Собственное значение вектора равно 0 (7 видео)

Собственное значение вектора равно 0

Найдем такие вектора (называются собственными векторами) v
и такие числа — значения (называются собственными значениями) l
матрицы A, для v, l и A выполняется:
A*v = l*v.

Также вычисляется кратность собственных значений и находит характеристическое уравнение матрицы.

Содержание

Где учитесь?
Собственные векторы матрицы
Собственные числа, собственные векторы матриц и квадратичные формы
🌟 Видео

Видео:Собственные векторы и собственные значения матрицыСкачать

Где учитесь?

Для правильного составления решения, укажите:

Видео:Собственные векторы и собственные числа линейного оператораСкачать

Собственные векторы матрицы

Онлайн калькулятор нахождение собственных чисел и собственных векторов — Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольного линейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом матрицы или линейного преобразования.

Данный калькулятор поможет найти собственные числа и векторы, используя характеристическое уравнение.

Видео:Собственные значения и собственные векторыСкачать

Собственные числа, собственные векторы матриц и квадратичные формы

Проблема собственных чисел играет существенную роль не только в линейной алгебре, но и в других разделах математики, а также во многих прикладных областях (в менеджменте, психологии, юриспруденции).

Пусть задана квадратная матрица А размера (n X п), элементами которой являются действительные числа (R) и вектор неизвестных X размера (n X 1):

Предположим, что X — это некоторое неизвестное действительное число.

Если X и ненулевой вектор X удовлетворяют уравнению

то X называется собственным числом или собственным значением матрицы А, а X — собственным вектором этой же матрицы, соответствующим X.

Преобразуем уравнение (2.15) к следующему виду:

где Е — единичная матрица.

называется характеристической матрицей.

Так как по условию вектор неизвестных X не равен нулю, то среди его координат х , х₂, . х_п должна быть хотя бы одна ненулевая. А для того, чтобы система линейных однородных уравнений (2.16) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю (это следует из теоремы Кронекера-Капелли).

Число X = X_fc, где к = 1, п будет собственным числом только в том случае, если матрица (Х_кЕ -А) — вырожденная.

Уравнение (2.17) называется характеристическим уравнением матрицы А и представляет собой алгебраическое уравнение степени п относительно X:

Уравнение (2.18) имеет п корней X_v Х₂, Х_п. Множество всех корней уравнения (2.18) называется спектром матрицы А.

Заметим, что уравнение det (А — ХЕ) = 0 имеет те же корни, что и уравнение (2.17), т. е.

Каждому собственному значению спектра матрицы А ставится в соответствие собственный вектор, определенный с точностью до скалярного множителя. Если Х_к есть кратный корень характеристического уравнения, то для произвольной квадратной матрицы число соответствующих собственных векторов может быть не равно кратности корня. С геометрической точки зрения собственный вектор определяет в пространстве некоторое направление (прямую, проходящую через начало координат), которое в результате преобразования не изменяется и вдоль которого пространство испытывает растяжение или сжатие в X раз.

Полином Х п + р^” -1 + . + р_п = 0 называют характеристическим полиномом. Коэффициенты р_к (k = 1, п) можно вычислить по следующим рекуррентным формулам [57]:

Здесь SpA = S а_кк — след матрицы (сумма элементов, стоя-

щих на главной диагонали матрицы А). Заметим, что р = (-1)” X X det А. При отыскании собственных чисел даже для матриц невысокого порядка неизбежно большое количество вычислений. Для общего случая нельзя предложить оптимальный способ нахождения собственных чисел и собственных векторов матрицы.

Рассмотрим случай, когда собственные числа находятся сразу исходя из вида матрицы (исходная матрица либо диагональная, либо верхняя или нижняя треугольная). В этом случае собственные числа ₂. _п совпадают с элементами главной диагонали исходной матрицы а_п, а₂₂. а_пп.

Пусть задана верхняя треугольная матрица А размера (n X п):

Отсюда видно, что собственные числа равны:

С появлением ЭВМ получили распространение итерационные методы нахождения собственных чисел, которые не используют вычисление характеристического полинома. К этим способам относятся: степенной метод, метод обратных итераций, QR-алгоритм, метод вращений Якоби, QL-алгоритм и др. Причем применение конкретного итерационного метода зависит от вида исходной матрицы А [4].

Теперь рассмотрим конкретные примеры.

Пример 2.8. Дана матрица А размера (3 X 3)

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

Из условия задачи видно, что матрица А является верхней треугольной матрицей. Поэтому собственными числами данной матрицы будут элементы ее главной диагонали

Теперь найдем соответствующие найденным собственным числам собственные векторы. Для этого мы используем уравнение (2.16).

Для Х₁ = -4 получаем

Далее раскроем матричное уравнение (2.20)

В результате получим

Так как матрица этой системы вырождена, то она имеет ненулевые решения, которые имеют вид:

т. е. получены искомые собственные вектора для Для Х₂ = Х₃ = 1 получаем

ил*

В результате получаем

т. е. это уравнение имеет ненулевые решения, которые и будут искомыми собственными векторами для ₂.

Эти решения запишем в виде

Пример 2.9. Дана матрица А размера (2 X 2). Найти собственные числа и собственные матрицы А

Запишем характеристическое уравнение (2.17) для данного случая

Теперь найдем собственные векторы исходной матрицы А, соответствующие .₁ = 1 и Х₂ = -4.

В подробной записи получим

Так как определитель полученной матрицы равен нулю, то она имеет ненулевые решения, которые и являются собственными векторами X_v которые мы и находим

Из первого уравнения системы получаем х₂ = 2x_v Из второго уравнения системы получаем х₂ = 2x_v т. е. она имеет бесконечное множество решений. И искомый собственный вектор Xj будет иметь вид

Аналогично, для Х₂ = -4 находим

В заключение приведем два полезных правила [38]:

1) сумма собственных чисел матрицы А равна следу этой матрицы, т. е.

2) произведение собственных чисел матрицы А равно определителю этой матрицы

Кратко рассмотрим квадратичные формы.

Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от нескольких пременных. Обозначим их x_v х₂, . х .

Квадратичную форму в общем виде можно записать так:

В качестве примера рассмотрим квадратичную форму трех переменных:

Введем обозначения:

Тогда квадратичная форма примет вид

Дополнительно вводим симметричную матрицу В, вектор X.

В этом случае квадратичная форма примет вид

Последняя формула представляет собой матрично-векторный вид квадратичной формы.

А в общем случае получим:

где Ь..— коэффициенты при х 2 для всех i = 1, 2, n, a b’j = Ц_< равны полусуммам коэффициентов при элементах, содержащих произведения х. х. и х. х_< при всех г, j = 1, 2,п, г ^ j.

Матрица В является матрицей квадратичной формы.

В качестве примера запишем в матрично-векторном виде квадратичную форму