в матрицу поворота

Матрица поворота выражается через компоненты кватерниона следующим способом:

где

Проверим формулы конвертирования на примере конвертирования произведения 2-х кватернионов в матрицу поворотов:

Определяем элемент матрицы m[0][0] через параметры кватерниона:

Соответствующее произведению кватернионов (q1 и q2) произведение матриц поворотов было получено ранее (см. Матрицы поворота и углы Эйлера):

Как видим, результат m[0][0], полученный через конвертирование, совпал с значением в матрице поворота.

Фрагмент программного кода на С для конвертирования кватерниона в матрицу поворота:

При конвертировании используется только умножения и сложения, что является несомненным преимуществом на современных процессорах.

Часто для задания вращений используют только кватернионы единичной длины, но это не обязательно и иногда даже не эффективно. Разница между конвертированием единичного и неединичного кватернионов составляет около 6-ти умножений и 3-х сложений, зато избавит во многих случаях от необходимости нормировать (приводить длину к 1) кватернион. Если кусок кода критичен по скорости и вы пользуетесь только кватернионами единичной длины тогда можно воспользоваться фактом что норма его равна 1.

Видео:§35 Формулы поворота координатных осейСкачать

Конвертирование матрицы поворота в кватернион

Конвертирование матрицы в кватернион выполняется не менее эффективно, чем кватерниона в матрицу, но в итоге мы получим кватернион неединичной длины. Его можно нормализовать.

Фрагмент программного кода конвертирования матрицы поворота в кватернион:

Видео:Формула поворота РодригаСкачать

Собственные векторы матрицы поворота

РАБОТА 4. ИНВАРИАНТЫ ТРАЕКТОРНЫХ МОДЕЛЕЙ

Цель работы: исследовать инварианты моделей орбит космических тел, изучить их взаимосвязь, построить вручную и с помощью компьютера канонические модели траекторий полетов.

1. Теоретические сведения

Изучение данных астрономических наблюдений привело Иоганна Кеплера (1571-1630) к формулировке трех знаменитых законов орбитального движения планет вокруг Солнца. Первый закон Кеплера гласит, что каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Второй закон говорит, что при движении планеты ее скорость изменяется таким образом, что радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, заметает равные площади за равные промежутки времени. И наконец, третий закон Кеплера сравнивает орбитальное движение разных планет, утверждая, что квадраты периодов, за которые две планеты совершают полные обороты по своим орбитам, пропорциональны кубам больших осей их орбит.

Школьные курсы физики и астрономии трактуют разнообразие орбит и траекторий, порождаемых сечениями конуса.

Помимо признаков родства кривых в геометрии, отмеченных еще древними авторами, у эллипса, гиперболы и параболы существует общее алгебраическое основание: все они являются линиями уровня квадратической функции

Подстановкой уравнения кривой в сетевой инструмент всегда можно проверить свои решения, попробуйте, как будет выглядеть x^2+xy+y^2=1 в Wolfram Alpha

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ КРИВЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Остановимся подробнее на изучении особенностей эллипса и гиперболы. Эллипс редко рисуется в иллюстрациях повернутым относительно декартовых координат. Чаще всего встречается вот такая выразительная картинка:

Она отвечает развертке эллипса синусоидальными зависимостями, также хорошо известными в школьных трактовках круга:

Подходящим выбором базиса (заменой переменных) уравнение траектории всегда можно привести к такой канонической форме

когда в уравнении элипса параметры p, q равны длинам его полуосей, а взаимное произведение координат отсутствует. Каноническая запись уравнения гиперболы отличается от (2) только знаком

ИНВАРИАНТЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОВОРОТА

Поворот эллипса не меняет длин его полуосей (сторон прямоугольника, в который эллипс вписан), поэтому p, q — инварианты преобразования поворота. Аналогичные инварианты связаны с гиперболой: касающийся двух ее ветвей прямоугольник ограничивается по высоте диагоналями, построенными в виде касательных к ветвям гиперболы. Иллюстративная геометрическая сторона интересует, впрочем, нас сейчас значительно меньше принципиального вопроса о нахождении инвариантов в том случае, когда уравнение кривой записано в самом общем виде (1). В отличие от (2) и (3), в этом уравнении неочевидно, как связаны инварианты с параметрами a, b, c. Вопрос не праздный, поскольку помимо характерных особенностей кривых, он позволяет познакомиться с некоторым общим подходом к исследованию инвариантов и других, значительно более сложных математических моделей.

ВЕКТОРНО-МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ

На языке теории матриц линии уровня описываются с помощью квадратичной формы

описывающей двустороннее произведение вектора координат Х=(x y) T , где A — симметричная матрица вида

Эта запись отвечает канонической (при b=0), если A – диагональная матрица. Задача о диагонализации симметричной матрицы сводится к полной алгебраической проблеме собственных значений, о которой предстоит рассказать, поскольку рассматриваемая геометрическая интерпретация — это всего лишь повод с ней познакомиться. Именно она будет важной.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

Полная алгебраическая проблема собственных значений матрицы A связана с нахождением всех ее собственных значений и собственных векторов.

Собственный вектор H матрицы А отличается от прочих векторов тем, что умножение на матрицу не изменяет его направления:

Длина вектора меняется в λ раз, это число называется собственным числом матрицы. К алгебраической проблеме собственных значений сводится широкий круг задач, поэтому значение ее фундаментально. Задача о кривых второго второго порядка является тому подверждением. Согласно определению, запишем уравнение для собственного вектора

оно нелинейно относительно искомых λ и H (содержит их произведение). Обратим внимание, что задача не сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений типа AH=b и образует в вычислительной математике вполне самостоятельную тему. Вместе с тем, для решения невозможно обойтись без привычных инструментов, поэтому нелинейные составляющие необходимо как-то разделить. Разделение осуществляется следующим образом. Уравнение (5) переписывается в более стандартном для линейных задач виде

где I=diag(1..1) — единичная диагональная матрица того же размера, что и A, используемая для согласования размерностей. Теперь чисто формально это уравнение можно «решить» как H=(A-λI) -1 0=0. И без того видно, что система (5) имеет нулевое решение. Такие решения называются тривиальными и они нас не интересуют. Не тривиальные векторы существуют только тогда, когда матрица A-λI не имеет обратной. Случай в матричной алгебре хорошо известный: вырожденные (неинвертируемые) матрицы отличаются нулевым определителем.

Характеристическим уравнением матрицы А называют уравнение вида

где | . | — обозначение определителя. Разделение переменных произошло, поскольку в этом нелинейном уравнении относительно λ отсутствует собственный вектор H. Про него известно то, что вычисление определителя порождает полином того же порядка, каков размер n матрицы A. Полиномы в математике, это исхоженная несколькими столетиями тема. Число корней полинома задается его порядком, это дает решающую информацию о количестве собственных значений матрицы λ₁..λ_n, нумеруемых, соответственнно, индексами от 1 до n.

После решения нелинейного уравнения (7), остается сухой остаток в виде уравнений (5) или (6). Поскольку собственные значения уже известны, то после подстановки их, получаются обычные линейные алгебраические уравнения, имеющие разве ту специфику, что их решения неединственны. Их решают вполне однозначно, уходя от тривиальности произвольным назначением в 1-цу любой из координат вектора H и переписыванием уравнения относительно оставшихся неизвестных.

Пример. Треугольная матрица

имеет характеристическое уравнение вида (1-λ)(2-λ)=0. Для диагональных и треугольных матриц корни характеристического полинома всегда совпадают с элементами главной диагонали A, в данном случае λ₁=1, λ₂=2.

Матрица A-λ₁I вырождена, вторая строчка повторяет первую, ее можно отбросить. Уравнение (A-λ₁I)H₁=0 связывает только вторую координату собственного вектора, она должна быть равна 0. Первая координата произвольна, назначаем ее равной единице, т.е. H₁=[1 0] T .

Матрица A-λ₂I вырождена, вторая строчка нулевая, ее можно отбросить. Из уравнения (A-λ₂I)H₂=0 следует, что координаты собственного вектора равны между собой, причем, неважно, какого они размера. Назначаем их равными единице, т.е. H₂=[1 1] T .

Проверяем, подставив данные в виджет.

Программа возвращает те же собственные числа, только в иной последовательности (машине все равно, как их нумеровать). Собственным числам 2, 1 соответствует матрица собственных векторов T=[-0.8407 1.1891; -0.8409 0]. Собственный вектор определен с точностью до постоянного множителя, знак при нем не играет никакого значения. Например, векторы [1 1] T и [-0.8407 -0.8407] T =-0.8407 [1 1] T отличаются множителем. И то и другое решение является собственным вектором матрицы A.

Назначив одну координату, в ручном расчете, мы фиксируем некоторую возможную длину вектора. Отсюда следует то, что найденные ненормированные собственные векторы H₁..H_n можно и нужно (в этой работе) нормировать — делать их единичными по длине делением координат на норму. По теореме Пифагора, норма или длина вектора, это корень квадратный из суммы квадратов его координат.

Цепочка условий для каждого собственного числа (5), переписанная в матричной форме, выглядит лаконично как

где D=diag(λ₁..λ_n) — диагональная матрица собственных значений дматрицы A, слева и справа в уравнении расположена T=[H₁..H_n] — столбцовая матрица ее собственных векторов. Отсюда остается один шаг до важного заключения: любая простая (т.е. имеющая полный набор собственных векторов) матрица A сводится преобразованием подобия с T к диагональной матрице D

Уравнение (9) приведения матрицы к диагональной форме фундаментально и, в частности, с диагональностью связан канонический вид уравнений кривых. Вернемся теперь к ним, указав на инструмент их преобразования.

ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЙ КРИВЫХ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ

Запишем матричное общее уравнение кривой (4) с учетом диагонального разложения матрицы A=TDT -1 как

Дополнительно о задаче известно, что A — симметричная матрица, а собственные векторы симметричных матриц ортогональны. Помимо того, их еще можно нормировать. Инверсия ортогональных (состоящих из ортогональных вектор-столбцов единичной длины) матриц сводится к их транспонированию T -1 =T T , поэтому (10) можно упростить до

Осталось немногое, пусть Z=T T X — новый вектор координат в базисе, в котором A заменяется на более простую матрицу D. В этих новых координатах запись будет канонической

Искомые инварианты p, q определяются собственными значениями

Тип кривой зависит от знака определителя, называемого дискриминантом квадратической формы |A|=|D|=λ₁λ₂. Для эллипса дискриминант положителен.

Собственные векторы матрицы A указывают направление главных осей повернутых эллипса или гиперболы (почему их уравнение в исходных координатах более сложно, чем каноническое). В самом деле, если взять в качестве X собственный вектор X=H₁, то Z=T T X=[H₁ H₂] T H₁ = [1 0] T . Это первый орт e₁. Второй собственный вектор в новом базисе будет выглядеть как второй орт e₂= [ 0 1 ] T .

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ КРИВЫХ

В каноническом базисе координаты круга, как известно, задаются как функции косинус и синус, помноженные на радиус. Развертка эллипса строится при помощи тех же тригонометрических функций, но с разными амплитудами

для гиперболы в развертку подставляют гиперболические косинус и синус

от диапазона T зависит размер отрезка кривой. Обратная замена переменных X=T T Z позволяет увидеть форму траекторных орбит в исходном базисе.

