Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей

МАТЕМАТИКА

Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей

Формула Эйлера

Мы знаем, что в каждый треугольник можно вписать окружность и можно описать около него окружность. Ясно, что вписанная окружность лежит внутри описанной, поскольку вписанная окружность лежит внутри треугольника, а сам треугольник лежит внутри описанной окружности.

Радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами всегда связаны между собой определенным соотношением. Справедлива следующая теорема.

Теорема. В треугольнике радиус R описанной окружности и радиус r вписанной окружности связаны с расстоянием d между их центрами соотношением

Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей

В частности, если d=0 (центры окружностей совпадают), то Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей.

Эта формула называется формулой Эйлера.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС, у которого точка О – центр описанной окружности, а точка Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей– центр вписанной окружности. Будем считать пока, что Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей(рисунок 1). Проведем биссектрисы Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностейи Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностейуглов А и В. Они пересекаются с описанной окружностью в некоторых точках Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностейи Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей. Пусть P и Q – точки пересечения прямой Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностейс описанной окружностью. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей, или

Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей

Заметим теперь, что поскольку Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностейи Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей– биссектрисы углов А и В, то Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей, а Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей. Следовательно,

Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей

Поэтому треугольник Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностейравнобедренный: Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей. Таким образом, соотношение можно переписать так:

Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей

Проведем теперь диаметр Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностейописанной окружности и обозначим буквой К точку касания вписанной окружности и стороны АВ. Треугольники Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностейи Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностейподобны (они прямоугольные и имеют равные углы А и Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей), поэтому

Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей

Откуда Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей. Подставив это выражение, получим

Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей

В случае d=0 (рисунок 2) каждая из сторон треугольника АВС равна Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей, а значит, этот треугольник равносторонний.

Поэтому Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей, Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей, и, следовательно, Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей. Теорема доказана.

Замечание. В ходе доказательства теоремы мы установили весьма полезный факт:

Точка пересечения продолжения биссектрисы, проведенной из одной из вершин треугольника, с описанной окружностью равноудалена от двух других вершин и центра вписанной окружности.

Теорема Птолемея

В любой треугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Однако для других многоугольников это не так. Мы знаем, например, что в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны. Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей. Эти утверждения очень похожи друг на друга. Используя скобки, их можно объединить в одно:

Описанная (вписанная) окружность для данного четырехугольника существует тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов (сторон) равны.

Существуют и другие характеристические свойства вписанных и описанных четырехугольников. Наиболее известное основано на теореме Птолемея.

Теорема (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Доказательство.

Рассмотрим вписанный четырехугольник АВСD. Для удобства введем обозначение: АВ = а, ВС = b, CD = c, DA = d, AC = m, BD = n (рисунок 3) и докажем, что Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей.

На диагонали АС возьмем такую точку М, что Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей. Треугольники АВМ и DBC подобны по двум углам ( Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностейпо построению, а углы ВАМ и BDC равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу). Следовательно, Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей, откуда Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей, или Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей(1).

Далее, треугольники МВС и ADB также подобны, так как Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей, а углы ВСМ и BDA равны как вписанные и опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому , Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей, откуда Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей, или Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей(2).

Сложив равенства (1) и (2), получим Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей, или Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей, что и требовалось доказать.

Оказывается, что рассмотренное свойство вписанного четырехугольника является характеристическим, то есть верно и обратное утверждение.

Если в выпуклом четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон, то около него можно описать окружность.

Рекомендую далее изучить тему «Вневписанные окружности».

Спасибо, что поделились статьей в социальных сетях

Источник: Атанасян Л.С. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику 8 кл.: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.

Видео:Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #ShortsСкачать

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #Shorts

Формула Эйлера.

В треугольнике OI 2 =R 2 -2Rr , где I — точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности), O — центр описанной окружности, R — радиус описанной окружности, r — радиус вписанной окружности.

Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей

Доказательство:

Пусть AM — хорда описанной окружности, проходящая через точку I.

Тогда по теореме о пересекающихся хордах: AI·IM=(R+OI)(R-OI).

Из треугольника AIH по определению синуса: AI=r/sin(α/2).

Из треугольника MAC по теореме синусов и лемме о трезубце: CM=2Rsin(α/2)=IM.

Подставим полученные равенства в AI·IM=(R+OI)(R-OI):

r/sin(α/2)·2Rsin(α/2)= R 2 -OI 2

Следовательно, OI 2 =R 2 -2Rr.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Вписанная окружность

Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей
    • Четырехугольник
      Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей
    • Многоугольник
      Расстояние между центрами вписанной и описанной около треугольника окружностей

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    📸 Видео

    М1152. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностейСкачать

    М1152. Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей

    7 9 2011 М1152 формула Эйлера расстояния между центрами вписанной и описанной окружностейСкачать

    7 9 2011 М1152   формула Эйлера расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Планиметрия 5 | mathus.ru | расстояние между центрами окружностей в параллелограммеСкачать

    Планиметрия 5 | mathus.ru | расстояние между центрами окружностей в параллелограмме

    Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать

    Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике

    Планиметрия 12 | mathus.ru | расстояние между центрами пересекающихся окружностейСкачать

    Планиметрия 12 | mathus.ru | расстояние между центрами пересекающихся окружностей

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

    Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

    Радиус описанной окружностиСкачать

    Радиус описанной окружности

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Треугольник и окружность #shortsСкачать

    Треугольник и окружность #shorts

    Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

    8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

    Центры вписанной и описанной окружностей ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    Центры вписанной и описанной окружностей ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольникаСкачать

    Геометрия. 9 класс. Формулы для нахождения радиусов вписанной и описанной окружностей треугольника

    Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

    Построить описанную окружность (Задача 1)
    Поделиться или сохранить к себе: