По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Задача:

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Дано: отрезок МК, По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность1, По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность2.

Построить По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьАВС такой, что АВ = МК, По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьВАС =По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность1, По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьАВС =По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность2.

Решение:

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

С помощью линейки проводим прямую По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьи на ней с помощью циркуля отложим отрезок АВ, равный отрезку МК. Для этого произвольно на прямой По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьставим точку А, с помощью циркуля измеряем отрезок МК и строим окружность с центром в точке А радиуса МК (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом). Точку пересечения окружности с прямой По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьобозначаем В.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

Далее строим угол ВАF равный углу 1. Для этого строим с помощью циркуля окружность радиуса МК с центром в вершине угла 1 (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом). Точки пересечения данной окружности со сторонами угла 1 обозначаем N и Р.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

С помощью циркуля измеряем длину отрезка NP и строим окружность радиуса NP с центром в точке В (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное синим цветом). Точку пересечения окружности с окружностью радиуса МК с центром в точке А обозначаем F.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

Далее, проводим луч АF с помощью линейки.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

Далее, строим угол АВD равный углу 2. Для этого строим с помощью циркуля окружность радиуса МК с центром в вершине угла 2 (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом). Точки пересечения данной окружности со сторонами угла 2 обозначаем О и Е.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

С помощью циркуля строим окружность радиуса МК с центром в точке В (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное красным цветом), затем измеряем длину отрезка ОЕ и строим окружность радиуса ОЕ с центром в точке А (всю окружность строить необязательно, смотри, выделенное синим цветом). Точку пересечения данных окружностей обозначаем D.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

Далее, проводим луч ВD с помощью линейки.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

Точку пересечения лучей АF и ВD обозначаем С. Получаем треугольник АВС, в котором по построению АВ = МК, По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьВАС =По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность1, По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьАВС =По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность2, следовательно, треугольник АВС искомый.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

Данная задача не всегда имеет решение. Так как по теореме о сумме углов треугольника: сумма углов всякого треугольника равна 180 0 . Значит, сумма двух данных углов должна быть меньше 180 0 . Если же сумма двух данных углов будет больше 180 0 , то нельзя построить треугольник, углы которого равнялись бы данным углам.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Строим треугольник по стороне и двум углам (Задача 7).Скачать

Строим треугольник по стороне и двум углам (Задача 7).

Задачи на построение циркулем и линейкой с примерами решения

Содержание:

Основные задачи на построение циркулем и линейкой:

В данном параграфе рассмотрим вопрос о построении геометрических фигур. Вы уже знаете, что геометрические построения можно осуществлять с помощью масштабной линейки, циркуля, транспортира и чертежного угольника. В то же время оказывается, что многие геометрические фигуры можно построить, пользуясь только циркулем и линейкой без масштабных делений.

При построении геометрических фигур с помощью циркуля и линейки без масштабных делений учитывается, что:

  1. с помощью линейки можно провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две точки;
  2. с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.

Теперь рассмотрим основные задачи на построение циркулем и линейкой: построение угла, равного данному, построение серединного перпендикуляра к отрезку, построение биссектрисы угла.

Видео:Геометрия. 7 класс. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней угламСкачать

Геометрия. 7 класс. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам

Задача 1 (построение угла, равного данному)

От данного луча OF отложите угол, равный данному углу ABC.

Предположим, что угол DOF, удовлетворяющий условию задачи, построен (рис. 130, а).

ПустьПо стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

1) Строим окружность По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(В, R) , где R — произвольный радиус, и отмечаем точки А1 и С1 пересечения ее со сторонами угла ABC.

2) Строим окружность По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(0, R) с центром в точке О того же радиуса R и отмечаем ее точку пересечения F1 с лучом OF.

3) Строим окружность По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(F1, A1C1).

4) Пусть D1 — одна из точек пересечения окружностей По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(0, R) и По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(F1, A1C1) (рис. 130, б). Тогда угол D1OF — искомый. Докажем, что По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьD1OF =По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьABC.

Равенство По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьD1OF =По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьABC следует из равенства треугольников А1ВС1 и D1OF1. Действительно, по построению А1В = D1O = С1В = F1O. Кроме того, по построению F1D1 = А1С1, следовательно, треугольники А1ВС1 и D1OF1 равны по трем сторонам. Отсюда следует, что По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьD1OF =По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьА1ВС1, т. е. построенный угол D1OF равен данному углу ABC.

Видео:Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. 7 класс. Геометрия.Скачать

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам. 7 класс. Геометрия.

Задача 2 (построение серединного перпендикуляра к отрезку)

Постройте серединный перпендикуляр к данному отрезку АВ.

Проведем рассуждения, которые помогут осуществить необходимое построение. Предположим, что серединный перпендикуляр а к отрезку АВ построен (рис. 131, а). Пусть точки F и D лежат на серединном перпендикуляре так, что OF = OD. Прямоугольные треугольники FOB и DOB равны по двум катетам, следовательно, BF = BD. Иначе говоря, точки F и D лежат на окружности По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(B, BF) и BF > ОВ. Аналогично AF =AD, так как треугольник FOA равен треугольнику DOA. Кроме того, легко увидеть, что AF = BF. Таким образом, точки F и D лежат также и на окружности По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(A, BF).

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

1) Строим окружности По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(A, R) и По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(B, R) , где R По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьПо стороне и двум прилежащим к ней углам окружность. Пусть, например, R = AB: По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(A, AB) и По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(B, AB) (рис. 131, б).

2) Отмечаем точки F и D пересечения окружностей По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(A, AB) и По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(B, AB).

3) Тогда прямая FD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Докажем это.

Рассмотрим треугольники FAD и FBD (рис. 131, в). Указанные треугольники равны по трем сторонам. Следовательно, По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьAFD = По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьBFD. Отсюда следует, что в равнобедренном треугольнике AFD отрезок FO является биссектрисой, а значит, и высотой и медианой, т. е. прямая FO — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Видео:Как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней угламСкачать

Как построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам

Задача 3 (построение биссектрисы угла)

Постройте биссектрису данного угла ABC.

Допустим, что биссектриса BE данного угла ABC построена (рис. 132, а). Пусть точки F и D лежат на сторонах угла так, что BF = BD, О = FD По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьBE, а точка Т лежит на луче, противоположном лучу ОВ. Из равенства прямоугольных треугольников FOT и DOT (FO = OD, катет ОТ — общий) следует, что FT = DT, т. е. точка Т принадлежит окружностям равных радиусов с центрами в точках F и D. Построив точку Т, мы построим биссектрису ВТ данного угла.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

1) Строим окружность По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(B, R1) произвольного радиуса R1 с центром в вершине В данного угла (рис. 132, б).

2) Отмечаем точки F и D, в которых окружность По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(B, R) пересекает соответственно стороны ВА и ВС данного угла.

3) Строим окружности По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(F, R2) и По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(D, R2), где R2 > По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьFD. Отмечаем точку Т их пересечения, которая лежит внутри данного угла.

4) Проводим луч ВТ. Луч ВТ — искомый. Докажем это.

Рассмотрим треугольники BFT и BDT (рис. 132, в). Эти треугольники равны по трем сторонам (BF = BD и FT = DT — по построению, ВТ — общая сторона). Из равенства этих треугольников следует, что По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьFBT = По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьDBT, т. е. луч ВТ — биссектриса угла ABC.

Видео:Второй признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.

Построение треугольника по трем элементам

В данном пункте рассмотрим задачи на построение треугольника по: а) двум сторонам, и углу между ними; б) стороне и двум прилежащим к ней углам; в) трем сторонам.

Видео:Построение треугольника по углу и двум сторонам. 7 класс.Скачать

Построение треугольника по углу и двум сторонам. 7 класс.

Задача 4 (построение треугольника по двум сторонам и углу между ними)

Постройте треугольник, две стороны которого равны двум данным отрезкам а и b, а угол между этими сторонами равен данному углу hk.

Даны два отрезка а, b и угол hk (рис. 133, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, две стороны которого, например, АВ и АС, равны соответственно отрезкам а и b, а угол ВАС равен углу hk.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

1) Проведем прямую, на ней отложим отрезок АС, равный отрезку b (рис. 133, б).

2) Строим угол CAF, равный углу hk.

3) На луче AF отложим отрезок АВ, равный отрезку а, и проведем отрезок ВС. Треугольник ABC — искомый (рис. 133, в).

По построению имеем, что АС = b, АВ = а и По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьBAC = По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьhk.

При любых данных отрезках а и b и неразвернутом угле hk каждое из построений 1) — 3) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка АС, равны между собой по двум сторонам и углу между ними, поэтому говорят, что данная за дача имеет единственное решение.

Видео:Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. 7 класс. Геометрия.Скачать

Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними. 7 класс. Геометрия.

Задача 5 (построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Постройте треугольник, сторона которого равна данному отрезку а, а углы, прилежащие к этой стороне, равны данным углам hk и mq.

Дан отрезок а и два угла hk и mq (рис. 134, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, сторона которого, например АС, равна отрезку а, а углы ВАС и ВСА равны соответственно углам hk и mq.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

1) Проведем прямую и на ней отложим с помощью циркуля отрезок АС, равный отрезку а (рис. 134, б).

2) Строим угол CAF, равный углу hk.

3) Строим угол ACT, равный углу mq.

4) Отмечаем точку В пересечения лучей AF и СТ. Треугольник ABC — искомый (рис. 134, в).

По построению имеем, что АС = a, По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьBAC = По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьhk и По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьACB = По стороне и двум прилежащим к ней углам окружностьmq.

Для любого данного отрезка а и неразвернутых углов hk и mq каждое из построений 1) — 4) выполнимо, т. е. искомый треугольник можно построить. Треугольники, которые удовлетворяют условию задачи и строятся при различном выборе прямой и отрезка АС, равны между собой по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому говорят, что данная задача имеет единственное решение.

Видео:Построение треугольника по трем сторонам. 7 класс.Скачать

Построение треугольника по трем сторонам. 7 класс.

Задача 6 (построение треугольника по трем сторонам)

Постройте треугольник, стороны которого равны данным отрезкам а, b, с.

Даны отрезки а, b, с (рис. 135, а). Требуется с помощью циркуля и линейки построить треугольник ABC, стороны которого АВ, ВС и АС равны соответственно отрезкам a, b и с.

1) Проведем прямую и на ней с помощью циркуля отложим отрезок АС, равный отрезку с (рис. 135, б).

2) Строим окружность По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(A, a).

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

3) Строим окружность По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(C, b).

4) Пусть В — одна из точек пересечения окружностей По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(A, a) и По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность(C, b). Тогда треугольник ABC — искомый.

По построению АС = с, АВ = а, ВС = b.

Данная задача не всегда имеет решение. Известно, что в любом треугольнике длина каждой стороны меньше суммы длин двух других его сторон. Таким образом, если длина какого-либо из данных отрезков больше суммы длин двух других, то нельзя построить треугольник, стороны которого равны данным отрезкам.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Задачи на построение по геометрии
  • Угол — определение, виды, как обозначают с примерами
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  • Признаки равенства треугольников
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Построение треугольника по трём элементам

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Задачи на построение циркулем и линейкой.
  • Алгоритмы решения простейших задач на построение.
  • Способы решения задач на построение треугольника по трём заданным элементам.
  • Этапы решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование.

Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какую геометрическую фигуру требуется построить, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.

Построение треугольника по трём элементам:

  • по 2 сторонам и углу между ними;
  • по стороне и двум прилежащим к нему углам;
  • по трём сторонам.

Задачи на построение:

  • позволяют моделировать те или иные практические ситуации
  • устанавливают связь между геометрией и черчением, геометрией и рисованием.

1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
  2. Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
  3. Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
  4. Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
  5. Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Построение треугольника по трём элементам.

Чтобы построить треугольник, нужно уметь строить:

1. Отрезок, равный данному.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

2. Угол, равный данному.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа.

Анализ: предположить, что задача решена, сделать чертеж от руки искомой фигуры, составить план решения задачи.

Построение: описать способ построения.

Доказательство: доказать, что построенная фигура или множество точек – искомые.

Исследование: выяснить, всегда ли построение возможно.

Построить треугольник по трём заданным сторонам.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Задача 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.

Дано. В треугольнике АВС: АВ = ВС = 10 см, ∠АВС = 120°.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

∆АВС – равнобедренный. ВН – расстояние от точки В до прямой АС, т. е. ВН ⊥ АС. В равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой. ∠АВН = 120°: 2 =60°, значит, ∠А = 30°. Против угла 30° лежит катет ВН равный половине гипотенузы АВ. Значит, ВН = 10 : 2 = 5 см.

Ответ: 5 см расстояние от вершины В до прямой АС.

Задача 2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.

Дано: отрезок р, угол α.

По стороне и двум прилежащим к ней углам окружность

  1. Построим ∠В = α.
  2. Проведем окружность с центром В и радиусом р.
  3. С – точка пересечения окружности и угла.
  4. Построим перпендикуляр к другой стороне угла.
  5. ∆АВС – искомый.

Задача 3. Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.

Дано: отрезки р и q, угол α.

Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, например АС = р, ∠А =α , а биссектриса АD = q.

📺 Видео

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

7 класс, 19 урок, Второй признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 19 урок, Второй признак равенства треугольников

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№14 - Второй и третий признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№14 - Второй и третий признаки равенства треугольников.)

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим угламСкачать

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим угламСкачать

Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам

3. Признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней угламСкачать

3. Признак равенства треугольников по стороне и прилежащим к ней углам

ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО СТОРОНЕ И ДВУМ УГЛАМ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА ПО СТОРОНЕ И ДВУМ УГЛАМ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ | ГЕОМЕТРИЯ 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: