- Определение параллелограмма
- Свойства параллелограмма
- Признаки параллелограмма
- Теоремы параллелограмма
- Параллелограммом является выпуклый четырехугольник
- Противоположные стороны и углы попарно равны
- Точка пересечения диагоналей разделяет их пополам
- Углы параллелограмма
- Свойства диагоналей параллелограмма
- Как вычислить площадь параллелограмма?
- Как вписать параллелограмм в окружность?
- Как вписать окружность в параллелограмм?
- Как начертить параллелограмм?
- Алгоритм построения квадрата
- Построение ромба
- Как построить прямоугольник
- Трапеция — это параллелограмм?
- Средняя линия параллелограмма
- Параллелограмм, у которого все стороны равны
- Ось симметрии параллелограмма
- Симметрия параллелограмма
- ГДЗ по геометрии Атанасян 8 класс. Гл.V №417. Сколько осей симметрии .
- 📸 Видео
Видео:Ось симметрииСкачать
Определение параллелограмма
С этой фигурой знакомы все, освоившие курс школьной программы. Впервые с понятием «параллелограмм» встречаются в 8 классе на уроках геометрии.
Параллелограмм — геометрическая фигура, являющаяся разновидностью четырехугольника. Противоположные стороны параллельны.
Стоит отметить, что всем известные фигуры, такие как квадрат, ромб, прямоугольник, являются параллелограммами. Исходя из этого, им можно дать следующие определения:
- Квадрат — параллелограмм с равными сторонами, пересекающимися под углом 90 градусов.
- Ромб — параллелограмм с равными между собой сторонами, не пересекающимися под углом 90 градусов.
- Прямоугольник — параллелограмм с неравными между собой сторонами, но пересекающимися под прямым углом.
Видео:Осевая симметрия. 6 класс.Скачать
Свойства параллелограмма
Для того чтобы определить параллелограмм, нужно обладать знанием о его свойствах. Рассмотрим их на примере четырехугольника MNPK.
- Длина противоположных сторон фигуры одинакова.
- Противоположные стороны параллельны.
- Углы, являющиеся противоположными, равны.
- Сумма всех четырех углов составляет 360 градусов.
∠NMK+∠NPK +∠MNP+∠MKP = 360°
- Сумма двух соседних углов равна 180 градусов.
- Диагонали разделяют параллелограмм на два треугольника, равные между собой.
- При пересечении диагоналей образуется точка пересечения, представляющая собой центр симметрии.
- Диагонали пересекаются и точка их пересечения разделяет каждую диагональ пополам.
- Биссектриса, проведенная из любого угла, отделает от четырехугольника равнобедренный треугольник.
Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать
Признаки параллелограмма
Четырехугольник MNPK можно называть параллелограммом при выполнении минимум одного условия:
- Противоположные стороны равны парами: MK=NP, MN=PK.
- Противоположные углы равны парами: ∠NMK=∠NPK, ∠MNP=∠MKP.
- Диагонали пересекаются, и точка их пересечения разделяет каждую диагональ пополам.
- Противоположные стороны равны и параллельны между собой: MK=NP, MN|PK.
- Сумма квадратов двух диагоналей равняется сумме квадратов четырех его сторон: MP²+NK²=MN²+NP²+PK²+MK².
Видео:№417. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?Скачать
Теоремы параллелограмма
Все существующие теоремы доказывают свойства параллелограмма и исходят из определения о том, что это четырехугольник с противоположно расположенными параллельными сторонами.
Основные теоремы доказывают, что:
- параллелограммом является выпуклый четырехугольник;
- противоположные стороны попарно равны;
- углы, являющиеся противоположными, попарно равны;
- точка пересечения диагоналей разделает их пополам.
Параллелограммом является выпуклый четырехугольник
Многоугольник признается выпуклым при условии отсутствия продления до прямой хотя бы одной из сторон, а все оставшиеся стороны будут располагаться по одну сторону от этой прямой.
Пусть дан параллелограмм MNPK, сторона MN противоположна PK, а MK противоположна NP. Следовательно, исходя из определения, следует вывод о том, что MN || PK, а MK || NP.
Параллельные отрезки общих точек соприкосновения не имеют. Следовательно, PK находится со стороной MN по одну сторону. Отрезок NP соединяет точку N отрезка MN с точкой P отрезка PK. Противоположный отрезок MK соединяет оставшиеся две точки отрезков, что дает право утверждать о нахождении отрезков NP и MK по одну сторону от прямой MN. Исходя из всего вышесказанного, можно сделать вывод о том, что три стороны PK, NP и MK располагаются по одну сторону от отрезка MN.
Аналогичный алгоритм доказательства предположения о нахождении трех других сторон по одну сторону относительно остальных.
Противоположные стороны и углы попарно равны
Имеется четырехугольник MNPK, у которого MK=NP, MN=PK, ∠NMK=∠NPK, ∠MNP=∠MKP.
Параллелограмм — это, как мы знаем, четырехугольник. Следовательно, имеет 2 диагонали. Зная о том, что это выпуклая фигура, делаем вывод о делении фигуры на два треугольника. В нашем случае образовались треугольники MNP и MKP.
У треугольников имеется общее — сторона MP. ∠NPM=∠PMK, а ∠NMP=∠MPK, так как накрест лежащие углы, пересекая параллельные прямые, равны.
Следовательно, ΔMNP=ΔMKP, так как одна общая сторона и два равных смежных угла. Отсюда NP=MK, MN=PK.
∠NPM=∠PMK и ∠NMP=∠MPK
Из равенств следует, что ∠NMK=∠NPK.
Таким образом, теорема о равенстве противоположных углов и сторон доказана.
Точка пересечения диагоналей разделяет их пополам
Зная, что параллелограмм представляет собой выпуклый четырёхугольник, можно сказать о наличии двух пересекающихся диагоналей.
Есть четырехугольник MNPK с диагоналями NK и PM, пересекающимися в точке O. Возьмем два полученных треугольника MNO и PKO.
Из свойства противоположно лежащих сторон параллелограмма следует равенство MN=PK. Угол MNO и угол OKP — накрест лежащие, следовательно, они равны. Аналогично, два других угла — NMO и OPK — являются равными. Делаем вывод о равенстве треугольников MNO и PKO по стороне и двум углам.
Из рисунка видно, что углы MON и KOP вертикальные, а значит, они равны.
Зная о равенстве образовавшихся треугольников, можно утверждать и о равенстве всех соответствующих элементов. Сторона MO равна стороне PO, как и сторона NO=OK. Каждая из пар вместе представляет собой диагональ параллелограмма.
Таким образом, теорема о делении диагоналей пополам доказана.
Видео:Оси симметрии прямоугольника, равнобедренного треугольника, окружностиСкачать
Углы параллелограмма
Для углов действует правило, согласно которому смежные углы в сумме дают 180 градусов, а два противоположных равны друг другу. Основываясь на этих утверждениях, значения остальных углов находятся по формуле:
Видео:8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать
Свойства диагоналей параллелограмма
- Точка пересечения диагоналей разделяет их пополам.
- Любая диагональ разделяет фигуру на два треугольника, равные друг другу.
- Сумма квадратов его диагоналей равняется сумме квадратов всех его сторон.
- Площадь фигуры находится путем умножения длины диагоналей на синус угла, расположенного между ними, разделённый на 1/2.
Видео:Сколько осей симметрии имеет каждая фигура пентамино ➄ На уроках геометрииСкачать
Как вычислить площадь параллелограмма?
Существует несколько вариантов нахождения площади:
- По основанию и высоте: S=a*h.
- Зная значение двух смежных сторон и угла между ними: S=a*b*sin(α)°.
- По длине диагоналей и углу между ними: S=1/2*d1*d2*sin α.
Разберем подробнее последнюю формулу площади на примере. Дан параллелограмм с диагоналями АС и BD. Точка пересечения — О. Угол пересечения диагоналей в точке O = 60°. Отрезки AO=6 см и OD=5 см Площадь находится по формуле:
Зная свойство деления диагоналей точкой пересечения пополам, получаем:
AC=AO*2=12 см и DB=OD*2=10 см
Подставляем полученные значения в формулу:
S=1/2 * 12*10*1/2√3=51,962 см 2
Видео:Ось симметрии. Что это такое и как её проводить?Скачать
Как вписать параллелограмм в окружность?
Вписанный параллелограмм — это когда фигура находится внутри окружности.
Не каждый параллелограмм можно поместить внутрь окружности. Эту манипуляцию можно проделать с той фигурой, у которой два противоположных угла в сумме составляют 180 градусов.
Из этого можно прийти к выводу, что у вписанного в окружность параллелограмма все четыре угла равны 90°. Параллелограмм бывает трех видов: квадрат, ромб, прямоугольник. Следовательно вписать в окружность можно прямоугольник, квадрат.
- Начертить окружность.
- Найти ее центр, обозначить буквой O.
- Выбрать любую точку на окружности и назвать ее точкой A.
- Если вписываем квадрат, то нужно построить два диаметра с углом между ними в 90 градусов. Точки пересечения диагоналей с окружностью соединить прямыми линиями.
- Для прямоугольника нужно иметь значения угла между диагоналями или размеры сторон. Зная размеры сторон по теореме Пифагора, высчитываем угол между диагоналями. Проведя один диаметр, обозначить точки пересечения с окружностью. От точки O (центр окружности и середина диагонали) отмерить угол между диагоналями. Провести второй диаметр через центр и новую полученную точку. Соединить полученные точки прямыми.
Видео:Прямоугольник. Ось симметрии. 5 классСкачать
Как вписать окружность в параллелограмм?
В окружность можно вписать параллелограмм при условии равнозначных сумм противолежащих сторон. Из трех вариантов параллелограмма сумма противоположных сторон одинакова только у ромба. Следовательно, если в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм является ромбом.
- Начертить ромб можно, зная длину минимум одной стороны и одного угла.
- Провести горизонтальную линию, равную длине стороны.
- Транспортиром отмерить известный угол и провести луч.
- На луче отмерить тот же самый размер стороны.
- Оставшиеся две стороны нарисовать параллельно имеющимся.
- Согласно свойству ромба и вписанной окружности, проводим две биссектрисы из смежных углов (они же диагонали в ромбе).
- Пересечение биссектрис отметить точкой О.
- Точка О будет центром окружности.
- Вписанная окружность должна касаться всех сторон параллелограмма. Следовательно, стороны ромба будут касательными к окружности.
- Касательные перпендикулярны радиусу, который проходит к точке касания. Таким образом, из центра окружности (точки О) надо опустить перпендикуляр к любой стороне ромба.
- Иголку циркуля поставить в точку О, а ножку — на точку касания перпендикуляра со стороной ромба.
- Начертить окружность.
- Правильно начерченная фигура будет соприкасаться со всеми сторонами ромба.
Видео:Технология 2 класс (Урок№3 - Что такое симметрия?)Скачать
Как начертить параллелограмм?
Рассмотрим схему построения каждого вида по отдельности.
Алгоритм построения квадрата
- Узнать размер одной стороны. Этого достаточно, так как все стороны в квадрате равны.
- Один из признаков квадрата — все углы равны 90 градусов.
- Чертим прямую, равную длине одной стороны.
- С каждой стороны проводим перпендикулярную линию.
- На перпендикулярах отмечаем нужную длину и ставим точку.
- Соединяем две точки, построенные на перпендикулярных прямых.
Построение ромба
- Начертить ромб можно, зная длину минимум одной стороны и одного угла.
