Реферат на тему окружность (4 видео) | Курс школьной геометрии

Исследовательская работа по математике «Окружность и круг»

Данная тема представляет определенный интерес, так как её истоки относятся к древности. Окружность — самая простая из кривых линий. Это одна из древнейших геометрических фигур, которая всегда привлекала внимание художников, архитекторов. Философы древности придавали ей большое значение.

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
Реферат по математике «Окружность и касательные» (стр. 1 )
Окружность
РЕФЕРАТ Окружность.doc
Уравнение окружности
🎦 Видео

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
issledovat_rabota_yulya.docx	124.94 КБ

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Предварительный просмотр:

Окружность и круг

Автор: Алексашина Юлия

ученица 5 класса

ГБОУ ООШ №3 г. Жигулевск

Руководители: Царькова Д.А.

ГБОУООШ №3 г.о.Жигулевск

г. Тольятти, 2013

Основная цель работы: исследование окружности и круга.

Основные задачи исследования:

1) познакомиться с понятиями: окружность, центр и радиус окружности, диаметр, хорда окружности.

2) выяснить, на какое наибольшее число частей можно разделить окружность тремя прямыми.

3) выяснить, существует ли круг, чтобы его площадь и длина окружности выражались одним и тем же числом.

4) рассмотреть взаимное расположение на плоскости прямой и окружности.

5) рассмотреть взаимное расположение на плоскости двух окружностей.

Основные методы решения поставленных задач : метод наблюдения за числами; метод подбора и проб; чтение дополнительной литературы; составление таблиц и сравнение результатов; метод обобщения.

Часть 1. Основные понятия, используемые в работе

1.1. Понятие Окружности

Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка (O) называется центром окружности.

Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности.

1.2. Длина окружности

Отношение длины окружности к ее диаметру есть одно и то же число для всех окружностей. Это число принято обозначать греческой буквой π («пи»).

Обозначим длину окружности буквой l , а ее диаметр буквой d и запишем формулу

Число π приблизительно равно 3.14

Более точное его значение π = 3,1415926535897932. Исходя из формулы выше, выведем, чему равна окружность, если известен диаметр d .

Если известен радиус r , то формула длины окружности будет выглядеть так:

1.3. Радиус окружности

Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Определить радиус окружности можно по формуле:

1.4. Диаметр окружности

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Центр окружности является серединой любого диаметра. Определить диаметр окружности можно по формуле:

где R — радиус, D — диаметр, π — число π = 3,14.

Часть 2. Постановка и решение задач

2.1. Постановка первой задачи

Рассмотрим, на какое наибольшее число частей можно разделить окружность тремя прямыми.

Рассмотрев всевозможные варианты, можно сделать вывод о том, что наибольшее число частей, на которое можно разделить окружность тремя прямыми равно 7.

Итак, сделаем первый вывод : наибольшее число частей, на которое можно разделить окружность тремя прямыми равно 7.

2.2. Постановка второй задачи

Дан квадрат, периметр и площадь которого выражаются одним и тем же числом.

Пусть сторона квадрата равна Х, тогда Р=4Х , а S=X 2 .

Таким образом, можно сделать вывод, что при стороне квадрата равной 4, периметр и площадь будут выражаться одним целым числом.

Предположим, что существует круг, площадь и длина окружности которого выражаются одним числом.

Длина окружности вычисляется по формуле: L=2пR=пD

Площадь: S = πR 2 . π=3,14

Составим таблицу 1.

Из таблицы видно, что при радиусе равном 2 площадь и длина окружности, которого выражаются одним числом.

Итак, сделаем второй вывод: существует круг, площадь и длина окружности которого выражаются одним числом, радиус которого равен 2.

2.3. Постановка третей задачи

сравним длины окружностей, заменяя π числами и

Найдем длину окружности, если радиус равен 497 см.

2.4. Постановка четвертой задачи

При вычислении длины окружности в Древнем Вавилоне за π часто принимали число, равное 3. Сравним их ответ от настоящего ответа при нахождении длины окружности. R= 40

Сравнив полученные данные, можно сделать вывод, что при вычислении длины окружности в Древнем Вавилоне ответ меньше настоящего на 11,2.

2.5. Постановка пятой задачи

Рассмотрим всевозможные случаи взаимного расположения на плоскости прямой и окружности.

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности ( d ), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется секущей по отношению к окружности.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

2.6. Постановка шестой задачи

Рассмотрим всевозможные случаи взаимного расположения на плоскости двух окружностей.

Окружности не имеют общих точек, но у них общий центр

Окружности имеют одну общую точку

Окружности имеют две общие точки

Окружности не имеют общих точек

2.7. Отличие окружности от круга

Окружность представляет собой бесчисленное множество точек, которые находятся на одинаковом расстоянии от одной единственной, называемой центром окружности. Соединенные между собой точки формируют кривую линию, которая и будет окружностью. Все точки, которые находятся на другом расстоянии от центра окружности, не будут находиться на этой линии, поэтому не будут входить в окружность. Соответственно, окружность – это геометрическая фигура, которая представляет собой определенную линию, а все, что находится внутри нее либо снаружи, к окружности не относится. По этой причине имеется четкое понятие, что окружность делит всю плоскость на две части – внутреннюю, ограниченную линией окружности, и внешнюю, безграничную, поскольку плоскость в общем понимании не имеет границ.

Круг является геометрической фигурой, граница которой состоит из бесчисленного множества точек, равноудаленных от центра круга. Все внутреннее пространство, а также центр круга принадлежат ему, таким образом, можно говорить о том, что круг представляет собой некую площадь пространства, ограниченную множеством точек. А поскольку эти точки равноудалены от центра, то границей круга будет окружность. Все внешнее пространство кругу не принадлежит, зато он охватывает всю ту часть плоскости, которая очерчена при помощи окружности.

Различия между кругом и окружностью не столь велики, поскольку эти фигуры представляют собой неисчисляемое количество точек плоскости, находящихся от одной центральной точки на одинаковом расстоянии. Но важным отличительным признаком является тот факт, что внутреннее пространство не принадлежит окружности, но обязательно является составной частью круга. Иными словами, круг представляет собой не только окружность, которая является его границей, но также и то бесконечное число точек, находящихся внутри этой окружности.

Можно сделать следующий вывод. Разница между кругом и окружностью заключается в следующем:

1. Окружность является лишь частью круга, его границей, в то время как круг является более обширной и полноценной фигурой;

2. Окружность – это кривая линия, состоящая из бесчисленного множества точек, равноудаленных от центра, а круг представляет собой не только сумму этих точек окружности, но также и все те точки, которые расположены внутри этой самой окружности.

Проведенная выше работа позволила мне сделать следующие выводы:

1. Наибольшее число частей, на которое можно разделить окружность тремя прямыми равно 7.

2. При стороне квадрата равной 4, периметр и площадь будут выражаться одним целым числом.

3. Существует круг, площадь и длина окружности которого выражаются одним числом, радиус которого равен 2.

4. Существует три случая взаимного расположения на плоскости прямой и окружности: прямая и окружность имеют две общие точки; прямая и окружность имеют только одну общую точку; прямая и окружность не имеют общих точек.

5. Существует четыре случая взаимного расположения на плоскости двух окружностей.

Так же выяснила, что разница между кругом и окружностью заключается в следующем:

1. Глейзер Г.И. История математики в школе 7-8 кл.: Пособие для учителей. –М.: Просвещение, 1982. С. 32.

2. Гусев В.А. Геометрия 5-6 классы: Учеб. пособие.- М.: ООО «Русское слово», 2002. С.118-142.

3. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия: Учеб. пособие для учащихся 5-6 классов. – М.: МИРОС, 1995. С. 72—83.

Видео:7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

Реферат по математике «Окружность и касательные» (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3

Министерство образования и науки

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 22»

«Окружность и касательные»

Глава I . Окружность
1.1 Что такое окружность. 4
1.2 Основные термины…………………………………………………………5-6
1.3 Вписанная окружность……………………………………………………..7-8
1.4 Описанная окружность……………………………………………………9-10
1.5 «Замечательные» точки треугольника……………………………………..11

Глава II . «Прямая Эйлера». Окружность девяти точек
2.1 Что такое прямая Эйлера. 12-14
2.2 Окружность девяти точек………………………………………………..15-16
2.3История теорем окружности девяти точек……………………………. 17-18

Глава III .Построение окружности с помощью циркуля и линейки
3.1 Основные понятия………………………………………………………..19-21
3.2 Деление отрезков ………………………………………………………. 22-23
3.3 Известные задачи………………………………………………………. 24-26
3.4 Неразрешимые задачи. ……………………………………………………..27
3.5 Интересные факты…………………………………………………………. 28

Когда-то геометрия включала всю математику. Но математика росла и развивалась особенно бурно в последние 200 лет. Возникли новые направления: математический анализ, теория множеств, топология, совсем иначе стала выглядеть алгебра. Конечно, развивалась и геометрия, однако некоторые математики начали в последнее время относить ее к числу второстепенных математических направлений. Это мнение нашло свое отражение и в содержании школьных программ по математике. Как мало мы знаем о природе геометрии и об успехах, которые были достигнуты ее исследователями! Геометрия и сейчас обладает всеми теми достоинствами, за которые ее ценили педагоги прошлых поколений.

Самая простая из кривых линий – окружность. Это одна из древнейших геометрических фигур. Философы древности придавали ей огромное значение. Согласно Аристотелю, небесная материя, из которой состоят планеты и звезды, как самая совершенная, должна двигаться по самой совершенной фигуре – окружности. Сотни лет астрономы считали, что планеты двигаются по окружностям. Это ошибочное мнение было опровергнуто лишь в XVII в. учением Коперника, Галилея, Кеплера и Ньютона.

Определение касательной к прямой, имеющей с окружностью одну общую точку, встречается впервые в учебнике «Элементы геометрии» французского математика Лежандра (1В «Началах» Евклида дается следующее определение; прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает его.

Цель данного реферата состоит в том, чтобы вспомнить некоторые из полузабытых вещей, касающихся окружностей и касательных к ним, вывести новые теоремы. Узнать способы деления отрезков с помощью циркуля и линейки.

Задача реферата: 1. Изучить понятия окружности и касательных. Особенности и свойства; 2. Окружность девяти точек; 3. Рассмотрение задач на деление отрезков с помощью циркуля и линейки.

1.1 Что такое окружность?

Окружность (рис.1) — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние , называемое её радиусом.

· Окружность диаметра AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

· Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек равно данному числу, отличному от единицы.

· Также фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками.

Радиус (рис.2) — не только величина расстояния, но и отрезок , соединяющий центр окружности с одной из её точек.

( рис.2 ) ОА = r — радиус

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (рис.3).

(рис.3) АВ — диаметр

· Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной (рис.4) к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

(рис.4) а — касательная

Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей (рис.5).

(рис.5) АВ – секущая

· Центральный угол (рис. 6)— угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Вписанный угол (рис. 7) — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.

1.3 Вписанная окружность.

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

(рис.8)

· В каждый треугольник можно вписать окружность, притом только одну.

· Центр O вписанной окружности называется инцентром, он равноудалён от всех сторон и является точкой пересечения биссектрис треугольника.

(рис.9)

· Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность (рис.10)

· В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны (АВ + С D = a + b + c + d , BC + AD = a + b + c + d , поэтому AB + CD = BC + AD ) (рис.11)

Видео:Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Окружность

Автор работы: Пользователь скрыл имя, 03 Октября 2012 в 13:26, реферат

Краткое описание

Я выбрала именно эту тему для своего реферата, потому что многие интересные, красивые, но и трудные теоремы связаны с окружностью. Окружность можно назвать своего рода «колесом геометрии». К тому же одно из свойств колеса – его ось остаётся всё время на неизменном расстоянии от поверхности, по которой оно катится,- в математической формулировке превращается в определение окружности.

Вложенные файлы: 1 файл

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

РЕФЕРАТ Окружность.doc

Поэтому, целью своей работы считаю:

обобщить свои знания об окружности;

существенно расширить кругозор, рассмотрев новые геометрические теоремы и свойства, связанные с окружностью;

также, предложенные мною некоторые задачи имеют практическое значение (задачи о сечении головки газового вентиля, о поперечном сечении деревянного бруска).

Примечание к работе:

можно использовать при работе математического кружка,

при подготовке тематических геометрических вечеров.

Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой центром.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Диаметр равен удвоенному радиусу окружности.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Уравнение окружности

Если точка С – центр окружности, R – её радиус, а М – произвольная точка окружности, то по определению окружности | СМ | = R.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат (рис.2) и точка С (a; b) – центр окружности радиуса R.

Пусть М (x; y) – произвольная точка этой окружности.

Так как | СМ | = √ (x – a)² + (y – b)², то уравнение можно записать так:

Это уравнение называют общим уравнением окружности или радиуса R с центром в точке (а; b).

Например, уравнение (x – 1)² + (y + 3)² = 25 есть уравнение окружности радиуса R = 5 с центром в точке (1; -3).

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение принимает вид: x² + y² = R².

Это уравнение называют каноническим уравнением окружности.

Взаимное положение прямой и окружности

Возможны следующие три случая взаимного положения прямой и окружности: 1) Прямая не имеет с окружностью ни одной общей точки (рис.3).

2) Прямая с окружностью имеет только одну общую точку (рис.4).

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.

3) Прямая имеет с окружностью две общие точки (рис.5).

Такая прямая называется секущей.

Теорема о касательной к окружности

Теорема 1: Прямая, перпендикулярная к радиусу в конечной его точке, лежащей на окружности, является касательной к окружности.

Пусть ОМ – радиус окружности, CD _|_ ОM (рис.4).

Требуется доказать, что CD – касательная к окружности.

Если ОМ _|_ СD, то расстояние от центра О до любой другой точки прямой СD больше радиуса ОМ, следовательно, всякая точка прямой СD, кроме точки М, лежит вне круга. Поэтому точка М – единственная общая точка прямой СD и окружности, а это означает, что СD – касательная к окружности. Теорема доказана.

Градусная мера дуги окружности

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности. На рис.11, а изображены две полуокружности, одна из которых выделена цветом.

Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному АОВ соответствуют две дуги с концами А и В (рис.11, а, b). Если ﮮАОВ развернутый, то ему соответствуют две полуокружности (рис.11, а).

Если ﮮАОВ неразвернутый, то говорят, что дуга АВ, меньше полуокружности. На рисунке 11, б эта дуга выделена цветом. Про другую дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности (ںАLВ на рис.11, в).

Дугу окружности можно измерять в градусах. Если дуга АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального угла АОВ (см. рис.11, а, б). Если же дуга АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360˚ – ﮮАОВ (см. рис.11, в).

Отсюда следует, что сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360˚.

Градусная мера дуги АВ (ںАLВ), как и сама дуга, обозначается символом ںАВ (ںАLВ). На рис.12 градусная мера дуги САВ равна 145˚. Обычно говорят кратко: «ںСАВ равна 145˚» — и пишут: ںСАВ=145˚. На этом же рисунке ںАDВ=360˚-115˚=245˚,

Теорема о вписанном угле

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом.

На рис.13 ﮮАВС вписанный, дуга АМС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол опирается на дугу АМС. Докажем теорему о вписанном угле.

Теорема: Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Пусть ﮮАВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на дугу АС (рис.14). Докажем, что ﮮАВС = ½ ں АС. Рассмотрим один из возможных случаев расположения луча ВО относительно угла АВС.

Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС, например со стороной ВС (рис.14). В этом случае дуга АС меньше полуокружности, поэтому ﮮАОС= ںАС. Так как угол АОС – внешний угол равнобедренного треугольника АВО – внешний угол равнобедренного треугольника АВО, а углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то ﮮАОС = ﮮ1+ﮮ2=2ﮮ1.

Отсюда следует, что 2ﮮ1 = ںАС или ﮮАВС = ﮮ1 = ½ ںАС.

Следствие 1: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис.15).

Следствие 2: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой (рис.16).

Основные теоремы об описанной и вписанной окружности

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности, а многоугольник

называется вписанным в эту окружность.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности, а многоугольник называется описанным около этой окружности.

Теорема: В любой треугольник можно вписать окружность.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведем из точки О перпендикуляры ОК, ОL, и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА (рис.18). Так как точка О равноудалена от сторон треугольника АВС, то ОК = ОL = ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М. Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС. Теорема доказана.

1) Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.

2) В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

Теорема: Около любого треугольника можно описать окружность.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведем отрезки ОА, ОВ и ОС (рис.21). Так как точка О равноудалена от вершин треугольника ABC, то OA = OB = OC. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС. Теорема доказана.

1) Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность.

2) В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника

Теорема: Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Теорема об окружности, вписанной в правильный многоугольник

Теорема: В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Сечение головки газового вентиля имеет форму правильного треугольника, сторона которого равна 3см. Каким должен быть минимальный диаметр круглого железного стержня, из которого изготовляют вентиль?

Дано: r АВС — правильный,

описанная окружность (О,R).

Ответ: минимальный диаметр круглого железного стержня должен быть равным см.

Поперечное сечение деревянного бруска является квадратом со стороной 6 см. Найдем наибольший диаметр круглого стержня, который можно выточить из этого бруска?

Дано: АВСD – квадрат,

вписанная окружность (O,r).

d = 2r = 2 ·3 = 6 см.

Ответ: наибольший диаметр круглого стержня равен 6 см.

Если длину окружности обозначить буквой С, диаметр – буквой D, радиус — буквой r, то получим для вычисления длины окружности такую формулу: С = Dπ, или С = 2πr.

Греческой буквой π (пи) обозначают — число, показывающее отношение окружности к своему диаметру.

Обыкновенно при вычислениях длины окружности ограничиваются сотыми долями и принимают π ≈ 3,14.

Длина дуги в nº

Чтобы найти длину дуги в n˚, надо сначала определить длину дуги в 1˚, для чего длину окружности разделить на 360, а затем полученный результат умножить на n.

Получаем формулу: l = 2πrn = πrn, где l – длина дуги.

Площадь круга вычисляется по формуле: S = π r ²,

где S – площадь круга.

Дано: ∆АВС – описан около круга (О; r), АВ = ВС = АС = а.

0 вписанных углах. Гиппократ Хиосский

Изложенное в современных учебниках доказательство того, что вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается, дано в «Началах» Евклида. На это предложение ссылается, однако, еще Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) в своем труде о «луночках». Труды Гиппократа свидетельствуют о том, что уже во второй половине V в. до н. э. было известно большое число теорем, изложенных в «Началах» Евклида, и геометрия достигла высокого развития.

Тот факт, что опирающийся на диаметр вписанный угол—прямой, был известен вавилонянам еще 4000 лет назад. Первое его доказательство приписывается Памфилией, римской писательницей времен Нерона, Фалесу Милетскому. Некоторые комментаторы Евклида полагают, что доказательство Фалеса, основанное на предложении, что сумма углов трёугольника равна 2d, было следующее: обозначив углы при диаметре через 1, 2, а части угла АВС, на которые он рассекается радиусом ОС, через 3, 4, получаем, с одной стороны: