Радиус вектор любой точки кривой

Радиус-вектор – это вектор, начало которого совпадает с точкой (0 ; 0) — началом координат.

Видео:2.4. Радиус-вектор и вектор перемещенияСкачать

Почему радиус-вектор так называют

Если начертить окружность с центром в точке (0 ; 0), этот вектор станет её радиусом.

Любой вектор можно превратить в радиус-вектор. Для этого сдвигаем его так, чтобы начало этого вектора совместить с точкой (0 ; 0).

При этом, помним: перемещать вектор можно, а поворачивать его нельзя!

Видео:Определение параметров движения по заданному радиус-вектору. Векторный способ задания движения.Скачать

Чем радиус-вектор удобен для использования

Чтобы найти координаты вектора, нужно найти разности соответственных координат точек, расположенных в конце и начале вектора.

Для радиус-вектора вычислять координаты не нужно. Можно воспользоваться правилом:

Координаты радиус-вектора — это координаты его конечной точки.

Сравните координаты конечной точки и координаты вектора на рисунке 2.

Видео:Радиус векторСкачать

Глава 1 Элементы дифференциальной геометрии (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7

Дифференциальная геометрия изучает геометрические свойства пространственных и плоских кривых линий и поверхностей. В данной работе рассматриваются наиболее общие свойства геометрических объектов, необходимые для конструирования и расчета напряженно деформированного состояния оболочек. Для более углубленного изучения геометрии поверхностей можно использовать многочисленную специальную литературу.

1.1. Элементы теории кривых

Кривой линией называется множество точек, состоящее из конечного или счетного множества простых дуг, примыкающих друг к другу. Уравнение кривой может быть задано в векторном или параметрическом виде

, (1.1)

где r(t) – радиус вектор кривой; t – параметр, задающий положение точки пространственной кривой; X(t), Y(t), Z(t) – координаты произвольной точки линии в прямоугольной декартовой системе координат; i, j, k – орты прямоугольной системы координат (рис. 1.1).

Производная радиуса вектор кривой r(t) по параметру t определяет вектор касательной к кривой линии в заданной точке

. (1.2)

Модуль производной радиус-вектора кривой линии определяет длину дуги кривой линии:

; (1.3)

; . (1.4)

Так как между длиной дуги s и параметром t, формулой (1.4) определяется однозначное соответствие, то длина кривой может рассматриваться как параметр, определяющий положение точки кривой (t0 принимается за начальную точку отсчета длины кривой линии)

. (1.5)

Параметр s оказывается наиболее удобным при изучении свойств кривой линии по ее уравнению и называется натуральным параметром, а уравнение (1.5) – натуральным уравнением кривой.

Дифференцируя радиус-вектор кривой по параметру t и учитывая зависимость s = s(t), имеем

. (1.6)

Из соотношения (1.6) следует, что |dr/ds| = 1 и, следовательно,

, (1.7)

где τ – единичный вектор касательной кривой линии в заданной точке (рис. 1.1). В дальнейшем единичный вектор касательной будем называть просто вектор касательной кривой линии.

Прежде чем продолжить изучение свойств кривой линии, рассмотрим вектор постоянный длины R(t) (|R(t)| = a = const), т. е. вектор, меняющий только направление при изменение параметра t. Если при этом, один конец вектора расположен в заданной точке, то очевидно второй конец вектора описывает кривую на сфере радиуса, равного длине вектора, и вектор касательной расположен в касательной плоскости сферы и перпендикулярен вектору R(t). Докажем аналитически свойство перпендикулярности вектора производной вектору-функции постоянной длины

;

Дифференцируя квадрат вектора постоянной длины, получим

. (1.8)

Но равенство нулю скалярного произведения двух векторов (каждый из которых не равен нулю) означает их ортогональность, следовательно, вектор производной вектор-функции постоянной длины перпендикулярен этой вектор-функции.

Вернемся к изучению свойств кривой линии.

Плоскость перпендикулярная вектору касательной кривой называется нормальной плоскостью кривой в данной точке.

Плоскость, содержащая вектор касательной кривой называется касательной плоскостью кривой в данной точке. Очевидно, через точку кривой линии можно провести бесконечное число касательных плоскостей.

Так как касательный вектор τ кривой линии является вектором единичной длины, то вектор его производной ортогонален вектору касательной, т. е. лежит в нормальной плоскости кривой.

В точке кривой можно провести бесконечное множество нормалей, которые лежат в нормальной плоскости кривой. Нормаль кривой, совпадающая с направлением вектора производной касательного вектора, называется главной нормалью кривой линии.

Касательная плоскость, проходящая через главную нормаль кривой, называется соприкасающейся плоскостью. В частности, для плоской кривой соприкасающаяся плоскость является плоскостью, в которой лежит плоская кривая. Соприкасающуюся плоскость можно также получить, как предельное положение плоскости, проходящей через три неограниченно сближающиеся точки кривой линии.

Дифференцируя дважды радиус-вектор кривой по натуральному параметру, получим вектор главной нормали кривой линии в заданной точке

, (1.9)

где v – единичный вектор нормали кривой;

– кривизна кривой линии.

Вектор, перпендикулярный соприкасающейся плоскости, т. е. перпендикулярный векторам касательной и главной нормали называется бинормалью кривой линии. Очевидно, единичный вектор бинормали кривой можно определить как векторное произведение векторов касательной и нормали

. (1.10)

Касательная плоскость, проходящая через бинормаль, называется спрямляющей плоскостью кривой линии.

Касательная, нормаль и бинормаль определяют в каждой точке кривой три единичных взаимно перпендикулярных вектора (риc. 1.1), которые называют натуральным трехгранником кривой, или трехгранником Френе.

Основные свойства векторов трехгранника Френе:

; ;

; ; ;

; ; . (1.11)

Дифференцируя соотношение (1.10) по натуральному параметру, получим вектор, лежащий в соприкасающейся плоскости:

, (1.12)

где χ = |dβ/ds| – кручение кривой линии.

Дифференцируя скалярное произведение двух любых взаимно перпендикулярных векторов (e1·e2) = 0, имеем

, или .

Дифференцируя скалярные произведения векторов трехгранника Френе (1.11), получим

; ; .

Видео:Лекция 4.1 | Радиус-вектор, скорость и ускорение | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Тогда с учетом формул (1.9), (1.12), имеем

. (1.13)

Формулы дифференцирования векторов трехгранника Френе (1.9), (1.12), (1.13)

; ; (1.14)

называются формулами Серре-Френе.

Геометрический смысл кривизны и кручения кривой линии можно получить рассматривая перемещение трехгранника Френе вдоль кривой линии. При перемещении вдоль кривой на расстояние Ds направление касательной изменяется. Касательная поворачивается на некоторый угол Δφ (рис. 1.2). Скорость изменения угла направления касательной, определяемая пределом отношения угла поворота касательной к длине дуги кривой называется кривизной кривой линии:

. (1.15)

Сравнивая определение кривизны (1.15) с формулой дифференцирования вектора касательной, имеем

,

так как для вектора единичной длины

.

Из рис 1.2 ясно, что приращение касательной Δτ и, следовательно, нормаль ν, при движении вдоль кривой линии всегда направлены в сторону вогнутости кривой.

Видео:10 Класс - Физика - Перемещение. Радиус-вектор.Скачать

Радиус вектор любой точки кривой

Получите бесплатный курс по основам математики. Эти знания необходимы для решения задач по физике.

Видео:Радиус-векторыСкачать

Векторная алгебра с нуля!

Получите бесплатный курс по Векторной алгебре. Он необходим для решения задач по физике.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ

Видео:Кривизна траекторииСкачать

Радиус-вектор

Радиус-вектор точки — это вектор, начало которого совпадает с началом системы координат, а конец — с данной точкой.

Таким образом, особенностью радиус-вектора, отличающего его от всех других векторов, является то, что его начало всегда находится в точке начала координат (рис. 17).

Введение понятия радиус-вектора оказалось чрезвычайно плодотворным при изучении различных физических явлений. В частности, это понятие широко используется в механике.

Как известно, положение точки можно задать с помощью ее координат. Так, если известны координаты x₁ и y₁ точки В или координаты x₂ и y₂ точки С, то мы легко находим положения этих точек на плоскости. Этот способ определения положения точки с помощью ее координат называется координатным способом.

Но можно определить положение точки и по-другому, а именно с помощью радиус-вектора. Если известен радиус-вектор данной точки, то и ее положение оказывается известным, поскольку точка конца радиус-вектора совпадает с данной точкой. Так, положение точки В — это конец ее радиус-вектора r₁, а положение точки С — это конец ее радиус-вектора r₂. Этот способ определения положения точки с помощью ее радиус-вектора называется векторным способом.

Эти способы эквивалентны друг другу. Покажем это. Найдем проекции радиус-вектора r₁ точки В на координатные оси. Напомню, чтобы найти проекцию вектора на ось нужно из координаты конца вектора вычесть координату его начала. Тогда

Аналогично для проекций радиус-вектора r₂ точки С:

r_2y = y₂ − 0 = y₂. Таким образом, проекции радиус-векторов точек являются координатами этих точек (рис. 18).

На практике применяются как координатный, так и векторный способы. Более того, при решении многих задач их применяют совместно, что является мощным методом решения, поскольку он позволяет использовать единый подход для решения совершенно разных задач.

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ
Эти книги должен иметь каждый старшеклассник, абитуриент и студент!

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).

© Коллекция подготовительных материалов для успешной сдачи ЕГЭ по физике от Н. Чернова 2012 — 2015 | Контакты: , +79212839427, (81554) 65780

🎥 Видео

Полярная система координатСкачать

ЕГЭ по Физике 2022. Кинематика. Радиус-векторСкачать

Лекция 4. ВЕКТОРА │ кинематика с нуляСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорениеСкачать

кинематика точкиСкачать

Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать

Кривизна кривой и главная нормальСкачать

Физика - движение по окружностиСкачать

радиус кривизныСкачать

ЧК_МИФ_1_1_1_3_(L2)__Материальная точка и ее радиус-векторСкачать