Пересечение фигур окружности и квадрата

Основные геометрические фигуры

Содержание:

Общие представления о геометрических фигурах. Объединение и пересечение фигур

На рисунках 2.1 и 2.2 изображены различные геометрические фигуры. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.

Пересечение фигур окружности и квадрата

Пересечение фигур окружности и квадрата

Часть любой геометрической фигуры ТЭ.КЖ6 ЯВ-ляется геометрической фигурой.

Определение. Любое множество точек называют геометрической фигурой.

На рисунке 2.3 отрезок АВ есть часть прямой а, на рисунке 2.4 круг Пересечение фигур окружности и квадратаесть часть круга Пересечение фигур окружности и квадрата, на рисунке 2.5 шар вписан в куб и является частью куба.

Пересечение фигур окружности и квадрата

Пересечение фигур окружности и квадрата

Объединение нескольких фигур есть геометрическая фигура. На рисунке 2.6 фигура состоит из трех кругов, на рисунке 2.7 фигура состоит из треугольника и квадратов, на рисунке 2.8 фигура составлена из двух тетраэдров, на рисунке 2.9 фигура состоит из нескольких кубов. Объединение обозначается знаком Пересечение фигур окружности и квадрата.

Пересечение геометрических фигур есть также геометрическая фигура. На рисунке 2.10 отрезки АВ и CD пересекаются в точке Р. На рисунке 2.11 также отрезки MP и РК пересекаются в точке Р. Пересечением же отрезков ЕН и КХ на рисунке 2.12 является отрезок НК. Пересечение обозначается знаком Пересечение фигур окружности и квадрата.

Пересечение фигур окружности и квадрата

Пересечение фигур окружности и квадрата

Пересечение фигур окружности и квадрата

Пересечение фигур окружности и квадрата

Пересечение фигур окружности и квадрата

Пример:

Рассмотрите возможные случаи взаимного расположения двух треугольников. В каждом случае назовите их пересечение.

Решение:

На рисунках 2.13—2.19 показано, что пересечение двух треугольников может:

а) не содержать точек (рис. 2.13);

б) состоять из одной точки (рис. 2.14);

в) быть отрезком (рис. 2.15);

г) быть треугольником (рис. 2.16);

д) быть четырехугольником (рис. 2.17);

е) быть пятиугольником (рис. 2.18);

ж) быть шестиугольником (рис. 2.19).

На рисунках 2.13—2.19 изображены различные случаи пересечения треугольников, если они лежат в одной плоскости. Однако, если треугольники лежат в разных плоскостях, то пересечением может быть:

а) точка (рис. 2.20);

б) отрезок (рис. 2.21, 2.22);

в) пустое множество точек (рис. 2.23).

Изображение геометрических фигур

Изображение плоских фигур на листе бумаги (или на доске) подчинено некоторым правилам и выполняется с использованием различных инструментов: линейки, угольника, транспортира, циркуля.

При изображении или построении плоских фигур мы не меняем формы и размеры тех фигур, которые изображаем. При этом сохраняются длины отрезков, величины углов, параллельность прямых и т. д. В геометрии говорят, что при этом получаются равные фигуры. Если нужно изобразить очень большие или очень маленькие фигуры, то сохраняются формы, а размеры могут быть изменены (в одном и том же отношении). При этом получают так называемые подобные фигуры.

Изображать пространственные фигуры на плоскости (листе бумаги) намного сложнее.

Наиболее важные из правил изображения пространственных фигур:

— все линии, которые не видны, которые закрыты гранями (плоскостями), изображаются пунктирными линиями;

— плоскости на рисунках изображаются иногда параллелограммами (рис. 2.24), а чаще — произвольной областью (рис. 2.25);

Пересечение фигур окружности и квадрата

— длины отрезков сохраняются не всегда, но всегда середины отрезков изображаются серединами их изображения (это свойство означает, что если на модели у нас отмечена середина ребра, то и на рисунке будет обозначена тоже середина ребра);

— параллельные прямые (отрезки), имеющиеся на реальной модели, на рисунках тоже изображаются параллельными прямыми (отрезками).

Точки и прямые

Точки могут произвольно располагаться в пространстве: лежать и не лежать на плоскости (на рис. 2.26 точки А и Б лежат на плоскости, а точка С не лежит), принадлежать различным фигурам и не принадлежать им (на рис. 2.27 точка А принадлежит шару, а на рис. 2.28 не принадлежит ему).

Точки обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами: А, В, С, D, К, М, . .

Пусть даны две точки А и В. Проведем через точки А л В прямую (рис. 2.29). У нас появляется еще одно, важное понятие геометрии — прямая, которая также состоит из точек.

Изобразить прямую целиком невозможно, мы лишь условно изображаем ее часть (рис. 2.29).

Некоторые важные проблемы в геометрии решают путем введения законов — аксиом, которые принимаются без доказательства.

Пересечение фигур окружности и квадрата

Пересечение фигур окружности и квадрата

Слово «аксиома» в переводе с греческого языка означает «бесспорная истина, не требующая доказательств», т. е. очевидный факт, ясный сам по себе.

Аксиома 1.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: Пересечение фигур окружности и квадратаи т. д., а также соответствующими точками, лежащими на ней. Например, прямую Пересечение фигур окружности и квадратана рисунке 2.29 можно обозначить АВ.

Взаимное расположение точек и прямых

Точки и прямые могут по-разному располагаться по отношению друг к другу (рис. 2.30).

Пересечение фигур окружности и квадрата

Про точки М и К говорят, что они лежат на прямой Пересечение фигур окружности и квадрата, или что точки М и К принадлежат прямой Пересечение фигур окружности и квадрата. Точки А и В не лежат на прямой Пересечение фигур окружности и квадратаили не принадлежат прямой а.

Про прямую иногда говорят, что она проходит через точки. Так, прямая Пересечение фигур окружности и квадратана рисунке 2.30 проходит через точки М, К. Можно также сказать, что прямая Пересечение фигур окружности и квадратане проходит через точку А.

В курсе геометрии применяются некоторые удобные знаки, которые относятся к так называемой теории множеств: знак принадлежности Пересечение фигур окружности и квадрата и знак непринадлежности Пересечение фигур окружности и квадрата.

Запись Пересечение фигур окружности и квадратачитается: точка С принадлежит прямой р. Глядя на рисунок 2.30, можно записать: Пересечение фигур окружности и квадрата

Запись Пересечение фигур окружности и квадратачитается: точка D не принадлежит прямой р. Глядя на рисунок 2.30 можно записать: Пересечение фигур окружности и квадрата

Плоскости

Плоскости расположены в пространстве, в пространстве есть бесконечно много различных плоскостей. На рисунке 2.31 изображены несколько плоскостей, пересекающихся по одной прямой, а на рисунке 2.32 — параллельные друг другу плоскости.

Плоскости обозначаются строчными греческими буквами: Пересечение фигур окружности и квадрата. .

Пересечение фигур окружности и квадрата

Пересечение фигур окружности и квадрата

На рисунке 2.33 изображены плоскость Пересечение фигур окружности и квадрата, прямые Пересечение фигур окружности и квадратаи точки А, В и С. Про точку А и прямую Пересечение фигур окружности и квадратаговорят, что они лежат в плоскости Пересечение фигур окружности и квадратаили принадлежат ей. Про точки Б и С и прямую Пересечение фигур окружности и квадратаговорят, что они не лежат в плоскости Пересечение фигур окружности и квадратаили не принадлежат ей.

Принадлежность прямой плоскости обозначают знаком Пересечение фигур окружности и квадрата— включение, который показывает, что некоторое множество точек принадлежит другому множеству точек, например:

Пересечение фигур окружности и квадрата— точка А принадлежит плоскости Пересечение фигур окружности и квадрата; Пересечение фигур окружности и квадрата— точка Б не лежит в плоскости Пересечение фигур окружности и квадрата;

Пересечение фигур окружности и квадрата— прямая Пересечение фигур окружности и квадратапринадлежит плоскости Пересечение фигур окружности и квадрата; Пересечение фигур окружности и квадрата— прямая Пересечение фигур окружности и квадратане принадлежит плоскости Пересечение фигур окружности и квадрата.

Одно из свойств взаимного расположения прямой и плоскости формулируется как аксиома — аксиома прямой и плоскости.

Аксиома 2.

Прямая, проходящая через две точки плоскости, принадлежит этой плоскости. (Аксиома прямой и плоскости.)

Аксиома 3.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость. (Аксиома плоскости.)

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна, и только одна плоскость.

Любая прямая Пересечение фигур окружности и квадратаразбивает плоскость на два непустых множества (рис. 2.34). Объединение прямой Пересечение фигур окружности и квадратас одним из образовавшихся множеств называется полуплоскостью. Прямую Пересечение фигур окружности и квадратаназывают границей полуплоскости. На рисунке 2.34 прямая Пересечение фигур окружности и квадратаодновременно является границей обеих полуплоскостей.

Пересечение фигур окружности и квадрата

Плоскость разбивает пространство на два множества, которые на рисунке 2.35 заштрихованы. Объединение этой плоскости Пересечение фигур окружности и квадратас одним из образовавшихся множеств и называется полупространством. Плоскость Пересечение фигур окружности и квадратаназывается границей полупространства. Из рисунка 2.35 ясно, что плоскость Пересечение фигур окружности и квадратаопределяет сразу два полупространства.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Как найти количество точек пересечения окружности и квадрата?

Внизу приведена задача, с решением которой возникли трудности.
Как находить кол-во точек пересечения?
Варианты 3,4,7 вызвали трудности.

Даны координаты центра круга и его радиус, а также координаты центра
квадрата и его длина стороны.
Найти взаимное расположение фигур.
Набросок вариантов:
1) Окружность вписана в квадрат
2) Окружность описана вокруг квадрата
3) Окружность и квадрат касаются в одной точке (внешнее и внутреннее
касание)
4) Окружность и квадрат касаются в двух точках
5) Окружность лежит внутри квадрата
6) Квадрат лежит внутри окружности
7) Окружность и квадрат пересекаются в двух и более точках

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Квадрат вписанный в окружность

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Определение

Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата
и окружность, вписанная в квадрат.
Пересечение фигур окружности и квадрата

Видео:Как найти площадь фигуры ограниченной квадратом, окружностью и линиейСкачать

Как найти площадь фигуры ограниченной квадратом, окружностью и линией

Формулы

Радиус вписанной окружности в квадрат

  1. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:

Радиус описанной окружности около квадрата

  1. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнаплощадь:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнадиагональ:

Сторона квадрата

  1. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнаплощадь:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнадиагональ:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата

  1. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Периметр квадрата

  1. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известенрадиус вписанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Диагональ квадрата

  1. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

📹 Видео

Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Пересечение поверхностей. Построение линии пересечения.Скачать

Пересечение поверхностей. Построение линии пересечения.

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 класс

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shorts

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Аксонометрические Проекции Окружности #черчение #окружность #проекции #изометрияСкачать

Аксонометрические Проекции Окружности  #черчение #окружность #проекции #изометрия

Центр кругаСкачать

Центр круга

Задача о площади фигуры, ограниченной 4 окружностямиСкачать

Задача о площади фигуры, ограниченной 4 окружностями

Лекция 12. Пересечение поверхностей метод плоскостейСкачать

Лекция 12. Пересечение поверхностей метод плоскостей

Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Лучший способ найти площадь круга

Найти площадь пересечения кругов. Задача для тех, кто учился в школе на пятеркиСкачать

Найти площадь пересечения кругов. Задача для тех, кто учился в школе на пятерки

85КБ. Пересечение поверхностей цилиндра и полусферы. Определение видимости.Скачать

85КБ. Пересечение поверхностей цилиндра и полусферы. Определение видимости.

Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Алгоритмы. Пересечение окружностей
Поделиться или сохранить к себе: