В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.
- Формулы вычисления радиуса описанной окружности
- Произвольный треугольник
- Прямоугольный треугольник
- Равносторонний треугольник
- Примеры задач
- Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника
- Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
- 1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника
- 2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника
- 3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника
- 4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника
- 📺 Видео
Видео:Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника. ЗадачаСкачать
Формулы вычисления радиуса описанной окружности
Произвольный треугольник
Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:
где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.
Прямоугольный треугольник
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.
Равносторонний треугольник
Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:
где a – сторона треугольника.
Видео:Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Найдите гипотенузу.Скачать
Примеры задач
Задание 1
Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.
Решение
Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:
Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:
Задание 2
Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.
Решение
Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:
Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.
Видео:№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника
Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы.
a , b — катеты прямоугольного треугольника
c — гипотенуза
Формула радиуса описанной окружности прямоугольного треугольника (R):
Калькулятор — вычислить, найти радиус описанной окружности прямоугольного треугольника
Видео:Геометрия Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиусСкачать
Радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти радиус описанной окружности около любого треугольника, в том числе радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
| Открыть онлайн калькулятор |
Видео:41 Задача о радиусе, окружности описанной около прямоугольного треугольникаСкачать
1. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известна гипотенуза треугольника
Пусть известна гипотенуза c прямоугольного треугольника (Рис.1). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.
 |
На странице Радиус окружности описанной около треугольника формула радиуса описанной окружности около треугольника по стороне и противолежащему углу имеет вид:
| ( small R=frac ) |
где C − угол противолежащий гипотенузе прямоугольного треугольника. Поскольку угол, противолежащий гипотенузе − прямой, то получим:
| ( small R=frac=frac, ) |
| ( small R=frac. ) | (1) |
Пример 1. Известна гипотенуза ( small с=frac ) прямоугольного треугольника. Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около треугольника воспользуемся формулой (1).
Подставим значение ( small c=frac ) в (1):
 |
Ответ: 
Видео:Радиус описанной окружностиСкачать
2. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катеты треугольника
Пусть известны катеты a и b прямоугольного треугольника. Найдем радиус описанной окружности около треугольника (Рис.2).
 |
Из теоремы Пифагора запишем формулу гипотенузы, выраженная через катеты:
| ( small c=sqrt. ) | (2) |
Подставляя (2) в (1), получим:
| ( small R=frac=frac<large sqrt>, ) |
| ( small R=frac<large sqrt>. ) | (3) |
Пример 2. Катеты прямоугольного треугольника равны: ( small a=15 , ; b=3.) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (3). Подставим значения ( small a=15 , ; b=3) в (3):
 |
Ответ: 
Видео:ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. НайСкачать
3. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника
 |
Формула для вычисления радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и противолежащий угол треугольника аналогична формуле вычисления радиуса описанной окружности около произвольного треугольника (см. статью на странице Радиус описанной окружности около треугольника онлайн):
 | (4) |
Видео:Математика ОГЭ Задание 26 Прямоугольный треугольник Описанная и вписанная окружностиСкачать
4. Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, если известны катет и прилежащий острый угол треугольника
Пусть известны катет a и прилежащий острый угол B прямоугольного треугольника (Рис.4). Найдем радиус описанной окружности около треугольника.
 |
Так как треугольник прямоугольный, то сумма острых углов треугольника равна 90°:
| ( small angle A+angle B=90°. ) |
| ( small angle A=90°-angle B. ) | (5) |
Подставляя (5) в (4), получим:
| ( small R=frac=frac) ( small =frac ) |
| ( small R=frac. ) | (6) |
Пример 3. Катет прямоугольного треугольника равен: ( small a=15 ,) а прилежащий угол равен ( small angle B=25°. ) Найти радиус окружности описанной около треугольника.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной около прямоугольного треугольника воспользуемся формулой (6). Подставим значения ( small a=15 , ; angle B=25° ) в (6):
 |
Ответ: 
📺 Видео
2038 центр окружности описанной около треугольника ABC лежит на стороне ABСкачать
Геометрия Радиус окружности описанной около треугольника ABC равен 6 см Найдите радиус окружностиСкачать
Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать
Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать
🔴 Радиус окружности, описанной около треугольника ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника | Геометрия 8-9 классыСкачать
Геометрия Найдите диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если один из егоСкачать
2047 радиус окружности описанной около правильного треугольника равна 36 корней из 3Скачать
Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать
найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать
Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать
Задание 26 Нахождение радиуса окружности описанной около треугольникаСкачать