- Провести горизонтальную линию, равную длине стороны.
- Транспортиром отмерить известный угол и провести луч.
- На луче отмерить тот же самый размер стороны.
- Оставшиеся две стороны нарисовать параллельно имеющимся.
Как построить прямоугольник
- Нужно знать значения длины и ширины.
- Начертить прямую, равную длине.
- Провести два перпендикуляра с обеих сторон отрезка.
- Отметить на перпендикулярных линиях отрезок равный ширине прямоугольника.
- Соединить полученные два отрезка.
- При правильном построении полученная линия должны быть перпендикулярна длине (первой начерченной линии).
Видео:Центральная симметрия. 6 класс.Скачать
Трапеция — это параллелограмм?
Обе фигуры являются четырехугольниками с двумя противоположными сторонами, которые равны. Трапеция по определению имеет 2 непараллельные стороны. В параллелограмме все 4 стороны попарно параллельны.
Таким образом, трапеция не является параллелограммом.
Видео:6 класс, 26 урок, СимметрияСкачать
Средняя линия параллелограмма
Под этим термином понимается отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма.
Средняя линия всегда равна параллельной ей стороне
Свойства средней линии в параллелограмме:
- точка пересечения диагоналей является точкой пересечения средних линий;
- точка пересечения делит средние линии пополам;
- точка пересечения выступает центром симметрии параллелограмма.
Видео:Математика 5 класс. Ось симметрии фигурыСкачать
Параллелограмм, у которого все стороны равны
Все четыре стороны имеют равное значение в двух разновидностях фигуры — ромбе и квадрате.
Видео:У равнобедренного треугольника есть ось симметрии. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Ось симметрии параллелограмма
Под осью симметрии понимается прямая, разделяющая фигуру на две зеркально равные фигуры.
В прямоугольнике осью симметрии являются прямые, которые проходят через середину противоположной стороны.
В ромбе оси симметрии представляют собой его 2 диагонали.
Квадрат, объединяя в себе две предыдущие фигуры, имеет 4 оси симметрии: 2 диагонали и 2 средние линии.
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)Скачать
Симметрия параллелограмма
Какая симметрия есть у параллелограмма?
Параллелограмм — центрально-симметричная фигура.
Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей.
Пусть X — произвольная точка параллелограмма. Проведём луч XO. На пересечении XO со стороной CD отметим точку X1. Рассмотрим треугольники XOB и X1OD:
1) BO=OD (по свойству диагоналей параллелограмма)
3) ∠XBO=∠X1DO (как внутренние накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей BD).
Следовательно, треугольники XOB и X1OD равны (по стороне и двум прилежащим к ней углам).
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: XO=X1O, то есть точки X и X1 симметричны относительно точки O.
Имеем: точка, симметричная произвольной точке параллелограмма, также принадлежит параллелограмму. Следовательно, параллелограмм является централь-симметричной фигурой.
Что и требовалось доказать .
В общем виде параллелограмм осей симметрии не имеет. Осевой симметрией обладают только его частные случаи — прямоугольник, ромб и квадрат.
Видео:№422. Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?Скачать
ГДЗ по геометрии Атанасян 8 класс. Гл.V №417. Сколько осей симметрии .
Нуждаюсь в помощи Гл.V №417.
Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?
Надеюсь моя помощь будет полезной. Задачи Гл.V №417.
а) Отрезок имеет две оси симметрии — прямую на
которой он лежит и срединный (серединный) перпендику-
ляр.
б) Прямая имеет бесконечной множество осей симмет-
рии — сама прямая и множество перпендикулярных к ней
прямых (так как прямая бесконечна).
в) Луч имеет одну ось симметрии — прямую, на которой он лежит.
ОТвет: а) две; б) бесконечное множество; в) одну.
📸 Видео
Оси симметрии - Сайт-игра РазумейкинСкачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
48. Осевая и центральная симметрииСкачать
Определение количества осей симметрииСкачать