Решение задач по аксиомам параллельных прямых

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ОПОРНЫХ ЗАДАЧ:

Задача № 1. Дано: AB = BC, ∠BAC = ∠CAD. Доказать: BC ∥ AD.

Задача № 2. Дано: ΔABC = ΔDEF, AC и DF лежат на одной прямой. Доказать: 1) BC ∥ EF, 2) AB ∥ DE.

Задача № 3. Дано: ∠1 = 61, ∠3 = 119, c ∩ a, c ∩ b. Доказать: a ∥ b.

Задача № 4. Дано: a ∥ b, c ∩ a, c ∩ b, ∠1 + ∠4 = 110°. Найти: ∠2, ∠3.

Задача № 5. Дано: ∠1 = ∠2, ∠4 = 130°. Найти: ∠3.

Задача № 6. Дано: AB ∥ CD, AB = BC, ∠ABF = 45°. Найти: ∠ACD.

Это конспект по теме «ЗАДАЧИ по теме Параллельные прямые». Выберите дальнейшие действия:

2 Комментарии

Супер
Но было бы хорошо, если бы можно было скачать

Спасибо. Все четко, ясно и понятно.

Добавить комментарий Отменить ответ

Конспекты по геометрии:

7 класс

• Начальные геометрические понятия
• Аксиомы планиметрии
• Угол. Смежные и вертикальные углы
• Опорные задачи по теме УГЛЫ
• Параллельные прямые
• ЗАДАЧИ по теме Параллельные прямые
• Перпендикулярные прямые
• Треугольник. Равенство треугольников
• ЗАДАЧИ на Признаки равенства треугольников
• Равнобедренный треугольник + ЗАДАЧИ
• Свойства сторон и углов треугольника + ЗАДАЧИ
• Прямоугольный треугольник
• ЗАДАЧИ по теме Прямоугольные треугольники
• Расстояние от точки до прямой (ЗАДАЧИ)
• Геометрия 7 ЗАДАЧИ на построение
• Мерзляк Геометрия 7 Глава 1 Простейшие геометрические фигуры
• Мерзляк Геометрия 7 Глава 2 Треугольники
• Мерзляк Геометрия 7 Глава 3 Параллельные прямые. Сумма углов Δ
• Мерзляк Геометрия 7 Глава 4 Окружность и круг. Геометрические построения
• Краткий курс геометрии 7 класс
• Прямая. Окружность. Угол (опорный конспект)
• Задачи по теме «Прямая. Окружность. Угол»
• Треугольники (опорный конспект)
• Ключевые задачи по теме Треугольники
• Параллельные прямые (опорный конспект)
• Ключевые задачи про Параллельные прямые
• Сумма углов треугольника (опорный конспект)
• Ключевые задачи по теме: Сумма углов треугольника

8 класс

• Ломаная. Многоугольник + ЗАДАЧИ
• Четырехугольник и его свойства
• Параллелограмм: свойства и признаки
• ЗАДАЧИ по теме Параллелограмм
• Прямоугольник и его свойства
• ЗАДАЧИ по теме Прямоугольники
• Ромб и его свойства
• ЗАДАЧИ по теме Ромб
• Квадрат и его свойства
• ЗАДАЧИ по теме Квадрат
• Трапеция и её свойства
• Средняя линия треугольника
• Центральный угол. Вписанный угол
• Описанная и вписанная окружности четырехугольника
• Мерзляк Геометрия 8 Глава 1 Четырехугольники
• Краткий курс геометрии 8 класс
• Мерзляк Геометрия 8 Глава 2 Подобие треугольников
• Мерзляк Геометрия 8 Глава 3
• Мерзляк Геометрия 8 Глава 4 Многоугольники
• Площадь ромба. Формулы и Калькулятор
• Геометрия 8 Погорелов: все теоремы и определения

9 класс

• Опорный конспект 1. Окружности
• Опорный конспект 2. Описанные и вписанные окружности
• Опорный конспект 3. Теорема синусов. Теорема косинусов
• Опорный конспект 4. Правильные многоугольники

Найти конспект:

О проекте

Сайт «УчительPRO» — некоммерческий школьный проект учеников, их родителей и учителей. Продолжая использовать наш сайт, вы даете согласие на обработку файлов cookie и других пользовательских данных в целях функционирования сайта, проведения статистических исследований и обзоров. Если вы не хотите, чтобы ваши данные обрабатывались, покиньте сайт.

Возрастная категория: 12+

(с) 2021 Учитель.PRO — Копирование информации с сайта только при указании активной ссылки на сайт!

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Аксиома параллельных прямых

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Аксиомы и теоремы.
• Исторические сведения об аксиоматическом построении евклидовой геометрии.
• Параллельные и перпендикулярные прямые.
• Признаки параллельности прямых.
• Решение задач на доказательство параллельности прямых.

Аксиома – это утверждение, которое принимается в качестве исходного, без доказательства в рамках данной теории.

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если две прямые, параллельны третьей прямой, то они параллельны.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Геометрия на плоскости изучает фигуры: сначала даются их определения, затем доказываются свойства или отношения в виде теорем.

Однако есть утверждения, которые принимаются в качестве исходных, они не доказываются. Это аксиомы.

Аксиома – происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». Изначально имело смысл «самоочевидная истина».

Теорема – греческое слово, означает «зрелище, представление». В математике греков употреблялось в смысле «истина, доступная созерцанию».

Аксиома параллельных прямых.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиомы.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Впервые аксиоматический подход к изложению геометрии был изложен в знаменитом сочинении Евклида «Начала» в III веке до нашей эры. Геометрию, которую мы изучаем, по сей день, называют евклидовой. Схема изучения геометрии представлена так: задаются начальные понятия (точка, прямая, плоскость), определения фигур (отрезок, луч, треугольник и др.). Затем изучаются свойства или отношения между ними в виде аксиом или теорем.

Приведём примеры аксиом, которые уже встречали в предыдущих параграфах, хотя они не назывались аксиомами.

• Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
• На любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.
• От любого луча можно отложить угол, равный данному неразвёрнутому углу, и притом только один.

Евклид является автором аксиоматического подхода к построению геометрии.

Аксиома параллельных прямых:

через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

На рисунке через точку М проведены две прямые. Но только одна из них прямая b параллельна прямой а.

Утверждения, которые выводятся из аксиом или теорем, называются следствиями, и они доказываются.

Следствия из аксиомы параллельных прямых.

1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Доказательство методом от противного.

Пусть a ║b, c пересекает прямую a в точке M. Предположим, что прямая c не пересекает b. Тогда через точку M проходит две прямые a и c параллельные b. Это противоречит аксиоме, значит предположение неверно, т. е. прямая c пересекает b.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Доказательство методом от противного.

Пусть a ║ c, b ║ c.

Предположим, что прямые a и b не параллельны, т. е. пересекаются в точке M. Тогда через точку M проходит две прямые a и b параллельные c. Это противоречит аксиоме, значит, предположение неверно, т. е. прямая a параллельна прямой b.

Разбор заданий тренировочного модуля

№ 1. Доказать существование прямой, параллельной данной.

1. Проведём через точку М прямую c ┴ а.
2. Затем проведём прямую b ┴ c.
3. Так как прямые a и b перпендикулярны прямой c, то они параллельны.

№ 2. Через точку А, не лежащую на прямой р, проведены четыре различные прямые.

Сколько из них пересекает прямую р?

1 случай. Если одна из прямых параллельна р. Тогда три других пересекают прямую р, согласно следствию 1 из аксиомы параллельных прямых.

2 случай. Если ни одна из прямых не параллельна р. Тогда все четыре пересекают прямую р.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Аксиома параллельных прямых

Разделы: Математика

Материал: п, 28, § 2, учебник геометрия 7-9 Л.С.Атанасян

Методические рекомендации:

На уроке учитель знакомит учащихся с новым способом доказательства на уже известных ученикам более простых примерах рассуждений, и закрепляет способ доказательства от противного доказательством 1-го и 2-го следствий аксиомы параллельных прямых.
Покажем, как это можно сделать. Учителю следует обратить внимание на две характерные ошибки, которые допускают учащиеся при использовании этого способа.

Первая ошибка — это то, что делается предположение, противоположное не тому, что требуется доказать, а тому, что задано в условии задачи или теоремы.

Вторая, не менее существенная ошибка — это неумение в отдельных случаях правильно сформулировать отрицание утверждения, которое требует доказательства. Вот один из примеров такой ошибки.

Составить утверждение, противоречащее высказыванию: «Число а больше 5».
Возможный ответ: число а меньше 5.

Если бы ученик в заданном по условию высказыванию применил частицу «не», его ответ был бы верен: «Число а не больше 5», т.е. число а меньше или равно 5. Действительно, если а 5. Ясно, что при первом варианте ответа утерян один из возможных случаев, без которого решение задания становится неполным.
Поэтому, чтобы не допускать ошибки такого рода, важно с самого начала приучать учащихся формулировать отрицание утверждений, используя частицу «не» или соответствующие ей выражения: «неверно, что…», «нельзя» и т.п., т.е. следует избегать применения утвердительной формы предложений, как это было в приведенном выше примере.

В тех случаях, когда некоторое утверждение содержит отрицание какого-либо факта с помощью оборота «не», то исключив этот оборот из предложения, мы получим отрицание данного утверждения. Только после этого можно приступить к анализу ситуаций, вытекающих из сделанного предположения.
Заметим, что два утверждения, одно из которых является отрицанием другого, называют противоположными или противоречащими друг другу

Цель урока:

Ознакомить учащихся со способом доказательства от противного.
Знать аксиому параллельных прямых и следствия из нее
Применять аксиому и следствия при решении задач.
Повысить мыслительную деятельность учащихся
Воспитывать чувства ответственности

Тип урока:. Объяснение нового материала

Методы: лекция.

Оборудование: компьютер.

Ход урока

1. Организационный момент
2. Актуализация. Проверка домашнего задания
3. Изучение нового материала.

Назначение этой темы — дать представление об аксиомах геометрии, ввести аксиому параллельных прямых. Весь материал урока написан на компьютере. Учащиеся сами активно участвуют в объяснении нового материала.
Урок начинается с рассказа учителя.

В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии да не войдет сюда». Геометрия учит доказывать, а речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы.
В своих рассуждениях люди часто используют способ доказательства, который называется способом от противного. Приведем примеры таких доказательств.

Пример 1. Врач после осмотра больного ребенка доказывает родителям, почему у него не аппендицит; если бы у ребенка был аппендицит, то живот болел бы с правой стороны, но у ребенка не с правой стороны. Значит, у ребенка не аппендицит.

Пример 2. Ревизор получил задание: выяснить есть ли в данном колхозе гусеничный трактор. Председатель колхоза говорит: если бы в селе был гусеничный трактор, то были бы следы гусениц, а их не обнаружили, значит, в колхозе нет гусеничного трактора.

Схема рассуждения председателя. Требуется доказать: в селе нет гусеничного трактора.

• Предположим противное тому, что требуется доказать: трактор есть.
• Из этого следует, что должны быть следы гусениц.
• Но их нет. Имеем противоречие между тем, что утверждается в одном предложении (должны быть следы гусениц) и отрицается в другом (следов нет).
• Вывод: в селе нет гусеничного трактора.

Врач тоже рассуждал по аналогичной схеме.
В чем заключается сущность способа доказательства от противного?
Посмотрим таблицу.

Способ доказательства от противного

Делается предположение, противное тому, что требуется доказать

Выясняется, что следует из сделанного предположения на основании известных теорем, аксиом, определений и условия задачи

Устанавливается противоречие между тем, что утверждается в одном предложении, и его отрицании в другом

Делается вывод: предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать

Одним из важных моментов при доказательстве методом от противного является умение правильно сформулировать предложение, противоположное тому, что требуется доказать. В повседневной речи для того, чтобы выразить отрицание, иначе невозможность какого-либо события, факта или ситуации, мы часто используем частицу «не», либо иные соответствующие ей выражения: «неверно, что …», «нельзя» и т. п. Точно так же надо поступать, чтобы получить отрицание какого-нибудь математического утверждения. Приступаем к анализу возможных ситуаций, вытекающих из сделанного предположения.

Упражнения

Составьте отрицания следующих утверждений.

( Прямые а и b не пересекаются. Значит, они параллельны.)

(Угол А не тупой. Значит, он либо прямой, либо острый. )

( Число а не меньше нуля. Следовательно, а=0 либо a>0.)

• Все данные прямые проходят через точку А.

(Не все данные прямые проходят через точку А, т.е. по крайней мере одна из них не проходит через точку А.)
В следующих предложениях необходимо убрать оборот «не», чтобы получить отрицание утверждений.

• Прямые а и b не параллельны.
• Через точки А,В, и С нельзя провести прямую.

(Через точки А, В, и С можно провести прямую.)

• Луч b не пересекает ни одного отрезка с концами на сторонах угла А.

(Луч b пересекает по крайней мере один отрезок с концами на сторонах угла, т.е. луч b проходит между сторонами этого угла.)
Дается понятие об аксиомах и аксиоме параллельных прямых.

Решаем такую задачу:

Через точку М, не лежащую на прямой а, провести прямую, параллельную прямой а.

Построение прямой, проходящей через точку М и параллельной прямой а, доказывает, что, по крайней мере, одна такая прямая существует. Естественно, возникает вопрос:

Сколько таких прямых можно провести?

Ответ на него дает аксиома параллельных прямых.
В аксиоме утверждается, что через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
Далее решаем задачи.
В этом параграфе впервые вводится понятие следствия, поэтому разъясняем смысл этого понятия, после чего рассмотрим следствие 1 и 2 из аксиомы параллельных прямых.

1. Решение задач на 1-е следствие.

(Вывод — следствие из аксиомы: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.)

Решение всех предложенных задач оформляются на компьютере и в тетрадях учащихся.

Задача 1.

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. (§ 2). (Опорная задача.) Дано: а¦ b

Прямая с пересекает а в точке О (рис.1).

Рис.1

Доказать: прямая с пересекает прямую b.

Точка О лежит на а и О лежит на с как точка пересечения прямых а и с. Но О не лежит на b , так как параллельные прямые а и b не пересекаются, т.е. не имеют общих точек. Следовательно, прямые b и с – различные, поскольку О лежит на с и О не лежит на b.

1. Предположим, что прямая с не пересекает прямую b. Значит, с¦ b.
2. Тогда через точку О, не принадлежащую прямой b, проходит более одной прямой (а и с), параллельных прямой b.
3. Это противоречит 5 постулату Евклида -аксиоме параллельных прямых. (Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной).
4. Следовательно, если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

2. Задача на 2-е следствие.

Эту задачу учащиеся могут решать самостоятельно.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

1. Предположим, что а и b не параллельны, т.е. пересекаются в некоторой точке М (Рисунок 3).
2. Тогда через точку М проходят две прямые (прямые а и b) параллельные прямой с.
3. Это противоречит 5 постулату Евклида- аксиоме параллельных прямых.
4. Следовательно, если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

При доказательстве теорем мы использовали способ рассуждений, который называется методом доказательства от противного.

Для лучшего усвоения метода доказательства от противного и экономии времени используем многоразовые карточки-подсказки, сделанные из плотной бумаги, вставленные в полиэтиленовые пакеты, на которых выполняются записи.

Карточки имеют следующий вид:

3. Закрепление нового материала.

№196 Дан треугольник АВС. Через точку С сколько параллельных прямых можно провести к АВ ? (одну, по аксиоме параллельных прямых).
№ 197.Через точку, не лежащую на прямой р проведено четыре прямых. Сколько этих прямых может пересекать данную прямую? (ответ: три или четыре, полезно показать учащимся на рисунке два возможных случаю расположения прямых:
а) все четыре прямые пересекают прямую р;
б) одна из четырех прямых параллельна р, а три другие пересекают ее
Эти два случая иллюстрируют ответ на вопрос задачи.).
№ 198.Прямые а и b перпендикулярны к р, прямая с пересекает прямую а, пересекает ли прямая она прямую b? (ответ: да, так как прямые а и b параллельные. Задача 1°)

4. Итог урока.

Что мы изучали на уроке? О чем вы узнали?

(Мы изучали аксиому, аксиому параллельных прямых, следствие из нее и метод доказательства теорем от противного.)

5. Домашняя работа.

№ 199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника АВС. Доказать, что ВС и АС пересекают прямую р.

(Доказываем от противного. Предположим, что ВС и АС не пересекают прямую р.Из предположения следует, что ВС и АС параллельны к прямой р. Это противоречит данной. Значит, ВС и АС пересекают прямую р. )

🔍 Видео

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ «АКСИОМА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ». Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ решение задач 7 класс геометрия АтанасянСкачать

Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Аксиома параллельных прямых.Скачать

28. Аксиома параллельных прямыхСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

решение задач на параллельность прямыхСкачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Урок 14 Аксиома параллельных прямых (7 класс)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ аксиома геометрия 7 класс АтанасянСкачать

Геометрия 7 Аксиома параллельных прямыхСкачать