Эллипс построен выше, приведем развертку правой ветви гиперболы (левая получается отражением)

При расчетах можно брать число точек поменьше t=time(2 30), и не забывайте, если строите эллипс, что у периодических функций протяженность периода 2*PI. Для того, чтобы график не искажался при повороте, масштабы осей стоит фиксировать с учетом расчетных амплитудных значений по axis(амплитуда осей), если исключить эту операцию, адаптатор подберет масшаб сообразуясь с амплитудными значениями кривой

Необходимо научиться алгоритмизировать повороты, поворот — обыденная операция в компьютерной графике.

Точки Z=[z1 z2] T связаны с точками рисунка в исходном базисе Z=T T X=T -1 X, отсюда X=TZ. Следовательно, чтобы рисунок повернуть, надо каждую пару точек рисунка умножить на матрицу собственных векторов T, т.е. посчитать Z=[z1 z2], tr(Z), и найти X=, далее следует обратное транспонирование tr(X) и plot(X[0] X[1]). Можно обойтись без повторного транспонирования, опираясь на правило (AB) T =B T A T

Ортогональная матрица собственных векторов T выступает как матрица поворота рисунка кривой только в том случае, если ее столбцы нормированы. Нормирование вектор-столбца, это деление вектора на его длину (норму, т.е. корень из суммы квадратов компонент вектора). В системе есть соответствующая унарная операция norms(T).

2. Указания по выполнению лабораторной работы

2.1. Задание по работе и содержание отчета

Требуется построить теоретически и получить экспериментально с помощью компьютера график орбиты, используя конкретные значения коэффициентов a, b, c матрицы A (см. варианты заданий). Предусмотреть проверку правильности результата путем подстановки рассчитанного компьютером массива точек в исходное уравнение кривой. В письменный отчет по работе входят:

1. Пояснение алгоритмов поиска инвариантов, описывающих кривые.
2. Описание алгоритмов построения траекторий по шагам. Теоретическое построение заданной траектории с помощью описанного алгоритма и графики (промежуточный и окончательный).
3. Программы для построения кривых.
4. Программы проверки правильности вычисления инвариантов и правильности построенных орбит.

2.2. Порядок выполнения работы

1. Найти собственные векторы и собственные числа симметричной матрицы A с помощью компьютера (в справке по iMatLab матрица собственных векторов обозначается V, A=VD/V), потом вручную, используя ту же нумерацию собственных значений, что дает машинный расчет (нумерация эта вполне свободна, но нам нужно сравнивать два пути расчета между собой).
2. Найти инварианты преобразования поворота, описывающие кривые. Определить тип кривой по дискриминанту (по знакам собственных значений).
3. Построить кривые, опираясь на параметрическое представление эллипса или гиперболы.
4. Осуществить обратное преобразование координат, умножая для этого каждую вычисленную вами ранее точку кривой Z = [ x(t) y(t) ] T на матрицу поворота (матрицу собственных векторов A) X=TZ. Иными словами, построить заданные кривые в исходном базисе.
5. Исследовать влияние изменения инвариантов на кривые. Наблюдать изменение формы кривой при увеличении инварианта q и смене его знака.

2.3. Контрольные вопросы

1. Дать алгебраическое и геометрическое определение собственных чисел матрицы. Пояснить их связь с инвариантами ортогонального преобразования (преобразования, описывающего поворот).
2. Пояснить геометрический смысл инварианта q для гиперболы. Указать предельный случай, разграничивающий эллипс и гиперболу.
3. В каком случае геометрические характеристики эллипса инвариантны по отношению к линейной замене переменных Z=MX (M — произвольная матрица)?
4. В каких случаях собственные векторы матрицы бывают ортогональны? Может ли у матрицы не быть собственных векторов? Ответ обосновать.
5. Пояснить случай отрицательных собственных значений. Нарисовать вид траектории для такой квадратической формы.

🔍 Видео

Айгенвектора и айгензначения | Сущность Линейной Алгебры, глава 10Скачать

Собственные векторы и собственные значенияСкачать