Радиус цилиндра по диаметру окружности

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

Формулы вычисления радиуса цилиндра

1. Через объем и высоту

Радиус цилиндра рассчитывается по формуле:

V – объем цилиндра; считается как произведение числа π на высоту фигуры на квадрат радиуса круга, являющего ее основанием.

V = π R 2 h

• R – радиус основания цилиндра, т.е. окружности;
• π – число, округленное значение которого равняется 3,14.

2. Через площадь боковой поверхности

Радиус цилиндра считается таким образом:

S_бок. – площадь боковой поверхности цилиндра; равна произведению длины окружности (2 π R), являющейся основанием фигуры, на его высоту:

S = 2 π Rh

3. Через полную площадь поверхности

Радиус цилиндра равен:

Данная формула получена следующим образом:

S – полная площадь поверхности фигуры, равная:

S = 2 π Rh + 2 π R 2 или S = 2 π R(h + R)

Возьмем первое выражение. Если перенести S в правую часть, получим:

2 π R 2 + 2 π Rh – S = 0

Можно заметить, что это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где:

R является корнем данного уравнения (x). Подставив в стандартную формулу для расчета корней наши значения a, b и с получаем*:

* в нашем случае – только один положительный корень, т.к. радиус не может быть отрицательным.

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Примеры задач

Задание 1
Высота цилиндра равняется 5 см, а объем – 141,3 см 3 . Вычислите его радиус.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные по условиям задачи значения:

Задание 2
Найдите радиус цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна 175,84 см 2 , а высота составляет 7 см.

Решение:
Применим формулу, в которой задействованы заданные величины:

Задание 3
Рассчитайте радиус цилиндра, если полная площадь его поверхности – 602,88 см 2 , а высота – 10 см.

Решение:
Используем третью формулу для нахождения неизвестной величины:

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус цилиндра по диаметру окружности

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндра. 14.04.2020Скачать

Радиус и высота цилиндра

Видео:Объём цилиндраСкачать

Свойства

Зная радиус цилиндра r, можно сразу найти его диаметр D и периметр окружности P, лежащей в его основании. Диаметр цилиндра является величиной в два раза большей радиуса по значению, а периметр окружности равен произведению диаметра на число π. D=2r P=2πr

Зная радиус и высоту цилиндра можно вычислить все необходимые параметры, такие как, например, площадь поверхности цилиндра или его объем, диагональ цилиндра и так далее. Площадь поверхности цилиндра может быть полной или только боковой, разница заключается в том, что для полной поверхности необходимо прибавить к боковой еще два основания. S_(б.п.)=hP=2πrh S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=2πrh+πr^2=πr(2h+r)

Объем цилиндра равен произведению его площади основания на высоту, то есть произведению числа π на высоту и квадрат радиуса. V=πr^2 h

Чтобы найти диагональ цилиндра, необходимо провести диаметр в основании таким образом, чтобы он соединял диагональ с высотой цилиндра, расположенной на его боковой поверхности. Тогда из образованного прямоугольного треугольника, можно вычислить диагональ цилиндра через радиус и высоту цилиндра по теореме Пифагора. (рис.25.1) d=√(D^2+h^2 )=√(4r^2+h^2 )

В цилиндр можно вписать сферу только тогда, когда диаметр его основания равен его высоте. То же самое касается и сферы описанной вокруг цилиндра. Радиус вписанной в цилиндр сферы равен радиусу окружности, лежащей в основании сферы, или половине высоты, а радиус сферы описанной около цилиндра равен половине его диагонали. (рис.25.2, 25.3) r_1=r=h/2 R=d/2=√(4r^2+h^2 )/2

Видео:Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Диаметр и высота цилиндра

Видео:Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Свойства

Через диаметр цилиндра можно рассчитать его радиус и периметр основания цилиндра. Радиус будет равен половине диаметра, а периметр – его произведению на число π. r=D/2 P=πD

Зная диаметр и высоту цилиндра, можно узнать площадь, объем, диагональ цилиндра и остальные параметры. Площадь боковой поверхности цилиндра представляет собой площадь прямоугольника, сторонами которого являются периметр основания цилиндра и его высота. Чтобы затем найти площадь полной поверхности цилиндра через диаметр и высоту, нужно к площади боковой поверхности добавить площадь верхнего и нижнего оснований, каждое из которых равно произведению числа π на четверть квадрата диаметра. S_(б.п.)=hP=πDh S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=πDh+(πD^2)/2=πD/2(2h+D) P=πD

Объем цилиндра представляет собой площадь его основания, умноженную на высоту. Чтобы найти объем цилиндра через диаметр и высоту, нужно умножить квадрат диаметра на четверть числа π и на высоту. V=(πD^2 h)/4 P=πD

Диагональ цилиндра находится из прямоугольного треугольника, в котором она является гипотенузой, а катеты представлены высотой и диаметром цилиндра. По теореме Пифагора диагональ цилиндра через высоту и диаметр цилиндра равна квадратному корню из суммы их квадратов. (рис. 25.1) d=√(h^2+D^2 ) P=πD

Чтобы найти радиус сферы вписанной в цилиндр, если его диаметр равен высоте, нужно разделить диаметр цилиндра либо высоту на два, так как радиус вписанной сферы равен радиусу цилиндра. (рис.25.2) r_1=h/2=D/2 P=πD

Радиус сферы, описанной вокруг цилиндра, при соблюдении тех же условий (равенство диаметра цилиндра и его высоты) равен половине диагонали цилиндра.(рис.25.3) R=d/2=√(h^2+D^2 )/2

Видео:Цилиндр - расчёт площади, объёма.Скачать

Радиус цилиндра

При вращении прямоугольника вокруг своей стороны получается геометрическое тело, называемое цилиндром. Данная геометрическая фигура ограничена цилиндрической поверхностью и двумя пересекающими ее параллельными плоскостями — основаниями цилиндра. Радиусом считается отрезок, соединяющий на плоскости основания точку центральной оси цилиндра с точкой его поверхности.

— Если известен объем и высота цилиндра, можно найти его радиус, как корень квадратный из объема деленного на произведение числа пи на высоту цилиндра:

R = √V / πh

где V — объем цилиндра, h — высота.
Полная площадь поверхности цилиндра складывается из сумм площадей его боковой поверхности и двух оснований:

S (п.п.) = S (б.п.) + 2S (осн.) = 2πrh + πr 2 =πr (2h+r)

Площадь боковой поверхности равняется длине окружности основания умноженной на высоту:

S (б.п.) = hP = 2πrh

— Если известна площадь бок. поверхности S (б.п.) и высота h цилиндра, радиус будет равен частному от деления S (б.п.) на произведение 2пи на высоту:

r = S (б.п.) / 2πh

Площадь двух оснований равна удвоенному произведению пи на радиус в квадрате:

2S (осн.) = πr 2

— Если известна площадь основания и высота, радиус находим как корень квадратный из площади одного основания деленного на пи:

r = √S (осн.) / π

S (п.п.) = S (б.п.) + 2S (осн.) = 2πrh + πr 2

где S (п.п.) — полная площадь поверхности цилиндра; r — радиус; h — высота.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Нахождение радиуса цилиндра: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить радиус цилиндра и разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Видео:Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Формулы вычисления радиуса цилиндра

1. Через объем и высоту

Радиус цилиндра рассчитывается по формуле:

V – объем цилиндра; считается как произведение числа π на высоту фигуры на квадрат радиуса круга, являющего ее основанием.

• R – радиус основания цилиндра, т.е. окружности;
• π – число, округленное значение которого равняется 3,14.

2. Через площадь боковой поверхности

Радиус цилиндра считается таким образом:

S_бок. – площадь боковой поверхности цилиндра; равна произведению длины окружности (2 π R), являющейся основанием фигуры, на его высоту:

3. Через полную площадь поверхности

Данная формула получена следующим образом:

S – полная площадь поверхности фигуры, равная:

S = 2 π Rh + 2 π R 2 или S = 2 π R(h + R)

Возьмем первое выражение. Если перенести S в правую часть, получим:

2 π R 2 + 2 π Rh – S = 0

Можно заметить, что это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где:

R является корнем данного уравнения (x). Подставив в стандартную формулу для расчета корней наши значения a, b и с получаем*:

* в нашем случае – только один положительный корень, т.к. радиус не может быть отрицательным.

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

Примеры задач

Задание 1
Высота цилиндра равняется 5 см, а объем – 141,3 см 3 . Вычислите его радиус.

Решение:
Воспользуемся соответствующей формулой, подставив в нее известные по условиям задачи значения:

Задание 2
Найдите радиус цилиндра, если площадь его боковой поверхности равна 175,84 см 2 , а высота составляет 7 см.

Решение:
Применим формулу, в которой задействованы заданные величины:

Задание 3
Рассчитайте радиус цилиндра, если полная площадь его поверхности – 602,88 см 2 , а высота – 10 см.

Решение:
Используем третью формулу для нахождения неизвестной величины:

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Радиус и диагональ цилиндра

Видео:11 класс. Геометрия. Объем цилиндраСкачать

Свойства

Через радиус цилиндра можно найти его диаметр и периметр окружности, которая находится в основании цилиндра, не прибегая к дополнительным вычислениям. Чтобы найти диаметр цилиндра, нужно умножить его радиус на два, а чтобы найти периметр окружности, нужно его умножить на два числа π. D=2r P=2πr

Чтобы узнать все остальные параметры цилиндра, необходимо сначала найти высоту. Через диагональ цилиндра это можно сделать, построив с высотой прямоугольный треугольник, и составив в нем теорему Пифагора. (рис.25.1) h=√(d^2-D^2 )

Площадь боковой и полной поверхности зависит от высоты и радиуса цилиндра, но можно также найти площадь цилиндра через радиус и диагональ. Для этого вместо высоты впишем в формулу квадратный корень из разности квадрата диагонали и четырех квадратов радиуса. S_(б.п.)=hP=2πrh=2πr√(d^2-〖4r〗^2 ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=πr(2√(d^2-〖4r〗^2 )+r)

Объем цилиндра представлен обычно произведением площади его основания на высоту, но для того чтобы вычислить объем цилиндра через радиус и диагональ необходимо умножить число π на квадрат радиуса и квадратный корень, соответствующий высоте. V=πr^2 h=πr^2 √(d^2-〖4r〗^2 )

Радиус сферы, которую можно вписать в цилиндр, должен быть равен радиусу самого цилиндра – это непременное условие для возможности совмещения этих двух тел. Более того, в таком случае радиус цилиндра должен быть ровно в два раза меньше его высоты, чтобы вписанная сфера соприкасалась не только с боковой поверхностью цилиндра, но и основаниями. (рис. 25.2) r_1=r

Условия для сферы, описанной около цилиндра, совпадают с условиями для вписанной сферы. При их соблюдении радиус сферы становится равным половине диагонали цилиндра. (рис.25.3) R=d/2

Видео:КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР ИЛИ РАДИУС? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

Диаметр и диагональ цилиндра

Видео:Окружность. Круг. 5 класс.Скачать

Свойства

Зная диаметр цилиндра, можно вычислить радиус цилиндра и периметр окружности цилиндра, которая представляет собой его основание. Радиус будет равен одной второй диаметра, а периметр окружности – произведению диаметра на число π. r=D/2 P=πD

Первое, что можно вычислить через диаметр и диагональ цилиндра – это его высота. Так как высота непосредственно связана со всеми остальными параметрами цилиндра, такими как площадь, объем и прочие, то она является необходимым звеном для геометрического калькулятора цилиндра. (рис.25.1) h=√(d^2-D^2 )

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению высоты на длину окружности в основании цилиндра, таким образом, раскрывая эту формулу, получаем, что площадь боковой поверхности равна произведению числа π и диаметра на квадратный корень из разности квадратов диагонали и диаметра. S_(б.п.)=hP=πD√(d^2-D^2 )

Площадь полной поверхности цилиндра представлена площадью боковой поверхности в сумме с площадью двух оснований в виде окружностей. S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=πD(√(d^2-D^2 )+D)

Чтобы найти объем цилиндра через диаметр и диагональ нужно представить высоту цилиндра в виде квадратного корня разности из квадратов диагонали и диаметра, а затем умножить это на площадь основания, состоящую из числа π и четверти квадрата диаметра. V=(πD^2 h)/4=(πD^2 √(d^2-D^2 ))/4

Чтобы в цилиндр можно было вписать сферу, нужно чтобы диаметр цилиндра был равен его высоте, тогда сфера будет соприкасаться со всеми гранями цилиндра и ее радиус будет равен радиусу цилиндра, то есть половине его диаметра. (рис. 25.2) r_1=r=D/2

Чтобы вокруг цилиндра можно было описать сферу, нужно точно так же чтобы диаметр цилиндра совпадал с высотой, и радиус описанной сферы будет равен половине диагонали цилиндра. R=d/2

Видео:ПЛОЩАДЬ КОЛЬЦА. Сделай выбор: на чьей ты стороне?Скачать

Радиус и объем цилиндра

Видео:Математика 5 класс (Урок№26 - Окружность и круг. Сфера и шар.)Скачать

Свойства

Периметр основания цилиндра через радиус может быть выражен как удвоенное произведение его на число π, или как произведение диаметра на число π, поскольку диаметр окружности равен двум радиусам. D=2r P=2πr

Зная радиус и объем цилиндра, можно найти его высоту, разделив объем на произведение квадрата радиуса и числа π. h=V/(πr^2 )

Площадь боковой и полной поверхности цилиндра можно найти через радиус и высоту, или через радиус и объем за неимением высоты. Площадь боковой поверхности цилиндра равна отношению удвоенного объема к двум радиусам. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания, то есть произведения числа π на квадрат радиуса цилиндра. S_(б.п.)=hP=2πrh=2πr V/(πr^2 )=2V/r S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=2V/r+πr^2

Диагональ цилиндра можно вычислить по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, который образован диаметром окружности в основании цилиндра и высотой цилиндра. (рис.25.1) d=√(D^2+h^2 )=√(4r^2+h^2 )=√(4r^2+(V/(πr^2 ))^2 )=√(4r^2+V^2/(π^2 r^4 ))

Если диаметр окружности, лежащей в основании цилиндра, равен его высоте, то в такой цилиндр можно вписать сферу, или описать сферу вокруг него. Радиус сферы, вписанной в цилиндр, равен радиусу самого цилиндра, так как окружность вращения сферы совпадает по размерам с окружность в основании цилиндра. Радиус сферы, описанной вокруг цилиндра, равен половине диагонали, так как сфера пересекается с цилиндром именно в точках, являющихся вершинами диагоналей, следовательно, последние совпадают с диаметром сферы. (рис.25.2,25.3) r_1=r R=d/2=√(4r^2+V^2/(π^2 r^4 ))/2

Видео:КАК НАЙТИ РАДИУС КРУГА (ОКРУЖНОСТИ), ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

Как найти радиус окружности

Видео:25. Окружность, круг, шар, цилиндр (Виленкин, 5 класс)Скачать

Основные понятия

Прежде чем погружаться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, которая лежит в той же плоскости. Если говорить проще, то это замкнутая линия, как, например, обруч и кольцо.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу. Иначе говоря, плоская фигура, ограниченная окружностью, как мяч и блюдце.

Радиус — это отрезок, который соединяет центр окружности и любую точку на ней. Общепринятое обозначение радиуса — латинская буква R.

Возможно тебе интересно узнать — как найти длину окружности?

Видео:Видеоурок по математике "Цилиндр"Скачать

Формула радиуса окружности

Определить способ вычисления проще, отталкиваясь от исходных данных. Далее рассмотрим девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

R = √ S : π, где S — площадь круга, π — это константа, которая выражает отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

R = P : 2 * π, где P — длина (периметр круга).

Если известен диаметр окружности

Диаметр — отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

Диагональ вписанного прямоугольник делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, лежащей напротив прямого угла. Если диагональ неизвестна, теорема Пифагора поможет её вычислить:

d = √ a 2 + b 2 , где a, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

R = (a * b * c) : (4 * S), где a, b, с — стороны, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

R = S : p, где S — площадь треугольника, p — полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника — это сумма длин всех его сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

R = √ (360° * S) : (π * α), где S — площадь сектора круга, α — центральный угол.

Площадь сектора круга — это часть S всей фигуры, ограниченной окружностью с радиусом.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

R = a : (2 * sin (180 : N)), где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Скачать онлайн таблицу

У каждой геометрической фигуры много формул — запомнить все сразу бывает действительно сложно. В этом деле поможет регулярное решение задач и частый просмотр формул. Можно распечатать эту таблицу и использовать, как закладку в тетрадке или учебнике, и обращаться к ней по необходимости.

Диаметр и высота цилиндра

Свойства

Через диаметр цилиндра можно рассчитать его радиус и периметр основания цилиндра. Радиус будет равен половине диаметра, а периметр – его произведению на число π. r=D/2 P=πD

Зная диаметр и высоту цилиндра, можно узнать площадь, объем, диагональ цилиндра и остальные параметры. Площадь боковой поверхности цилиндра представляет собой площадь прямоугольника, сторонами которого являются периметр основания цилиндра и его высота. Чтобы затем найти площадь полной поверхности цилиндра через диаметр и высоту, нужно к площади боковой поверхности добавить площадь верхнего и нижнего оснований, каждое из которых равно произведению числа π на четверть квадрата диаметра. S_(б.п.)=hP=πDh S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=πDh+(πD^2)/2=πD/2(2h+D) P=πD

Объем цилиндра представляет собой площадь его основания, умноженную на высоту. Чтобы найти объем цилиндра через диаметр и высоту, нужно умножить квадрат диаметра на четверть числа π и на высоту. V=(πD^2 h)/4 P=πD

Диагональ цилиндра находится из прямоугольного треугольника, в котором она является гипотенузой, а катеты представлены высотой и диаметром цилиндра. По теореме Пифагора диагональ цилиндра через высоту и диаметр цилиндра равна квадратному корню из суммы их квадратов. (рис. 25.1) d=√(h^2+D^2 ) P=πD

Чтобы найти радиус сферы вписанной в цилиндр, если его диаметр равен высоте, нужно разделить диаметр цилиндра либо высоту на два, так как радиус вписанной сферы равен радиусу цилиндра. (рис.25.2) r_1=h/2=D/2 P=πD

Радиус сферы, описанной вокруг цилиндра, при соблюдении тех же условий (равенство диаметра цилиндра и его высоты) равен половине диагонали цилиндра.(рис.25.3) R=d/2=√(h^2+D^2 )/2