Сложение векторов геометрия 9 кл

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На данном уроке мы рассмотрим технику выполнения действий над векторами в координатах. Мы сформулируем и докажем теоремы, рассмотрим конкретные примеры.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c , начало которого совпадает с началом a , а конец – с концом b . При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b .

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c , совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b .

<table data-id="250" data-view-id="250_55602" data-title="Формулы сложения векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y> » data-order=» a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z> » data-order=» a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z> «> a + b = <a_x + b_x; a_y + b_y; a_z + b_z>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a + b = <a₁ + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n> » data-order=» a + b = <a₁ + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n> «> a + b = <a₁ + b₁; a₂ + b₂; . a_n + b_n>

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: ( a + b ) + c = a + ( b + c )

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (- a ) = 0

Примечание: Вектор – a коллинеарен и равен по длине a , но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Если из вектора a вычесть b , то получится c , причем должно соблюдаться условие:

Формула вычитания векторов

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b .

<table data-id="251" data-view-id="251_83403" data-title="Формулы вычитания векторов" data-currency-format="$1,000.00" data-percent-format="10.00%" data-date-format="DD.MM.YYYY" data-time-format="HH:mm" data-features="["after_table_loaded_script"]" data-search-value="" data-lightbox-img="" data-head-rows-count="1" data-pagination-length="50,100,All" data-auto-index="off" data-searching-settings="» data-lang=»default» data-override=»» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

Для плоских задач

<td data-cell-id="B1" data-x="1" data-y="1" data-db-index="1" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y> » data-order=» a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y> » style=»min-width:55.0847%; width:55.0847%;»> a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y>Для трехмерных задач

<td data-cell-id="B2" data-x="1" data-y="2" data-db-index="2" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y; a_z — b_z> » data-order=» a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y; a_z — b_z> «> a — b = <a_x — b_x; a_y — b_y; a_z — b_z>Для n-мерных векторов

<td data-cell-id="B3" data-x="1" data-y="3" data-db-index="3" data-cell-type="text" data-original-value=" a — b = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; . a_n — b_n> » data-order=» a — b = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; . a_n — b_n> «> a — b = <a₁ — b₁; a₂ — b₂; . a_n — b_n>

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов и .

Задание 2
Найдем разность векторов и .

Методическая разработка урока геометрии по теме «Сложение векторов» 9 класс
план-конспект урока по геометрии (9 класс)

Образовательная область: Математика.

Тема учебного занятия: «Сложение векторов»

Тип урока: урок постановки проблем и их решения.

Цель урока:

Предметные: формировать умение применять «правило треугольника» и «правило параллелограмма» при сложении векторов;

Личностные: формирование ответственного отношения к обучению, готовности к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.

Метапредметные: формирование умения делать обобщения, устанавливать аналогии.

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Методы обучения словесный, эвристический (частично-поисковый), проблемный, дедуктивно-репродуктивный;

Предметные: формировать умение применять «правило треугольника» и «правило параллелограмма» при сложении векторов;

Личностные: формирование ответственного отношения к обучению, готовности к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.

Метапредметные: формирование умения делать обобщения, устанавливать аналогии.

Скачать:

Вложение	Размер
plan-konspekt_slozhenie_vektorov.docx	81.75 КБ
prilozhenie_1.pptx	1.99 МБ
prilozhenie_2.docx	33.39 КБ
prilozhenie_3.docx	18.18 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Новопортовская школа-интернат имени Л. В. Лапцуя»

Методическая разработка урока геометрии по теме

Автор: Ряшина Вера Владимировна,

Автор: Ряшина Вера Владимировна, учитель математики.

Образовательная область : Математика.

Тема учебного занятия: «Сложение векторов»

Тип урока: урок постановки проблем и их решения.

Формы работы учащихся : фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Методы обучения словесный, эвристический (частично-поисковый), проблемный, дедуктивно-репродуктивный;

Предметные : формировать умение применять «правило треугольника» и «правило параллелограмма» при сложении векторов;

Личностные: формирование ответственного отношения к обучению, готовности к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию.

Метапредметные: формирование умения делать обобщения, устанавливать аналогии.

Основная цель учителя:

— создание целостного образа нового математического понятия,

— помощь в выводе правил сложения векторов.

Цели урока для ученика:

— научиться применять правила сложения векторов при решении практических задач.

— раскрыть представление о математике как части общечеловеческой культуры;

— формировать логическое и критическое мышление, культуры речи;

— развивать математические способности.

— научится применять правила сложения векторов при решении практических задач.

Фундаментальные образовательные объекты:

Образовательный объект – правило «треугольника», правило «параллелограмма».

Ключевые понятия : вектор, треугольник, параллелограмм, сумма.

Оборудование : компьютер, интерактивная доска, проектор.

Презентация к уроку (приложение 1) .

Раздаточный материал : индивидуальная карта с заданиями (приложение 2) ;

задачи задания 20 из КИМ по математике ОГЭ (приложение 3)

1. Геометрия: 9 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организаций/А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М.: Вентна-Граф, 2018.
2. С. А. Литвинова, Л. В. Куликова, С.В. Шиловская, Г. Ю. Тараева, О. Л. Безрукова. За страницами учебника математики (открытые уроки, математические кружки, подготовка к олимпиадам). – М.: Глобус, Волгоград: Панорама, 2008.
3. Интернет сайт: СДАМ ГИА (математика) – образовательный сайт для подготовки к экзаменам.

• Организационный момент (2 мин.)

• Уточнение образовательного объекта (4 мин.)
• Мотивационный момент (3 мин.)
• Ознакомление с новым материалом (10 мин.)
• Систематизация полученной продукции (10 мин.)
• Итоги урока (3 мин.)
• Рефлексия (3 мин.)
• Пяти минут для ОГЭ (5 мин.)

Сегодня на уроке мы продолжим изучение математического объекта, о котором шла речь на прошлом уроке.

Чтобы выяснить тему урока, прошу поработать с ребусом.

Тема урока «Сложение векторов»

А сейчас необходимо определить задачи на урок.

С помощью слов помощников постарайтесь сформулировать свои задачи на данный урок:

Формулируют тему урока

Формулируют цели и задачи на урок

Уточнение образовательного объекта:

Таким образом, мы продолжаем разговор о векторах, и потому повторим то, что вам уже известно о векторах.

1. Что в геометрии называют вектором?

2. Какие величины называют векторными?

3. Какой вектор называется нулевым?

4. Какие векторы называют коллинеарными?

5. Какие векторы называют сонаправленными?

6. Какие вектора считаются равными?

7. Как найти координаты вектора?

При ответе на вопросы 3-6 привести примеры (слайд 6)

Учащиеся отвечают на вопросы учителя, приводят примеры

Вспомним слова из басни Ивана Андреевича Крылова про лебедя, рака и щуку

Однажды Лебедь, Рак да Щука
Везти с поклажей воз взялись,
И вместе трое все в него впряглись;
Из кожи лезут вон, а возу всё нет ходу!
Поклажа бы для них казалась и легка:
Да Лебедь рвется в облака,
Рак пятится назад, а Щука тянет в воду.
Кто виноват из них, кто прав,— судить не нам;
Да только воз и ныне там.

Ответ на этот вопрос мы сможем дать в конце нашего урока.

Слушают учителя, высказывают гипотезы правильного ответа

Ознакомление с новым материалом

Если какое-либо тело переместить из точки А в точку В, а затем из точки В в точку С. Что будет являться результирующим перемещением? (Расстояние АС) На основе этого примера выведем правило сложения векторов.

Суммой векторов, а и называется вектор, начало которого совпадает с началом вектора а , а конец с вектором в .

Данное правило называется правилом треугольника, потому что, если векторы а и в неколлинеарны т.е ненулевые и не лежат на параллельных прямых то точки А, В и С являются вершинами треугольника.

По правилу треугольника можно складывать и коллинеарные векторы. (слайд 8-10)

Рассмотрим следующую задачу

Допустим, что в точке O находится небольшое тело и к нему приложены две силы: F 1 и F 2 . Опыт показывает, что совместное действие этих сил равноценно действию одной силы F, которая служит диагональю параллелограмма, построенного на векторах F 1 и F 2 . Иными словами, движение нашего тела не претерпит никаких изменений, если убрать силы F 1 и F 2 и заменить их силой F. Эта сила F- называется равнодействующей (или результирующей) двух сил F 1 и F 2 ; она является результатом их совместного применения, и потому естественно считать, что она будет их суммой: F = F 1 + F 2 .

Построим модель к условию задачи в виде геометрического чертежа. Нам необходимо найти сумму двух векторов, отложенных из одной точки. Здесь нам удобно воспользоваться медом достроения до параллелограмма.

Для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

Рассмотрим практическую задачу:

Голубевод решил отправить послание голубем друзьям в Тулу, которая находится к югу от Москвы. На карте указаны направление ветра и направление полета голубя. Куда на самом деле прилетит голубь?

Под каким направлением следовало бы отправить голубя, чтобы после компенсации сноса ветром, он полетел бы точно на юг?

Анализирует ответы учащихся, демонстрирует правильное решение задачи

Слушают учителя, ведут диалог с учителем.

Высказывают гипотезы своих ответов, ведут диалог с учителем

Систематизация полученной продукции

Учащимся предлагается на карточках выполнить построение суммы и разности векторов. При необходимости учитель оказывает помощь учащимся, акцентирует внимание на возникшие ранее вопросы и затруднения, помогает ликвидировать неясности осмысления учащимися изученного материала, постоянно обращается к классу с просьбой дополнить, уточнить или исправить ответ ученика, анализирует результаты выполнения заданий учащимися. (слайд 13-16)

Выполняют задания на карточках. Один учащийся работает у доски.

Вернемся к нашей проблеме обнаруженной вначале урока. Используя умение построения суммы векторов, ответим на вопрос басни И. А. Крылова.

Смогут ли лебедь, рак и щука сдвинуть груз? Если нет, то почему.

Вывод: По «правилу треугольника» сложения векторов, к повозке приложена сила, равная нулю.

Один учащийся находит сумму векторов у доски. Делает вывод.

Подвести итог урока, повторив основные понятия (учащиеся отвечают на следующие вопросы учителя)

• Что нового и интересного вы сегодня узнали на уроке?
• Какие правила можно использовать для нахождения суммы и разности векторов?
• Какова последовательность построения суммы векторов по «правилу параллелограмма»?
• Какова последовательность построения суммы векторов по «правилу треугольника»?

1. Учебник п. 14. Учить, ответить на вопросы стр. 118 № 1-5
2. № 466, 467.
3. Проанализировать физические величины и составить практическую задачу на тему сложение векторов геометрическим способом

Отвечают на вопросы учителя.

Записывают домашнее задание

В начале урока каждый поставил перед собой цель.

Подведем итоги урока и закончим следующее предложение:

Сегодня на уроке я:

1. Я повторил…
2. Я узнал ….
3. Я научился…

Ведут диалог с учителем, отвечают на вопросы

Пять минут для ОГЭ

До сдачи основного экзамена по математике остается совсем немного времени.

Традиционный этап урока «Пять минут для ОГЭ»

Сегодня мы рассматривает задание

Номер 20 из контрольно-измерительных материалов.

Рассматриваются задачи из задания номер 20 КИМ.

Отвечают на вопросы, делают пояснения, ведут самооценку.

Формы контроля и оценки результатов урока:

• самостоятельная работа учащихся,
• взаимоконтроль,
• демонстрация лучших продуктов,

Способы диагностики внешнего и внутреннего образовательных продуктов ученика.

Диагностика личностных качеств (внутренний образовательный продукт): результаты его образовательных достижений по теме (на начало темы и конец темы)

Диагностика внешнего образовательного продукта ученика – вербальная самооценка ученика, затем вербальная оценка учителем по наблюдению за его деятельностью на уроке.

Способы оценки успешности проведения своего урока: Эффект последействия.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Разгадайте ребус и сформулируйте тему урока. ы е к

-Я повторю … -Я узнаю …. -Я научусь…

НАЧАЛО КОНЕЦ ВЕКТОР ВЕКТОР — это направленный отрезок, для которого указаны, какая точка считается началом, а какая концом. В А

а t g c b u n o k m m

Практическое применение «правила параллелограмма». Голубевод хотел направить послание друзьям с голубем из Москву в Тулу, расположенную к югу от Москвы. На карте указаны направление ветра, скорость которого 20 км / ч, и направление полета голубя, его скорость равна 80 км / ч. Куда реально полетит голубь относительно Земли? Под каким направлением следовало бы отправить голубя, чтобы после компенсации сноса ветром он полетел бы точно на юг?

Сложение векторов (геометрический способ) Правило треугольника + О А В О М N Р К

Правило параллелограмма О К М Р Т К

А В С Д F H K L M N O P R S T U Постройте суммы векторов по правилу треугольника:

А В С Д F H K L M N O P R S T U Постройте суммы векторов по правилу параллелограмма:

Практическое применение «правила треугольника»

Домашнее задание 1) Учебник п. 14. учить правила, определения. Ответить на вопросы стр. 118 № 1-5 2) № 466, 467. 3) Проанализировать физические величины и составить практическую задачу на тему сложение векторов геометрическим способом

-Я повторил … -Я узнал …. -Я научился…

Пять минут для ОГЭ

Укажите номера верных утверждений. 1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. 2) Вертикальные углы равны. 3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания. Ответ:12 Задание 20 1.

Укажите номе верных утверждений. 1) Существует квадрат, который не является прямоугольником. 2 ) Если два угла треугольника равны, то равны и противолежащие им стороны. 3) Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны. Если утвер­жде­ний несколько, за­пи­ши­те их номера в по­ряд­ке возрастания. Ответ: 23 Задание 20 2.

Укажите номера верных утверждений. 1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части. 2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. 3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу. Если утвержде­ний несколько, запишите их номера в порядке возрастания. Ответ: 13 Задание 20 3.

Укажите номера верных утверждений. 1) Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают. 2) Существует квадрат, который не является ромбом. 3) Сумма углов любого треугольника равна 180° . Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания. Ответ: 13 Задание 20 4.

Укажите номера верных утверждений. 1) Если угол острый, то смежный с ним угол также является острым. 2) Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. 3) В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания. Ответ: 23 Задание 20 5.

Укажите номера верных утверждений . 1) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то треугольники подобны. 2) Сумма смежных углов равна 180°. 3) Любая высота равнобедренного треугольника является его биссектрисой. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания. Ответ: 12 Задание 20 6.

Какое из следующих утверждений верно? 1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°. 2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. 3) Через любые три точки проходит ровно одна прямая . Ответ: 1 Задание 20 7.

Какие из следующих утверждений верны? 1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны. 2) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки. 3) Через любую точку проходит более одной прямой. Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания. Ответ: 13 Задание 20 8.

Предварительный просмотр:

Фамилия, имя _______________________________________________________________

Выполни построение. По какой траектории следовало бы отправить голубя, чтобы после компенсации сноса ветром, он прилетел бы в пункт назначения?

v вет.

🔥 Видео