Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Хорды пересекаются

Если хорды пересекаются, как этот факт можно использовать при решении задач?

Теорема

(Свойство отрезков пересекающихся хорд (пропорциональность хорд окружности))

Произведения длин отрезков пересекающихся хорд, на которые эти хорды делятся точкой пересечения, есть число постоянное.

То есть, если хорды AB и CD пересекаются в точке F, то

AF ∙ FB=CF ∙ FD

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Доказать : AF ∙ FB=CF ∙ FD

1) Проведём отрезки BC и AD.

2) Рассмотрим треугольники AFD и CFB.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков∠AFD=∠CFB (как вертикальные);

Следовательно, треугольники AFD и CFB подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

то есть отрезки пересекающихся хорд пропорциональны.

По основному свойству пропорции:

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Что и требовалось доказать .

При решении задач с пересекающимися хордами можно использовать не только вывод теоремы, но также полученный в ходе её доказательства факт, что пересекающиеся хорды образуют пары подобных треугольников.

Через точку M, лежащую внутри окружности, проведена хорда, которая делится точкой M на отрезки, длины которых равны 6 см и 16 см. Найти расстояние от точки M до центра окружности, если радиус окружности равен 14 см.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковДано : окружность (O; R), R=14 см, AB — хорда, M∈AB, AM=16 см, MB=6 см

Проведём через точку M диаметр CD.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковПо свойству отрезков пересекающихся хорд:

Пусть OM=x см (x>0). Так как радиус равен 14 см, то MD= (14-x) см, CM=(14+x) см.

Составим и решим уравнение:

Следовательно, расстояние от точки M до центра окружности равно 10 см.

В окружности проведены хорды AB и CD , пересекающиеся в точке F. Найти длину отрезка AC, если AF=6, DF=8, BD=20.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковДано : окружность (O; R), AB и CD — хорды,

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

В треугольниках AFC и BFD:

∠AFC=∠BFD (как вертикальные);

∠ACF=∠DBF (как вписанные углы, опирающиеся на одну хорду AD).

Следовательно, треугольники AFC и BFD подобны (по двум углам). Поэтому

Видео:Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хордыСкачать

Докажите, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды

Если две окружности пересекаются то произведение отрезков

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Теорема о пересекающихся хордах

Теорема о пересекающихся хордах. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Рассмотрим треугольники AOC и DOB.

(как опирающиеся на дугу BC).

Отсюда – что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 8 класс. Если две хорды окружности пересекаются, то AE·BE=DE·CEСкачать

Геометрия 8 класс. Если две хорды окружности пересекаются, то AE·BE=DE·CE

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

  • Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков
  • Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков
  • Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков
  • Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Наш онлайн-курс по Физике

Все темы ЕГЭ с нуля

Можно не только читать, но и смотреть новые объяснения и разборы на нашем YouTube канале!

Пожалуйста, подпишитесь на канал и нажмите колокольчик, чтобы не пропустить новые видео

Задавайте свои вопросы в комментариях и оставляйте задачи, которые вы хотите, чтобы мы разобрали.

Мы обязательно ответим!

Мы заметили, что Вы регулярно пользуетесь нашими материалами для подготовки по физике.

Результат будет выше, если готовиться по отработанной методике.

У нас есть онлайн-курсы как для абитуриентов, так и для преподавателей.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Окружность и круг

теория по математике 📈 планиметрия

Определения

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра окружности). Другими словами – это замкнутая линия, длину которой можно измерить.

На рисунке центр окружности обозначен точкой О. Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковОпределения

Радиус – расстояние от центра до любой точки окружности. На рисунке радиус обозначен АО. Все радиусы одной окружности равны. Радиус можно обозначать латинскими буквами R или r.

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. На рисунке диаметр обозначен АВ. Все диаметры одной окружности равны. В одном диаметре содержится два радиуса. Диаметр обозначается буквой d.

Хорда – отрезок, соединяющий две любые точки окружности. На рисунке это отрезок CD.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Свойство хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Так, на рисунке показаны две пересекающиеся хорды, одна состоит из отрезков a и b, вторая из отрезков d и с, следовательно, ab=dс.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Длина окружности

Длину окружности можно вычислить по формуле:

C=2πR, где π=3,14.

Дуга – часть окружности, которая соединяет две точки. На рисунке мы видим несколько дуг, например, дуги CD (малая и большая). Дуга АВ – называется полуокружностью, так как стягивает концы диаметра. Обозначается дуга значком ∪АВ.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Видео:Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.Скачать

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент

Из точки, не лежащей на окружности можно провести касательную – прямую, которая имеет с окружностью только одну общую точку (рисунок 4).

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Свойства касательной

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

На рисунке видно, что АХ=ВХ, угол АХО равен углу ВХО.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Угол АВС (образован касательной АВ и хордой ВС) равен половине дуги m.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Другими словами, круг – это всё, что находится внутри окружности.

Площадь круга вычисляется по формуле:

S=πR 2 , где π=3,14.

Сектор и его площадь

Сектор – область круга, ограниченная двумя радиусами. На рисунке сектор выделен сиреневым цветом, он ограничен радиусами ОА и ОВ.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

S= π R 2 360 . . × α , где α – угол между радиусами.

Сегмент – это область круга, ограниченная хордой и дугой. На рисунке сегмент выделен сиреневым цветом. Также можно сказать, что это часть круга, отсекаемая от него хордой. На рисунке видно, как хорда АВ отсекает сегмент.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковСвойства хорд и дуг окружности
Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковТеорема о бабочке

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезковДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЕсли две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Пересекающиеся хорды
Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков
Пересекающиеся хорды
Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Видео:11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностьюСкачать

11 класс, 41 урок, Две теоремы об отрезках, связанных с окружностью

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Тогда справедливо равенство

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Задача о хорде: найти произведение длин отрезков, на которые хорда разбивается внутренней точкойСкачать

Задача о хорде: найти произведение длин отрезков, на которые хорда разбивается внутренней точкой

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Теорема о пересекающихся хордах

Теорема о пересекающихся хордах. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Рассмотрим треугольники AOC и DOB.

(как опирающиеся на дугу BC).

Отсюда – что и требовалось доказать.

Видео:Математика ОГЭ Задание 24 Отрезки пересекающихся хордСкачать

Математика ОГЭ  Задание 24 Отрезки пересекающихся хорд

Это полезно

В нашей статье вы найдете всю необходимую теорию для решения задания №9 ЕГЭ по теме «Графики функций». Это задание появилось в 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня.

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

  • Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков
  • Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков
  • Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков
  • Если две хорды окружности пересекаются то сумма отрезков

Наш онлайн-курс по Физике

Все темы ЕГЭ с нуля

Можно не только читать, но и смотреть новые объяснения и разборы на нашем YouTube канале!

Пожалуйста, подпишитесь на канал и нажмите колокольчик, чтобы не пропустить новые видео

Задавайте свои вопросы в комментариях и оставляйте задачи, которые вы хотите, чтобы мы разобрали.

Мы обязательно ответим!

Мы заметили, что Вы регулярно пользуетесь нашими материалами для подготовки по физике.

Результат будет выше, если готовиться по отработанной методике.

У нас есть онлайн-курсы как для абитуриентов, так и для преподавателей.

📽️ Видео

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

теоренма об отрезках пересекающихся хордСкачать

теоренма об отрезках пересекающихся хорд

Задание 24 ОГЭ по математике #6Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике #6

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.
Поделиться или сохранить к себе: