Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

2.5.6. Как найти расстояние между параллельными прямыми?

Ответим на этот вопрос конкретной задачей:

Задача 82

Найти расстояние Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометриямежду двумя параллельными прямыми, заданными в декартовой системе координат: Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

Решение: расстояние между параллельными прямыми найдём как расстояние от точки до прямой. Для этого достаточно найти одну точку, принадлежащую любой прямой. Из уравнения Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометриялегко усмотреть точку Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Вычислим расстояние:
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Примечание: последним действием домножили числитель и знаменатель на Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия– чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе.

Ответ: Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Как видите, здесь бесконечно много способов решения.

Видео:Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).Скачать

Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение и примеры нахождения.

В этой статье дано определение расстояния между двумя параллельными прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве, а также разобран метод координат, позволяющий вычислять расстояние между параллельными прямыми. Сначала приведена необходимая теория, после чего приведены подробные решения примеров и задач, в которых находится расстояние между двумя параллельными прямыми.

Навигация по странице.

Видео:Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми – определение.

Определение расстояния между двумя параллельными прямыми дается через расстояние от точки до прямой.

Расстояние между двумя параллельными прямыми – это расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Для наглядности изобразим две параллельные прямые a и b , отметим на прямой а произвольную точку М1 , опустим перпендикуляр из точки М1 на прямую b , обозначив его H1 . Отрезок М1H1 соответствует расстоянию между параллельными прямыми a и b .

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Приведенное определение расстояния между двумя параллельными прямыми справедливо как для параллельных прямых на плоскости, так и для прямых в трехмерном пространстве. Более того, такое определение расстояния между двумя параллельными прямыми принято не случайно. Оно тесно связано со следующей теоремой.

Все точки одной из двух параллельных прямых удалены на одинаковое расстояние от другой прямой.

Рассмотрим параллельные прямые a и b . Отметим на прямой a точку М1 , опустим из нее перпендикуляр на прямую b . Основание этого перпендикуляра обозначим как H1 . Тогда длина перпендикуляра М1H1 есть расстояние между параллельными прямыми a и b по определению. Докажем, что Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияравно Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, где М2 – произвольная точка прямой a , отличная от точки M1 , а H2 – основание перпендикуляра, проведенного из точки М2 на прямую b . Доказав этот факт, мы докажем и саму теорему.

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Так как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны (об этом говорилось в статье параллельные прямые, параллельность прямых), то Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, а прямая M2H2 , перпендикулярная прямой b по построению, перпендикулярна и прямой a . Тогда треугольники М1H1H2 и М2М1H2 прямоугольные, и, более того, они равны по гипотенузе и острому углу: М1H2 – общая гипотенуза, Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, поэтому, Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Теорема доказана.

Следует заметить, что расстояние между двумя параллельными прямыми является наименьшим из расстояний от точек одной прямой до точек другой прямой.

Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

Нахождение расстояния между параллельными прямыми – теория, примеры, решения.

Итак, нахождение расстояния между параллельными прямыми сводится к нахождению длины перпендикуляра, проведенного из некоторой точки одной из прямых на другую прямую. При этом подбирается метод, позволяющий это расстояние отыскать. Выбор метода зависит от условий конкретной задачи. В некоторых случаях можно использовать теорему Пифагора, в других — признаки равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т.п. Если же параллельные прямые заданы в прямоугольной системе координат, то расстояние между заданными параллельными прямыми можно вычислить методом координат. На нем и остановимся.

Сформулируем условие задачи.

Пусть на плоскости или в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат, заданы две параллельные прямые a и b и требуется найти расстояние между этими прямыми.

Решение этой задачи строится на определении расстояния между параллельными прямыми — чтобы найти расстояние между двумя заданными параллельными прямыми нужно:

  • определить координаты некоторой точки М1 , лежащей на прямой a (или на прямой b );
  • вычислить расстояние от точки М1 до прямой b (или a ).

С определением координат точки М1 , лежащей на какой-нибудь из заданных параллельных прямых, проблем не возникнет, если, конечно, Вам знакомы основные виды уравнения прямой на плоскости и уравнения прямой в пространстве. Для нахождения расстояния от точки М1 до нужной из заданных параллельных прямых Вам будет полезна информация из раздела нахождение расстояния от точки до прямой.

В частности, если в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости прямую a задает общее уравнение прямой вида Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, а прямую b , параллельную прямой a , — общее уравнение прямой Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, то расстояние Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометриямежду этими параллельными прямыми можно вычислить по формуле Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

Покажем вывод этой формулы.

Возьмем точку Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, которая лежит на прямой a , тогда координаты точки М1 удовлетворяют уравнению Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, то есть, справедливо равенство Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, откуда имеем Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

Если Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, то нормальное уравнение прямой b имеет вид Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, а если Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, то нормальное уравнение прямой b имеет вид Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Тогда при Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометриярасстояние от точки Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометриядо прямой b вычисляется по формуле Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, а при Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия— по формуле
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

То есть, при любом значении С2 расстояние Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияот точки Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометриядо прямой b можно вычислить по формуле Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. А если учесть равенство Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, которое было получено выше, то последняя формула примет вид Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. На этом вывод формулы для вычисления расстояние между двумя параллельными прямыми, заданными общими уравнениями прямых вида Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияи Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометриязавершен.

Разберем решения примеров.

Начнем с нахождения расстояния между двумя параллельными прямыми, заданными в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости.

Найдите расстояние между параллельными прямыми Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияи Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

Очевидно, что прямая, которой соответствуют параметрические уравнения прямой на плоскости вида Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, проходит через точку Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

Искомое расстояние между параллельными прямыми равно расстоянию от точки Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометриядо прямой Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Вычислим его.

Получим нормальное уравнение прямой, которой отвечает уравнение прямой с угловым коэффициентом вида Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Для этого сначала запишем общее уравнение прямой: Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Теперь вычислим нормирующий множитель: Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Умножив на него обе части последнего уравнения, имеем нормальное уравнение прямой: Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Искомое расстояние равно модулю значения выражения Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, вычисленного при Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Итак, расстояние между заданными параллельными прямыми равно
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Второй способ решения.

Получим общие уравнения заданных параллельных прямых.

Выше мы выяснили, что прямой Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометриясоответствует общее уравнение прямой Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Перейдем от параметрических уравнений прямой вида Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияк общему уравнению этой прямой:
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Коэффициенты при переменных x и y в полученных общих уравнениях параллельных прямых равны, поэтому мы сразу можем применить формулу для вычисления расстояния между параллельными прямыми на плоскости: Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

На плоскости введена прямоугольная система координат Oxy и даны уравнения двух параллельных прямых Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияи Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Найдите расстояние между указанными параллельными прямыми.

Канонические уравнения прямой на плоскости вида Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияпозволяют сразу записать координаты точки М1 , лежащей на этой прямой: Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Расстояние от этой точки до прямой Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияравно искомому расстоянию между параллельными прямыми. Уравнение Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияявляется нормальным уравнением прямой, следовательно, мы можем сразу вычислить расстояние от точки Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометриядо прямой Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия: Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

Второй способ решения.

Общее уравнение одной из заданных параллельных прямых нам уже дано Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Приведем каноническое уравнение прямой Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияк общему уравнению прямой: Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Коэффициенты при переменной x в общих уравнениях заданных параллельных прямых равны (при переменной y коэффициенты тоже равны — они равны нулю), поэтому можно применять формулу, позволяющую вычислить расстояние между заданными параллельными прямыми: Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

Осталось рассмотреть пример нахождения расстояния между параллельными прямыми в трехмерном пространстве.

Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми, которым в прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют канонические уравнения прямой в пространстве вида Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияи Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

Очевидно, прямая Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияпроходит через точку Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Вычислим расстояние Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияот этой точки до прямой Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия— оно даст нам искомое расстояние между параллельными прямыми.

Прямая Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияпроходит через точку Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Обозначим направляющий вектор прямой Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометриякак Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия, он имеет координаты Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Вычислим координаты вектора Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(при необходимости смотрите статью координаты вектора по координатам точек): Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия. Найдем векторное произведение векторов Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияи Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия:
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Теперь осталось применить формулу, позволяющую вычислить расстояние от точки до прямой в пространстве: Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

расстояние между заданными параллельными прямыми равно Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

Видео:7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

Расстояние между прямыми в пространстве онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние между прямыми в пространстве. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния между прямыми в пространстве, задайте вид уравнения прямых («канонический» или «параметрический» ), введите коэффициенты уравнений прямых в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Видео:Расстояние между параллельными плоскостямиСкачать

Расстояние между параллельными плоскостями

Расстояние между прямыми в пространстве − теория, примеры и решения

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.(1)
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия,(2)

Прямые (1) и (2) в пространстве могут совпадать, быть паралленьными, пересекаться, или быть скрещивающимся. Если прямые в пространстве пересекаются или совпадают, то расстояние между ними равно нулю. Мы рассмотрим два случая. Первый − прямые параллельны, и второй − прямые скрещиваются. Остальные являются частыми случаями. Если при вычислении расстояния между параллельными прямыми мы получим расстояние равным нулю, то это значит, что эти прямые совпадают. Если же расстояние между скрещивающимися прямыми равно нулю, то эти прямые пересекаются.

1. Расстояние между параллельными прямыми в пространстве

Рассмотрим два метода вычисления расстояния между прямыми.

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияРасстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

которое и является расстоянием между прямыми L1 и L2 (Рис.1).

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Пример 1. Найти расстояние между прямыми L1 и L2:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(3)
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(4)
q1=<m1, p1, l1>=
q2=<m2, p2, l2>=

Найдем проекцию точки M1 на прямую L2. Для этого построим плоскость α, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямойL2.

Для того, чтобы плоскость α было перепендикулярна прямой L2, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L2, т.е. в качестве нормального вектора плоскости α можно взять направляющий вектор прямой L2. Тогда уравнение искомой плоскости, проходящей через точку M1(x1, y1, z1) имеет следующий вид:

m2<xx1)+p2(yy1)+ l2(zz1)=0(5)
2(x−1)−4(y−2)+ 8(z−1)=0

После упрощения получим уравнение плоскости, проходящей через точку M1 и перпендикулярной прямой L2:

2x−4y+ 8z−2=0(6)

Найдем точку пересечения прямой L2 и плоскости α, для этого построим параметрическое уравнение прямой L2.

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Выразив переменные x, y, z через параметр t, получим параметрическое уравнение прямой L2:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(7)

Чтобы найти точку пересечения прямой L2 и плоскости α, подставим значения переменных x, y, z из (7) в (6):

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Решив уравнение получим:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(8)

Подставляя полученное значение t в (7), получим точку пересеченияпрямой L2 и плоскости α:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Остается найти расстояние между точками M1 и M3:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияРасстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=7.2506.

Метод 2. Найдем расстояние между прямыми L1 и L2 (уравнения (1) и (2)). Во первых, проверяем параллельность прямых L1 и L2. Если направляющие векторы прямых L1 и L2 коллинеарны, т.е. если существует такое число λ, что выполнено равенство q1=λq2, то прямые L1 и L2 параллельны.

Данный метод вычисления расстояния между параллельными векторами основана на понятии векторного произведения векторов. Известно, что норма векторного произведения векторов Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияи q1 дает площадь параллелограмма, образованного этими векторами (Рис.2). Узнав площадь параллелограмма, можно найти вершину параллелограмма d, разделив площадь на основание q1 параллелограмма.

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Вычислим координаты вектора Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Вычислим векторное произведение векторов Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияи q1:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияРасстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияРасстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияРасстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Вычисляя определители второго порядка находим координаты вектора c:

Далее находим площадь параллелограмма:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

Расстояние между прямыми L1 и L2 равно:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия,
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия,

Пример 2. Решим пример 1 методом 2. Найти расстояние между прямыми

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(25)
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(26)
q1=<m1, p1, l1>=
q2=<m2, p2, l2>=

Векторы q1 и q2 коллинеарны. Следовательно прямые L1 и L2 параллельны. Для вычисления расстояния между параллельными прямыми воспользуемся векторным произведением векторов.

Построим вектор Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия=<x2x1, y2y1, z2z1>=.

Вычислим векторное произведение векторов Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияи q1. Для этого составим 3×3 матрицу, первая строка которой базисные векторы i, j, k, а остальные строки заполнены элементами векторов Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияи q1:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Вычислим определитель этой матрицы, разложив ее по первой строке. Результатом этих вычислений получим векторное произведение векторов Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияи q1:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияРасстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияРасстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Таким образом, результатом векторного произведения векторов Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияи q1 будет вектор:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Поскольку векторное произведение векторов Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияи q1 дает плошадь параллелограмма образованным этими векторами, то расстояние между прямыми L1 и L2 равно :

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрияРасстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Ответ: Расстояние между прямыми L1 и L2 равно d=7.25061.

2. Расстояние между скрещивающимися прямыми в пространстве

Пусть задана декартова прямоугольная симтема координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы прямые L1 и L2 (уравнения (1) и (2)).

Пусть прямые L1 и L2 не параллельны (паралельные прямые мы расстотрели в предыдущем параграфе). Чтобы найти расстояние между прямыми L1 и L2 нужно построить параллельные плоскости α1 и α2 так, чтобы прямая L1 лежал на плоскости α1 а прямая L2 − на плоскости α2. Тогда расстояние между прямыми L1 и L2 равно расстоянию между плоскостями L1 и L2 (Рис. 3).

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Поскольку плоскость α1, проходит через прямую L1, то он проходит также через M1(x1, y1, z1). Следовательно справедливо следующее равенство:

A1x1+B1y1+C1z1+D1=0.(27)

где n1=<A1, B1, C1> − нормальный вектор плоскости α1. Для того, чтобы плоскость α1 проходила через прямую L1, нормальный вектор n1 должен быть ортогональным направляющему вектору q1 прямой L1, т.е. скалярное произведение этих векторов должен быть равным нулю:

A1m1+B1p1+C1l1=0.(28)

Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

A1m2+B1p2+C1l2=0.(29)

Решая систему линейных уравнений (27)−(29), с тремя уравнениями и четыремя неизвестными A1, B1, C1, D1, и подставляя в уравнение

A1x+B1y+C1z+D1=0.(30)

получим уравнение плоскости α1. (Как построить уравнение плоскости, проходящей через прямую, параллельно другой прямой подробно изложено здесь).

Аналогичным образом находим уравнение плоскости α2:

A2x+B2y+C2z+D2=0.(31)

Плоскости α1 и α2 параллельны, следовательно полученные нормальные векторыn1=<A1, B1, C1> и n2=<A2, B2, C2> этих плоскостей коллинеарны. Если эти векторы не равны, то можно умножить (31) на некторое число так, чтобы полученный нормальный вектор n2 совпадал с нормальным вектором уравнения (30).

Тогда расстояние между параллельными плоскостями вычисляется формулой:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия.

Полученное расстояние между плоскостями α1 и α2 является также расстоянием между прямыми L1 и L2.

Пример 3. Найти расстояние между прямыми

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(32)
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(33)

Построим плоскость α1, проходящую через прямую L1, параллельно прямой L2.

Поскольку плоскость α1 проходит через прямую L1 , то она проходит также через точку M1(x1, y1, z1)=M1(2, 1, 4) и нормальный вектор n1=<m1, p1, l1> плоскости α1 перпендикулярна направляющему вектору q1 прямой L1. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

A1x1+B1y1+C1z1+D1=0.(34)

а условие параллельности прямой L1 и искомой плоскости α1 представляется следующим условием:

A1m1+B1p1+C1l1=0.(35)

Так как плоскость α1 должна быть параллельной прямой L2, то должна выполнятся условие:

A1m2+B1p2+C1l2=0.(36)
A1·2+B1·1+C1·4+D1=0.(37)
A1·1+B1·3+C1·(−2)=0.(38)
A1·2+B1·(−3)+C1·7=0.(39)

Представим эти уравнения в матричном виде:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(40)
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(41)

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

A1x+B1y+C1z+D1=0.(42)
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Упростим уравнение, умножив на число 17.

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(43)

Построим плоскость α2, проходящую через прямую L2, параллельно прямой L1.

Поскольку плоскость α2 проходит через прямую L2 , то она проходит также через точку M2(x2, y2, z2)=M2(6, −1, 2) и нормальный вектор n2=<m2, p2, l2> плоскости α2 перпендикулярна направляющему вектору q2 прямой L2. Тогда уравнение плоскости должна удовлетворять условию:

A2x2+B2y2+C2z2+D2=0.(44)

а условие параллельности прямой L2 и искомой плоскости α2 представляется следующим условием:

A2m2+B2p2+C2l2=0.(45)

Так как плоскость α2 должна быть параллельной прямой L1, то должна выполнятся условие:

A2m1+B2p1+C2l1=0.(46)
A1·6+B1·(−1)+C1·2+D1=0.(47)
A1·2+B1·(−3)+C1·7=0.(48)
A1·1+B1·3+C1·(−2)=0.(49)

Представим эти уравнения в матричном виде:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(50)
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(51)

Искомая плоскость может быть представлена формулой:

A2x+B2y+C2z+D2=0.(52)
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Упростим уравнение, умножив на число −83.

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(53)

Расстояние между построенными плоскостями (43) и (53) будет расстоянием между прямыми (1) и (2).

Запишем формулы уравнений плоскостей α1 и α2 :

A1x+B1y+C1z+D1=0.
A2x+B2y+C2z+D2=0.

Поскольку нормальные векторы плоскостей α1 и α2 совпадают, то можно найти расстояние между плоскостями α1 и α2, используя следующую формулу:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия(54)
Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Упростим и решим:

Расстояние между параллельными прямыми аналитическая геометрия

Расстояние между прямыми равно: d=4.839339

🎥 Видео

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"Скачать

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 классСкачать

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 класс

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Урок 23. Расстояние между параллельными прямыми (7 класс)Скачать

Урок 23.  Расстояние между параллельными прямыми (7 класс)

Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)

38. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

38. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми

57. Определение расстояния между двумя параллельными прямымиСкачать

57. Определение расстояния между двумя параллельными прямыми

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Расстояние между скрещивающимися прямыми. Способ перемены плоскостей проекцийСкачать

Расстояние между скрещивающимися прямыми. Способ перемены плоскостей проекций

Геометрия. Свойства параллельных прямых. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Геометрия. Свойства параллельных прямых. Расстояние между параллельными прямыми

№277. Расстояние между параллельными прямыми а и b равно 3 см, а между параллельными прямымиСкачать

№277. Расстояние между параллельными прямыми а и b равно 3 см, а между параллельными прямыми

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми, 7 классСкачать

Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми, 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: