Сколько векторов задают всевозможные пары точек

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Библиотека учителя математики.
ПРЕПОДАВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ В 6—8 КЛАССАХ.
СБОРНИК СТАТЕЙ.

В. А. Гусев, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Д. И. Хан

ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
§ 4. Система геометрических задач, решаемых с применением векторов

Текст для быстрого ознакомления (формулы и чертежи качественнее отображаются в PDF файле ниже):

Скачать бесплатно в PDF формате «Сборник статей: Преподавание геометрии в 6-8 классах» на странице Учебники Скачать.

В. А. Гусев, Ю. М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Д. И. Хан
ВЕКТОРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ.
§ 4. Система геометрических задач, решаемых с применением векторов

1. Понятие вектора. Сложение и вычитание векторов
1. Записать различными способами выражения:
—►
а) Вектор а отображает точку Л на точку В;
б) Вектор АВ отображает точку Е на точку С;
в) Вектор CD отображает [АВ] на [Л1^51];
г) Параллельный перенос на расстояние АВ в направлении
от Л к В отображает точку D на точку С;
— у
д) Вектор а отображает фигуру F на фигуру Ft .

155 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

2. Прочитать следующие выражения: а (В) = А, АВ (с) = D,
А В = ОЕ — и изобразить их на чертеже.
3. Сколько различных векторов задает:
а) множество точек ;
б) множество точек ;
в) множество вершин равностороннего треугольника;
г) множество вершин параллелограмма;
д) множество точек >?
4. Сколько различных векторов изображено на рисунке 28, а, Ь, в?
5. Известно, что АВ = CD. Можно ли утверждать, что АВ —
= |CD|?
6. Известно, что АВ = CD и |С£>| ф 0. Можно ли утверждать,
что АВ = CD>
7. Могут ли быть различными два вектора, изображаемые направленными
отрезками равной длины, расположенными на одной
прямой? Привести пример.
8. Можно ли один и тот же вектор изобразить направленными отрезками,
расположенными на: а) двух пересекающихся прямых;
б) на различных параллельных прямых; в) на одной прямой?
9. Могут ли пары точек, первая из которых — центр окружности,
а вторая — точка окружности, определять один и тот же вектор?
10. Могут ли пары точек, одна из которых — центр окружности,
а другая — точка круга, определять один и тот же вектор?
Привести пример.
11. Определяют ли пары точек, -составленные из несмежных вершин
равнобедренной трапеции, один и тот же вектор?
12. Отложить от точки О до плоскости все векторы, определяемые
парами вершин данного ромба.
—у —У
13. Задать вектор а и точки А, В, С, D. Построить точки а (Л),
а (В), АВ (С), DC (В). —у
14. Вектор а отображает начало координат в точку (2, 3). В какие
точки отображает этот же вектор точки А (0,2); В (—2, 0);
С (-2, -3); D (-3, 1)?

156 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

15. Вектор b отображает точку
М (—2, —1) на точку
Мх (—1, 3), а отрезок А В —
на отрезок АхВг с координатами
точек Ах (2, 0) и
Вх (3,3). Найти координаты
концов отрезка АВ.

Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

16. Точку А (—2, 3) вектор а отображает на точку Q (1, 0). В какую
точку отображает точку А вектор той же длины и противоположного
направления.
17. Записать на языке векторов, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.
18. Даны треугольник ABC, медиана ВМ этого треугольника и
MN = ВМ. Доказать, что АВ — NC.
19. Изобразите на плоскости несколько фигур, каждую из которых
данный вектор переводит снова в эту фигуру.
20. Отложить от данной точки О три таких вектора, чтобы при их
последовательном откладывании один за другим получился
треугольник.
21. В какой из изображенных на рисунке 29 лучей можно отобразить
луч АВ при помощи: а) некоторого вектора; б) центральной
симметрии; в) поворота?
22. Что является результатом двух последовательных центральных
симметрий? Показать на рисунке.
23. Какое отображение получится, если над точками плоскости
произвести последовательно два переноса. Показать на рисунке.
24. Дан квадрат ABCD, О — точка пересечения его диагоналей.
Какими перемещениями можно отобразить: а) вершину В на
вершину D; б) отрезок ВО на отрезок ОС; в) отрезок ВО на
отрезок OD; г) отрезок ВС на отрезок DC; д) отрезок ВС на
отрезок AD; е) квадрат A BCD сам на себя?
25. Существуют ли перемещения, при которых в квадрате ABCD
g центром О: а) (В -> 0; б)

д) (А А,
1с-*-С?
26. Дан равносторонний треугольник ABC, [AD] — его биссектриса.
Какими перемещениями можно отобразить: а) В -*■ С;
б) [АВ]-*—[АС] в) треугольник ABC сам на себя?
27. Дан ромб ABCD с точкой пересечения диагоналей О. Какими
перемещениями можно отобразить: а) отрезок А В на отрезок
DC; б) г) ромб A BCD сам на
себя?

Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

157 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

28. Дан квадрат ABCD с центром О. Какое перемещение отображает!
а) [АВ) -у [DC); б)[AB)-+[CD) в) [АВ) [AD)
г) (ЛВ) [DA) д) [АС) -у ЮС)-, е) ЮЛ) [ОС);
ж) ЮВ) -у [ОС); з) [ОВ) -у [ЛО)?
29. Дан равносторонний треугольник ABC, AD — биссектриса
угла Л. Какое перемещение отображает! а) [ Л В ) [ С Л ) ;
б) [Л£>)-ИВС)?
30. Построить произвольный треугольник ЛВС и начертить луч
MN. Найти образ этого луча при’ последовательном выполнении
векторов Л В и ВС.
■—У —У
31. Даны два вектора а и b и отрезок. Изобразить образ этого от-
-У-У
резка для композиции векторов b и а.
32. Даны два вектора (рис. 30) а и Ь. Найти сумму этих векторов
по правилу треугольника (при решении использовать клетчатую
сеть).
—У -► —У •>
33. Даны два вектора а и Ь. Построить вектор с такой, что а + с = -у
— Ь.
34. Может ли быть длина суммы двух векторов одинаковой длины:
а) меньше длины каждого вектора; б) равна длине каждого
вектора; в) больше длины каждого вектора; г) больше суммы
длин векторов; д) равна сумме длин векторов?
35. Найти сумму векторов Л В и CD, если Л (1, 1); В (3, 4);
С (0, -1); D (1, 3).

158 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

36. Найти сумму векторов а и & по правилу параллелограмма
(рис. 30, б).
37. На диагонали АС параллелограмма ABCD построен другой
параллелограмм ACEF. Чему равен вектор FE, если а (А) = В
и b(A)

D?
38. Доказать равенство ВС + А В = AD + DC, не используя рисунок.
—>
39. Дан вектор а. Представить его в виде суммы двух векторов!
а) имеющих данные направления; б) один из которых дан;
в) имеющих длины (всегда ли это возможно?); г) имеющих
взаимно перпендикулярные направления.
40. Как найти сумму трех и более векторов? Сформулируйте правило
сложения. Сделайте рисунок.
41. Найти сумму векторов: а) АВ -+• ВС + CD’, б) MN + МР +
+ PQ + QE; в) ХК —YZ + ZX.
42. Записать вектор АВ в виде суммы двух векторов, один из которых
есть вектор AM.
43. Записать вектор CD в виде суммы двух векторов, один из которых
есть вектор PD.
44. Записать вектор MN в виде суммы двух векторов.
45. Записать вектор АВ в виде суммы трех векторов, если один из
них — вектор: а) Л/С; б) DB; в) CD.
46. Записать вектор MN в виде суммы трех векторов.
47. Даны векторы а, b и d. Найти вектор с такой, что а + b -f с =
= d.
48. Какому условию должны подчиняться три вектора а, & и с,
чтобы можно было построить треугольник ABC такой, что
АВ = а, ВС = Ь, СА = с?
49. Дан параллелограмм ABCD с центром О. Упростить суммы
векторов: а) <А В + OD) + СО; б) (ВС + О А) + OD.
50. Указать на рисунке 31 коллинеарные векторы.
51. Как провести прямую, чтобы
векторы, изображенные
направленными отрезками
этой прямой, были колли-
неарны вектору ВА7 Сколько
таких прямых можно провести?
52. Изобразить в тетради не-
‘ сколько коллинеарных

Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

159 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

вывод.
53. Дана равнобедренная трапеция. Выпишите все множества коллинеарных
векторов, определяемых вершинами трапеции.
54. Для четырехугольника MNPQ векторы: a) MN и PQ коллине-
арны, a NP и MQ неколлинеарны; б) NM и QP, NP и QM кол-
линеарны. Какую фигуру представляет в каждом из этих случаев
четырехугольник MNPQ?
55. Упростить суммы: а) АВ + MN + ВС + С А + PQ + NM;
б) FK + MQ +

КР + AM + QK + PF в) КМ +

DF +
+ AC+FK+CD+PA + МР; г) АВ + BA + CD +
+ MN + DC+ NM.
56. Даны векторы АВ и CD. Найти сумму векторов А В и вектора,
противоположного вектору CD.
57. Возможно ли равенство векторов АВ и В А?
58. Найти разность векторов а и b (рис. 30).
59. Даны векторы АВ и CD. Найти разность вектора CD и вектора;
противоположного вектору АВ.
60. Даны четыре точки А, В, С, D. Выразить вектор АВ в виде разности
двух векторов, определяемых данными точками. Сколькими
способами это можно сделать?
61. Записать вектор АВ в виде разности двух векторов, один из
которых равен вектору О А.
62. Записать вектор CD в виде разности двух векторов, один из
которых равен вектору KD.
63. Записать вектор MN в виде разности двух векторов.
64. Представить вектор А В в виде алгебраической суммы следующих
векторов: а) AC, DC, BD; б) DA, CD, ВС; в) DA, DC, СВ.
65. Упростить выражения: а) ОР — ЕР + KD — КА; б) AD -f
+ МР + Е

К — ЁР — MD; в) АС—ВС + МР —РА+ВМ,
66. Рассматривая параллелограмм, определяемый— в>екторами а и Ь, — > — —> — >
проверить правильность соотношений (а — b) + b — а.
67. Даны параллелограмм ABCD и точка О. Выразить вектор OD
через векторы ОА = т, ОВ — п, ОС — р.
— > ■
68. В каком отношении находятся векторы а и Ь, если векторы
—>■ —> —> —>■
а + b и а — Ъ коллинеарны?
69. ABCD — параллелограмм. Какому условию должны удовлет

160 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

ворять векторы В А иВС, чтобы вектор AD — А В образовывал
равные углы с ними?
70. Может ли выполняться равенство | С А + СВ | = | С А — СВ |?
71. Могут ли длины векторов АВ ± АС быть больше длины каждого
из векторов А В и АС? Привести пример.
72. Доказать, что | АВ — АС| | АВ| + | ЛС|. В каком случае
имеет место знак равенства?
73. Сравнить длины j а + b| и ‘а + | Ь, если: а) а и b сонаправле-
ны; б) а и b неколлинеарны. Чему равна длина а + й|, если
а и b противонаправлены?
74. Для любых четырех точек Л, В, С, D доказать справедливость
равенств: а) А В + CD == Л£ + СВ; б) АС + BD = ЛЛ +
+ ВС; в) А В + ВС = Л/) + DC. Изобразить эти соотношения
на рисунке.
75. Даны два треугольника ABC и А1 В1С1 , имеющие общую медиану
ААХ . Доказать, что СВХ = СХВ.
76. Даны два параллелограмма ABCD и А^С^. Доказать, что
векторы АА, и СХС равны.
77. Пусть ABCD и Л^С^ —два четырехугольника. Доказать,
что AAi -f- ВВА -f- CCX -j- DDi = ЛС^ -f- В/^+СЛ] -f- DBi.
78. Проверить справедливость равенства ЛЛг + ВВХ + ССХ +
+ DD < = ЛВХ + ВСХ + CDX + ДЛХ. Составьте еще несколько
аналогичных равенств и докажите их справедливость.
79. При каждой вершине треугольника ЛВС построены ромбы,
стороны которых конгруэнтны и направлены по сторонам треугольника;
[ЛЛ11, [BBJ, [CCJ—диагонали этих ромбов.
Доказать, что АА < + ВВ1 + СС1 = 0.
80. Для того чтобы четырехугольник A BCD был параллелограммом,
необходимо и достаточно, чтобы для любой точки Q выполнялось
равенство QA + QC = QB + QD. Доказать это.
2. Умножение вектора на число
1. Выразить вектор MN на рисунке 33 через векторы а и Ь,
используя клетки.
2. При каком значении k справедливо соотношение АВ + CD +
+ BC=k(EA+DE)?
3. Доказать, что в параллелограмме A BCD АС + BD = 2ВС.
4. Дан треугольник ЛВС. Доказать, что если для двух точек М

161 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

g ) 6 ) 6 ) г ) J )
Рис. 32
и N выполняется равенство МА + MB + МС = N А + NB +
+ NC, то точки М и N совпадают.
5. В треугольнике ABC [СМ] —* медиана и СВ — а, СА = Ь.
Выразить вектор СМ через векторы а и h.
6. Л, 5, С — три точки, принадлежащие одной прямой и такие,
что АС = | ВС |. Доказать, что для произвольной точки Q плоскости
выполняется равенство QC =

(С^Л +QS).
7. Пользуясь свойством средней линии треугольника, доказать,
что — (а + Ь) = — а + — Ь.
2 2 2
8. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE и CF. Найти
сумму AD + BE + CF.
9. Л, В, С, D — четыре точки плоскости, М и N — соответственно
середины отрезков AD и ВС. Выразить вектор MN через:
а) АВ = а и DC = b б) АС = с и DB = d.
10. Точки М и N являются соответственно серединами диагоналей
АС и BD четырехугольника ABCD. Доказать, что MN =
= — (АВ + CD) и M

N = — (AD + CS).
2 2
11. Записать на языке векторов, что четырехугольник EFKP —
трапеция.
12. В трапеции A BCD длины оснований равны |ЛВ| — а и CD =
= b. Выразить вектор DC через вектор ЛВ.
13. Точка Р — середина стороны AD параллелограмма ABCD.
Выразите вектор PC через векторы А В и Л1).
14. В параллелограмме ABCD точки М и N — соответственно
середины сторон CD и AD. Выразить вектор MN через векторы
СВ = а и DC = b.
15. В четырехугольнике Л BCD точки Af, Ny Р, Q — соответственно
середины последовательных сторон. Доказать, что MNPQ —
параллелограмм.

162 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

16. В параллелограмме,- A BCD АС = а и BD = Ь. Выразить векторы
А В и ВС через а и Ь.
17. В пятиугольнике ABCDE М, N, Р, Q— соответственно середины
четырех последовательных сторон, начиная от АВ. Найти
зависимость между векторами MN, PQ и АЕ‘.
18. ABCD и BDCF— два параллелограмма и О — центр первого
из них. Выразить векторы AD, ВО, FC, OF, DF, CD через векторы
BF = а и СО = Ь.
19. ABCD — параллелограмм, О — его центр, Q — произвольная
точка плоскости. Выразить вектор QO через векторы QA = а,
CD — b, AD = с.
20. ABCD и ACEF — два параллелограмма с центрами О и D.
Выразить векторы AC, BF, ЕО, FO, AF, BE через векторы
ЕС — а и FD = Ъ.
21. Доказать, что если в четырехугольнике ABCD точки М м N —
соответственно середины сторон АВ и CD и для построенного
параллелограмма ABDD’ точка О — середина отрезка CD’,
то [ЛШ ^ [АО], [ЛШ || [АО].
22. На стороне АВ четырехугольника ABCD построен параллелограмм
АВСС и взята точка О — середина отрезка C’D. Доказать,
что если М н N — соответственно середины сторон А В и
CD, то отрезок АО равен отрезку MN по длине и параллелен.
23. Даны два параллелограмма ABCD и Л1В1С101. Доказать, что
в общем случае середины отрезков ААХ , BBt , CCr , DDX
являются вершинами параллелограмма A0 B0C0D0 . Построить два
таких параллелограмма, чтобы точки А0 , В0 , Ce, D0 совпали
или принадлежали одной прямой.
24. Доказать, что если А, В, С, D, Е, F — соответственно середины
последовательных сторон шестиугольника, то АВ + CD +
+ EF= ОТ
25. Пусть Ах , Вх , Сх — середины сторон треугольника ABC, Q —
•произвольная точка плоскости. Доказать, что QAX -J- QBX -f
+ QCX = QA + QB + QC.
26. Дан треугольник ABC, в котором проведены медианы. Доказать,
что если Ах , Вх , Сх — середины медиан, то,для любой точки
Q плрскости выполняется равенство QA + QB + QC =*
— QA i + QBX + QCX .
27. В треугольнике ABC точка D взята на стороне АС так, что
АС : DC ==т : п. Выразить векторы В А и ВС через АС =
= а -и BD ==-■ Ь.

163 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

28. Дана трапеция ABCD, в которой основание АВ в k раз больше
основания CD. Выразить векторы АС и ВС через векторы
AD — b и DC = а.
29. Точки /Си L служат соответственно серединами сторон ВС и
CD параллелограмма A BCD. Полагая А К = т и AL = п,
выразить векторы ВС и CD через тип.
30. В трапеции ABCD основание AD в k раз больше основания ВС.
Для произвольной точки Q выразить вектор QD через векторы
QA = a, QB = b, QC = с.
31. а и b — ненулевые и неколлинеарные векторы. Доказать, что
если числа а и |3 удовлетворяют условию аа + $Ь = 0, то
а = 0 и Р = 0.
—► —> ——V
32. Известно, что а + b + с = 0. При каких kx , k2 , k3 верно ра-
— > — > ■ — > — > ■ — > — — > — — > —
венство kx a + k2 b + k3 c = О (а> b, с попарно жколлинеарны)?
— У
33. Доказать, что любой вектор т может быть представлен, и притом
единственным образом, в виде т = аа + fib, где а, р —
—> —>■
числа, а а и b — неколлинеарные векторы. Можно ли обобщить
задачу на случай большего числа слагаемых?
34. Пусть вектор т представляет собой линейные комбинации векторов
ах и Ьх, а2 и Ь2, где% и Ъх неколлинеарны, а ах и а2, Ьг и
Ь2 соответственно коллинеарны. Доказать, что соответствующие
слагаемые этих линейных комбинаций равны. (Линейной комбинацией
векторов а2, …, ап называется выражение вида
Mi + k2 a2 + … + , где &2, …, — числа.)
35. Два параллелограмма ABCD и ЛВ^/)! имеют общую вершину
Л. Доказать, что ВВг ^ |ССХ| + D± D.
36. В четырехугольнике ABCD точки М и N — соответственно
середины сторон AD и ВС. Доказать, что 2 | AliV | | АВ +
+ I CD.
37. Даны две различные точки Л, В и число k. Найти такую точку
М, что в векторы ЛМ и Ь ЛМ: а) равны между собой;
б) противоположны.
38. Дан параллелограмм A BCD. Найти на плоскости такую точку
Q, чтобы выполнялось равенство QA + QB + QC + QD = О.
Сколько существует таких точек?
39. Дан четырехугольник ABCD. Найти на плоскости такую точку
Q, чтобы выполнялось равенство QA + QB -f QC + QD =0.
Сколько существует таких точек?
40. Пусть 5 — точка пересечения средних линий четырехугольни

164 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

ка ABCD и Q — произвольная точка плоскости. Доказать, что
имеет место равенство QA + QB + QC + QD = 4QS.
41. Дан четырехугольник ABCD. Его средние линии пересекаются
в точке М. Построена ломаная MAUV, где AU = MB, r UV =
= МС. Доказать, что М — середина отрезка VD.
42. Доказать, что длина отрезка, соединяющего середины диагоналей
трапеции, равна полуразности ее оснований.
43. Если длина отрезка, соединяющего середины двух противоположных
сторон выпуклого четырехугольника, равна полусумме
двух других сторон, то этот четырехугольник — трапеция
или параллелограмм. Доказать.
44. Точки М и N — соответственно середины сторон АВ и CD четырехугольника
A BCD. Доказать, что середины диагоналей
четырехугольников AMND и BMNC являются вершинами параллелограмма
(или лежат на одной прямой).
45. На прямой заданы три точки Л, В, С. Существует ли на плоскости
такая точка Q, что выполняется равенство QA + QB -f-
+ QC =к О?
46. Доказать, что медианы произвольного треугольника ABC пересекаются
в одной точке М, которая обладает следующими
двумя свойствами: а) расстояние от точки М до каждой вершины
треугольника равно — 2д лины соответствующей меодианы; б) для 3
любой точки Q справедливо соотношение
QM = 1 (0Л+ QB + QC).
О
47. Для того чтобы точка Q была центром тяжести треугольника
ABC, необходимо и достаточно, чтобы QA -f QB + QC = 0.
Доказать это.
48. Существует ли в плоскости треугольника ABC точка Q, удовлетворяющая
равенству QA + 2QB 4* 3QC — 0?
49. Пусть Ах , А2 , А3 — три не принадлежащие одной прямой точки
плоскости и ах , а2 , сс3, Pi, Р2> Рз — данные действительные
числа. Если для некоторой точки М выполняются со 0.
2. Что можно сказать о векторах а и Ь, если: а) а • Ь = |а| • Ь;
б) а • b — — | а 11Ь |; в) а ■ 6 = 0?
3. Для равностороннего треугольника ABC, длина стороны которого
равна 2, вычислить выражение ВС ■ СА -J- СЛ • АВ—
Н- AS -ВС.
— — > — ► — > ■
4. Известно, что а = kb, с = Ы. Справедливы ли пропорции:
а)ч а- = -;с б) — = в)а — = г) b — = -? ч b d ^ d с

b d с d а с Ъ а
5. Какие из следующих преобразований справедливы:
а) (2а — Ъ)2 = 4а2 — 4а6 + Ь2 ; б) (а + Ь) (а — Ь) = | а|2 —
— > * — > ■
— Ь2 -, в) 2а2 —

ab = 0=>а (2а — Ь) = 0=> Й1->= °> —
_2 а — Ь = 0=»
= 0
а» = — о? 2 2
—У —>
6. При каких векторах а и Ь верно равенство
a (ab) = а2 b?
7. Справедливо ли равенство (ЛС • SD)2 = АС2 ■ BD2?
— > — — > ■
8. Какой угол образуют единичные векторы s и t, если известно,
что векторы s + 2t и 5s — 4/ взаимно перпендикулярны?
9. Вычислить (За — Ь) (2Ь + 2а), если известно, что а и b — единичные
взаимно перпендикулярные векторы.
10. Записать с помощью векторов следующие утверждения:
а) ЛВС — равнобедренный треугольник с основанием АС;
б) ABC — равносторонний треугольник; в) A BCD — ромб;
г) ABCD — прямоугольник; д) ABCD — квадрат.
11. Даны две стороны | АВ | = a, CD = b четырехугольника Л BCD
и угол а между этими сторонами. Найти длину отрезка, соединяющего
середины двух других сторон четырехугольника.
12. В треугольнике ЛВС со сторонами | Л В | = 5, | ВС f = 2, |ЛС| —
= 4 вычислить величину угла ЛВС.
13. Для треугольника ЛВС выразить скалярное произведение
векторов А В • АС через длины сторон треугольника.

168 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

14. В треугольнике ЛВС со сторонами | АВ | =3, |ВС| = 4, АС —
= 6 найти скалярное произведение АВ • АС.
15. Доказать, что в равностороннем треугольнике ABC с центром
тяжести М АВ2 = 3 МС2 .
16. В плоскости прямоугольника ABCD дана точка М. Доказать,
что справедливо равенство МА * МС = MB • MD.
17. В треугольнике ABC проведены медианы AD, BE, CF. Вычислить
сумму ВС • AD + С А • BE + А В • CF.
18. Доказать справедливость тождества а -Ь = > j ■

Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

для любых векторов а и Ь.
19. Доказать, что скалярное произведение двух векторов, отложенных
от данной точки до концов любого диаметра данной
окружности, есть величина постоянная.
20. Доказать, что для любых четырех точек плоскости Л, В, С, D
имеет место равенство ВС * AD + С А • BD + А В • CD = 0.
Записать это равенство через векторы а = DA, Ь = DB, с =
= DC.
21. Доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной
точке.
22. Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов длин его
диагоналей равна сумме квадратов длин его сторон.
23. Доказать, что если М — середина отрезка АВ, то для произвольной
точки Q плоскости выполняется равенство
| QA* + QB?=2QM*+±AB\
24. Доказать, что если ABCD — прямоугольник, то для любой
точки М верно равенство МА |2 + МС2 = МВ2 + |уИ£>|2.
25. Даны три точки А, В, С, для которых | Л С р + | ВС |2 -=

| АВ |2.
Доказать, что Л С + ВС = 0.
26. Доказать, что угол С треугольника ЛВС будет острым, прямым
или тупым, смотря по тому, будет ли длина медианы CD
больше, равна или меньше

|ЛВ|.
27. Доказать, что в треугольнике ЛВС с центром тяжести М справедливо
соотношение
| АВ I2 + | ВС |2 + | Л С |2 = 3 (| МА |2 + | MB |2 + | MCJ2).
28. Доказать, что если центр тяжести треугольника ЛВС совпадает
с точкой пересечения высот, то треугольник равносторонний.
29. Доказать, что если векторы а и b удовлетворяют условию

169 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

—У “-V —V *-У
(а — Ь) (| Ь • а + |а| • Ъ) — 0, то они либо коллинеарны,
либо равны их модули. ■’
30. Выразить длину каждой медианы треугольника через длины его
сторон.
31. В трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями большее
основание равно 4, а меньшее 3. Найти ее боковую сторону,
если известно, что она составляет угол в 60° с большим основанием.
32. Дан треугольник ЛВС, в котором [ АС — 3, | ВС = 4, АСВ =
== 120°. Найти расстояние от вершины С до точки М, делящей
сторону АВ в отношении 1 i 3, считая от вершины А.
33. Если в прямоугольном треугольнике А ВС из вершины прямого
угла проведена высота CD, то: а) |СО|2=|Л.О|- BD-,
б) | ЛС|2 =?jАВ • AD-, в) |ВС|2 = ВА • BD. Доказать.
34. Диагонали прямоугольной трапеции взаимно перпендикулярны.
Доказать, что высота трапеции есть среднее пропорциональное
между ее основаниями.
35. Доказать, что в трапеции ABCD с основаниями АВ и CD выполняется
равенство | ЛС|2 + |BD|2 = | AD2 + | ВС|2+2| ЛВ|х
X DC. ‘
36. Для того чтобы диагонали четырехугольника были взаимно
перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы суммы квадратов
противоположных сторон четырехугольника были равны.
Доказать это.
37. Доказать, что если в треугольнике две медианы взаимно перпендикулярны,
то сумма их квадратов равна квадрату третьей
медианы.
38. Найти зависимость между сторонами треугольника ABC, если
его медианы ААХ и ВВХ перпендикулярны.
39. Катеты прямоугольного треугольника равны а и Ь. Найти длину
биссектрисы, проведенной из вершины прямого угла.
40. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого
• угла проведена высота CD. Выразить через векторы а =- СВ и
Ъ — СА а) вектор AD; б) вектор CD.
41. Из середины D основания АВ равнобедренного треугольника
ABC проведен перпендикуляр DM на сторону ВС. Точка N —
середина отрезка MD. Доказать, что отрезки AM и CN перпендикулярны.
— ‘ -V
42. Через вершину прямого угла С треугольника ABC проведена
прямая, на которую из вершин А и В проведены перпендикуляры
ЛЛХ и ВВХ. Вершина С отражена в точку Сх относительно
середины М отрезка AX BV Доказать, что АСг В — А
43. На стороне АВ A ABC по разные стороны от прямой Л В построены
равносторонние треугольники ЛВСХ и ЛВС2. Найти

170 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

зависимость между сторонами данного треугольника, если
прямые ССх и СС2 перпендикулярны (С Ф Сх, С ф С2).
44. Выяснить условия, при которых (а ■ Ь) ■ (с • d) — (а ■ с) х
X(Ь ■ d).
4. Преобразование векторов
1. Дан вектор а. Найти его образ при некотором: а) переносе;
б) центральной симметрии; в) осевой симметрии; г) повороте.
2. Дан вектор а. Найти его образы при нескольких центральных
симметриях с произвольными центрами и сравнить полученные
образы между собой.
3. Дан вектор а. Найти его образы при нескольких осевых симметриях
со взаимно параллельными осями и сравнить полученные
образы между собой.
—^
4. Найти образ вектора а при последовательном выполнении двух
осевых симметрий со взаимно перпендикулярными осями.
5. Найти образ вектора а при последовательном выполнении переноса
и центральной симметрии. Играет ли роль при этом порядок
выполнения указанных перемещений?
6. Вектор а отобразить гомотетиями с коэффициентом к и центрами
— > — — > —
Ох и 02 в некоторые векторы ах и а2 и сравнить их.
7. Векторы АВ и ВС отображаются гомотетиями с коэффициентом
k и центрами 0Х и 02 на векторы АхВх и В2С2 . Найти зависимость
между векторами АС и AX BX + В2 С2 .
8. В прямоугольнике ABCD диагонали АС и^ BD пересекаются
» в точке О и образуют угол AOD = 60°. При каком перемещении
вектор AD отображается на векторы: а) ОС; б) ВС; в) ОВ;
г) СВ; д) ОА; е) QD?
. 9. Дан равносторонний треугольник ABC с центром О. При каком
перемещении: а) вектор Л С отображается на векторы АВ;
СА; ВС; СВ; б) вектор АО отображается на векторы ВО; СО;
ОВ; ОС?
10. Каким образом в равностороннем треугольнике ABC с центром
О и медианами ЛЛХ, BBX и ССХ можно отобразить вектор Л О на
векторы: а) ЛхО; б) ОСх; в) ВхО?
11. В квадрате ABCD с центром О: а) найти образ вектора АО при
повороте на +90°; б) найти образ вектора ОВ при последовательном
выполнении поворота на —45° и гомотетии е коэффициентом
У 2.
12. Каким преобразованием можно отобразить в квадрате A BCD

171 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

с центром О: а) вектор DA на вектор О В; б) вектор АС на вектор
CD?
13. В квадрате A BCD с центром О рассмотреть образы векторов
АО и OD при повороте на +90°. Сумму полученных’векторов
сравнить с вектором AD.
14. Дан равносторонний треугольник ABC с центром О. Некоторое
перемещение отображает*вектор АО на вектор ОВ. В какой
вектор отображается вектор А В этим же перемещением?
15. В квадрате ABCD с центром О проведен перпендикуляр ОК к
стороне CD. При некотором перемещении вектор АО отображается
на вектор ОВ. В какой вектор при этом отображается
— вектор FK?
16. На сторонах параллелограмма вне его построены квадраты.
Доказать, что центры этих квадратов являются вершинами
квадрата.
17. На сторонах А В и ВС треугольника ABC построены вне его
квадраты ABDE и BCKF. Доказать, что отрезок DF в два раза
больше медианы ВР треугольника ABC по длине и перпендикулярен
к ней.
18. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены
равносторонние треугольники ABCг и ВСАХ . Доказать, что
отрезок, соединяющий середины отрезков А В и ЛхСх, равен
половине отрезка АС по длине и составляет с ним угол в 60°.
19. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены
равносторонние треугольники АВСХ и ВСАг . Доказать, что если
Му N и Р — соответственно середины сторон ЛС, С± ВУ ВАХ ,
треугольник MNP равносторонний.
20. Диагонали ЛС и BD равнобедренной трапеции ABCD ([АВ] ||
|| [CD]) пересекаются в точке О под углом 60°. Доказать, что
середины отрезков ОЛ, OD и ВС являются вершинами равностороннего
треугольника.
21. В трапеции ABCD диагональ АС отсекает равносторонний
треугольник ACD. Из точки Е диагонали АС (или ее продолжения)
основание ВС видно под углом 60°. Доказать, что середины
отрезков АЕу ВС и CD являются вершинами равностороннего
треугольника.
22. Если на двух сторонах параллелограмма, исходящих из-одной
вершины, построить (внешним или внутренним образом) правильные
треугольники, то противоположная вершина параллелограмма
и свободные верщины треугольников образуют правильный
треугольник. Доказать.
23. Даны два равносторонних треугольника А1 В1 С1 и Л2В2С2
одинаковой ориентации. Отрезки Ax A2 t Bt B2 и СС2. разделены
точками Л, В и С в одном и том же отношении соответственно

172 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

от концов Аъ Вх и Сг . Доказать, что треугольник ABC равно*
сторонний.
24. Составить несколько задач, используя результат предыдущей
задачи.
25:. В прямоугольной трапеции ABCD с острым углом D в 45°
диагональ АС равна стороне CD. Доказать, что середина меньшего
основания равноудалена от вершины А и середины стороны
CD.
26. На отрезках А В и АС некоторой прямой построены равнобед-
ренные прямоугольные треугольники АВС1 и АСВ1 (Сг = В± =
= 90°) противоположной ориентации. Доказать, что середина
отрезка ВС и точки Вг и Сг служат вершинами равнобедренного
и прямоугольного треугольника.
27. В треугольнике ABC с углом В в 45° проведены высоты ССг и
АА1 У пересекающиеся между собой в точке О. Доказать, что
середины отрезков ВС, А1 С1 и СО служат вершинами равнобедренного
и прямоугольного треугольника.
28. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены
равносторонние треугольники АВСг и ВСАг с центрами соответственно
Ог и 02. Доказать, что отрезок 0Х02 вдвое длиннее
отрезка, соединяющего середины отрезков Ог С и СгО2, и составляет
с ним угол в 60°.
29. На сторонах А В, ВС, CD прямоугольника A BCD вне его построены
равносторонние треугольники АВОъ ВС02 , CD03 .
Доказать, что расстояния между серединами отрезков АВ,
0г 02 и ВС, 02 03 равны.
30. На сторонах’Л В и АС треугольника ABC вне его построены
квадраты ABDE и ACFG, а затем параллелограмм AELG.
Доказать, что:
а) | LA | = ВС и [LA] 1 [ВС]; б) LC = BF и [LC] 1
± [BF]; в) | LB| = DC и LB] 1 [DC].
31. На сторонах АВ, ВС и СА A ABC вне его построены равносторонние
треугольники. Доказать, что центры Ог , 02 и 03
этих треугольников являются вершинами равностороннего
треугольника.
32. A BCD и АхВ-ьСтРх — два квадрата с общим центром и одинаковой
ориентацией. Доказать, что середины отрезков ААЪ ВВЪ
ССг , DD± являются вершинами некоторого квадрата.
33. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены
квадраты ABMN и BCQP. Доказать, что центры этих квадратов
и середины отрезков МР и АС являются вершинами
квадрата.
34. На сторонах А В и CD произвольного выпуклого четырехугольника
A BCD вне его построены квадраты ABMN и CDKL. Доказать,
что середины диагона лей четырехугольников A BCD
и MUKL являются вершинами квадрата или совпадают.
35. Даны два квадрата Л1В1С1С1 и Л2В2С202 одинаковой ориен-

173 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

тации. Отрезки ЛаЛ2, ВВ2 , СхСй , DXD2 разделены течками
Ло, Во, Со, Do в одном и том же отношении, начиная от вершин
одного из этих квадратов. Доказать, что AoBoCoDo — квадрат.
36. Составить несколько задач, используя результат предыдущей
задачи.
37. Даны два правильных одноименных многоугольника Аг А.г . Ап
и ВХ В2… Вп одинаковой ориентации. Отрезки Ах Вг , А2 В2 , …,
Ап Вп разделены точками Cl t С2,…» Сп соответственно в одном
и том же отношении, начиная от вершин одного из этих многоугольников,
Доказать, что многоугольник СХС2 … Сп правильный.
38. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC вне его построены
равнобедренные прямоугольные треугольники ABD и ВСЕ
/S — (В = С 90°) одинаковой ориентации. Доказать, что середи-.
ны отрезков АВ, ВС и DE являются вершинами прямоугольного
равнобедренного треугольника,
39. В квадрате ABCD точка О — его центр и М и N — середины
отрезков ВО и CD. Доказать, что треугольник AMN равнобедренный
и прямоугольный.
40. На сторонах четырехугольника A BCD вне его построены равнобедренные
прямоугольные треугольники ABM, BCN, CDP
и DAQ (М = N = Р = Q = 90°). Доказать, что середины
отрезков МР и NQ и середины диагоналей четырехугольника
являются вершинами квадрата.
41. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла
проведена высота CD, Точки М и N делят соответственно
стороны АС и СВ в равных отношениях (начиная от концов
Л и С). Доказать, что треугольник DMN подобен данному тре-
• угольнику,
42. На основании и одной из боковых сторон равнобедренного
треугольника вне его построены квадраты. Доказать, что центры
этих квадратов и середина другой боковой стороны служат
вершинами равнобедренного и прямоугольного треугольника.
43. В прямоугольнике A BCD проведен перпендикуляр В К к диагонали
АС. Точки М и N делят соответственно отрезкй Л К и
CD пополам, Доказать, что BMN — 90ч.
44. Для прямоугольного треугольника ABC построен ему симметричный
— АВСХ относительно гипотенузы АВ. Если точка М —
середина высоты CXD Д АВСХ и N — середина стороны ВС, то
A AMN подобен A ABC, Доказать.
45. Дан параллелограмм A BCD, На прямых А В и ВС выбраны
точки соответственно Н и К так, что треугольники КА В и НС В
равнобедренные (| КА = | АВ и | НС =э | СВ|), Доказать, что
треугольник KDH тоже равнобедренный и точки К, A, D, С
и Н принадлежат одной окружности,
46. Четырехугольник ABCD повернут около некоторой точки О,

174 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

лежащей в его плоскости, на 90° в положение A1 B1 C1 D1 . Доказать,
что если точки Р, Q, R и S суть соответственно середины
отрезков Аг Ву ВХС, C±D и £>ХЛ, то отрезки PR и QS перпендикулярны
и равны по длине.
47. На сторонах четырехугольника вне его построены квадраты.
Доказать, что центры этих квадратов являются вершинами
четырехугольника с равными по длине и взаимно перпендикулярными
диагоналями.
48. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла
проведена вьшота CD и построена точка Dl y симметричная
точке D относительно катета Л С. Доказать, что точка Л и середины
отрезков DXC и СВ служат вершинами треугольника,
подобного данному.
49. В прямоугольном треугольнике ABC построена точка Dl y симметричная
некоторой точке D катета ВС относительно гипотенузы
ЛВ; Е — точка пересечения отрезков DDt и АВ, М и
N — соответственно середины отрезков ADX и СЕ. Доказать,
что MNB = 90°.
50. В треугольнике ABC проведены высоты ААХ и ВВг и построена
точка Л 2, симметричная точке Л1г относительно прямой Л С;
М и N — соответственно середины отрезков ВХЛ 2 и АВ. Доказать,
что треугольник CMN прямоугольный.
51. На стороне А В треугольника ABC как на диаметре описана
окружность, пересекающая прямые ЛС и ВС соответственно
в точках Лх и Bt . Доказать, что середины хорд АВг и ВАг и
г основание высоты, проведенной из вершины С в данном треугольнике,
образуют треугольник, подобный данному.
‘52. Из произвольной точки М, взятой на окружности, описанной
BqKpyr треугольника ЛВС, проведены перпендикуляры МАг и
МВ на стороны ВС и ЛС; Р и Q— соответственно середины
отрезков ЛВ и Л^. Доказать, что PQM = 90°.
53. В треугольнике ABC из вершины Л проведена биссектриса AD
до пересечения с описанной вокруг данного треугольника
окружностью в точке Аг ; М и N — соответственно середины
отрезков CD и Аг В. Доказать, что треугольники АСАЛ и AMN
подобны.
54. Общая хорда двух пересекающихся окружностей является диаметром
одной из них. Уерез один из концов этого диаметра проведены
касательные к данным окружностям. Доказать, что
другой конец диаметра и середины отрезков проведенных касательных,
отсекаемых окружностями, служат вершинами
прямоугольного треугольника.
55. В треугольнике ABC высоты AD и BE продолжены за вершины
Л и В, и на их продолжениях отложены отрезки ЛМ и BN такие,
что АМ] Ш [ВС] и [ВМ ^ [ЛС]. Доказать, что отрезки
СМ и CN перпендикулярны, а длины их равны.
56. На сторонах ЛС и ВС треугольника ЛВС вне его построены

175 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

равносторонние треугольники АСВг и ВСЛ; М — середина
стороны АВ и О — центр треугольника ЛСВХ. Определить углы
треугольника МАх О.
57. На сторонах АС и ВС треугольника ABC вне его построены
квадраты АСВАг и ВСЁВ1 . Доказать, что прямые АВХ и ВАХ
пересекаются на высоте данного треугольника, проведенной . к
стороне А В.
58. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC вне его построены
равносторонние треугольники с центрами соответственно
03, 0г и 02. Если С1 у Аъ В± — соответственно середины сторон
А В, ВС и С А, то доказать, что Сг 03 + Ах 0г + Вх02 = О.
59. Дан многоугольник Аг А2 … Ап . Доказать, что векторы
Ь2, …, Ьп , образующие соответственно с векторами А Х А ^ А 2Л3,…,
…, один и тот же ориентированный угол и такие, что
b1 =

k |ЛИ2|, Ь2 = k A M …, | bn | =

k An Ax , в сумме
равны нулевому вектору. ^
60. Даны три равносторонних треугольника А±ВС, AJl >E и A3 FQ,
имеющие одинаковую ориентацию, причем точки Лх, Л2 и Л3
являются вершинами равностороннего треугольника той же
ориентации. Доказать, что середины отрезков CD, EF и QB
являются вершинами равностороннего треугольника.
61. Дан параллелограмм ABCD. На его сторонах CD и ЛD построены
в-не его одинаково ориентированные подобные треугольники
CDE и FBC. Доказать, * что треугольник РАЕ подобен им и
одинаково с ними ориентирован.
62. На сторонах АВ, ЛС и ВС треугольника ЛВС, как на основаниях,
построены три равнобедренных подобных треугольника
АВР, ЛСС и BCR два первых расположены вне данного треугольника,
третий, напротив, по ту же сторону от (ВС), как и
данный треугольник (или обратна). Доказать, что APRQ —
параллелограмм.
63. На сторонах ЛС и ВС треугольника ЛВС вне его построены
подобные прямоугольники ACMN и BCPQ. Доказать, что
прямые NB и QA пересекаются на высоте треугольника (или
ее продолжении), проведенной из вершины С.
5. Смешанные задачи
1. В конце Л хорды Л В окружности О проведена к ней касательная,
к которой из точки В проведен перпендикуляр ВМ, встречающий
окружность вторично в точке С. Доказать, что центр О,
точка N, делящая хорду ЛВ в отношении | AN : |iVB| = 1 : 2,
и точка С’, симметричная точке С относительно точки М, лежат
на одной прямой.
2. Противоположные стороны ЛВ и CD четырехугольника A BCD
разделены соответственно точками М и N в равных отношениях,
считая от точек А и D. Доказать, что отрезок MN делит

176 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

среднюю линию четырехугольника в том же отношении и делится
сам средней линией пополам.
3. Точки Я, Q, R, S делят стороны четырехугольника ABCD так,
что A P : P B = D Q : Q C = т и A R : R D = B S :
: S C = n. Доказать, что отрезки PQ и RS делят друг друга
в том же отношении.
4. Доказать, что для всякого многоугольника АХ А … Ап найдется
точка О, для которой 0А± + ОЛ2 + … + 0Ап = О,
и что такая точка только одна.
5. В треугольник ABC вписан параллелограмм ADEF так, 4jo
вершины D, Е и F лежат соответственно на сторонах А В, ВС и
АС. Через середину М стороны ВС проведена прямая AM,
пересекающая прямую DE в точке /(. Доказать, что CFDK —
параллелограмм.
6. Через противоположные вершины параллелограмма проведены
прямые, пересекающие его стороны или их продолжения в четырех
точках. Доказать, что эти точки являются вершинами
трапеции или параллелограмма.
7. В трапеции A BCD произвольная точка М боковой стороны А В
соединена с вершинами С и D. Из вершин А и В проведены
прямые AN и BN, параллельные соответственно прямым СМ
и DM. Доказать, что точка N их пересечения принадлежит
стороне CD.
8. Дан четырехугольник ABCD. Прямая, проведенная через вершину
А параллельно стороне ВС, пересекает диагональ BD в
точке Му а прямая, проведенная через вершину В параллельно
стороне AD, пересекает диагональ АС в точке N. Доказать, что
ШАГ] Н ICDL
9. Даны шесть точек. Центроид (точка пересечения медиан) треугольника
с вершинами в трех из этих точек соединяется отрезком
прямой с центроидом треугольника, имеющего своими
вершинами три остальные точки. Доказать, что полученные
таким образом 10 отрезков имеют общую середину.
10. На стороне АС треугольника ABC взята такая точка М, что
А М = — |ЛС|, а на продолжении стороны ВС — такая
• з
точка N , что |ВЛП = |СВ. В каком отношении делит точка Р
пересечения отрезков АВ и MN каждый из этих отрезков?
И. Даны три отрезка Ах Аг , BXD2 , Сх Сг . Их середины обозначим
соответственно через А3 , В3 , С3 . Если центры тяжести треугольников
АхВхСх, А^В^С2 , А3 Ва С3 соответственно Мх, М2 , М3 ,
то требуется доказать, что М3 — середина отрезка М г М 2 (или
М1 = М 2 = М3 ).
12. На медиане СМ3 треугольника ABC дана точка М. Через нее
проведены прямые AM и ВМ, пересекающие стороны ВС и
АС соответственно в точках Ау и Вг . Доказать, что отрезок Л1й1
делится медианой СМ3 пополам и параллелен стороне АВ.

177 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

13. На стороне А В треугольника ABC дана точка Р, через которую
проведены прямые параллельно его медианам и ВМ2 и
пересекающие соответствующие стороны треугольника в точках
Аг и Вг . Доказать, что середина отрезка Аг Ви точка Р и
точка пересечения медиан Q данного треугольника лежат на
одной прямой.
14. Расстояние от точки пересечения йедиан треугольника до центра
описанной около него окружности равно одной трети радиуса
этой окружности. Доказать, что треугольник прямоугольный.
15. На даух прямых даны соответственно отрезки АВ и CD. Точками
М и Мх отрезок А В разделен в отношениях А С : BD
и — | А С | : | BD |, | А С | Ф | BD |, а отрезок C D точками N и А
разделен соответственно в тех же отношениях. Доказать, что
отрезок M N перпендикулярен отрезку МхА^.
16. Доказать, что если боковые стороны трапеции перпендикулярны,
то сумма квадратов ее оснований равна сумме квадратов
диагоналей.
17. Если в четырехугольнике сумма квадратов его диагоналей
равняется сумме квадратов всех его сторон, то этот четырехугольник
— параллелограмм. Доказать.
18. Даны два одинаково ориентированных квадрата A BCD и
ЛiBADi. Доказать, что ААг 2 + ССг 2 = | ВВг 2 + |DDX 2 .
19. На медиане CMS треугольника ABC дана точка Р, через которую
проведены прямые АР и ВР, пересекающие стороны СВ
и СА соответственно в точках Аг и Вг . Доказать, что если | ААг =
= ВВг , то треугольник равнобедренный.
20. На основании А В равнобедренного треугольника ABC дана
точка Р. Доказать, что | PC2 = | Л С | 2 — А Р ВР. Выяснить,
как изменится формула, если точка Р расположена на продолжении
основания АВ.
21. Доказать, что если из произвольной точки М, взятой внутри
прямоугольного треугольника ABC (С — прямой угол), провести
перпендикуляры MX, MY, MZ соответственно на стороны
ВС, СА, АВ, то имеет место соотношение A Y А С +
+ | B Z | В А | + С Х | СВ | = | АВ.
22. На продолжениях сторон АВ, ВС, СА треугольника ABC
взяты соответственно точки М, N, Р так, что ВМ = А В ,
| CN | = ВС, А Р — С А |. Вычислить отношение суммы квадратов
сторон треугольника P M N к сумме квадратов сторон
треугольника ABC.
23. Боковые стороны ВС и AD трапеции A BCD повернуты около
своих середин в положительном направлении на 90е, после
чего они занимают положение отрезков [BjCJ и 1 А ^ Х ] . Доказать,
что I D A I — А1 В1 [.
24. На сторонах АВ, CD и EF центрально-сймметричшг© шестиугольника
построены одинаково ориентированные равносторонние
треугольники АВР, CDQ и EFR. Доказать, что треугольна

178 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

ник PRQ равносторонний (в частности, он может выродиться
в точку).
25. Сторона АС треугольника ABC повернута около вершины А
на +90°, а сторона ВС повернута около вершины В на —90°.
Доказать, что положение середины отрезка СхС2, соединяющего
концы С± и С2 повернутых отрезков, не зависит от поло-
• жения вершины С.
26. На сторонах четырехугольника, как на диаметрах, построены
полуокружности, причем две противоположные полуокружно-
♦ сти обращены внутрь четырехугольника, а две другие — во
внешнюю область. Доказать, что середины этих полуокружностей
являются вершинами параллелограмма.
27. Дан квадрат. Строятся всевозможные равнобедренные прямоугольные
треугольники, вершина одного из острых углов которых
совпадает с вершиной квадрата, а вершина прямого угла
принадлежит его диагонали. Найти множество третьих вершин
рассматриваемых треугольников.
28. На сторонах произвольного треугольника вне* его построены
квадраты. Тогда высоты треугольника, вершины которого являются
центрами этих квадратов, проходят соответственно
через вершины данного треугольника. Доказать.
29. В треугольнике ABC проведены высоты АА1 У ВВг и ССХ; Л0,
В0, С0 — середины этих высот. Доказать, что треугольники
Л0В0С0, В0С0 Аг и Aq Cq Bx подобны.
30. Даны параллельные прямые gx и g2 и две пары точек А1 9 А2 и
Вь В2. На прямых найти соответственно такие точки С± и С2,
чтобы (AxCi) || (Л2С2) и (BjlCi) || (В2С2).
31. В четырехугольнике’ A BCD стороны ВС и AD точками Въ В2
и Al t А2 соответственно разделены на равные части. Можно
ли провести прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между
сторонами А В и CD, разделился на равные части прямыми
AiBi и А2 В2 ?
32. Даны три точки А1 % Ви Сг . Считая их точками деления соот-
• ветствующих сторон некоторого треугольника ABC в отношении
2 i 1 в одном и том же направлении обхода, построить треугольник
ЛВС.
33. На гипотенузе прямоугольного треугольника или на ее продолжении
найти такую точку, чтобы прямая, соединяющая ее
проекции на катеты, была перпендикулярна гипотенузе.
34. В треугольнике ЛВС проведена биссектриса ЛD. Выразить
вектор AD через векторы ЛВ = с и ЛС — Ь.
35. Пусть [ОЛ), [ОВ), [ОС) — три луча, пересекающие две прямые
■ а и Ъ соответственно в точках Л, В, С и А1 У Въ Сг так, что | Л В |:
I | ВС| = ос, | ОЛ | : | Л Л Х | — р. Найти зависимость между отношениями
| ОВ | ! | ОВх| == х и | ОС J ! | OCL | — у.
36. Противоположные хтороны Л В и DC, ЛD и ВС четырехугольника
ABCD пересекаются соответственно в точках Е и F.

179 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

Доказать, что образовавшиеся отрезки удовлетворяют равенству
А Е С Е „ | A F 1 1 C F |
B E D E | B F D F ‘
37. Для того чтобы точка О принадлежала треугольнику ABC,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство QO =*
= pQA + qQB -f rQCy где Q — произвольная точка плоскости
и Р + q + Г =; 1, р > 0, q > 0, г > 0. Доказать.
38. Прямая, проходящая через центр тяжести треугольника, делит
его стороны на некоторые отрезки. Найти зависимость между
отношением длин отрезков одной стороны и отношением длин
отрезков другой стороны.
39. Даны две точки А и В. Найти множество точек X плоскости,
удовлетворяющие условию QX — mQA + tiQB, где т + п 1 ) и Q — произвольная точка одной из полуплоскостей,
образуемых прямой АВ.
40. Доказать, что если в четырехугольнике продолжения противоположных
сторон попарно пересекаются, то середина отрезка,
соединяющего эти точки пересечения, лежит на одной прямой
с серединами диагоналей.
41. Доказать, что сумма четвертых степеней расстояний данной
точки, расположенной в плоскости некоторой окружности, до
вершин любого вписанного в нее квадрата постоянна.

180 Система геометрических задач, решаемых с применением векторов.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

1. Основные понятия и аксиомы стереометрии

Главная > Документ

§ 2. САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

1. Основные понятия и аксиомы стереометрии

Самостоятельная работа N 1

1. Изобразите прямую a и точки A , B и C , не принадлежащие данной прямой. Сделайте необходимые записи.

2. Изобразите плоскость b, точки E , F , принадлежащие ей, и точку G , ей не принадлежащую. Сделайте необходимые записи.

3. Изобразите прямую a , лежащую в плоскости a. Сделайте необходимую запись.

4. Изобразите две пересекающиеся плоскости a и b. Сделайте необходимую запись.

1. Изобразите две пересекающиеся в точке O прямые a и b и точки A , B , C , причем точка A принадлежит прямой a , B принадлежит прямой b , точка C не принадлежит данным прямым.

2. Изобразите плоскость g, не принадлежащие ей точки K , L и принадлежащую ей точку M . Сделайте необходимые записи.

3. Изобразите прямую b , пересекающую плоскость b в точке O . Сделайте необходимую запись.

4. Изобразите три пересекающиеся по прямой a плоскости a, b и g. Сделайте необходимую запись.

Самостоятельная работа N 2

1. Из следующих предложений укажите аксиомы, определения, теоремы:

1) Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

2) Через две точки пространства проходит единственная прямая.

3) Вертикальные углы равны.

4) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

2. Определите взаимное расположение плоскостей a и b, если в них лежит треугольник ABC . Ответ обоснуйте.

3. Сколько плоскостей может проходить через три точки?

4. Найдите наибольшее число прямых, проходящих через различные пары из четырех точек.

1. Из следующих предложений укажите аксиомы, определения, теоремы:

1) Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

2) Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

3) Для прямых и плоскостей в пространстве выполняются аксиомы планиметрии.

4) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

2. Определите взаимное расположение двух плоскостей b и g, если им принадлежат точки B и C . Ответ обоснуйте.

3. Найдите наибольшее число прямых, проходящих через различные пары из 5 точек.

4. Найдите наибольшее число плоскостей, проходящих через различные тройки из четырех точек.

2. Следствия из аксиом стереометрии

1. В плоскости двух пересекающихся прямых a и b задана точка C , не принадлежащая этим прямым. Прямая c , лежащая в данной плоскости, проходит через точку C . Как может быть расположена прямая c относительно данных прямых?

2. Даны три точки, не принадлежащие одной прямой. Докажите, что все прямые, пересекающие два из трех отрезков, соединяющих данные точки, лежат в одной плоскости.

3. Плоскость задана прямой c и не принадлежащей ей точкой C . Постройте в этой плоскости прямую a , отличную от данной прямой и не проходящую через данную точку.

4. Плоскость задана двумя пересекающимися в точке O прямыми a и b . Нарисуйте прямую c , которая пересекает данные прямые и не лежит в данной плоскости.

1. Прямая d , лежащая в плоскости треугольника ABC , пересекает его сторону AB . Каким может быть взаимное расположение прямых d и BC ?

2. В плоскости a проведены две параллельные прямые a и b . Докажите, что все прямые, пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости.

3. Плоскость задана двумя пересекающимися в точке O прямыми m и n . Постройте в этой плоскости прямую k , отличную от данных прямых и не проходящую через точку O .

4. Плоскость задана тремя точками D , E , F , не принадлежащими одной прямой. Нарисуйте прямую a , которая пересекает стороны DE и DF треугольника DEF и не лежит в данной плоскости.

3. Пространственные фигуры

1. Нарисуйте пятиугольную призму и разделите ее на тетраэдры.

2. Определите число вершин, ребер и граней: а) куба; б) 7-угольной призмы; в) n -угольной пирамиды.

3. Определите вид призмы, если она имеет: а) 10 вершин; б) 21 ребро; в) 5 граней.

4. Каким образом можно окрасить грани 4-угольной призмы, чтобы соседние (имеющие общее ребро) грани были окрашены в разные цвета? Какое наименьшее число цветов потребуется?

1. Нарисуйте пятиугольную пирамиду и разделите ее на тетраэдры.

2. Определите число вершин, ребер и граней: а) прямоугольного параллелепипеда; б) 6-угольнойной пирамиды; в) n -угольной призмы.

3. Определите вид пирамиды, если она имеет: а) 5 вершин; б) 14 ребер; в) 9 граней.

4. Каким образом можно окрасить грани октаэдра, чтобы соседние (имеющие общее ребро) грани были окрашены в разные цвета. Какое наименьшее число цветов потребуется?

4. Моделирование многогранников

1. Нарисуйте несколько разверток куба.

2. Нарисуйте фигуру, состоящую из четырех равных равносторонних треугольников, не являющуюся разверткой правильного тетраэдра.

3. Нарисуйте развертку правильной четырехугольной пирамиды и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять?

4. Нарисуйте развертку прямоугольного параллелепипеда и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять?

1. Нарисуйте несколько разверток правильного тетраэдра.

2. Нарисуйте фигуру, состоящую из шести квадратов, не являющуюся разверткой куба.

3. Нарисуйте развертку куба и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять?

4. Нарисуйте развертку правильной 6-угольной пирамиды и раскрасьте ее таким образом, чтобы при склеивании соседние грани имели разные цвета. Какое наименьшее число цветов нужно взять?

5. Параллельность прямых в пространстве

1. Запишите в правильной 4-угольнойой пирамиде SABCD все пары параллельных ребер.

2. В плоскости двух параллельных прямых a и b дана точка C , не принадлежащая этим прямым. Через точку C проведена прямая c . Как может быть расположена прямая c относительно прямых a и b .

3. Через точку, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, параллельную данной.

4. Найдите геометрическое место прямых, пересекающих две данные параллельные прямые.

1. Запишите четыре пары параллельных ребер куба A … D 1 .

2. Даны три прямые a , b и с . Как могут располагаться эти прямые, чтобы можно было провести плоскость, содержащую все данные прямые.

3. Даны две параллельные прямые a и b . Докажите, что любая плоскость, пересекающая одну из них, пересечет и другую.

4. Найдите геометрическое место прямых, параллельных данной прямой и пересекающих другую прямую, пересекающуюся с первой.

6. Скрещивающиеся прямые

1. В кубе A … D 1 запишите ребра, скрещивающиеся с ребром AB .

2. Запишите пары скрещивающихся ребер 4-угольной пирамиды SABCD .

3. Как расположены относительно друг друга прямые a и b на рисунке 1? Ответ обоснуйте.

4. Даны две скрещивающиеся прямые a и b и не принадлежащая им точка C . Постройте прямую c , проходящую через точку C и пересекающую прямые a и b .

1. Запишите ребра, скрещивающиеся с ребром SA правильной 4-угольной пирамиды SABCD .

2. Запишите ребра, скрещивающиеся с диагональю B 1 D куба A…D 1 .

3. Плоскости a и b пересекаются по прямой c (рис. 1). Прямая a лежит в плоскости a и пересекает прямую c . Можно ли в плоскости b провести прямую, параллельную прямой a ? Ответ обоснуйте.

4. Существуют ли две параллельные прямые, каждая из которых пересекает две данные скрещивающиеся прямые? Ответ обоснуйте.

7. Параллельность прямой и плоскости

1. Запишите ребра, параллельные плоскости грани CC 1 D 1 D правильной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 .

2. Прямая a параллельна плоскости a; прямая b пересекает плоскость a в точке B ; прямая c , пересекающая прямые a и b соответственно в точках E и F , пересекает плоскость a в точке C . Сделайте рисунок. Как могут располагаться относительно друг друга прямые a и b ?

3. Плоскости a и b пересекаются по прямой c . Точка A принадлежит плоскости a, точка B – плоскости b. Постройте: а) прямую a , лежащую в плоскости a, проходящую через точку A и параллельную плоскости b; б) прямую b , лежащую в плоскости b, проходящую через точку B и параллельную плоскости a. Как будут располагаться относительно друг друга прямые a и b ?

4. Точки A и B принадлежат смежным боковым граням пирамиды. Проведите в этих гранях через данные точки два отрезка, параллельные между собой.

1. Запишите плоскости граней, параллельных ребру CC 1 параллелепипеда A … D 1 .

2. Прямая a параллельна плоскости a; прямые b и c , пересекающие прямую a соответственно в точках B и C , пересекают плоскость a соответственно в точках D и E . Сделайте рисунок. Как могут располагаться относительно друг друга прямые a и b ?

3. Плоскости a и b пересекаются по прямой c . Прямая a лежит в плоскости a. Докажите, что если: а) a пересекает плоскость b в точке A , то A принадлежит прямой c ; б) a параллельна плоскости b, то она параллельна прямой c .

4. Точки A и B принадлежат смежным боковым граням призмы. Проведите в этих гранях через данные точки два отрезка, параллельные между собой.

8. Параллельность двух плоскостей

1. Запишите параллельные плоскости параллелепипеда A … D 1 .

2. Верны ли утверждения:

1) Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

2) Если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3) Существует бесконечно много прямых, параллельных данной плоскости и проходящих через точку, не принадлежащую этой плоскости.

4) Если одна из двух данных плоскостей параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

3. Докажите, что две плоскости, параллельные одной и той же третьей плоскости, параллельны между собой.

4. Отрезки AB и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях a и b (рис. 2). Как могут располагаться относительно друг друга прямые AC и BD ? Могут ли они быть параллельными?

1. В треугольной пирамиде SABC проведите плоскость, параллельную ее основанию ABC .

2. Верны ли утверждения:

1) Если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна прямой, лежащей в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

2) Если плоскость пересекает две данные плоскости по параллельным прямым, то эти плоскости параллельны.

3) Существует бесконечно много плоскостей, параллельных данной прямой и проходящих через точку, не принадлежащую этой прямой.

4) Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны.

3. Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

4. Отрезки AB и CD лежат соответственно в параллельных плоскостях a и b (рис. 3). Как могут располагаться относительно друг друга прямые AD и BC ? Могут ли они пересекаться?

9. Векторы в пространстве

1. Для данного вектора постройте векторы: а) — ; б) 2 ; в) — .

2. Сколько векторов задают всевозможные пары точек, составленные из вершин правильной четырехугольной пирамиды?

3. Изобразите правильный тетраэдр ABCD и нарисуйте вектор: а) ; б) ; в) .

4. Дан параллелепипед A … D 1 . Найдите сумму векторов: а) ; б) ; в) .

1. Для данного вектора постройте векторы: а) 3 ; б) -2 ; в) .

2. Сколько векторов задают всевозможные пары точек, составленные из вершин треугольной призмы?

3. Изобразите правильный тетраэдр ABCD и нарисуйте вектор: а) ; б) ; в) .

4. Дан параллелепипед A … D 1 . Найдите сумму векторов: а) ; б) ; в) .

10. Коллинеарные и компланарные векторы

1. На какое число нужно умножить ненулевой вектор , чтобы получить вектор , одинаково направленный с и | |=1.

2. Даны два противоположно направленных вектора и , причем | | > | |. Найдите направление и длину вектора + .

3. Дан тетраэдр ABCD . Запишите три пары его вершин, задающие компланарные векторы.

4. Дан куб A … D 1 . Запишите тройки некомпланарных векторов с началами и концами в его вершинах.

1. На какое число нужно умножить ненулевой вектор , чтобы получить вектор , противоположно направленный с и | |=2.

2. Даны два противоположно направленных вектора и , причем | | |. Найдите направление и длину вектора + .

3. Дан тетраэдр ABCD . Запишите три пары его вершин, задающие некомпланарные векторы.

4. Дан куб A … D 1 . Запишите тройки компланарных векторов с началами и концами в его вершинах.

11. Параллельный перенос

1. Постройте фигуру, которая получается параллельным переносом прямой a на вектор , если: а) E принадлежит a , F не принадлежит a ; б) точки E и F не принадлежат a .

2. Задайте параллельный перенос, который середину отрезка GH переводит в некоторую точку M .

3. Постройте фигуру, которая получается из квадрата ABCD параллельным переносом на вектор: а) ; б) .

4. Постройте фигуру, которая получается из тетраэдра ABCD параллельным переносом на вектор .

1. Постройте фигуру, которая получается параллельным переносом окружности с центром в точке O на вектор , если: а) точка K принадлежит окружности; б) точка K не принадлежит окружности.

2. Задайте параллельный перенос, который точку пересечения O двух прямых a и b переводит в некоторую точку N .

3. Постройте фигуру, которая получается из правильного треугольника ABC параллельным переносом на вектор: а) ; б) , где точка M – середина стороны BC .

4. Постройте фигуру, которая получается из тетраэдра ABCD параллельным переносом на вектор .

12. Параллельное проектирование

1. Сколько точек получится при параллельном проектировании двух различных точек пространства? Сделайте соответствующие рисунки и обоснование.

2. Перечислите свойства прямоугольника, которые сохраняются при параллельном проектировании.

3. Как должны быть расположены две прямые, чтобы они проектировались на плоскость в прямую и точку, не принадлежащую этой прямой?

4. Параллельные прямые a и b пересекают параллельные плоскости a и b в четырех точках. Три из них A , B и C изображены на рисунке 4. Изобразите четвертую точку D . Ответ обоснуйте.

1. Сколько точек получится при проектировании трех различных точек пространства? Сделайте соответствующие рисунки и обоснование.

2. Перечислите свойства ромба, которые сохраняются при параллельном проектировании.

3. Как должны быть расположены прямая и точка, чтобы они проектировались на плоскость в прямую и точку, принадлежащую этой прямой?

4. Пересекающиеся прямые a и b пересекают параллельные плоскости a и b в четырех точках. Три из них A , B и C изображены на рисунке 5. Изобразите четвертую точку D . Ответ обоснуйте.

13. Параллельные проекции плоских фигур

1. Изобразите параллельную проекцию прямоугольного равнобедренного треугольника, лежащего в плоскости, параллельной плоскости проектирования.

2. Изобразите параллельную проекцию равностороннего треугольника ABC и на ней постройте изображения перпендикуляров, опущенных из точки M – середины стороны AB на стороны AC и BC .

3. Изобразите параллельную проекцию правильного шестиугольника ABCDEF , взяв за исходную фигуру прямоугольник ABDE .

4. Изобразите параллельную проекцию равностороннего треугольника ABC и постройте на ней изображение перпендикуляра, опущенного из точки K – середины отрезка BO ( O – центр треугольника) на сторону AB .

1. Изобразите параллельную проекцию равностороннего треугольника, лежащего в плоскости, параллельной плоскости проектирования.

2. Изобразите параллельную проекцию квадрата ABCD и на ней постройте изображение перпендикуляров, опущенных из точки E – середины стороны BC на прямые BD и AC .

3. Изобразите параллельную проекцию правильного шестиугольника ABCDEF , взяв за исходную фигуру равносторонний треугольник ACE .

4. Изобразите параллельную проекцию прямоугольника ABCD , у которого AD = 2 AB . Постройте изображение перпендикуляра, опущенного из вершины C на диагональ BD .

14. Изображение пространственных фигур

1. Изобразите правильную четырехугольную пирамиду и ее высоту.

2. Изобразите куб, две грани которого параллельны плоскости проектирования.

3. На рисунке 6 изображена параллельная проекция куба A … D 1 . Как расположен куб относительно плоскости проектирования?

4. Дан тетраэдр ABCD . Площадь его грани ADC равна S . Найдите площадь проекции его грани BDC на плоскость ADC в направлении прямой AB .

1. Изобразите правильную треугольную пирамиду и ее высоту.

2. Изобразите куб, грани которого не параллельны плоскости проектирования.

3. На рисунке 7 изображена параллельная проекция куба A … D 1 . Как расположен куб относительно плоскости проектирования?

4. Дан тетраэдр ABCD . Площадь его грани ABD равна Q . Найдите площадь проекции его грани BDC на плоскость ADB в направлении прямой CM , где M – середина ребра AB .

15. Сечения многогранников

1. В шестиугольной призме A … F 1 (рис. 8) постройте точку пересечения прямой PQ с плоскостью ABC , где точки Q и P принадлежат соответственно боковым ребрам призмы BB ­ 1 и DD 1 .

2. На боковых ребрах четырехугольной призмы A … D 1 заданы три точки K , L , M (рис. 9). Постройте линию пересечения плоскости KLM с плоскостью ABC .

3. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки X , Y , Z , принадлежащие соответственно ребрам AD , AA 1 , BB 1 и такие, что AX : XD = 1:2, A 1 Y : YA = 2:1, B 1 Z : ZB = 1:2.

4. В правильной пирамиде SABCD постройте сечение, проходящее через сторону основания AD и точку M , принадлежащую боковому ребру SB .

1. На боковых ребрах BB 1 и EE 1 призмы ABCDEA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 заданы соответственно точки F и G (рис. 10). Постройте точку пересечения прямой FG с плоскостью ABC .

2. Дан куб A … D 1 . На его ребрах AA 1 , CC 1 и DD 1 заданы соответственно три точки X , Y , Z (рис. 11). Постройте линию пересечения плоскостей XYZ и ABC .

3. В правильной треугольной призме A … C 1 постройте сечение, проходящее через точки K , L и M , принадлежащие соответственно ребрам AA 1 , AC и BB 1 и такие, что: AK = KA 1 ; AL : LC = 1:2 и BM = MB 1 .

4. В правильной пирамиде SABCD постройте сечение, проходящее через диагональ AC основания и параллельное боковому ребру SD .

16. Угол между прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых

1. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми: а) AB и BB 1 ; б) BD и ВВ 1 ; в) AB 1 и CC 1 ; г) AB 1 и CD 1 .

2. В правильной треугольной призме A … C 1 отрезок CD перпендикулярен ребру AB . Найдите угол между прямыми: а) CD и AA 1 ; б) CD и A 1 B 1 .

3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с равными ребрами найдите угол между диагональю AC основания и боковым ребром SC .

4. Найдите угол между скрещивающимися ребрами правильного тетраэдра.

1. В кубе A … D 1 найдите угол между прямыми: а) BC и BB 1 ; б) A 1 C 1 и AD ; в) BB 1 и BD ; г) A 1 D и BC 1 .

2. В правильной треугольной призме A … C 1 AM – медиана основания ABC . Найдите угол между прямыми: а) AM и C 1 B 1 ; б) AM и A 1 C 1 .

3. В правильном тетраэдре ABCD точка M – середина ребра CB . Найдите угол между прямыми AM и DC .

4. Найдите угол между непересекающимися ребрами правильной треугольной пирамиды.

17. Перпендикулярность прямой и плоскости

1. Докажите, что прямая, перпендикулярная плоскости, пересекает эту плоскость.

2. Через центр O квадрата ABCD проведена прямая OK , перпендикулярная плоскости этого квадрата. Докажите, что прямая AK перпендикулярна прямой BD .

3. Найдите геометрическое место точек, принадлежащих прямым, проходящим через данную точку и перпендикулярным данной прямой.

4. Точка M принадлежит боковой грани ABD треугольной пирамиды ABCD , у которой AB = BD и AC = CD . Постройте сечение этой пирамиды плоскостью, проходящей через точку M и перпендикулярной прямой AD .

1. Прямая a , перпендикулярная плоскости a, пересекает эту плоскость в точке A . Докажите, что прямая b , проходящая через точку A и перпендикулярная прямой a , лежит в плоскости a.

2. Через точку M – середину стороны AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая MH , перпендикулярная плоскости этого треугольника. Докажите перпендикулярность прямых AB и HC .

3. Даны прямая a и не принадлежащая ей точка A . Найдите геометрическое место прямых, проходящих через точку A и перпендикулярных прямой a .

4. В прямоугольном параллелепипеде A … D 1 постройте сечение, проходящее через точку K , внутреннюю точку диагонального сечения AA 1 C 1 C , и перпендикулярное прямой BB 1 .

18. Перпендикуляр и наклонная

1. Дана плоскость a. Из точки A проведены к ней две наклонные AB = 20 см и AC = 15 см. Проекция первой наклонной на эту плоскость равна 16 см. Найдите проекцию второй наклонной.

2. Из точки M , не принадлежащей плоскости g, проведены к ней равные наклонные MA , MB и MC . Докажите, что основания наклонных принадлежат одной окружности. Найдите ее центр.

3. Из точки B проведены к плоскости b две равные по 2 см наклонные. Угол между ними равен 60 0 , а между их проекциями – 90 0 . Найдите перпендикуляр, опущенный из точки B на плоскость b.

4. Дан треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Точка M , не принадлежащая плоскости этого треугольника, удалена от сторон треугольника на 5 см. Найдите перпендикуляр, опущенный из точки M на плоскость данного треугольника.

1. Из точки A проведены к плоскости a наклонная AB = 9 см и перпендикуляр AO = 6 см. Найдите проекцию этого перпендикуляра на данную наклонную.

2. Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от всех точек данной окружности.

3. Из данной точки проведены к данной плоскости две равные наклонные, образующие между собой угол 60 0 . Угол между их проекциями – прямой. Найдите угол между каждой наклонной и ее проекцией.

4. Точка M удалена от каждой вершины правильного треугольника на см, а от каждой его стороны – на 2 см. Найдите перпендикуляр, опущенный из точки M на плоскость треугольника.

19. Угол между прямой и плоскостью

1. В пирамиде боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания. В какую точку проектируется вершина пирамиды?

2. В кубе A … D 1 найдите косинус угла между ребром AA 1 и плоскостью AB 1 D 1 .

3. К плоскости a проведена наклонная MH ( H принадлежит плоскости a). Докажите, что если проекция наклонной MH образует равные углы с прямыми AH и BH , лежащими в плоскости a, то и сама наклонная MH образует с ними равные углы.

4. Проведите к данной плоскости через данную на ней точку прямую, образующую с плоскостью угол 90 0 .

1. Докажите, что в правильной пирамиде боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания.

2. В кубе A … D 1 найдите косинус угла между ребром A 1 D 1 и плоскостью AB 1 D 1 .

3. К плоскости b проведена наклонная BP ( P принадлежит плоскости b), которая образует равные углы с прямыми PE и PF , лежащими в плоскости b. Докажите, что углы, образованные прямыми PE и PF с проекцией наклонной BP на плоскость b, равны.

4. Через точку, не принадлежащую данной плоскости, проведите прямую, образующую с плоскостью угол 90 0 .

20. Расстояние между точками, прямыми и плоскостями

1. В прямоугольном треугольнике ABC ( C = 90 0 ) катет AC равен 8 см. Из вершины B к плоскости данного треугольника проведен перпендикуляр BD . Расстояние между точками A и D равно 10 см. Найдите расстояние от точки D до катета AC .

2. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между вершиной A и: а) вершиной C 1 ; б) ребром CC 1 ; в) гранью BB 1 C 1 C .

3. Точка M удалена от всех вершин прямоугольного треугольника на расстояние a . Гипотенуза треугольника равна c . Найдите расстояние от точки M до плоскости данного треугольника.

4. В кубе A … D 1 с ребром a найдите расстояние между скрещивающимися ребрами AB и B 1 C 1 .

1. Катеты прямоугольного треугольника ABC ( C = 90 0 ) равны 15 см и 20 см. Из вершины C к плоскости треугольника проведен перпендикуляр CD , равный 5 см. Найдите расстояние от точки D до гипотенузы AB .

2. В единичном кубе A … D 1 найдите расстояние между вершиной D 1 и: а) вершиной B ; б) ребром AB ; в) гранью BB 1 C 1 C .

3. Из точки K на плоскость b опущен перпендикуляр длиной d и проведены две наклонные, углы которых с перпендикуляром составляют 30 0 . Угол между наклонными равен 60 0 . Найдите расстояние между основаниями наклонных.

4. В кубе A … D 1 с ребром a найдите расстояние между скрещивающимися ребрами DC и BB 1 .

21. Двугранный угол

1. Наклонная, проведенная к плоскости, равна a . Найдите ортогональную проекцию этой наклонной на плоскость, если угол между наклонной и плоскостью равен 30 0 .

2. На одной грани двугранного угла взяты две точки A и B . Из них опущены перпендикуляры AA 1 , BB 1 на другую грань и AA 2 , BB 2 на ребро двугранного угла. Найдите BB 2 , если AA 1 = 6 см, BB 1 = 3 см, AA 2 = 24 см.

3. Два равных прямоугольника имеют общую сторону и их плоскости образуют угол 45 0 . Найдите отношение площадей двух фигур, на которые ортогональная проекция стороны одного прямоугольника разбивает другой.

4. Докажите, что перпендикуляры, проведенные из точек данной прямой на плоскость, лежат в одной плоскости и геометрическим местом оснований этих перпендикуляров является линия пересечения этих плоскостей.

1. Наклонная, проведенная к плоскости, равна a . Найдите ортогональную проекцию этой наклонной на плоскость, если угол между наклонной и плоскостью равен 60 0 .

2. На одной грани двугранного угла взяты две точки, отстоящие от его ребра на 9 см и 12 см. Расстояние от первой точки до другой грани двугранного угла равно 20 см. Найдите расстояние от этой грани до второй точки.

3. Два равнобедренных треугольника имеют общее основание, а их плоскости образуют угол 60 0 . Общее основание равно 16 см, боковая сторона одного треугольника равна 17 см, а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите расстояние между вершинами треугольников, лежащими против общего основания.

4. Докажите, что точка пересечения ортогональных проекций двух прямых на плоскость является ортогональной проекцией точки пересечения данных прямых на ту же плоскость.

22. Перпендикулярность плоскостей

1. Дан куб A … D 1 . Докажите перпендикулярность плоскостей: а) ABD и DCC 1 ; б) AB 1 C 1 и ABB 1 .

2. Через данную прямую, лежащую в данной плоскости, проведите плоскость, перпендикулярную этой плоскости.

3. Две перпендикулярные плоскости a и b пересекаются по прямой AB . Прямая CD лежит в плоскости a, параллельна AB и находится на расстоянии 60 см от нее. Точка E принадлежит плоскости b и находится на расстоянии 91 см от AB . Найдите расстояние от точки E до прямой CD .

4. Докажите, что прямая a и плоскость a, перпендикулярные одной и той же плоскости b, параллельны, если прямая a не лежит в плоскости a.

1. Дан куб A … D 1 . Докажите перпендикулярность плоскостей: а) AA 1 D 1 и D 1 B 1 C 1 ; б) A 1 B 1 D и BB 1 C 1 .

2. Через наклонную к плоскости проведите плоскость, перпендикулярную этой плоскости.

3. Отрезок MN имеет концы на двух перпендикулярных плоскостях и составляет с ними равные углы. Докажите, что точки M и N одинаково удалены от линии пересечения данных плоскостей.

4. Докажите, что две плоскости a и b параллельны, если они перпендикулярны плоскости g и пересекают ее по параллельным прямым.

23*. Центральное проектирование

Самостоятельная работа N 1

1. Куда при центральном проектировании переходит прямая, параллельная плоскости проектирования?

2. Плоская фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования, и находится между центром и плоскостью проектирования. Как при этом определяется коэффициент подобия фигуры и ее проекции?

3. Радиус основания конуса равен R . Через середину высоты проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите площадь сечения.

4. В треугольной пирамиде ABCD (рис. 12) через точки M и N , принадлежащие соответственно граням ABD и BCD , проведите сечение, параллельное ребру AC .

1. В каком случае центральной проекцией двух прямых будут две параллельные прямые?

2. Плоская фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования. Плоскость проектирования расположена между центром проектирования и плоскостью данной фигуры. Как при этом определяется коэффициент подобия фигуры и ее проекции?

3. Радиус основания конуса равен R . Он пересечен плоскостью, параллельной основанию и делящей высоту конуса в отношении m : n , считая от вершины. Найдите площадь сечения.

4. В треугольной пирамиде ABCD (рис. 13) через точку M , принадлежащую высоте пирамиды DO , проведите сечение, параллельное грани BCD .

Самостоятельная работа N 2

1. Прямая m пересекает плоскость проектирования p и не проходит через центр проектирования S . Изобразите центральную проекцию части данной прямой, расположенной в одном полупространстве с точкой S относительно плоскости p.

2. Изобразите центральную проекцию куба A … D 1 на плоскость, параллельную плоскости AA 1 C 1 .

3. Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы на плоскость, параллельную ее основаниям.

4. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD , у которой двугранный угол при основании равен 60 0 . Найдите расстояние между прямыми AB и SC , если AB = 1.

1. Прямая m пересекает плоскость проектирования p и не проходит через центр проектирования S . Изобразите центральную проекцию части данной прямой, расположенной в разных полупространствах с точкой S относительно плоскости p.

2. Изобразите центральную проекцию куба A … D 1 на плоскость, параллельную плоскости AB 1 C 1 .

3. Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы на плоскость, не параллельную ее основаниям.

4. Дана правильная треугольная призма A … C 1 , все ребра которой равны 1. Найдите расстояние между прямыми AA 1 и BC 1 .

24. Многогранные углы

1. Запишите, при каких условиях углы a, b и g могут быть плоскими углами трехгранного угла.

2. В трехгранном угле все плоские углы прямые. На его ребрах от вершины отложены отрезки 2 см, 4 см, 6 см и через их концы проведена плоскость. Найдите площадь получившегося сечения.

3. По скольким прямым попарно пересекаются плоскости всех граней четырехгранного угла?

1. Два плоских угла трехгранного угла равны a и b, причем a > b. Запишите, в каких границах возможны значения третьего плоского угла g данного трехгранного угла.

2. В трехгранном угле все двугранные углы – прямые. Из вершины этого угла в его внутренней области проведен отрезок, проекции которого на ребра равны a , b и c . Найдите данный отрезок.

3. По скольким прямым попарно пересекаются плоскости всех граней пятигранного угла?

25*. Выпуклые многогранники

1. Определите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) n -угольной призмы: а) выпуклой; б) невыпуклой.

2. Нарисуйте выпуклый многогранник с 5 вершинами.

3. В выпуклом многограннике известно число граней Г, причем каждая грань имеет одно и то же число сторон n . Найдите число: а) плоских углов ( ); б) ребер (Р) данного многогранника. Как связаны между собой числа и Р?

4. Выпуклый многогранник имеет В вершин, Р ребер и Г граней. От него отсекли m -гранный угол. Найдите число вершин, ребер и граней полученного многогранника.

1. Определите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) n -угольной пирамиды: а) выпуклой; б) невыпуклой.

2. Нарисуйте выпуклый многогранник с 6 вершинами.

3. В выпуклом многограннике известно число вершин В, причем в каждой вершине сходится одно и то же число ребер m . Найдите число: а) плоских углов ( ); б) ребер данного многогранника (Р). Как связаны между собой числа и Р?

4. Выпуклый многогранник имеет В вершин, Р ребер и Г граней. К его n -угольной грани пристроили пирамиду. Найдите число вершин, ребер и граней нового многогранника.

26*. Теорема Эйлера

1. Нарисуйте невыпуклый многогранник, для которого выполняется теорема Эйлера.

2. Докажите, что для всякого выпуклого многогранника справедливо соотношение Р.

4. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды с высотой h и боковым ребром b .

1. Нарисуйте невыпуклый многогранник, для которого не выполняется теорема Эйлера.

2. Докажите, что для всякого выпуклого многогранника справедливо соотношение Р.

4. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды со стороной основания a и высотой боковой грани h .

27. Правильные многогранники

1. Нарисуйте: а) развертку тетраэдра; б) многогранник, двойственный гексаэдру.

2. Постройте сечение октаэдра плоскостью, проходящей через одну из его вершин и середины двух параллельных ребер, которым не принадлежит данная вершина. Определите вид сечения.

3. В тетраэдр ABCD вписана правильная треугольная призма с равными ребрами таким образом, что вершины одного ее основания находятся на боковых ребрах AD , BD , CD , а другого – в плоскости ABC . Ребро тетраэдра равно a . Найдите ребро призмы.

4. В тетраэдре ABCD проведите сечение плоскостью, проходящей через точку M – середину высоты DO тетраэдра, параллельно плоскости грани ADC . Определите вид сечения.

1. Нарисуйте: а) развертку куба; б) многогранник, двойственный тетраэдру.

2. Постройте сечение октаэдра плоскостью, проходящей через два его параллельных ребра. Определите вид сечения.

3. В октаэдр вписан куб таким образом, что его вершины находятся на ребрах октаэдра. Ребро октаэдра равно a . Найдите ребро куба.

4. В тетраэдре ABCD проведите сечение плоскостью, проходящей через точку M , принадлежащую грани ABC параллельно плоскости грани BCD . Определите вид сечения.

28*. Полуправильные многогранники

1. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) усеченного гексаэдра.

2. Как можно получить 5-угольную антипризму?

3. Нарисуйте многогранник, двойственный правильной 6-угольной призме.

4. Правильный треугольник ABC и другой треугольник ADC имеют общую сторону AC и расположены в разных плоскостях, угол между которыми равен 30 0 . Вершина D ортогонально проектируется на плоскость треугольника ABC в его центр. Высота правильного треугольника равна h . Найдите сторону AD треугольника ADC .

1. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) усеченного октаэдра.

2. Как можно получить 8-угольную антипризму?

3. Нарисуйте многогранник, двойственный 6-угольной антипризме.

4. Квадрат ABCD и треугольник ABE имеют общую сторону AB и расположены в разных плоскостях, угол между которыми равен 45 0 . Вершина E треугольника ортогонально проектируется на плоскость квадрата в его центр O . Высота EH треугольника равна h . Найдите площадь ортогональной проекции треугольника на плоскость квадрата и ортогональную проекцию отрезка OE на плоскость треугольника.

29*. Звездчатые многогранники

1. Как получить звезду Кеплера из октаэдра?

2. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) малого звездчатого додекаэдра.

3. Каким образом из куба получается усеченный куб? Чему равно его ребро, если ребро куба равно a ?

4. Докажите, что если плоскость пересекает треугольную пирамиду и параллельна двум ее скрещивающимся ребрам, то в сечении будет параллелограмм.

1. Как получить звезду Кеплера из гексаэдра?

2. Найдите число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) большого додекаэдра.

3. Каким образом из куба получается кубооктаэдр? Чему равно его ребро, если ребро куба равно a ?

4. Докажите, что правильный тетраэдр можно пересечь плоскостью таким образом, чтобы в сечении получился квадрат.

30*. Кристаллы – природные многогранники

1. Нарисуйте кристалл горного хрусталя.

2. Нарисуйте ромбододекаэдр. Чему равно число его вершин, ребер и граней.

3. Найдите сумму всех плоских углов кристалла исландского шпата.

4. Найдите сумму площадей всех граней кристалла алмаза (в виде кубооктаэдра), если его ребро равно a .

1. Нарисуйте кристалл исландского шпата.

2. Нарисуйте ромбододекаэдр. Определите число его плоских углов, двугранных углов; многогранных углов и их тип.

3. Найдите сумму всех плоских углов кристалла граната.

4. Найдите сумму площадей всех граней кристалла алмаза (в виде усеченного октаэдра), если его ребро равно a .

31. Сфера и шар. Взаимное расположение сферы и плоскости

1. Шар, радиус которого равен 10 см, пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 см от центра. Найдите площадь сечения.

2. Сечения шара радиуса R двумя параллельными плоскостями имеют радиусы r 1 и r 2 . Найдите расстояние между этими плоскостями, если они расположены по разные стороны от центра.

3. Стороны треугольника касаются сферы. Найдите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если радиус сферы равен 5 см, а стороны треугольника равны 12 см, 10 см, 10 см.

4. Каждая сторона ромба касается сферы радиуса 10 см. Плоскость ромба удалена от центра сферы на 8 см. Найдите площадь ромба, если его сторона равна 12,5 см.

1. Через середину радиуса шара проведена перпендикулярно к нему плоскость. Как относится площадь большого круга данного шара к площади получившегося сечения?

2. Сечения шара радиуса R двумя параллельными плоскостями имеют радиусы r 1 и r 2 . Найдите расстояние между этими плоскостями, если они расположены по одну сторону от центра.

3. Стороны ромба касаются сферы радиуса 13 см. Найдите расстояние от плоскости ромба до центра сферы, если диагонали ромба равны 30 см и 40 см.

4. Через конец радиуса шара проведена плоскость, составляющая с ним 30 0 . Найдите площадь сечения шара этой плоскостью, если радиус шара равен 6 см.

32. Многогранники, вписанные в сферу

1. Перечислите свойства, которым должна удовлетворять призма, чтобы около нее можно было описать сферу.

2. На рисунке 14 изображена треугольная пирамида ABCD , у которой ребро DB перпендикулярно плоскости ABC и угол ACB равен 90 0 . Найдите центр сферы, описанной около данной пирамиды.

3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания ABCD равна 4 см, двугранный угол при основании 45 0 . Найдите радиус описанной сферы. Где будет находиться ее центр?

4. Радиус сферы, описанной около правильной четырехугольной призмы, равен R . Найдите высоту этой призмы, зная, что ее диагональ образует с боковой гранью угол a.

1. Перечислите свойства, которым должна удовлетворять пирамида, чтобы около нее можно было описать сферу.

2. На рисунке 15 изображена пирамида ABCD , у которой углы ADB , ADC и BDC прямые. Найдите центр сферы, описанной около данной пирамиды.

3. В правильной треугольной пирамиде SABC центр описанной сферы делит высоту на части, равные 6 см и 3 см. Найдите сторону основания ABC пирамиды.

4. В правильной 4-угольной призме диагональ основания и диагональ боковой грани равны соответственно 16 см и 14 см. Найдите радиус описанной сферы.

33. Многогранники, описанные около сферы

1. Можно ли вписать сферу в пирамиду, у которой равны двугранные углы при основании? Ответ поясните.

2. Около сферы описана прямая призма, основанием которой является ромб с диагоналями 6 см и 8 см. Найдите площадь основания и высоту призмы.

3. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна a , двугранный угол при основании равен 60 0 . Найдите радиус вписанного шара.

4. Стороны оснований правильной 4-угольной усеченной пирамиды равны 1 см и 7 см. Боковое ребро наклонено к основанию под углом 45 0 . Найдите радиус описанного шара.

1. Каким свойством должна обладать прямая треугольная призма, чтобы в нее можно было вписать сферу?

2. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник, каждый из равных углов которого равен a и основание которого равно a . Боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом b. Найдите радиус сферы, вписанной в эту пирамиду.

3. Найдите радиус шара, вписанного в правильную пирамиду, у которой высота равна h , а двугранный угол при основании равен 45 0 .

4. В правильной треугольной усеченной пирамиде высота равна 17 см, радиусы окружностей, описанных около оснований, равны 5 см и 12 см. Найдите радиус описанного шара.

34. Цилиндр. Конус

1. В цилиндре, радиус основания которого равен 4 см и высота 6 см, проведено сечение, параллельное оси. Расстояние между диагональю сечения и осью цилиндра равно 2 см. Найдите площадь сечения.

2. Через вершину конуса проведено сечение под углом 60 0 к его основанию. Найдите расстояние от центра основания конуса до плоскости сечения, если высота конуса равна 12 см.

3. Точка M принадлежит высоте конуса. Точка N принадлежит плоскости основания конуса, но находится вне этого основания. Постройте точку пересечения прямой MN с поверхностью конуса.

4. Диагонали осевого сечения усеченного конуса перпендикулярны, высота равна 2 см. Найдите площадь сечения усеченного конуса, проведенного через середину высоты параллельно основаниям.

1. Высота цилиндра равна 15 см, радиус основания 10 см. Дан отрезок, концы которого принадлежат окружностям обоих оснований и длина которого равна 3 см. Найдите расстояние между данным отрезком и осью цилиндра.

2. Через вершину конуса проведено сечение под углом 30 0 к его высоте. Найдите площадь сечения, если высота конуса равна 3 см, а радиус основания 5 см.

3. В конусе задано осевое сечение. Точки K и L принадлежат двум образующим конуса, не лежащим в данном сечении. Постройте точку пересечения прямой KL с плоскостью данного осевого сечения.

4. Радиусы оснований усеченного конуса относятся как 1:3, образующая составляет с плоскостью основания угол 45 0 , высота равна h . Найдите площади оснований.

35. Поворот. Фигуры вращения

1. Нарисуйте фигуру, которая получается при вращении квадрата ABCD вокруг прямой a , проходящей через вершину B и перпендикулярной диагонали BD .

2. Нарисуйте фигуру, которая получается вращением круга вокруг касательной.

3. Кривая задана уравнением y = sin x , 0 x p. Нарисуйте фигуру, которая получится при вращении этой кривой вокруг оси Oy .

4. Плоскость проходит через ось цилиндра, причем площадь осевого сечения цилиндра относится к площади его основания как 4: p. Найдите угол между диагоналями осевого сечения.

1. Нарисуйте фигуру, которая получается при вращении ромба ABCD вокруг прямой a , проходящей через вершину C и перпендикулярной диагонали AC .

2. Нарисуйте фигуру, которая получается вращением круга вокруг хорды, не являющейся диаметром.

3. Кривая задана уравнением y = , 0 x 4. Нарисуйте фигуру, которая получится при вращении этой кривой вокруг оси Ox .

4. Высота конуса равна 20 см, угол между нею и образующей 60 0 . Найдите площадь сечения, проведенного через две взаимно перпендикулярные образующие конуса.

36. Вписанные и описанные цилиндры

1. В сферу радиуса 10 см вписан цилиндр, диагональ осевого сечения которого наклонена к плоскости основания под углом 30 0 . Найдите высоту цилиндра и радиус его основания.

2. Найдите радиус основания цилиндра, описанного около сферы радиуса R .

3. В равносторонний цилиндр (высота равна диаметру основания), радиус основания которого равен r , вписана правильная треугольная призма. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через ось цилиндра и боковое ребро призмы.

4. Около равностороннего цилиндра, радиус основания которого равен r , описана правильная четырехугольная призма. Найдите площади ее граней.

1. В сферу вписан цилиндр, образующая которого равна 8 см и диагональ осевого сечения наклонена к плоскости основания под углом 60 0 . Найдите радиусы сферы и основания цилиндра.

2. Найдите образующую цилиндра, описанного около сферы радиуса R .

3. В равносторонний цилиндр (высота равна диаметру основания), радиус основания которого равен r , вписана правильная четырехугольная призма. Найдите площадь сечения призмы, проходящего через ось цилиндра и боковое ребро призмы.

4. Около равностороннего цилиндра, радиус основания которого равен r , описана правильная треугольная призма. Найдите площади ее граней.

37*. Сечения цилиндра плоскостью. Эллипс

1. Изобразите цилиндр и эллипс, являющийся пересечением боковой поверхности цилиндра плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 45 0 .

2. Боковая поверхность цилиндра пересечена плоскостью, образующей с осью цилиндра угол 30 0 . Найдите большую ось эллипса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен R .

3. Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра и образует с плоскостью основания угол 30 0 . Найдите расстояние между фокусами эллипса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен 3 см.

4. Цилиндр, радиус основания которого равен R , пересечен плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 45 0 . Найдите сумму расстояний от точек эллипса, получившегося в сечении, до фокусов.

1. Изобразите цилиндр и эллипс, являющийся пересечением боковой поверхности цилиндра плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 60 0 .

2. Под каким углом к плоскости основания цилиндра нужно провести плоскость, чтобы в сечении боковой поверхности получить эллипс, у которого большая ось в два раза больше малой?

3. Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра и образует с плоскостью основания угол 45 0 . Найдите расстояние между фокусами эллипса, получившегося в сечении, если радиус основания цилиндра равен 2 см.

4. Цилиндр, радиус основания которого равен R , пересечен плоскостью, образующей с основанием цилиндра угол 30 0 . Найдите сумму расстояний от точек эллипса, получившего в сечении, до фокусов.

38. Вписанные и описанные конусы

1. В сферу радиуса 4 см вписан конус. Найдите высоту этого конуса и радиус его основания, если угол при вершине осевого сечения равен 60 0 .

2. Радиус основания конуса равен r , образующая наклонена к плоскости основания под углом 60 0 . Найдите радиус вписанной в конус сферы.

3. Можно ли вписать в конус 4-угольную пирамиду, у которой углы основания последовательно относятся как: а) 1:5:9:7; б) 4:2:5:7?

4. Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 8 см и 18 см; двугранные углы при основании пирамиды равны. В пирамиду вписан конус. Найдите радиус основания конуса и его высоту, если меньшее боковое ребро пирамиды составляет с меньшей стороной трапеции угол 60 0 .

1. В конусе образующая равна 15 см и составляет с основанием угол 60 0 . Найдите радиус описанной сферы.

2. В конус вписана сфера, радиус которой равен R . Найдите радиус основания конуса, если угол при вершине осевого сечения равен 60 0 .

3. Можно ли описать около конуса 4-угольную пирамиду, у которой стороны основания последовательно относятся как: а) 5:6:8:7; б) 3:10:15:7?

4. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник; боковые ребра равны между собой, а боковые грани, проходящие через катеты, составляют с основанием углы 30 0 и 60 0 . Около пирамиды описан конус таким образом, что у них общая высота. Найдите радиус основания конуса, если высота пирамиды равна h .

39*. Конические сечения

1. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 60 0 . Радиус основания конуса равен R . Через центр основания проведена плоскость под углом 60 0 к плоскости основания. Найдите радиус сферы, вписанной в коническую поверхность и касающуюся этой плоскости.

2. Изобразите конус и плоскость, пересекающую коническую поверхность по эллипсу.

3. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 90 0 . Под каким углом к плоскости основания конуса нужно провести плоскость, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?

4. Угол между осью конуса и его образующей равен 45 0 . Через точку образующей, отстоящую от вершины конуса на расстояние a , проведена плоскость, перпендикулярная этой образующей. Найдите расстояние между фокусом и директрисой параболы, получающейся в сечении конической поверхности этой плоскостью.

1. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 90 0 . Через точку образующей, отстоящей от вершины конуса на расстояние a , проведена плоскость, перпендикулярная этой образующей. Найдите радиус сферы, вписанной в коническую поверхность, касающуюся этой плоскости.

2. Изобразите конус и плоскость, пересекающую коническую поверхность по параболе.

3. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 60 0 . Под каким углом к плоскости основания нужно провести плоскость, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу?

4. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 30 0 . Через точку образующей, отстоящей от вершины на расстояние b , проведена плоскость, перпендикулярная этой образующей. Найдите большую ось эллипса, получившегося в сечении конической поверхности этой плоскостью.

40. Симметрия пространственных фигур

1. Для двух точек пространства найдите точку, относительно которой они центрально симметричны.

2. Постройте прямую, зеркально-симметричную данной прямой относительно данной плоскости a. Рассмотрите различные случаи.

3. Докажите, что при осевой симметрии плоскость, перпендикулярная оси, переходит в себя.

4. Найдите элементы симметрии правильной треугольной призмы.

1. Для двух точек пространства найдите прямую, относительно которой они симметричны.

2. Постройте плоскость, центрально-симметричную данной плоскости относительно точки O . Рассмотрите различные случаи.

3. Докажите, что при осевой симметрии прямые, перпендикулярные оси, переходят в прямые, также перпендикулярные оси.

4. Найдите элементы симметрии правильной 6-ной пирамиды.

1. Докажите, что композиция двух движений (последовательное их выполнение) является движением.

2. Найдите движения, которые переводят вершину A куба A … D 1 в вершину C 1 .

3. Найдите движения, которые переводят вершину A правильного тетраэдра ABCD в вершину C .

4. Каким движением является композиция (последовательное выполнение) двух осевых симметрий с параллельными осями?

1. Докажите, что преобразование, обратное движению, тоже является движением.

2. Найдите движения, которые переводят вершину B 1 куба A … D 1 в вершину D .

3. Найдите движения, которые переводят вершину D правильного тетраэдра ABCD в вершину B .

4. Каким движением является композиция (последовательное выполнение) двух центральных симметрий?

42*. Ориентация поверхности. Лист Мебиуса

1. Сколько сторон имеет поверхность: а) пирамиды; б) призмы; в) дважды перекрученной ленты Мебиуса?

2. Изобразите лист Мебиуса.

3. Лист Мебиуса получен из прямоугольника со сторонами a , b ( a b ) склеиванием сторон длины a . Какова площадь поверхности листа Мебиуса?

4. Можно ли одностороннюю поверхность склеить из шестиугольника?

1. Сколько сторон имеет поверхность: а) конуса; б) цилиндра; в) листа Мебиуса?

2. Изобразите дважды перекрученную ленту Мебиуса.

3. Лист Мебиуса получен из прямоугольника со сторонами a , b ( a b ) склеиванием сторон длины a . Какова длина края листа Мебиуса?

4. Можно ли одностороннюю поверхность склеить из восьмиугольника?

43. Объем фигур в пространстве. Объем цилиндра

1. Осевое сечение прямого кругового цилиндра — квадрат со сторо­ной 3 см. Найдите объем цилиндра.

2. От куба A … D 1 , ребро которого равно 1, отсечены 4 треугольные призмы плоскостями, которые проходят через середины смежных сторон грани ABCD , параллельно ребру AA 1 . Найдите объем оставшейся части куба.

3. Прямая треугольная призма пересечена плоскостью, которая проходит через боковое ребро и делит площадь противолежащей ему боковой грани в отношении m : n . В каком отношении делится объем призмы?

4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого относятся как 5:2. Зная, что диагонали параллелепипеда равны 17 дм и 10 дм, найдите объем параллелепипеда.

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 2 см и наклонена к плос­кости основания под углом 60 0 . Найдите объем цилиндра.

2. Объем правильной шестиугольной призмы равен V . Определите объем призмы, вершинами которой являются середины сторон оснований данной призмы.

3. В каком отношении делится объем прямой треугольной призмы плоскостью, проходящей через средние линии оснований.

4. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, диагонали которого равны 1 дм и 7 дм. Зная, что диагонали параллелепипеда относятся как 13:17, найдите объем параллелепипеда.

44. Принцип Кавальери

1. Верно ли, что два конуса, имеющие равные основания и высоты, равнове­лики?

1. Найдите объем наклонной призмы, площадь основания ко­торой равна S , а боковое ребро b наклонено к плоскости основания под углом 60 0 .

3. В наклонном параллелепипеде две боковые грани имеют площади S 1 и S 2 , их общее ребро равно a , и они образуют между собой двугранный угол 150 0 . Найдите объем параллелепипеда.

4. В наклонной треугольной призме площадь одной из боковых граней равна Q , а расстояние от нее до противоположного ребра равно d . Найдите объем призмы.

1. Верно ли, что две пирамиды, имеющие равновеликие основания и равные высоты, равнове­лики?

2. Найдите объем наклонного цилиндра, радиус основания ко­торого равен R , а боковое ребро b наклонено к плоскости основания под углом 45 0 .

3. В наклонном параллелепипеде основание и боковая грань являются прямоугольниками и их площади равны соответственно 20 см 2 и 24 см 2 . Угол между их плоскостями равен 30 0 . Еще одна грань параллелепипеда имеет площадь 15 см 2 . Найдите объем параллелепипеда.

4. В наклонной треугольной призме две боковые грани перпендикулярны и имеют общее ребро, равное a . Площади этих граней равны S 1 и S 2 . Найдите объем призмы.

45. Объем пирамиды

1. Пирамида, объем которой равен V , а в основании лежит прямоугольник, пересечена четырьмя плоскостями, каждая из которых проходит через вершину пирамиды и середины смежных сторон основания. Найдите объем оставшейся части пирамиды.

2. Основанием пирамиды является равносторонний треугольник со стороной, равной 1. Две ее боковые грани перпендикулярны плоскости основания, а третья образует с основанием угол 60 0 . Найдите объем пирамиды.

3. В основании прирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 3 см, а прилежащий к нему острый угол равен 30 0 . Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 60 0 . Найдите объем пирамиды.

4. Центры граней куба, ребро которого равно 2 a , служат верши­нами октаэдра. Найдите его объем.

1. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее диагональным сечением является правильный треугольник со стороной, равной 1.

2. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 0 . Высота пирамиды равна 3 см. Найдите объем пирамиды.

3. Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к плоскости основания под углом 30 0 . Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите объем пирамиды.

4. В куб с ребром, равным a , вписан правильный тетраэдр таким образом, что его вершины совпадают с четырьмя вершинами куба. Найдите объем тетраэдра.

46. Объем конуса

Вариант 1

1. Диаметр основания конуса равен 12 см, а угол при вершине осевого сечения равен 90 0 . Найдите объем конуса.

2. Два конуса имеют общую высоту и параллельные основания. Найдите объем их общей части, если объем каждого конуса равен V .

3. В конус, объем которого равен V , вписан цилиндр. Найдите объем цилиндра, если отношение диаметров оснований конуса и цилиндра равно 10:9.

4. Каждое ребро правильной 4-угольной пирамиды равно a . Плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды, отсекает от нее усеченную пирамиду. Найдите объем усеченной пирамиды, если сторона сечения равна b .

Вариант 2

1. Осевым сечением конуса служит равнобедренный прямоугольный треугольник площади 9 см 2 . Найдите объем конуса.

2. В конус вписан другой конус таким образом, что центр основания вписанного конуса делит высоту данного конуса в отношении 3:2, считая от вершины конуса, а вершина вписанного конуса находится в центре основания данного конуса. Найдите отношение объемов данного и вписанного конусов.

3. Докажите, что если два равных конуса имеют общую высоту и параллельные плоскости оснований, то объем их общей части составляет объема каждого из них.

4. Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 см и 5 см. Найдите отношение объемов частей усеченного конуса, на которые он делится средним сечением.

47. Объем шара и его частей

Вариант 1

1. Найдите отношение объема шара к объему вписанного в него куба.

2. Найдите отношение объема шара к объему описанного около него октаэдра.

3. В шаре проведена плоскость, перпендикулярная диаметру и делящая его на части, равные 3 см и 9 см. Найдите объемы частей шара.

4. Радиус шарового сектора R , угол в осевом сечении 120 0 . Найдите объем шарового сектора.

Вариант 2

1. Найдите отношение объема шара к объему вписанного в него октаэдра.

2. Найдите отношение объема шара к объему описанного около него куба.

3. В шаре радиуса 13 см проведены по разные стороны от центра два равных параллельных сечения радиуса 5 см. Найдите объем полученного шарового слоя.

4. Найдите объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара 75 см.

48. Площадь поверхности

Вариант 1

1. Плоскость, проходящая через сторону основания правильной треугольной призмы и середину противолежащего ребра, образует с основанием угол 45 0 , а сторона основания равна a . Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

2. Основанием пирамиды является квадрат, сторона которого равна a . Две грани пирамиды перпендикулярны основанию, а остальные две боковые грани наклонены к нему по углом 60 0 . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна b ; сечение, проведенное через противоположные стороны оснований, составляет с плоскостью основания угол j. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

4. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 0 ; площадь большого круга, вписанного в этот конус шара, равна Q . Найдите площадь полной поверхности конуса.

Вариант 2

1. В правильной 4-угольной призме сторона основания равна a . Плоскость, проведенная через противоположные стороны оснований, составляет с одним из них угол 60 0 . Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

2. Две боковые грани треугольной пирамиды перпендикулярны ее основанию; высота пирамиды равна h ; плоские углы при вершине равны 60 0 , 60 0 и 90 0 . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

3. В правильной треугольной призме боковое ребро равно b ; отрезок, соединяющий середину бокового ребра с центром основания, составляет с основанием угол j. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную призму.

4. В конусе образующая составляет с основанием угол 60 0 ; площадь большого круга описанного шара равна Q . Найдите площадь полной поверхности конуса.

49. Площадь поверхности шара и его частей

Вариант 1

1. Докажите, что площадь полной поверхности равностороннего конуса (осевое сечение – равносторонний треугольник) равна площади поверхности шара, имеющего диаметром высоту конуса.

2. Найдите площадь поверхности шара, вписанного в равносторонний цилиндр (осевое сечение – квадрат), диагональ осевого сечения которого равна a .

3. Радиусы оснований шарового пояса равны 10 см и 12 см, а его высота равна 11 см. Найдите площадь поверхности шарового пояса.

4. Радиус шарового сегмента равен R , дуга осевого сечения составляет 90 0 . Найдите площадь полной поверхности сегмента.

1. Докажите, что если равносторонний конус (осевое сечение – равносторонний треугольник) и полушар имеют общее основание, то площадь боковой поверхности конуса равна площади поверхности полушара.

2. Найдите отношение площадей поверхностей двух шаров, один из которых вписан, а второй описан около равностороннего цилиндра (осевое сечение – квадрат).

3. Радиус шара равен 25 см. Найдите площади частей, на которые делится поверхности шара сечением, площадь которого равна 49p см 2 .

4. Высота шарового сегмента равна h , дуга осевого сечения равна 120 0 . Найдите площадь полной поверхности сегмента.

50. Прямоугольная система координат в пространстве

1. Постройте по координатам точки: A (1,2,3); B (-2,0,3); C (0,0,-4); D (3,-1,0).

2. Среди данных точек K (-6,0,0), L (10,-5,0), M (0,6,0), N (7,-8,0), P (0,0,-20), Q (0,11,-2) найдите те, которые принадлежат: а) оси Oy ; б) оси Oz ; в) плоскости Oxy ; г) плоскости Oyz .

3. Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из данных точек E (6,-2,8) и F (-3,2,-5) на: а) ось Ox ; б) плоскость Oxz .

4. Найдите координаты середины отрезка GH , если G (2,-3,5), H (4,1,-3).

5. Найдите координаты точек, симметричных точкам U (8,0,6), V (20,-14,0) относительно: а) плоскости Oyz ; б) оси Ox .

1. 1. Постройте по координатам точки: E (-1,2,0); F (1,0,-4); G (2,3,-1); H (0,-2,0).

2. Среди точек A (0,-1,0), B (0,1,-3), C (4,0,0), D (0,0,-5), E (-1,0,7), F (0,10,10) найдите те, которые принадлежат: а) оси Ox ; б) оси Oy ; в) плоскости Oyz ; г) плоскости Oxz .

3. Найдите координаты оснований перпендикуляров, опущенных из точек M (9,-1,-6) и N (-12,5,8) на: а) ось Oz ; б) плоскость Oxy .

4. Найдите координаты середины отрезка GH , если G (3,-2,4), H (5,2,-6).

5. Найдите координаты точек, симметричных точкам P (0,0,5), V (0,-1,-2) относительно: а) плоскости Oxy ; б) оси Oy .

51. Расстояние между точками в пространстве

1. Определите, являются ли точки A (2,3,4), B (1,2,3), C (3,4,5) вершинами треугольника.

2. Найдите координаты точки, принадлежащей оси Oz и одинаково удаленной от точек M (-1,-2,0) и N (3,0,4).

3. Запишите уравнение сферы с центром в точке C (-2,0,3) и: а) радиусом ; б) проходящей через точку K (1,-4,3).

4. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x 2 + 8 y + y 2 + z 2 – 6 x =0.

5. Сфера x 2 + y 2 + z 2 +4 x – 2 y =0 пересечена плоскостью Oyz . Найдите координаты центра и радиус окружности, лежащей в сечении.

1. Определите, являются ли точки E (-4,-5,-6), F (-1,-2,-3), G (-2,-3,-4) вершинами треугольника.

2. Найдите координаты точки, принадлежащей оси Oy и одинаково удаленной от точек K (1,3,0) и L (4,-1,3).

3. Запишите уравнение сферы с центром в точке C (0,-5,6) и: а) радиусом 10; б) проходящей через точку H (2,-3,5).

4. Найдите координаты центра и радиус сферы, заданной уравнением x 2 + y 2 + z 2 – 8 z — 20 =0.

5. Сфера x 2 + y 2 + z 2 +2 x – 6 z =0 пересечена плоскостью Oxy . Найдите координаты центра и радиус окружности, лежащей в сечении.

52. Координаты вектора

1. Найдите координаты вектора: а) 2 + 3 — 4 ; б) -5 + 10 ; в) — + .

2. Найдите длину вектора: а) (1,-2,10); б) , если A (0,-5,1), B (2,0,-8); в) + , если (6,2,-6), (2,-2,0).

3. Найдите координаты точки C , если: а) (-5,6,8), D (0,-1,2); б) D (-13, ,6), (-5,0,0).

4. Найдите числа x , y , z , чтобы выполнялось равенство = , если (5,-2,0), (0,2,-6), (-5,0,-8), (-5,2,-4).

1. Найдите координаты вектора: а) 3 — 4 + 2 ; б) -2 — ; в) — .

2. Найдите длину вектора: а) (0,-3,2); б) , если M (0,-5,1), N (2,0,-8); в) — , если (0,-2,6), (-5,0,3).

3. Найдите координаты точки E , если: а) (0,-3,11), F (5,-1,0); б) F (5,0,-9), (-2,4,-6).

4. Найдите числа u , v , w , чтобы выполнялось равенство = , если (-30,6,-12), (5,-6,0), (10,-3,2), (0,1,2).

53. Скалярное произведение векторов

1. Определите знак скалярного произведения векторов и , если угол между ними удовлетворяет неравенствам: а) 0 0 0 ; б) 90 0 0 .

2. Угол между векторами и равен 90 0 . Чему равен угол между векторами: а) — и ; б) — и ?

3. Докажите равенство: а) ; б) + + = 0.

4. В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным 1, найдите скалярное произведение: а) ; б) ; в) , где H и Q – середины соответственно ребер AC и BD .

1. Определите, в каком промежутке находится угол между векторами и , если: а) > 0.

2. Угол между векторами и равен 90 0 . Чему равен угол между векторами: а) и — ; б) — и — ?

3. Докажите равенство: а) ; б) = .

4. В правильном тетраэдре ABCD с ребром, равным a , найдите скалярное произведение: а) ; б) ; в) , где E и F – середины соответственно ребер BC и AD .

54. Уравнение плоскости в пространстве

1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку H (-3,0,7) и перпендикулярную вектору с координатами (1,-1,3).

2. Найдите координаты точки пересечения плоскости 2 x – y + 3 z – 1 = 0 с осью: а) абсцисс; б) ординат.

3. Напишите уравнение плоскости, если она проходит через точку B (3,-2,2) и: а) параллельна плоскости Oyz ; б) перпендикулярна оси Ox .

4. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку M (5,-1,3) и перпендикулярна вектору , если N (0,-2,1).

1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку P (5,-1,0) и перпендикулярную вектору с координатами (0,-6,10).

2. Найдите координаты точки пересечения плоскости x + 4 y — 6 z – 7 = 0 с осью: а) ординат; б) аппликат.

3. Напишите уравнение плоскости, если она проходит через точку C (2,-4,-3) и: а) параллельна плоскости Oxz ; б) перпендикулярна оси Oy .

4. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку E и перпендикулярна вектору (4,-5,0), если F (3,-1,6).

55*. Уравнение прямой в пространстве

1. Найдите значение d , при котором прямая

пересекает ось Oz .

2. Найдите условия, которым должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях прямой

для того, чтобы прямая: а) была параллельна оси Ox ; б) лежала в плоскости Oxz ; в) пересекала ось Oy .

3. Найдите координаты точек пересечения прямой

с координатными плоскостями.

4. Запишите параметрические уравнения прямой

1. Найдите значения b и d , при которых прямая

пересекает плоскость Oxy .

2. Найдите условия, которым должны удовлетворять коэффициенты в уравнениях прямой

для того, чтобы прямая: а) совпадала с осью Oz ; б) была параллельна плоскости Oyz ; в) проходила через начало координат.

3. Найдите координаты точек пересечения прямой

с координатными плоскостями.

4. Запишите параметрические уравнения прямой

56. Аналитическое задание пространственных фигур

1. Выясните, какую геометрическую фигуру задает уравнение: а) x 2 + y 2 + z 2 = 1; б) x 2 = 1; в) xyz = 0.

2. Выясните, какую геометрическую фигуру задает система:

а) б)

3. Даны точки A (2,5,12), B (1,0,0), C (-1,-5,4) и плоскости и , заданные соответственно уравнениями 2 x – y + z +1 = 0 и x – 5 y –13 z +1 = 0. Для каждой из этих плоскостей найдите среди данных точек те, которые лежат по ту же сторону от плоскости, что и начало координат.

4. Дана плоскость 3 x – y +4 z +1 = 0. Лежат ли по одну и ту же сторону от нее точки: а) O (0,0,0) и D (2,1,0); б) E (1,2,1) и F (5,15,-1)?

1. Выясните, какую геометрическую фигуру задает уравнение: а) x 2 + y 2 +(z+1) 2 = 1; б) x 2 – y 2 = 0; в) x 2 = 0.

2. Выясните, какую геометрическую фигуру задает система:

а) б)

3. Даны точки E (-14,22,0), F (1,-5,12), G (0,0,5) и плоскости и , заданные соответственно уравнениями x – 2 z +12 = 0 и x + 5 y + z +25 = 0. Для каждой из этих плоскостей найдите среди данных точек те, которые лежат по ту же сторону от плоскости, что и начало координат.

4. Дана плоскость 3 x – y +4 z +1 = 0. Лежат ли по одну и ту же сторону от нее точки: а) A (-1,2,-5) и B (-15,1,0); б) K (1, ,5) и L (1,15,-15)?

57*. Многогранники в задачах оптимизации

1. Вершины тетраэдра имеют следующие координаты: O (0,0,0), A (1,1,0), B (0,2,0), C (1,5,7). Запишите неравенства, характеризующие внутреннюю область данного тетраэдра.

2. Найдите область, определяемую следующей системой неравенств:

а) б)

3. Запишите систему неравенств, определяющую внутреннюю область прямой треугольной призмы OABO 1 A 1 B 1 , если O (0,0,0), A (0,2,0), B (0,0,2), O 1 (5,0,0). Изобразите ее и найдите ее объем.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения линейной функции u = x + y – 2 z + 1 на треугольной призме из предыдущей задачи.

1. Даны вершины тетраэдра A (-1,1,0), B (-2,2,0), C (-2,0,0), D (-1,5,7). Какие из точек M (2,3,-1), N (- , , ), P (0,0,1), H (- , , ) принадлежат внутренней области данного тетраэдра?

2. Найдите область, определяемую следующей системой неравенств: а) б)

3. Запишите систему неравенств, определяющих внутреннюю область тетраэдра OABC , если O (0,0,0), A (5,0,0), B (0,3,0), C (0,0,6). Изобразите ее и найдите ее объем.

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения линейной функции u = x – y + z – 1 на тетраэдре из предыдущей задачи.

58*. Полярные координаты на плоскости

1. Изобразите в полярной системе координат точки A (2, ), B (1, ), C ( , ), D (3, ), E (4, ), F ( , ).

2. Запишите декартовы координаты точек G (2, ), H ( , ), P (5, ), Q (3,- ).

3. Найдите полярные координаты вершин и точки пересечения диагоналей единичного квадрата, приняв за начало координат одну из его вершин, а за полярную ось – сторону, которая проходит через выбранную вершину.

4. Найдите полярные координаты точек, симметричных точкам M (1, ), N (3, ), P ( ,- ), Q ( , ) относительно: а) полярной оси; б) начала координат.

1. Изобразите в полярной системе координат точки A (3, ), B (5, ), C ( , ), D (6, ), E (2, ), F ( , ).

2. Запишите полярные координаты точек K (0,6), L (-2,0), M (-1,1), N ( ,1).

3. Найдите полярные координаты вершин правильного шестиугольника, сторона которого равна 1, приняв за начало координат одну из его вершин, а за полярную ось – сторону, которая проходит через выбранную вершину.

4. Найдите полярные координаты точек, симметричных точкам G (2, ), H (3, ), R (3,- ), S ( , ) относительно: а) начала координат; б) полярной оси.

59*. Сферические координаты в пространстве

1. Найдите декартовы координаты следующих точек пространства, за­данных сферическими координатами: (1,45 0 ,60 0 ), (2,30 0 ,90 0 ), (1,90 0 , 20 0 ).

2. Найдите сферические координаты следующих точек пространства, заданных декартовыми координатами: A (1,1, ), B (1,0,1), C (0,0,1).

3. Найдите геометрическое место точек пространства, сферические координаты которых удовлетворяют условиям: а) y = 45 0 ; б) j= 60 0 .

4. Какая фигура в пространстве задается неравенствами: а) r 2; б) r 1, y 0?

1. Найдите декартовы координаты следующих точек пространства, за­данных сферическими координатами: (1,-45 0 ,60 0 ), (2,30 0 ,-90 0 ), (3,-90 0 , 50 0 ).

2. Найдите сферические координаты следующих точек пространства, заданных декартовыми координатами: A (2,2 ), B (-1,0,1), C (0,0,-1).

3. Найдите геометрическое место точек пространства, сферические координаты которых удовлетворяют условиям: а) y= 30 0 ; б) j = 90 0 .

4. Какая фигура в пространстве задается неравенствами: а) r 1; б) r 1, — j 0?

60*. Использование компьютерной программы «Математика» для изображения пространственных фигур

1. Получите изображение тетраэдра.

2. Произведите операцию усечения тетраэдра и получите октаэдр.

3. Как из октаэдра получить звезду Кеплера?

4. Получите изображение поверхности z = xy .

1. Получите изображение куба.

2. Произведите операцию усечения куба и получите кубооктаэдр.

3. Как из куба получить ромбододекаэдр?

4. Получите изображение поверхности z = cos x cos y .

Самостоятельная работа N 2

В1. 4. 6. В2. 3. 10. 4. 4.

В1. 2. а) В=8, Р=12, Г=6; б) В=14, Р=21, Г=9; в) В= n +1, Р=2 n , Г= n +1. 3. а) 5-угольная; б) 7-угольная; в) 3-угольная. 4. Три цвета. В2. 2. а) В=8, Р=12, Г=6; б) В=7, Р=12, Г=7; в) В=2 n , Р=3 n , Г= n +2. 3. а) 4-угольная; б) 7-угольная; в) 8-угольная. 4. Два цвета.

В1. 3. 3. 4. 3. В2. 3. 3. 4. 3.

В1. 3. Скрещиваются. В2. 3. Нет. 4. Нет.

В1. 3. Параллельны.

В1. 2. Верны утверждения 1), 3), 4). 4. Если AB || CD , то AC || BD ; если AB скрещивается с CD , то AC скрещивается с BD . В2. 2. Верно утверждение 3). 4. Если AB || CD , то AD и BC пересекаются; если AB и CD скрещиваются, то AD и BC скрещиваются.

В1. 2. 26. 3. а) ; б) ; в) , где M – середина BC . 4. а) ; б) ; в) . В2. 2. 24. 3. а) ; б) ; в) , где M – середина BA . 4. а) ; б) ; в) .

В1. 1. . 2. Вектор + одинаково направлен с вектором ; | + | = | | — | |. В2. 1. . 2. Вектор + одинаково направлен с вектором ; | + |=| | — | |.

В1. 1. Одна, если прямая, проходящая через них, параллельна направлению проектирования; две в противном случае. 2. Параллельность и равенство противоположных сторон; деление диагоналей пополам в точке пересечения. 3. Прямые скрещиваются и одна из них параллельна направлению проектирования. В2. 1. Одна, если все точки принадлежат одной прямой, параллельной направлению проектирования; две, если прямая, проходящая через какие-нибудь две из данных точек, параллельна направлению проектирования, а третья точка не принадлежит этой прямой; три в остальных случаях. 2. Параллельность и равенство противоположных сторон; деление диагоналей в точке пересечения пополам. 3. Прямая не параллельна направлению проектирования и точка принадлежит прямой или плоскость, проходящая через эту точку и прямую, параллельна направлению проектирования.

В1. 3. Грани куба не параллельны плоскости проектирования и направление проектирования параллельно диагонали BD . 4. S . В2. 3. Две грани параллельны плоскости проектирования и направление проектирования перпендикулярно ей. 4. Q /2.

В1. 1. а), б), г) 90 0 ; в) 45 0 . 2. а), б) 90 0 . 3. 45 0 . 4. 90 0 . В2. 1. а), в), г) 90 0 ; б) 45 0 . 2. а) 90 0 ; б) 30 0 . 3. cos = . 4. 90 0 .

В1. 1. 9 см. 3. см. 4. 3 см. В2. 1. 4 см. 2. Прямая, перпендикулярная плоскости данной окружности и проведенная через ее центр. 3. 45 0 . 4. 1 см.

В1. 2. cos = . В2. 2. cos = .

В1. 1. 6 см. 2. а) ; б) ; в) 1. 3. . 4. a . В2. 1. 13 см. 2. а) ; б) ; в) 1. 3. . 4. a .

В1. 1. . 2. 12 см. 3. 1:( -1). В2. 1. . 2. 26 см. 3. 13 см.

Видео:Коллинеарность векторовСкачать

Самостоятельная работа N 1

В1. 3. . В2. 3. .

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Самостоятельная работа N 2

В1. 4. . В2. 4. .

В1. 2. 14 см 2 . 3. По 6 прямым. В2. 2. . 3. По 10 прямым.

В1. 1. а), б) В = 2 n , Р = 3 n , Г = n + 2. 3. =Г n , Р = , =2Р. 4. В+ m -1, Р+ m , Г+1. В2. 1. а), б) В = n + 1, Р = 2 n , Г = n + 1. 3. =В m , Р = , =2Р. 4. В+1, Р+ n , Г+ n — 1.

В1. 4. . В2. 4. .

В1. 1. б) Октаэдр. 2. Ромб. 3. . 4. Равнобедренный треугольник. В2. 1. б) Тетраэдр. 2. Квадрат. 3. . 4. Равнобедренный треугольник.

В1. 1. В=24, Р=36, Г=14. 4. . В2. 1. В=24, Р=36, Г=14. 4. ; .

В1. 3. ( -1) a . В2. 3. .

В1. 2. В=14, Р=24, Г=12. 3. 2160 0 . 4. . В2. 2. =48, Дв=24, Мн=14 (8 трехгранных и 6 четырехгранных). 3. 4320 0 . 4. 6 a 2 (2 +1).

В1. 1. 19p см 2 . 2. . 3. 4 см. 4. 150 см 2 . В2. 1. 4:3. 2. . 3. 5 см. 4. 27p см 2 .

В1. 3. 3 см. 4. 2 R . В2. 3. 9 см. 4. 9 см.

В1. 1. Да. 2. 24 см 2 , 4,8 см. 3. . 4. 5 см. В2. 1. Высота призмы должна равняться диаметру окружности, вписанной в основание. 2. . 3. h ( -1). 4. 13 см.

В1. 1. 24 см 2 . 2. 6см. 4. см 2 . В2. 1. 8 см. 2. 24 см 2 . 4. ; .

В1. 4. 90 0 . В2. 4. 800 см 2 .

В1. 1. 10 см, 5 см. 2. R . 3. 3 r 2 . 4. 4 r 2 . В2. 1. см, см. 2. 2 R . 3. 4 r 2 . 4. r 2 ; r 2 .

В1. 2. 4 R . 3. 2 см. 4. 2 R . В2. 2. 60 0 . 3. 4 см. 4. .

В1. 1. 6 см, 2 см. 2. . 3. а) Нет; б) да. 4. 6 см, 2 см. В2. 1. 5 см. 2. R . 3. а) Да; б) нет. 4. .

В1. 1. R . 3. а) 0 ; б) =45 0 ; в) >45 0 . 4. 2 a . В2. 1. . 3. а) 0 ; б) =60 0 ; в) >60 0 . 4. .

В1. 4. Одна ось симметрии третьего порядка; Три оси симметрии; Четыре плоскости симметрии. В2. Одна ось симметрии 6-го порядка; Шесть плоскостей симметрии.

В1. 4. Параллельным переносом. В2. 4. Параллельным переносом.

В1. 1. а), б), в) Две. 3. 2 ab . 4. Да. В2. 1. а), б) Две; в) одну. 3. 2 b . 4. Да.

В1. 1. 27p см 3 . 2. . 3. m : n . 4. 360 дм 3 . В2. 1. p см 3 . 2. V . 3. 1:3. 4. 8,4 дм 3 .

В1. 1. Да. 2. S . 3. . 4. . В2. 1. Да. 2. R 2 b . 3. 60 см 3 . 4. .

В1. 1. . 2. . 3. см 3 . 4. . В2. 1. . 2. 6 см 3 . 3. см 3 . 4. .

В1. 1. 72 см 3 . 2. . 3. 0,243 V . 4. ( a 3 — b 3 ). В2. 1. 9 см 3 . 2. 125:18. 4. 37:61.

В1. 1. :2. 2. :9. 3. 45 см 3 , 243 см 3 . 4. R 3 . В2. 1. :1. 2. :6. 3. 2904 см 3 . 4. 112,5 дм 3 .

В1. 1. 3 a 2 ; 3,5 a 2 . 2. a 2 ( +2). 3. b 2 tg . 4. 9 Q . В2. 1. 4 a 2 ; 2 a 2 (2 +1). 2. h 2 ( +2). 3. . 4. 4,5 Q .

В1. 2. . 3. 275 см 2 . 4. R 2 . В2. 2. 1:2. 3. 50 см 2 и 2450 см 2 . 4. 7 h 2 .

В1. 2. а) M ; б) P ; в) K , L , M , N ; г) M , P , Q . 3. а) (6,0,0), (-3,0,0); б) (6,0,8), (-3,0,-5). 4. (3,-1,1). 5. а) (-8,0,6), (-20,-14,0); б) (8,0,-6), (20,14,0). В2. 2. а) C ; б) A ; в) A , B , D , F ; г) C , D , E . 3. а) (0,0,-6), (0,0,8); б) (9,-1,0), (-12,5,0). 4. (4,0,-1). 5. а) (0,0,-5), (0,-1,2); б) (0,0,-5), (0,-1,2).

В1. 1. Нет. 2. (0,0, ). 3. а) ( x + 2) 2 + y 2 + ( z – 3) 2 = 3; б) ( x + 2) 2 + y 2 + ( z – 3) 2 = 25. 4. (3,-4,0), 5. 5. (0,1,0), 1. В2. 1. Нет. 2. (0,-2,0). 3. а) x 2 + ( y + 5) 2 + ( z – 6) 2 = 100; б) x 2 + ( y + 5) 2 + ( z – 6) 2 = 9. 4. (0,0,4), 6. 5. (-1,0,0), 1.

В1. 1. а) (2,3,-4); б) (-5,0,10); в) (0,-1, ). 2. а) 2 ; б) ; в) 10. 3. а) (5,-7,6); б) (-8, ,6). 4. x = -2,4; y = 0,4; z = -1,4. В2. 1. а) (3,-4,2); б) (-2,0,1); в) (0,1,- ). 2. а) ; б) ; в) . 3. а) (5,2,-11); б) (3,4 ,-15). 4. u = 3; v = -4,5; w = 1,5.

В1. 1. а) > 0; б) 0 . 4. а) ; б) — ; в) — . В2. 1. а) 90 0 0 ; б) 0 0 0 . 2. а), б) 90 0 . 4. а) a 2 ; б) a 2 ; в) — a 2 .

В1. 1. x – y + 3 z – 18 = 0. 2. а) ( ,0,0); б) (0,-1,0). 3. а), б) x – 3 = 0. 4. 5 x + y + 2 z — 30 = 0. В2. 1. 6 y – 10 z + 6 = 0. 2. а) (0, ,0); б) (0,0,- ). 3. а), б) y + 4 =0. 4. 3 x — y + 6 z — 29 = 0.

В1. 1. d = 3. 2. а) a 1 = a 2 = 0; б) a 1 : a 2 = c 1 : c 2 = d 1 : d 2 ; в) b 1 : b 2 = d 1 : d 2 . 3. (-1,7 ,0); (2,0,3); (0,5,1). 4. В2. 1. b = -6, d = -27. 2. а) c 1 = c 2 = d 1 = d 2 = 0; б) b 1 : b 2 = c 1 : c 2 ; в) d 1 = d 2 = 0. 3. (6,-5,0); (3 ,0,7 ); (0,7,18). 4.

В1. 1. а) Сфера с центром в точке O (0,0,0) и радиусом 1; б) две параллельные плоскости; в) три координатные плоскости. 2. а) Прямоугольный параллелепипед; б) окружность. 3. Для : точки A , B , C ; для : точка B . 4. а) Да; б) нет. В2. 1. а) Сфера с центром в точке (0,0,-1) и радиусом 1; б) две пересекающиеся плоскости; в) плоскость Oyz . 2. а) Прямоугольный параллелепипед; б) две пересекающиеся прямые, лежащие в плоскости Oxy . 3. Для : точка F ; для : точки E , F , G . 4. а) Да; б) нет.

В1. 1.

2. а) Внутренняя область тетраэдра с вершинами (0,0,0), (1,0,0). (0,1,0), (0,0,1); б) внутренняя область прямоугольного параллелепипеда с вершинами (5,5,0), (5,3,0), (7,3,0), (7,5,0), (5,5,10), (5,3,10), (7,3,10), (7,5,10).

3. V = 20. 4. 8 – наибольшее; 3 – наименьшее.

В2. 1. Точки N и H . 2. а) Область между двумя параллельными плоскостями; б) внутренняя область прямой треугольной призмы с вершинами (0,0,0), (0,3,0). (0,0,3), (-2,0,0), (-2,3,0), (-2, 0,3).

3. V = 45. 4. 5 – наибольшее; — 4 – наименьшее.

В1. 2. G (1, ), H (-1,1), P (0,5), Q ( ,- ). 3. (0,0), (1,0), ( , ), (1, ), ( , ). 4. а) M ’ (1,- ), N ’ (3,- ), P ’ ( , ), Q ’ ( ,- ); б) M ” (1, ), N ” (3,- ), P ” ( , ), Q ” ( , + ) В2. 2. K (6, ), L (2, ), M ( , ), N (2, ). 3. (0,0); (1,0); ( , ); (2, ); ( , ); (1, ). 4. а) G’ (2, ), H’ (3, ), R’ (3, ), S’ ( , + ); б) G” (2, — ), H” (3, — ), R” (3, ), S” ( ,- ).

В1. 1. ( , , ); (0, ,1); (0,0,1). 2. (2,45 0 ,45 0 ); ( ,45 0 ,0 0 ); (1,90 0 ,j). 3. а) Окружность; б) полуокружность; 4. а) Шар радиуса 2; б) полушар, радиуса 1. В2. 1. ( , ,- ); (0,- ,1); (0,0,-3). 2. (4,45 0 ,45 0 ); ( ,45 0 ,180 0 ); (-1,-90 0 , ). 3. а) Окружность; б) полуокружность; 4. а) Точки, лежащие вне шара радиуса 1; б) полушар, радиуса 1.

В1. 3. Применить операцию Stellate. В2. 3. Применить операцию Stellate.

Видео:Векторы. Метод координат. Вебинар | МатематикаСкачать

1. Как узнать сколько различных векторов задают стороны треугольника:А) 1;B) 2;C) 3;D) 6?Пожалуйста посчитайте пожалуеста срочно нужно.​ быстрееее

1. Понятие вектора. Сложение и вычитание векторов

1. Записать различными способами выражения:

а) Вектор а отображает точку Л на точку В;

б) Вектор АВ отображает точку Е на точку С;

в) Вектор CD отображает [АВ] на [Л1^51];

г) Параллельный перенос на расстояние АВ в направлении

от Л к В отображает точку D на точку С;

д) Вектор а отображает фигуру F на фигуру Ft2. Прочитать следующие выражения: а (В) = А, АВ (с) = D,

А В = ОЕ — и изобразить их на чертеже.

3. Сколько различных векторов задает:

а) множество точек ;

б) множество точек ;

в) множество вершин равностороннего треугольника;

г) множество вершин параллелограмма;

д) множество точек >?

4. Сколько различных векторов изображено на рисунке 28, а, Ь, в?

5. Известно, что АВ = CD. Можно ли утверждать, что АВ —

6. Известно, что АВ = CD и |С£>| ф 0. Можно ли утверждать,

7. Могут ли быть различными два вектора, изображаемые направленными

отрезками равной длины, расположенными на одной

прямой? Привести пример.

8. Можно ли один и тот же вектор изобразить направленными отрезками,

расположенными на: а) двух пересекающихся прямых;

б) на различных параллельных прямых; в) на одной прямой?

9. Могут ли пары точек, первая из которых — центр окружности,

а вторая — точка окружности, определять один и тот же вектор?

10. Могут ли пары точек, одна из которых — центр окружности,

а другая — точка круга, определять один и тот же вектор?

11. Определяют ли пары точек, -составленные из несмежных вершин

равнобедренной трапеции, один и тот же вектор?

12. Отложить от точки О до плоскости все векторы, определяемые

парами вершин данного ромба.

13. Задать вектор а и точки А, В, С, D. Построить точки а (Л),

а (В), АВ (С), DC (В). —у

14. Вектор а отображает начало координат в точку (2, 3). В какие

точки отображает этот же вектор точки А (0,2); В (—2, 0);

💡 Видео

Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Линейная зависимость и линейная независимость векторов.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Образуют ли данные векторы базисСкачать

11 класс, 3 урок, Связь между координатами векторов и координатами точекСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Линейные комбинации, span и базисные вектора | Сущность Линейной Алгебры, глава 2Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Вектора в пространствеСкачать

2020.11.30.ЛекцияСкачать

2021.11.11.ЛекцияСкачать

Самопересекающиеся вектора в ArtCam. Как их победить?Скачать