Определение вектора
 |
| рис. 1 |
Обозначение вектора
Вектор началом которого есть точка А, а концом — точка В, обозначается AB (рис.1). Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a .
Длина вектора
Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа | AB |.
Нулевой вектор
Нулевой вектор обычно обозначается как 0 .
Длина нулевого вектора равна нулю.
Коллинеарные вектора
 |
| рис. 2 |
Сонаправленные вектора
 |
| рис. 3 |
Противоположно направленные вектора
 |
| рис. 4 |
Компланарные вектора
 |
| рис. 5 |
Всегда возможно найти плоскости параллельную двум произвольным векторам, по этому любые два вектора всегда компланарные.
Равные вектора
 |
| рис. 6 |
То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:
a = b , если a ↑↑ b и | a | = | b |.
Единичный вектор
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
Векторы: основные определения и понятия
Скалярная величина — величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина, площадь, масса, температура и т.д.
Вектором называется направленный отрезок $overline$; точка $A$ — начало, точка $B$ — конец вектора (рис. 1).
Вектор обозначается либо двумя большими буквами — своим началом и концом: $overline$ либо одной малой буквой: $overline$.
Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым. Чаще всего нулевой вектор обозначается как $overline$.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).
Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).
Два вектора всегда компланарны.
Длиной (модулем) вектора $overline$ называется расстояние между его началом и концом: $|overline|$
Подробная теория про длину вектора по ссылке.
Длина нулевого вектора равна нулю.
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.
Векторы называются равными, если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.
Иначе говоря, два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:
В произвольной точке $M$ пространства можно построить единственный вектор $overline$, равный заданному вектору $overline$.
ЕГЭ формулы, шпаргалки — Векторная алгебра.
Сложение векторов: a + 0 = a, a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.
Умножение вектора на число: λ⋅a = a⋅λ, λ⋅(µ⋅a) = (λ⋅µ) ⋅a, λ⋅(a + b) = λ⋅a + λ⋅b, (λ + µ) ⋅a = λ⋅a + µ⋅a.
Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3):
.
.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов a и b — число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними:
.
.
Свойства скалярного произведения: (a, b) = (b, a), ((ka), b) = k (a, b), (a, (b + c)) = (a, b) + (a, c), (a,b)2 ≤ (a,a) ⋅ (b,b) (неравенство Коши–Буняковского).
.
1) модуль вектора [a, b] равен: 
,
2) вектор [a, b] перпендикулярен как a, так и b,
3) упорядоченная тройка векторов (a; b; [a,b]), отложенных от одной точки, образует правый базис.
Другие обозначения: [a×b], a×b.
Векторное произведение двух векторов a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3) в координатах:
,
Свойства векторного произведения:
Смешанное (скалярно-векторное) произведение трех ненулевых некомпланарных векторов, заданных своими координатами относительно правого базиса (i, j, k):
a = (a1; a2; a3), a = (a1; a2; a3), c = (c1; c2; c3) — число, абсолютная величина которого равна объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, исходящих из одной точки. Это число положительно, если упорядоченная тройка (a; b; c) образует правый базис, и отрицательно, если левый.
Смешанное произведение векторов a, b, c, заданных своими координатами:
,
Свойства смешанного произведения:
Полный список всех формул, шпаргалок для ЕГЭ по математике тут: ЕГЭ математика — формулы, шпаргалки.