Разложение вектора на компоненты

Вектор – геометрическое представление величины и направления, выражающиеся стрелками в двух-трех измерениях.

Видео:10 класс, 45 урок, Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать

Задача обучения

• Константы двумерных и трехмерных векторов.

Видео:9 класс, 1 урок, Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

Основные пункты

• Векторы разделяются на два компонента: величина и направление.
• Если принимать вектор как гипотенузу, то горизонтальные и вертикальные составляющие можно найти, заполнив треугольник. Нижний край – горизонталь, а противоположная углу сторона – вертикаль.
• Угол, созданный с горизонталью, можно применить для поиска длины двух компонентов.

Видео:Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Термины

• Координаты – числа, указывающие на позицию относительно оси. Например, х и у демонстрируют положение относительно одноименных осей.
• Величина – число вектора, указывающее на его длину.
• Ось – воображаемая линия, вокруг которой объект вращается или расположен симметрично.

Видео:89. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамСкачать

Обзор

Вектор – геометрическое отображение величины и направления, которые чаще всего отмечаются прямыми стрелками, начиная с одной точки на координатной оси и заканчивая на другой. Все векторы наделены длиной, при помощи которого один вектор сравнивают с другим. Векторы со стрелками также обладают направлением. Это главное отличие от скаляров, выступающих простыми числами без направления.

Какие есть составляющие вектора? Вектор характеризуется величиной и позицией относительно оси координат. Полезно анализировать векторы, чтобы разложить на составные части. Если мы говорим о двумерных векторах, то это вертикальные и горизонтальные компоненты. В случае с трехмерными все остается прежним, но теперь мы имеем еще одно направление: x, y, z.

Видео:Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам | Геометрия 7-9 класс #85 | ИнфоурокСкачать

Разложение вектора

Чтобы визуально разложить вектор на составляющие, начните с системы координат. Далее проведите прямую линию от оси х и продолжайте ее, пока не выровняется с кончиком вектора. Это горизонтальный компонент. Для поиска вертикального, проведите линию от конца горизонтального вектора, пока не дойдете до кончика вектора. В итоге, получите правильный треугольник, в котором вектор играет роль гипотенузы.

Исходный вектор, определенный относительно множества осей. Горизонтальный компонент простирается от начала вектора и до координаты х. Вертикальный тянется от х к самой вертикальной точке. Вместе формируют правильный треугольник

Разделение на горизонталь и вертикаль – удобный способ разобраться в физической проблеме. Как только замечаете движение под углом, вы обязаны воспринимать его как перемещение по горизонтали и вертикали одновременно. Это помогает намного проще отслеживать движение объектов.

Видео:Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Координаты и компоненты вектора

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ох. Оу, Oz (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор а, начало которого лежит в начале координат О, а коней — в точке А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные .осям Ох, Оу и Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках Ру Q и R соответственно.

Из рис. 20 видно, что Векторы OP, OQ и OR коллинеарны соответственно единичным векторам i, j, k. поэтому найдутся числа х, у, 2 такие, что и, следовательно, Координаты и компоненты вектора Формула (2) называется разложением вектора и по век/порам i, j, к. Указанным способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k. Векторы i, j, k попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).

Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, к единственно, т. с. коэффициенты!, у, z в разложении вектора а по векторам i, j, к определены однозначно.

Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, z точки Л — конца вектора а. Мы пишем в этом случае Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задастся упорядоченной тройкой своих координат. Векторы х, t/j, zk, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора а.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Из вышеизложенного следует, что два вектора а = и Ь = равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. с. Пусть а = , b = — коллинеарные векторы, причем b Ф 0. Тогда л = цЬ, т.е. Координаты и компоненты вектора Обратно, если выполняются соотношения (3), то п = цЬ, т. е. векторы а и b коллинеарны.

а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Пример. Найти координаты вектора MMi, начало которого находится в точке М(х, у, z). а конец — в точке Afi(«2> 22). Из рис. 22 видно, что ММг = Г2 — п, где р,, р2 — радиус-векторы точек М| и Мг соответственно. Поэтому — координаты вектора ММг равны разностям одноименных координат конечной М^ и начальной М точек этого вектора.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА по трем векторамСкачать

Основы векторной алгебры, величины, векторы

векторная алгебра является разделом математики, ответственным за изучение систем линейных уравнений, векторов, матриц, векторных пространств и их линейных преобразований. Это связано с такими областями, как инжиниринг, решение дифференциальных уравнений, функциональный анализ, исследование операций, компьютерная графика и другие..

Другой областью, в которой была принята линейная алгебра, является физика, поскольку с ее помощью было разработано изучение физических явлений, описывающих их с помощью векторов. Это сделало возможным лучшее понимание вселенной.

• 1 Основы
  • 1.1 Геометрически
  • 1.2 Аналитически
  • 1.3 Аксиоматически
• 2 величины
  • 2.1 Скалярная величина
  • 2.2 векторная величина
• 3 Что такое векторы?
  • 3.1 Модуль
  • 3.2 Адрес
  • 3.3 Смысл
• 4 Классификация векторов
  • 4.1 Фиксированный вектор
  • 4.2 Бесплатный вектор
  • 4.3 Скользящий вектор
• 5 Свойства векторов
  • 5.1 equipolentes Векторы
  • 5.2 Эквивалентные векторы
  • 5.3 Равенство векторов
  • 5.4 Противоположные векторы
  • 5.5 Единица вектора
  • 5.6 Нулевой вектор
• 6 Компоненты вектора
  • 6.1 Примеры
• 7 Операции с векторами
  • 7.1 Сложение и вычитание векторов
  • 7.2 Умножение векторов
• 8 ссылок

Видео:Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Урок 4. Геометрия 9 классСкачать

устои

Векторная алгебра возникла из изучения кватернионов (расширение действительных чисел) 1, i, j и k, а также декартовой геометрии, предложенной Гиббсом и Хевисайдом, которые поняли, что векторы будут служить инструментом для представляют различные физические явления.

Векторная алгебра изучается через три основы:

геометрически

Векторы представлены линиями, которые имеют ориентацию, а такие операции, как сложение, вычитание и умножение на действительные числа, определяются с помощью геометрических методов..

аналитически

Описание векторов и их операций выполняется с помощью чисел, называемых компонентами. Этот тип описания является результатом геометрического представления, потому что используется система координат.

аксиоматически

Описание векторов производится независимо от системы координат или любого типа геометрического представления..

Изучение фигур в пространстве осуществляется через их представление в системе отсчета, которая может быть в одном или нескольких измерениях. Среди основных систем:

— Одномерная система, представляющая собой линию, в которой одна точка (O) представляет начало координат, а другая точка (P) определяет масштаб (длину) и ее направление:

— Прямоугольная система координат (двумерная), которая состоит из двух перпендикулярных линий, называемых осью x и осью y, которые проходят через точку (O) начала координат; таким образом, плоскость делится на четыре области, называемые квадрантами. В этом случае точка (P) на плоскости задается расстояниями, которые существуют между осями и P.

— Полярная система координат (двумерная). В этом случае система состоит из точки O (начала координат), которая называется полюсом, и луча с началом координат O, называемого полярной осью. В этом случае точка P плоскости, относительно полюса и полярной оси, задается углом (Ɵ), который образован расстоянием между началом координат и точкой P.

— Прямоугольная трехмерная система, образованная тремя перпендикулярными линиями (x, y, z), которые имеют точку начала O в пространстве. Формируются три координатные плоскости: xy, xz и yz; пространство будет разделено на восемь областей, называемых октантами. Ссылка на точку P пространства задается расстояниями, которые существуют между плоскостями и P.

Видео:Разложение вектора по векторам (базису). Аналитическая геометрия-1Скачать

магнитуды

Величина — это физическая величина, которую можно подсчитать или измерить с помощью числового значения, как в случае некоторых физических явлений; тем не менее, часто необходимо иметь возможность описать эти явления с другими факторами, которые не являются числовыми. Вот почему величины делятся на два типа:

Скалярная величина

Это те величины, которые определены и представлены численно; то есть модулем вместе с единицей измерения. Например:

а) время: 5 секунд.

г) температура: 40ºC.

Векторная величина

Это те величины, которые определены и представлены модулем вместе с единицей, а также смыслом и направлением. Например:

а) Скорость: (5ȋ — 3ĵ) м / с.

б) ускорение: 13 м / с 2 ; S 45º E.

в) Сила: 280 Н, 120º.

Векторные величины представлены графически векторами.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 11 класс: Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать

Какие векторы?

Векторы являются графическим представлением величины вектора; то есть они представляют собой отрезки прямой линии, в которой их последний конец является острием стрелки.

Они определяются их модулем или длиной сегмента, их смыслом, который указывается кончиком их стрелки и их направлением в соответствии с линией, к которой они принадлежат. Происхождение вектора также известно как точка приложения.

Элементы вектора следующие:

модуль

Это расстояние от начала до конца вектора, представленного действительным числом вместе с единицей. Например:

| ОМ | = | A | = А = 6 см

адрес

Это мера угла, который существует между осью x (от положительного) и вектором, а также используются кардинальные точки (север, юг, восток и запад).

чувство

Он задается стрелкой в ​​конце вектора, указывающей, куда он направляется.

Видео:#вектор Разложение вектора по ортам. Направляющие косинусыСкачать

Классификация векторов

Как правило, векторы классифицируются как:

Фиксированный вектор

Это тот, чья точка приложения (происхождения) является фиксированной; то есть, что он остается привязанным к точке пространства, причина, почему он не может быть смещен в этом.

Свободный вектор

Он может свободно перемещаться в пространстве, потому что его начало перемещается в любую точку без изменения модуля, смысла или направления..

Скользящий вектор

Это тот, кто может перемещать свое происхождение по линии своего действия, не меняя модуль, смысл или направление..

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№7 - Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Координаты вектора.)Скачать

Свойства векторов

Среди основных свойств векторов следующие:

Equipolentes векторы

Это те свободные векторы, которые имеют одинаковый модуль, направление (или они параллельны) и чувствуют, что скользящий вектор или фиксированный вектор.

Эквивалентные векторы

Это происходит, когда два вектора имеют одинаковый адрес (или параллельные), одинаковый смысл, и, несмотря на наличие разных модулей и точек приложения, они вызывают одинаковые эффекты.

Равенство векторов

Они имеют один и тот же модуль, направление и смысл, хотя их отправные точки различны, что позволяет параллельному вектору двигаться самостоятельно, не затрагивая его..

Противоположные векторы

Это те, которые имеют одинаковый модуль и направление, но их смысл противоположен.

Векторный блок

Это тот, в котором модуль равен единице (1). Это получается путем деления вектора на его модуль и используется для определения направления и смысла вектора, либо в плоскости, либо в пространстве, используя базовые или унифицированные нормализованные векторы, которые:

Нулевой вектор

Это тот, чей модуль равен 0; то есть их точка происхождения и крайность совпадают в одной точке.

Видео:РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ДВУМ неколлинеарным ВЕКТОРАМ 9 классСкачать

Компоненты вектора

Компоненты вектора — это те значения проекций вектора на оси системы отсчета; В зависимости от разложения вектора, которое может быть в двух или трех осях, будут получены два или три компонента, соответственно.

Компоненты вектора являются действительными числами, которые могут быть положительными, отрицательными или даже нулевыми (0).

Таким образом, если у нас есть вектор origin, исходящий из прямоугольной системы координат в плоскости xy (двумерная), проекция на ось x равна Āx, а проекция на ось y — Āy. Таким образом, вектор будет выражаться как сумма составляющих его векторов..

примеров

Первый пример

У нас есть вектор starts, который начинается с начала координат и задается координаты его концов. Таким образом, вектор Ā = (Ā_х;_и) = (4; 5) см.

Если вектор Ā действует в начале трехмерной треугольной системы координат (в пространстве) x, y, z, в другую точку (P), проекции на его оси будут Āx, Āy и Āz; таким образом, вектор будет выражаться как сумма трех компонентных векторов.

Второй пример

У нас есть вектор starts, который начинается с начала координат и задается координаты его концов. Таким образом, вектор Ā = (A_х;_{и; Z}) = (4; 6; -3) см.

Векторы, которые имеют свои прямоугольные координаты, могут быть выражены через их базовые векторы. Для этого только каждая координата должна быть умножена на соответствующий ей единичный вектор таким образом, чтобы для плоскости и пространства они были следующими:

Видео:Разложение вектора по трем некомпланарным векторамСкачать

Операции с векторами

Есть много величин, которые имеют модуль, смысл и направление, такие как ускорение, скорость, перемещение, сила и другие..

Они применяются в различных областях науки, и для их применения в некоторых случаях необходимо выполнять такие операции, как сложение, вычитание, умножение и деление векторов и скаляров..

Сложение и вычитание векторов

Сложение и вычитание векторов считается одной алгебраической операцией, потому что вычитание может быть записано как сумма; например, вычитание векторов Ā и Ē может быть выражено как:

Существуют разные методы для сложения и вычитания векторов: они могут быть графическими или аналитическими..

Графические методы

Используется, когда вектор имеет модуль, смысл и направление. Для этого нарисованы линии, которые образуют фигуру, которая позже поможет определить результат. Среди наиболее известных выделяются следующие:

Метод параллелограмма

Для сложения или вычитания двух векторов выбирается общая точка на оси координат, которая будет представлять точку начала векторов, сохраняя ее модуль, направление и направление..

Затем линии рисуются параллельно векторам, образуя параллелограмм. Результирующий вектор — это диагональ, которая уходит от точки начала обоих векторов до вершины параллелограмма:

Метод треугольника

В этом методе векторы располагаются один за другим, сохраняя свои модули, направления и направления. Результирующий вектор будет объединением начала первого вектора с концом второго вектора:

Аналитические методы

Вы можете добавить или вычесть два или более векторов с помощью геометрического или векторного метода:

Геометрический метод

Когда два вектора образуют треугольник или параллелограмм, модуль и направление результирующего вектора могут быть определены с использованием законов синуса и косинуса. Таким образом, модуль результирующего вектора, применяя закон косинуса и методом треугольника, определяется как:

В этой формуле β — это угол, противоположный стороне R, и он равен 180º — Ɵ.

Напротив, методом параллелограмма результирующий векторный модуль имеет вид:

Направление результирующего вектора задается углом (α), который образует результирующий с одним из векторов.

По закону синуса сложение или вычитание векторов также может быть выполнено методом треугольника или параллелограмма, зная, что в каждом треугольнике стороны пропорциональны грудям углов:

Векторный метод

Это можно сделать двумя способами: в зависимости от их прямоугольных координат или их базовых векторов..

Это можно сделать путем переноса векторов, которые должны быть добавлены или вычтены, в начало координат, а затем все проекции на каждую из осей для плоскости (x, y) или пространства (x, и z); наконец, его компоненты добавляются алгебраически. Итак, для самолета это:

Модуль результирующего вектора:

Хотя для космоса это:

Модуль результирующего вектора:

При выполнении векторных сумм применяется несколько свойств:

— Ассоциативное свойство: результирующий не изменяется, сначала добавляя два вектора, а затем добавляя третий вектор.

— Коммутативное свойство: порядок векторов не меняет результирующего.

— Распределительное свойство вектора: если скаляр умножается на сумму двух векторов, он равен умножению скаляра для каждого вектора.

— Скалярное дистрибутивное свойство: если вектор умножается на сумму двух скаляров, он равен умножению вектора на каждый скаляр.

Умножение векторов

Умножение или произведение векторов может быть выполнено как сложение или вычитание, но при этом оно теряет физический смысл и почти никогда не встречается в приложениях. Поэтому, как правило, наиболее используемые типы продуктов — это скалярное и векторное произведение..

Скалярное произведение

Он также известен как скалярное произведение двух векторов. Когда модули двух векторов умножаются на косинус малого угла, который образуется между ними, получается скаляр. Чтобы поместить скалярное произведение между двумя векторами, между ними ставится точка, и это можно определить как:

Значение угла, существующего между двумя векторами, будет зависеть от того, параллельны они или перпендикулярны; Итак, вы должны:

— Если векторы параллельны и имеют одинаковый смысл, косинус 0º = 1.

— Если векторы параллельны и имеют противоположные значения, косинус 180º = -1.

— Если векторы перпендикулярны, косинус 90º = 0.

Этот угол также можно рассчитать, зная, что:

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

— Коммутативное свойство: порядок векторов не меняет скаляр.

-Распределительное свойство: если скаляр умножается на сумму двух векторов, он равен умножению скаляра для каждого вектора.

Векторный продукт

Умножение вектора, или перекрестное произведение двух векторов A и B, приведет к новому вектору C и будет выражено с помощью скрещивания между векторами:

Новый вектор будет иметь свои особенности. Таким образом:

— Направление: этот новый вектор будет перпендикулярен плоскости, которая определяется исходными векторами.

— Смысл: это определяется по правилу правой руки, где вектор A поворачивается в направлении B, указывая пальцем направление вращения, а большим пальцем отмечается смысл вектора.

— Модуль: определяется умножением модулей векторов AxB на синус наименьшего угла, который существует между этими векторами. Это выражается:

Значение угла, который существует между двумя векторами, будет зависеть от того, параллельны они или перпендикулярны. Тогда можно утверждать следующее:

— Если векторы параллельны и имеют одинаковый смысл, sin 0º = 0.

— Если векторы параллельны и имеют противоположные значения, синус 180º = 0.

— Если векторы перпендикулярны, синус 90º = 1.

Когда векторное произведение выражается через его базовые векторы, оно должно:

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

— Это не коммутативно: порядок векторов меняет скаляр.

— Распределительное свойство: если скаляр умножается на сумму двух векторов, он равен умножению скаляра для каждого вектора.

🎥 Видео

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СОСТАВЛЯЮЩИЕСкачать

Разложение вектора по векторамСкачать

Разложение вектора на неколлинеарные вектора.Скачать

Разложение вектора по 2 неколлинеарным векторам - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам - 1 часть. Геометрия 9Скачать