Треугольник эйлера бернулли это

Предисловием можно считать «За что физики не любят математиков»: http://proza.ru/2015/11/16/160

а началом — «О прилипании предметов к телу человека»: http://proza.ru/2015/03/06/306

«Наука должна быть весёлая, увлекательная и простая. Таковыми же должны быть и учёные» (П.Л. Капица). и преподаватели. Но более всего наука должна быть честная. И «Ни один человек не должен покидать стены наших университетов без понимания того, как мало он знает» (Роберт Оппенгеймер). и как мало знают учёные. А чтобы так оно и было, нужно срезать профессора математической лженауки на первой же лекции. И прежним занудой он уже не будет. Знаю, что говорю, и привожу очередной пример.

Курс лекций по гидродинамике и аэродинамике начинается с закона Бернулли. Первый вопрос профессору на засыпку: «Что именно измеряют или показывают три трубчатых манометра на картинке вверху — давление в потоках или давление потоков?».

Правильный ответ: неподвижные поверхностные манометры на картинке вверху показывают давление потоков, так как для измерения давления в потоках нужны такие манометры или датчики давления, которые находились бы внутри потоков и двигались вместе с ними. Давление внутри потоков, знаете ли, почти всегда статично. Но таких мобильных манометров, которые могли бы быть неподвижными относительно ламинарных потоков, нет в опытах к теме «Закон Бернулли». Однако вывод сделан такой, словно они есть, словно давление внутри потоков уже измерено. «Для физика должно существовать только то, что измерено» (Нильс Бор). а не то, что можно подумать, придумать, недодумать и сосчитать. Сосчитать то, чего нет, может каждый.

С маленькой лжи, как правило, начинается ложь большая. «Ложь большая» — это теория. Правильных теорий не бывает, поэтому «Никаким количеством экспериментов нельзя доказать теорию, но достаточно одного эксперимента, чтобы её опровергнуть» (А.Э.). Вся научная гидродинамика и аэродинамика опровергаются опытами по измерению давления в потоках.

Профессор, ау-у. Вы нас слышите. В опытах к теме «Закон Бернулли» нет соответствующих выводам измерений. Вы врёте по причине того, что ни один математик не отличает «давление потока» от «давление в потоке». Доказательства — картинки из учебников и глупые формулки под ними.

Так как давление в потоках у теоретиков не измерено, профессору опыт на картинке вверху говорит одно, а нам — другое: «Давление потока на параллельную потоку поверхность всегда тем меньше давления в самом потоке, чем больше скорость потока; а давление потока на поперечную или наклонную поверхность всегда тем больше давления в потоке, чем больше скорость самого потока». И чем наш вывод хуже.

А тем-то он и хуже, что никакой научности и сложности для понимания в нём нет. К тому же, давление потока на поперечную поверхность или «скоростной напор» измеряется с помощью Г-образной «трубки Пито», вставляемой в поток загнутым концом навстречу потоку. Отсюда: давление в самом потоке примерно равно среднему арифметическому от показаний «трубки Пито» и «трубки у Бернулли». Более того, в ньютоновской механике уменьшение силы давления на параллельную потоку или телу поверхность с увеличением скорости потока или тела и одновременное увеличение давления потока или тела на поперечную поверхность можно объяснить простым векторным разложением силы давления потока или тела. Чем больше скорость автомобиля, тем меньше его вес и давление на дорожное полотно; чем больше скорость потока, тем меньше его давление на стенки трубы. Пусть пока будет так.

Конечно, наши выводы профессору будут сильно не по нутру. Но если он будет ещё в состоянии что-то говорить и продолжит настаивать на том, что «С увеличением скорости потока давление внутри потока уменьшается», то срежем его вторым вопросом: «Почему причина и следствие в формулировке общепризнанного закона Бернулли переставлены местами?».

Действительно, так сформулировать общий закон потоков мог только теоретик с математическим складом ума, для которого «Что полумёртвый равен полуживому, что полуживой равен полумёртвому, а «полу-» вообще можно сократить». А для физика и инженера давление всегда первично, а сам поток и его скорость — это всегда лишь следствие. Инженер так никогда не скажет: мол, чем больше скорость потока, тем меньше давление в нём. Для него это утверждение является противоречием здравому смыслу, то есть оксюмороном: дескать, чем выше фонтан, тем меньше давление в трубе. А как скажет инженер?

Инженер скажет: «Поток можно создать двумя противоположными, но равнозначными способами — локальным (или местным) повышением давления и локальным понижением его, потому что любой поток всегда движется в сторону меньшего давления. Это главный закон потоков или аксиома потоков, поэтому давление в потоке всегда стремится к выравниванию с внешним давлением и к уменьшению. При этом чем значительнее перепад и падение давления мы имеем или создаём, тем больше будет и скорость потока».

Можно короче: «Чем больше падение давления в потоке или на данном участке трубы, тем больше здесь и скорость самого потока». И это будет тривиальный закон потоков, у которого уже есть все пять обязательных признаков новой истины: простота, ясность, универсальность, «предсказательная сила» и антинаучность. Опровергнуть этот закон сможет только тот, кто создаст поток жидкости или газа, движущийся из области пониженного давления в область повышенного давления, то есть против действия превосходящих сил давления и упругости. Шутка.

«Тривиальный» — значит, яснее и проще некуда; значит, это закон-аксиома. К примеру, очень значительный перепад давления мы имеем сразу за камерой сгорания ракеты (примерно 250 атмосфер), и только поэтому скорость частиц реактивной струи, как говорят, достигает 3-х км/с. Вопрос профессору: «Что толкает ракету — закон сохранения импульса или асимметричное давление непрерывного взрыва в асимметричной камере сгорания?». Если скажет, что закон, перед вами математик. Стреляйтесь сразу, ибо ничто физическое и реально существующее вы ему объяснить уже не сможете (никто не сможет). «Математики похожи на французов: что бы вы ни сказали, они всё переведут на свой собственный язык. Получится нечто противоположное» (Гёте).

Если скоростной поток жидкости инженеры создают в длинной горизонтальной трубе постоянного сечения, то тут будет так: чем большее давление нагнетается в трубе, тем больше будет скорость потока в трубе при постепенном падении давления в потоке к концу трубы, то есть к расширителю потока. Всё проще простого: наибольшее давление в потоке будет в начале трубы, а наименьшее — в конце, при этом скорость несжимаемого потока будет одинаковой и там, и тут. Постепенное падение давления в потоке будет происходить по причине уменьшения массы (как меры инерции) и веса прокачиваемых жидкостей или газов на различных участках протяжённой трубы по мере приближения к концу трубы.

Любой пожарник скажет, что так оно и есть, ведь давление воды и в вертикальном потоке тоже убывает по мере приближения к концу пожарного рукава по причине уменьшения веса воды в столбе воды. А физик вспомнит ещё и про третий закон Ньютона — «Действие не может быть больше противодействия». «Действие» — это в данном случае сила нагнетаемого давления; а «противодействие» — это масса и вес потока плюс атмосферное давление на противоположном конце трубы. Противодействие уменьшается к концу трубы, и давление в потоке стремится к атмосферному.

Итак, давление в потоке жидкости на разных участках трубопровода всегда различное, а скорость потока всегда одна и та же; давление в жидкости может уменьшаться, а скорость потока при этом может сохраняться. Где тут закон Бернулли для давления в потоках. Законы Ньютона, да, мал-мало есть, а Бернулли нет и близко. Но для математиков закон есть закон, поэтому давление в скоростном потоке у них всегда низкое по всей длине трубопровода. Трубопровод разорвало. и никто не знает почему. А виноват Даниил Бернулли. Но «Кто ж его посадит, он же — па-мят-ник!».

Инженер-аэродинамист сформулирует свой закон потоков примерно так: «Давление потока на параллельную или отрицательно наклонную поверхность всегда тем меньше давления в самом потоке, чем больше скорость потока или поверхности (верхней поверхности крыла); а давление потока на поперечную или положительно наклонную поверхность всегда тем больше давления в самом потоке, чем больше скорость потока или поверхности (нижней поверхности атакующего крыла)». И это будет качественный закон взаимодействия потоков с поверхностями, так как в каждом конкретном случае величина давления потока на поверхность зависит не только от скорости потока, но и от физических свойств потока и поверхности, поэтому она не вычисляется, а только измеряется. Следовательно, математикам и в аэродинамике делать особо нечего.

Так что, два математических закона Бернулли мы отменили. Зато, теперь имеем два основных физических закона потоков — тривиальный и качественный. И всё в этих законах понятно, и всё работает. Профессор «падсталом». Но добьём его математическую лженауку.

Действие этих двух законов во многих опытах и явлениях складывается или накладывается, поэтому наблюдаемый результат нельзя объяснять действием только какого-то одного закона. Но объединённого закона Бернулли или третьего математического закона потоков никогда не было, поэтому как определить «личную долю» каждого закона в результате того или иного опыта к теме «Закон Бернулли» не знает ни один математик. но знает каждый инженер. Он просто измеряет с помощью манометров и динамометров давление в потоке и давление потока при различной скорости потока, а потом лишь сравнивает результаты измерений. и никаких теорий потоков для него словно не существует. Действительно, зачем вычислять, если можно измерить.

Сосчитать то, чего нет, может каждый. и превратить теоретическую физику в то, чего не может быть, чего уже никто не понимает, — тоже. Математические законы Бернулли — это лишь частный случай того, чего не может быть. Впрочем, математик всегда начинает считать, не спев подумать. Сейчас мы в этом снова убедимся.

Если подуть между двумя бумажными листами, подвешенными параллельно друг другу, листы сблизятся и почти сомкнутся. Можно подуть, а можно, наоборот, прососать пылесосом воздух между листами — результат тот же.

Математик Леонард Эйлер назвал этот опыт своего друга Даниила Бернулли «Великим парадоксом», ведь в первом случае листы должны были раздвинуться расширяющимся сжатым потоком. Сам назвал — сам и объяснил. через постоянство суммы потенциальной и кинетической или полной энергии замкнутой системы. Объяснил опять же уменьшение давления в потоке с увеличением скорости потока, а не уменьшение давления потока на листы, то есть объяснил совсем не то, что надо было объяснять. И объяснил опять же математикам, а не инженерам. Инженеры твёрдо знают: давление в потоке выдуваемого из лёгких воздуха не может быть меньше атмосферного давления. А вот давление выдуваемого потока на параллельные листы может быть меньше атмосферного, поэтому листы и смыкаются. Так мы о том и говорим. Кстати, ещё вопросец на засыпку: «С какого места в опытах к теме «Закон Бернулли» начинается «замкнутая система?». Профессор, ау-у. (Правильный ответ: «С головы».)

Качественный закон потоков гласит: «Давление потока на параллельную ему поверхность всегда тем меньше давления в самом потоке, чем больше скорость этого потока и чем больше хаос в движении частиц пограничного слоя потока». Можно короче: «Давление потока на параллельную поверхность всегда тем меньше, чем больше хаос в движении частиц потока».

В этой формулировке уже появилась физическая, а не математическая или теоретическая причина уменьшения давления потока на поверхность — это хаос или беспорядок в движении пограничных частиц потока. Вот почему на результат действия первого или тривиального закона потоков всегда накладывается действие второго или качественного закона, если мы рассматриваем взаимодействие потоков со стенками трубы, например, или с подвешенными листами. Однако давление внутри потока по-прежнему не измерено, а хаос в пограничном слое потока увидеть нельзя… Нет, уже всё можно. Человек, знаете ли, видит мир не глазами и слышит его не ушами.

В гидродинамике давление всегда первично, а скорость потока вторична; в аэродинамике скорость крыла всегда первична, а давление неподвижной атмосферы на него всегда вторично. Плоское крыло самолёта или птицы не изменяет давление в неподвижной атмосфере, а изменяется с увеличением скорости и угла атаки лишь взаимодействие быстрого крыла с атмосферой. Но в наших рассуждениях крыло чаще всего неподвижно, а это атмосфера «набегает» на крыло, словно всё происходит в аэродинамической трубе или в статическом (стационарном) потоке. Просто так нам удобнее рассуждать и объяснять.

У инженеров всё, что летает, делает это по причине совсем небольшой положительной разницы или асимметрии атмосферного давления на крыло. Появление подъёмной силы как раз и обусловлено качественным законом потоков: «Давление атмосферного потока на верхнюю отрицательно наклонную поверхность быстрого крыла тем меньше давления в самой атмосфере, чем больше хаос и разрежение частиц воздуха над ней; а давление потока на нижнюю положительно наклонную поверхность крыла тем больше атмосферного давления, чем больше скорость крыла, его угол наклона или атаки и деформация или уплотнение упругого воздуха под быстрым крылом». Как диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника, так и плоское атакующее крыло делит набегающий поток на две самостоятельные и равнозначные причины возникновения подъёмной силы.

Вспомним, атмосферное давление на уровне моря равно 1,0033 кг/см2. Это очень большая сила, которая давит на неподвижное плоское крыло совершенно одинаково и сверху, и снизу. Если атмосферное давление со стороны одной из поверхностей крыла убрать, то со стороны противоположной поверхности тут же возникнет сила равная 10033 кг/м2. Да, 10 тонн на каждый квадратный метр крыла! И что мы имеем: орёл весом 4 кг, имея площадь «несущих поверхностей» как раз 1м2, почти неподвижно парит в вышине при положительной разнице атмосферных давлений на его крылья всего 0,04% от теоретически возможного 1 кг/см2; АН-2 («кукурузник») летает горизонтально на разности 0,4% атмосферного давления; а скоростному современному пассажирскому авиалайнеру для горизонтального полёта достаточно и 5% от 1 кг/см2 или 50 г/см2.

Как инженеры это узнали? Они применили принцип пропорциональности Леонардо да Винчи и разделили вес орла или летательного аппарата на площадь его несущих поверхностей. Вот и всё. А у математиков всё, что летает, летать не может по причине крайне не достаточной (в 6 раз меньше веса самолёта или божьей твари) подъёмной силы, вычисленной ими по самым надёжным математическим законам ньютоновской механики. Можете посмотреть по запросу «Парадокс шмеля», как математики из NASA и британские учёные вычисляли подъёмную силу. Ужас! Знание математической физики сделало их ещё глупее, чем когда они родились. И вообще, математик, считающий себя физиком, — это ноль в квадрате. Считать, что подъёмная сила крыла есть результат сопротивления воздушной среды его движению, в наше время может только профессор математики, а не физики. Читайте по запросу «О математическом идеализме в физике» (это не только мои статьи).

Идеальный или самый эффективный аэродинамический профиль – это «беспрофиль», то есть плоское, как лезвие безопасной бритвы, крыло. И это для передовых инженеров уже аксиома или «новая аэродинамика», а Природа это знала ещё со времён первых летающих насекомых и птеродактилей. Так вот, асимметричное атмосферное давление на совершенно плоское крыло возникает и при его нулевом угле наклона к вектору движения набегающего атмосферного потока, если верхняя поверхность крыла испещрена микроскопическими неровностями, а нижняя – максимально гладкая. В воде «эффект хаоса над крылом» проявляется ещё значительно сильнее.

Это утверждение доказано самой эволюцией живой природы и передовой практикой авиастроения. Смотрим на расправленное крыло любой птицы: сверху оно бархатистое и может играть всеми цветами радуги, что физику говорит о дисперсии света на мельчайших неровностях на поверхности, а снизу – всегда очень плотное, гладкое и со стальным отливом. Смотрим на современный пассажирский «Боинг»: сверху он словно матовый, а снизу – зеркально гладкий. И пусть та положительная разница в атмосферном давлении на крыло, которая возникает только по причине различного качества покрытия его аэродинамических поверхностей, будет и недостаточной для полёта, но именно она и позволит самолёту или птице лететь горизонтально с меньшим углом атаки, то есть с меньшим лобовым сопротивлением, экономя топливо и силы.

Инженеры «Боинга» говорят, что уже экономят на «эффекте хаоса над крылом» до 7-ми процентов топлива, а это огромные деньги. Смотрите фотографии «Боингов» и читайте по запросу «Аэродинамика Боинг». А наши дурни из Сколково одной краской покрывают весь Боинг. Смотрите по запросу «Красим Боинг». Кожа акулы тоже только кажется гладкой, а на ощупь она сравнима с наждачной бумагой. Шершавая кожа способствует образованию хаоса в пограничном слое воды, что ещё больше уменьшает её давление на быструю акулу. И таких примеров «мильён».

«Если ты не можешь объяснить что-либо просто — значит, ты сам этого не понимаешь» (Эйнштейн). или говоришь о том, чего нет, ибо познанное всегда проще непознанного. «Вашу теорию относительности не понимает никто в мире, но Вы всё-таки стали великим человеком» (Чаплин). «Человек, на исправление ошибок которого потребовалось целое десятилетие, — это действительно человек» (Оппенгеймер). Эйнштейн очень много сделал для любителей огромных и сверхмалых чисел и всевозможных формул, но он «наследил» ещё и в аэродинамике.

В рассуждениях Эйнштейна о подъёмной силе («Элементарная теория полёта и волн на воде» 1916. Берлин) есть только верхняя горбатая поверхность крыла и есть закон Бернулли: мол, крыло делит набегающий поток на два потока, из которых верхний, огибающий горб, всегда несколько быстрее прямого нижнего, а раз быстрее, то и меньше давление в нём; дескать, вот вам и положительная или подъёмная разница атмосферного давления на крыло. Но при этом его ни разу не посетила простая мысль вот о чём: при увеличении скорости крыла разница в скорости верхнего и нижнего потока остаётся той же самой, то есть 1/9 — 1/6; закон Бернулли действует и над, и под крылом. и как итог: при увеличении скорости самолёта подъёмная сила по закону Бернулли увеличиваться не может, то есть самолёт на горизонтальных крыльях просто-напросто не взлетит. Однако небольшая подъёмная сила горизонтального горбатого крыла всё же имеет место быть, но не по закону Бернулли, а по причине разрежения и завихрения воздуха за горбом, то есть по качественному закону потоков (отрицательно наклонная поверхность).

Как авторитетные авиаторы ни пытались хоть что-то объяснить знаменитому теоретику про угол атаки крыла и наклон всего самолёта к вектору движения, как о главной причине возникновения положительной разницы атмосферного давления, он лишь снисходительно посмеивался над ними (к примеру, переписка Эйнштейна с испытателем самолётов Паулем Георгом Эрхардтом). Дундуковость учёного всегда начинается с непонимания, незнания или с «незамечания» им сущей простоты и с желания выглядеть умным. Смотрите «Эйнштейн и подъёмная сила, или Зачем змею хвост». «Математика — единственный совершенный метод водить себя за нос» (Эйнштейн). и других — тоже. Вопросы профессору на засыпку: «Почему в рассуждениях теоретиков горбатого профиля закон Бернулли действует только над крылом?»; «Что доказал лейтенант Кульнев, совершивший в 1913 году затяжной горизонтальный полёт на перевернутом гидросамолете?» (Он доказал, что с хорошим движком и дверь полетит — был бы положительный угол атаки.)

Про математика Николая Жуковского и про его «присоединённые вихри», как о причине возникновения подъёмной силы, толкающей крыло снизу вверх, даже упоминать не хочется. Самолёты Эйнштейна и Жуковского — «беременная утка» и «шестикрылый монстр доаэродинамического периода» — не полетели по причине большого паразитного лобового сопротивления очень горбатых крыльев. Но именно они, а не Природа являются основоположниками и «отцами» аэродинамики. А ведь ещё Галилей завещал нам искать подсказки для ответов на все вопросы у Природы и в лабораториях, а не в научных текстах. Смотрите по запросу «Посмеёмся, мой Кеплер, великой глупости людской». «Великая глупость людская» — это глупость учёных. А их, учёных и учителей, и во времена Галилея было, мягко говоря, не мало.

Повторяем только что доказанный вывод: «Давление потока на параллельную ему поверхность всегда тем меньше давления в самом потоке, чем больше скорость этого потока и чем больше хаос в движении частиц пограничного слоя потока». «Степень хаоса» не вычисляется по математическим формулам, а «личная доля» каждого из двух законов потоков в наблюдаемых эффектах уменьшения давления потоков на поверхности с увеличением их скорости в каждом конкретном случае зависит от качества потоков и поверхностей, поэтому при желании тоже только измеряется, но не вычисляется. Вот почему математикам уже делать больше нечего — ни в аэродинамике, ни в объяснениях взаимодействий потоков с поверхностями. Так что, не только «Математика убивает креативность» (Андрей Фурсенко), но и креативность убивает математику. Причём математика убивает креативность всегда, а креативность убивает математику ещё недостаточно часто. «Занимаясь расчётами, ты попадаешь впросак, прежде чем успеваешь это осознать» (Эйнштейн). но чаще этого не замечаешь.

Однако вторым законом потоков объясняются не только опыты к теме «Закон Бернулли», но ещё один раз доказывается нечто совсем другое, позволяющее увидеть истоки математического идеализма в физике и похоронить математическую физику, как науку о природе. «Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадёжны; а надёжные математические законы не имеют отношения к реальному миру» (А. Эйнштейн). Сейчас мы эту словесную формулу математического идеализма просто-напросто докажем. Вернее, я докажу, а вы. согласитесь.

Невесомые вещества – это хаосы: «Если нет веса у беспорядочно мечущейся частицы, то нет его и у целого» (Левкипп и Демокрит). Древние греки считали воздух невесомым веществом, но даже не все плазмы – это невесомые хаосы: «неорганизованная» плазма – это всем хаосам хаос; а «самоорганизованная» плазма — совсем не хаос. Последняя образуется в замкнутых объёмах или под внешним давлением и состоит из равноудалённых колеблющихся частиц. Напряжением взаимного отталкивания равноудалённых частиц «организованная» плазма способна разорвать любые оболочки или направленным действием пробить любую броню, что и используется инженерами-взрывниками уже довольно давно. (Смотрите по запросу «Самоорганизованная плазма».)

Самый яркий пример «неорганизованной» плазмы – это удалённая от поверхности плазменная атмосфера Солнца или его корона; самый простой пример «организованной» плазмы — пламя свечи, обжатое атмосферным давлением. Но у хаосов нет не только ни веса, ни существенного давления, но они ещё и непрозрачны ни для звука, ни для электромагнитных колебаний. К примеру, «неорганизованная» плазма, окружающая гиперзвуковую ракету, не позволяет управлять ракетой с помощью радиосигналов.

«Все жидкости и газы на Земле имеют вес и находятся под давлением веса собственных и выше расположенных слоёв» (Архимед). Поэтому все прозрачные жидкости и газы состоят из примерно одинаковых, равноудалённых и условно неподвижных (колеблющихся или дрожащих) частиц, находящихся в состоянии взаимного отталкивания и относительного (или чуткого) равновесия и взаимно отталкивающихся в газах на расстояниях много больших, чем в жидкостях. Отсюда: давление в любой точке водоёма или атмосферы равно напряжению взаимного отталкивания равноудалённых частиц в этой точке, и по силе оно равно весу всех частиц над этой точкой. Уберите атмосферное давление, и капля воды тут же исчезнет, разлетевшись на молекулы, а аквариум с водой словно взорвётся. И повинно в том будет как раз-таки «напряжение взаимного отталкивания равноудалённых частиц». Смотрите по запросу «Современный Архимед. Трактат «О плавающих телах» и «К физике антигравитонов». Там есть опыты, позволяющие буквально увидеть неподвижность колеблющихся частиц в жидкостях и в газах. Особенно показателен опыт по мгновенному замерзании переохлаждённой воды при её встряхивании в пластиковой бутылке. Многие его знают, но не понимают.

Способность атомов и молекул к движению взаимного отталкивания пропорциональна температуре. А температура – это «опосредованное мерило» интенсивности атомных и внутриатомных движений и величины гравитационных моментов (квантов, импульсов) атомов, передающихся от атома к атому путём индукции.

Гравитационные моменты у более возбуждённых атомов больше, а у «менее горячих» — меньше. Этими моментами атомы словно дёргают друг друга, понуждая сами себя к взаимному отталкиванию, к синхронности движений и к равновесию. Так осуществляется встречный индукционный или индуктивный теплообмен в природе и в гравитационной физике. О квантовой природе тяготения и отталкивания, электромагнетизма и прочего всего смотрите по запросу «Гравитационная физика. Атом».

Или вы думаете, что теоретики знают об атоме больше инженеров. Отнюдь. «Нет ни малейших признаков того, что атомная энергия когда-нибудь станет доступна людям. Это значило бы, что человек научился расщеплять атом» (Альберт Эйнштейн). «Десять лет моей жизни было потрачено только на то, чтобы полностью избавиться от идей этого человека» (Роберт Оппенгеймер об Эйнштейне и его теориях). Роберт Оппенгеймер — это инженер-изобретатель, «папа атомной бомбы». Он же на вопрос президента Гарри Трумэна «Когда русские смогут сделать атомную бомбу?» ответил: «Никогда». Дескать, в учебниках русских нет и намёка на реальную физику атома. И был абсолютно прав: русские сделали американскую атомную бомбу. Но в наших учебниках ничто не изменилось, словно атомного взрыва и не было. Смотрите по запросу «Гравитационная физика. Атом».

Теперь, думаю, вам уже более понятно — почему с увеличением скорости потока его давление на параллельную поверхность всегда уменьшается. Да, потому что при движении жидкого или газообразного кристалла вдоль шершавой поверхности возникает невесомый беспорядок в движении частиц пограничного слоя этого кристалла. Однако всё, что человек понимает, он когда-то понял сам — даже если ему в этом кто-то помог.

P.S. «Учёные объясняют то, что уже есть; инженеры создают то, чего никогда не было. И всё понятно, и всё работает. Мы же соединяем теорию с практикой: ничто не работает. и никто не знает почему» (Эйнштейн). У теоретиков ничто не работает потому, что у них «самая успешная математическая теория 20-го века» — это кинетическая теория теплоты и давления, не имеющая к физической реальности никакого отношения. Да и вся математическая или теоретическая физика — это то, чего не может быть. А то, что может быть, это — инженерная физика, то есть физика природных и искусственных технологий. И вообще, наука — это логичная совокупность всех явлений и всего известного опыта, а также поиск нового опыта. «Логичная» — значит, простая, явная, последовательная, взаимосвязанная и взаимообусловленная реальность, имеющая общую причинность.

Там, где нет науки, есть научность. Научность появляется именно там, где посредством математических действий и преобразований доказывается возможность невозможного, где одно непонятное объясняется посредством чего-то ещё более непонятного, где кому-то удаётся из очевидного сделать невероятное и где постулируется, то есть берётся за основу, то, что невозможно ни опровергнуть, ни доказать. Это словно злонамеренно рассчитано на то, что глупцам умным и научным кажется лишь то, чего они не понимают. «Конечно, ваша гипотеза безумна. Но достаточно ли она безумна. Если гипотеза недостаточно безумна, науке от неё не будет никакого толку» (Нильс Бор). а учёным — проку.

Простые и разумные идеи нужны только инженерам. И только они знают, что сложных открытий не бывает, что простота ближе к Природе и к пониманию Природы. но истинная простота — это как раз то, что впервые даётся познанию людей труднее всего. Но простота — это ещё и то, что учёным труднее всего объяснить. Более того, простота объяснения того или иного явления или опыта — это для теоретика хуже воровства и большое свинство. Дошло уже то того, что сказать правду учёным может только хам, антисемит и неуч. И только поэтому самым большим парадоксом является то, что этот мир всё же познаваемый (с).

И ещё. Всем теоретикам и преподавателям на засыпку: «Какой теорией руководствовались братья Райт, когда делали свой воздушный винт, который у них получился с КПД 78-80%, если научной аэродинамики ещё не было, а КПД самых современных пропеллеров из дерева не превышает 85%?».

Хотелось бы услышать возражения или замечания, но их почему-то нет. Видимо, с тем, что мы живём в эпоху математических лженаук, уже никто не спорит.

Воображеньем прозорливым
К догадкам верным нас несло…
Но сонм учёных кропотливых
Свернул наш поиск — на число.

И лязгом счёта оглушённый
Забыл наш ум — решенья ключ…
Стал слепнуть, в шоры цифр втеснённый.
А был так зряч и так могуч!

Уж цифре памятник построен,
Распята Истина на нём.
Поклонник счёта, жрец и воин
Простёрся ниц перед числом:

Не осознать бедняге в заблужденье,
Как много лжи за ширмой исчисленья!

Видео:Закон БернуллиСкачать

Треугольник эйлера бернулли это

Долгая дорога к бесконечности»

С точки зрения арифметики большинство чисел отличается, так сказать, «хорошим поведением». Четные числа всегда чередуются с нечетными, каждое третье число всегда кратно трем, квадраты чисел подчиняются определенному закону. Поэтому мы можем составить длинный ряд чисел, которые ведут себя так, как им положено, независимо от длины этого ряда и величины самих чисел. Но простые числа похожи на неуправляемую толпу. Они появляются там, где им захочется, без предварительного предупреждения, на первый взгляд, совершенно хаотично, без какой-либо закономерности. А самое главное — их нельзя проигнорировать: простые числа необходимы для арифметики и для математики в целом.

Простые числа — не такая уж сложная тема, на изучение которой потребовалось бы много лет; фактически ее проходят еще в школе. Чтобы понять, что такое простое число, нужно лишь уметь считать и владеть четырьмя основными арифметическими действиями. Тем не менее, простые числа были и продолжают оставаться одной из самых удивительных проблем в истории науки. Тот, кто хочет заниматься математикой, но не владеет теорией простых чисел, ничего не сможет добиться, так как они присутствуют везде — иногда затаившись, как в засаде, готовые появиться когда их меньше всего ожидаешь. С неизбежностью появления простых чисел невозможно не считаться.

Простые числа важны не только в математике. Многие даже не догадываются о том, что они играют важную роль в нашей повседневной жизни, например, в банковских операциях или в обеспечении защиты персональных компьютеров и конфиденциальности разговоров по мобильному телефону. Они являются краеугольным камнем компьютерной безопасности.

В метафорическом смысле простые числа — как вредоносный вирус: если он захватывает ум математика, его очень трудно искоренить. Евклид, Ферма, Эйлер, Гаусс, Риман, Рамануджан и многие другие известные математики стали его жертвой.

Хотя некоторым и удалось более-менее излечиться, все они страдали навязчивой идеей найти «волшебную формулу», которая определяет, какое простое число будет следовать за определенным натуральным числом. Однако никому еще не удалось открыть это правило.

Простые числа на протяжении всей истории математики порождали множество гипотез. В каком-то смысле можно сказать, что история простых чисел является историей неудач, но прекрасных неудач, которые со временем привели к возникновению новых теорий, свежих воззрений и передовых рубежей. В смысле развития математики простые числа являются источником чрезмерного богатства: как это ни парадоксально звучит, даже хорошо, что эта теория до конца не изучена. И все говорит о том, что такая ситуация будет сохраняться в течение долгого времени.

При подготовке этой книги мы старались поддерживать «высокий» уровень разъяснения: объем математических знаний, необходимых для понимания материала, может быть небольшим. Кавычки указывают на то, что эти понятия относительны, тем более для рассматриваемых здесь тем. Во всяком случае, эта книга является кратким путеводителем по миру простых чисел и будет полезна каждому читателю, который знает, что такое числа, и умеет оперировать ими.

С другой стороны, для читателей, имеющих более глубокие знания математики, мы постарались включить информацию о конкретных исторических процессах, необходимых для понимания тонкостей, которые великие математики применяли в решении проблем, связанных с простыми числами.

Как будет ясно из первой главы, понятие простых чисел и задачи, связанные с ними, можно легко объяснить, но решения этих задач в большинстве своем относятся к сложнейшим областям профессиональной математики.

На заре арифметики

Как и у всего остального, у простых чисел тоже есть происхождение: свое начало они берут в системах счета. Простые числа появились одновременно с натуральными, но очень быстро выделились в виде особого набора специальных чисел.

Нет ничего более натурального, чем натуральные числа.

«Бог создал первые десять чисел, остальное — дело рук человека». Эти слова сказаны немецким математиком Леопольдом Кронекером (1823–1891) про натуральные числа, которые мы используем при счете: 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. Кронекер имел в виду, что могучее здание математики построено на самой простой, элементарной арифметике. Если не углубляться в религию, то утверждение о том, что Бог дал нам первые десять чисел, означает, что эти числа всегда были частью природы.

Без особой натяжки можно предположить, что необходимость в счете появилась, когда человечество перешло от охоты и собирательства к земледелию и животноводству. При этом урожай и скот перестали быть продуктами немедленного потребления, а превратились в товары, которые нужно считать, регистрировать и продавать.

Это создало потребность в конкретных способах счета. Представим себе пастуха, который выгоняет стадо на пастбище. Он должен быть уверен, что в загон вернется то же количество животных, которое он выпускал. Без системы счета самым естественным решением будет взять горсть гальки и класть один камень в сумку каждый раз, как из загона выходит одна овца. Затем, по возвращении, он должен вынимать один камень для каждой входящей в загон овцы, чтобы таким образом убедиться в том, что все овцы целы. Это, конечно, примитивная система подсчета. Кстати, слово подсчет (calculation) происходит от латинского слова calculus, означающего «галька, камешки». Такая галечная система не требует понятия числа. В терминах современной математики мы бы сказали, что пастух устанавливает взаимно однозначное (один к одному) соответствие между стадом овец и множеством камней.

Заметим, однако, что математическое понятие взаимно однозначного соответствия между двумя множествами появилось лишь в XIX в., поэтому было бы странным называть такой процесс подсчета наиболее естественным. Так что, используя слова «естественный» или «натуральный», по крайней мере в этом контексте, мы должны сделать некоторые разъяснения.

Можно предположить, что естественным следует называть такой мыслительный процесс, который не требует предварительных размышлений. Однако нельзя быть уверенным в том, что система подсчета с использованием мешка камней не потребовала предварительных рассуждений. В любом случае естественный мыслительный процесс может быть охарактеризован легкостью исполнения и эффективностью в достижении цели. Использовать количество размышлений для определения естественности мыслительного процесса не совсем приемлемо. В этом контексте лучше говорить об уровнях абстракции.

Когда китайцы говорят о десяти тысячах звезд на небе, это не значит, что они их все посчитали. Это просто способ выразить очень большое число. Можно подумать, что для выражения такого понятия лучше подходит число миллиард. Но мы должны с самого начала учитывать, что наше непосредственное восприятие чисел ограничено пятью единицами. Если кто-то показывает пять пальцев одной руки и три пальца другой, мы практически сразу определяем общее количество в восемь пальцев, но для нас это почти что шифр. Когда же восемь объектов разложены на столе, нам придется посчитать их или визуально разделить на маленькие группы, чтобы узнать их количество. Поэтому нам очень трудно представить миллион объектов, если у нас нет непосредственного соответствия. Мы знаем, что значит выиграть миллион фунтов в лотерею, потому что мы знаем цену деньгам, и мы быстро проделываем мысленные расчеты, что на них можно купить. Но существует большая разница между таким пониманием и четким представлением о том, как выглядит выложенный в ряд миллион монет в один фунт (они покроют расстояние в 22,5 км).

Видео:Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать

Исследовательская работа «История комбинаторного анализа» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №47» г. Перми

ИСТОРИЯ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА

Выполнил ученик 11 класса

Карнишина Валентина Ивановна

Вряд ли сегодня найдется математик, который бы в детстве не увлекался решением различных комбинационных задач: построением магических квадратов, расстановкой ферзей на шахматной доске, которые не бьют друг друга, обходом конем всех шахматных полей… Одни увлекательные комбинационные проблемы появились в глубокой древности, другие возникли сравнительно недавно, но все они вызывают неподдельный интерес математиков, которые обращаются к ним вновь и вновь.

Можно с достаточной уверенностью утверждать, что математика как наука начиналась с комбинаторного анализа. Решаемые при этом проблемы имели практическое значение. Но в то же время они представляли большой интерес пытливому уму, являлись тем оселком, на котором оттачивались математические способности людей. Среди дошедших до нас математических задач древнейших цивилизаций – Китая, Индии, Греции – в большом количестве присутствуют комбинаторные задачи. Так, первым дошедшим до нас магическим квадратом 3х3, является древнекитайское изображение на черепаховом панцире, созданное в 2200 г. до н.э. Но известен этот магический квадрат, по-видимому, был гораздо раньше. Так в рукописи «Же Ким» ( XII — XIII в. до н.э.) сказано, что император Ию, который жил около 4 тысяч лет назад, «нашел на берегу реки священную черепаху, на ее панцире был изображен рисунок из черных и белых кружков».

Но, несмотря на свою древность, комбинаторика долгое время оставалась вне серьезных математических исследований. Только со второй половины XX в. резко возрос интерес со стороны ведущих математиков мира к комбинаторному анализу. Это связано, с прежде всего, с резким расширением области его приложений. Комбинаторные методы анализа стали активно применяться в других разделах математики, например, теории чисел, теории вероятностей, алгебре, геометрии. С другой стороны, комбинаторный анализ все больше применяется в практической деятельности человека: в лингвистике, экономике, медицине, генетике, психологии, криптографии, связи, статистической физике. В то же время интерес самих математиков к комбинаторике резко возрос в связи с появлением в середине прошлого века вычислительной техники, что позволило решить многие перечислительные задачи.

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовывать из элементов конечного множества. Комбинаторные мотивы можно заметить уже в китайской «Книге Перемен» (V в. до н.э.). Это наиболее ранний философский текст Китая. Самая ранняя его часть (примерно V II век до н.э.) предназначена для гадания и состоит из 64 гексаграмм. Известны разные их расположения. В порядке следования этих гексаграмм ясно прослеживаются элементы комбинаторики, существует множество математических закономерностей, выявленных в их расположении. По мнению создателей «Книги перемен», все в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо.

Историки математики Древнего Китая также отмечают комбинаторные мотивы в руководствах по игре в Го (и других играх). Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали магические квадраты (магическим или волшебным квадратом называется квадратная таблица, в которую вписаны числа таким образом, что их сумма в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова). Как сказано выше, первый известный нам магический квадрат был обнаружен в Китае.

В Древней Индии элементы комбинаторики известны уже во II в. до н.э. Ариабхата в 499 г. написал трактат в стихах по астрономии и математике. В нем он, в частности, привел правили суммирования треугольных чисел. Варахимихира в V в., занимаясь сочетаниями, фактически уже получил треугольник Паскаля. В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Считается, что древнеиндийские учёные рассматривали комбинаторные конфигурации в связи с применением их в поэтике – науке о структуре поэтических произведениях. Например, они занимались подсчётом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из определенного количества слогов.

Древние греки также рассматривали различные комбинаторные задачи. В школе Пифагора была доказана теорема о сторонах прямоугольного треугольника. Это вызвало у них интерес к представлению чисел в виде суммы квадратов, а также и к квадратным числам 1, 4, 9, 16… Пифагорейцы рассматривали и другие фигурные числа: треугольные, шестиугольные и т.д. Примерно в то же время Ксенократ ( IV в. до н.э.) подсчитывал число слогов; его современник Папп нашел количество пар и троек, которые можно получить из трех элементов (с повторениями). В «Застольных беседах» Плутарх пишет: «Хрисипп … говорит, что число комбинаций, которые можно получить из десяти предложений, превосходит один миллион. На это возразил Гиппарх, указав, что одно утвердительное предложение охватывает включенных в него 103049, а отрицательное – 309952». Аристотель при изложении своей логики безошибочно перечислил все возможные типы трёхчленных силлогизмов. Аристоксен рассмотрел различные чередования длинных и коротких слогов в стихотворных размерах.

В начале IX в. научным центром ближневосточного мира становится Багдад , где появляется « Дом мудрости », в который приглашаются виднейшие учёные всего исламского мира. Почти в то же время на западе исламского халифата, в испанской Кордове, сформировался другой научный центр, благодаря которому античные знания стали понемногу возвращаться в Европу. Первым делом арабские ученые стали осваивать наследие Греции и Индии. Их труды переводились на арабский язык, изучались и комментировались. Причем размах этой деятельности действительно впечатляет – известны более сотни переводчиков и комментаторов одного только Евклида.

А в XIII в. происходит расцвет и самой арабской науки. Так арабские алгебраисты вывели формулу для степени суммы двух слагаемых – бином Ньютона. Скорее всего, эту формулу уже знал знаменитый поэт и математик Омар Хайам (XI–XII вв.). По крайней мере, ее приводит в своих научных работах персидский ученый Насир ад-Дин Туси. В XV в. эта формула была подробно исследована другим персидским математиком и астрономом Джемшидом ибн Масуд аль-Каши. Как сообщают некоторые европейские источники, ссылающиеся на арабские оригиналы, для вычисления коэффициентов этой формулы брали число 10001 и возводили его последовательно во вторую, третью, четвертую и т.д. степени. Затем исключали лишние нули и получали треугольную таблицу из биномиальных коэффициентов. Арабские математики были знакомы и с формулой знали и основное свойство элементов этой таблицы, выражающееся формулой .

Надо отметить, что примерно в то же время аналогичная таблица была приведена в китайского алгебраиста Чжу Ши-дзе «Яшмовое зеркало»

В начале XII в. начинается возрождение науки и, в частности, математики в Европе. Одним из первых европейских ученых был Леонардо по прозвищу «Фибоначчи». Сын купца из итальянского города Пиза, торговавшего в Алжире, получил образование в арабских учебных заведениях. В 1202 г. он издает книгу « Liber Abaci » (Книга абака). В ней ученый излагал арабскую арифметику, геометрию Евклида и некоторые свои математические изыскания. Среди них были и новые комбинаторные задачи. Например, об отыскании наименьшего числа гирь, с помощью которых можно было бы взвесить любой вес меньший некоторого заданного (вес должен быть, конечно, целочисленным).

Другая его известная задача о кроликах: имеется пара кроликов. Через два месяца у них рождается еще одна пара. И так далее: любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Сколько пар кроликов будет через год? При решении этой задачи возникает числовая последовательность, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Эта последовательность называется числами Фибоначчи. В отличие от известных еще древним грекам арифметической и геометрической прогрессий каждый член данной последовательности определяется не только ее последним членом, но и предпоследним.

Примерно в то же время ряд открытий в Европе в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра и Леви бен Гершом (Герсонид). Ибн Эзра подсчитывал число размещений с перестановками в огласовках имени Бога и обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчёта и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний .

И все же, временем рождения комбинаторики, как самостоятельной математической дисциплины считается середина XVII в.

Однажды азартный игрок в кости и любитель математики шевалье де Мере обратился к великому французскому ученому Блезу Паскалю с просьбой в решении двух задач: 1) Сколько раз нужно бросать две кости, чтобы ставить на одновременное выпадение хотя бы раз двух шестёрок было выгодно? 2) Пусть д ва игрока договорились, что тот, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Но предположим, что доиграть до конца не удалось по независящим от игроков обстоятельствам. В момент остановки, например, первый игрок победил 5 раз, второй – 3. Как справедливо следует разделить приз?

Б. Паскаль справился с этими задачами, но предложил решить их и другому французскому математику – Пьеру Ферма. Возникшие в ходе решения этих задач проблемы и выводы, к которым пришли два ученых, они обсуждали в своих письмах. При решении данных вероятностных задач было необходимо сосчитать количество различных комбинаций, которые удовлетворяли искомым решениям. Содержание этой переписки стало известно широкому кругу математиков Франции. Таким образом, решение двух данных задач ознаменовало появление сразу двух новых математических дисциплин – теории вероятностей и комбинаторики.

Следующий крупный шаг был сделан в 1666 г., когда Г.В. Лейбниц представил Лейпцигскому университету сочинение «Рассуждение об искусстве комбинаторики». Автору на тот момент было 20 лет. Именно в этой работе впервые прозвучал сам термин «комбинаторика». Правда, это понятие Г. Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику. Рассматриваемая работа было наиболее полным и глубоким по содержанию сочинением по данной теме.

Ученик Лейбница Якоб Бернулли является создателем теории вероятностей. Его книга «Искусство предположений» вышла в 1713 г. уже после смерти автора (1705 г.). Т.к. значительная часть вероятностных задач решается с использованием различных комбинационных конфигураций, то значительная часть этого сочинения посвящена именно комбинаторике. Соответствующий материал сосредоточен во второй части и состоит из девяти глав. В них разбираются перестановки с перестановками и без них, различные сочетания и размещения. Таким образом, Я. Бернулли построил комбинаторную теорию, которая отличалась от других работ своей системностью, широтой рассматриваемых проблем и простотой решения соответствующих задач.

В этот же период начала формироваться терминология этой новой науки. Термин «сочетание» (combination) впервые встречается у Паскаля (1653 г.). Термин «перестановка» (permutation) употребил в указанной книге Я. Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Он же использовал и термин «размещение» (arrangement).

Значительные достижения в комбинаторики принадлежат одному из величайших математиков XVIII в. Л. Эйлеру, швейцарцу, члену Петербургской академии наук, прожившему почти всю жизнь в России. Где он и похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге.

Л. Эйлер занимался практически всеми вопросами математики, среди них были и довольно странные. Ну, например, можно ли обойти кенигсбергские мосты так, чтобы не побывать на одном и том же дважды? Или возможно ли поставить 36 офицеров из 6 разных полков так, чтобы в каждой шеренге и каждой колонне было по одному офицеру каждого воинского звания из каждого полка? И т.д. Но эти, вроде бы, несерьезные задачи впоследствии привели к созданию новых разделов комбинаторике, имеющих большое практическое значение. Первая задача (о мостах) привела к созданию топологии и теории графов, второй задаче (об офицерах) обязана своим появлением теория планирования экспериментов. В трудах Л. Эйлера комбинаторика оформилась окончательно как самостоятельный раздел математики.

Исследования Леонарда Эйлера (1707–1783) сыграли определяющую роль в развитии комбинаторного анализа. Он либо решал, либо формулировал и тем самым значительно продвигал формирование многих из так называемых «классических комбинаторных задач». Под таковыми понимают всевозможные расположения элементов конечных дискретных множеств в соответствии с определенными правилами. Таких задач десять. Несмотря на простоту их формулировок, они на протяжении большого промежутка времени не поддавались решению и явились исходными при становлении и формировании ряда научных направлений современных математических дисциплин.

После работ Б. Паскаля, П. Ферма, Г. Лейбница и Л. Эйлера можно было уже говорить о комбинаторике как о самостоятельном разделе математики, тесно связанном со многими другими областями математики. Таким образом, комбинаторика как самостоятельная ветвь математики возникла в XVII веке.

Но ее развитие продолжается до сих пор. Так в начале XX в. начала развиваться комбинаторная геометрия: были доказаны теоремы Минковского-Радона, Радона, Хелли, Юнга, Бляшке, а также строго доказана изопериметрическая теорема. На стыке топологии, анализа и комбинаторики были доказаны теоремы Борсука-Улама и Люстерника-Шнирельмана. Во второй четверти XX века были поставлены проблема Борсука и проблема Нелсона-Эрдёша-Хадвигера. В 1940-х годах оформилась теория Рамсея. Отцом современной комбинаторики считается венгерский математик Пал Эрдёш, который ввел в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX в., когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

1. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. – М.: Наука, 1975. – 208 с.

2. История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А.П. Юшкевича, в трёх томах. – М.: Наука, 1970. – Т. I.

3. Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А.П. Юшкевича, в трёх томах. – М.: Наука, 1970. – Т. II.

4. Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А.П. Юшкевича, в трёх томах. – М.: Наука, 1972. – Т. III.

5. Рыбников К.А. Комбинаторный анализ. Очерки истории. – М.: Изд. мехмата МГУ, 1996. – 124 с.

6. Рыбников К.А. История математики в двух томах. – М.: Издательство МГУ, 1960-1963.

📹 Видео

132 Змеи, или Треугольник Бернулли—ЭйлераСкачать

Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Прямая ЭйлераСкачать

История изучения кровотока, 18 - нач. 19 века. Гемодинамика: Эйлер, Бернулли, Пуазёйль.Скачать

Теория вероятностей #8: формула Бернулли и примеры ее использования при решении задачСкачать

#225. КВАТЕРНИОНЫ и углы ЭйлераСкачать

#161. САМАЯ КРАСИВАЯ ФОРМУЛА В МАТЕМАТИКЕ — ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА: e^(iπ)+1=0Скачать

Теорема Эйлера о движении жидкостиСкачать

Откуда берется МАССА у частиц?Скачать

Гипотеза Римана - Numberphile на русском.Скачать

Уравнение, которое меняет взгляд на мир [Veritasium]Скачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей. Схема БернуллиСкачать

11 класс, 49 урок, Задача ЭйлераСкачать

06. Формула ЭйлераСкачать

Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать

8. От треугольника Паскаля до Дзета-функции (English subtitles)Скачать

Уравнение Бернулли гидравликаСкачать

Эффект Магнуса и уравнение БернуллиСкачать