Пересечение фигур окружности и квадрата

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Основные геометрические фигуры

Содержание:

Общие представления о геометрических фигурах. Объединение и пересечение фигур

На рисунках 2.1 и 2.2 изображены различные геометрические фигуры. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе составленной из точек.

Часть любой геометрической фигуры ТЭ.КЖ6 ЯВ-ляется геометрической фигурой.

Определение. Любое множество точек называют геометрической фигурой.

На рисунке 2.3 отрезок АВ есть часть прямой а, на рисунке 2.4 круг есть часть круга , на рисунке 2.5 шар вписан в куб и является частью куба.

Объединение нескольких фигур есть геометрическая фигура. На рисунке 2.6 фигура состоит из трех кругов, на рисунке 2.7 фигура состоит из треугольника и квадратов, на рисунке 2.8 фигура составлена из двух тетраэдров, на рисунке 2.9 фигура состоит из нескольких кубов. Объединение обозначается знаком .

Пересечение геометрических фигур есть также геометрическая фигура. На рисунке 2.10 отрезки АВ и CD пересекаются в точке Р. На рисунке 2.11 также отрезки MP и РК пересекаются в точке Р. Пересечением же отрезков ЕН и КХ на рисунке 2.12 является отрезок НК. Пересечение обозначается знаком .

Пример:

Рассмотрите возможные случаи взаимного расположения двух треугольников. В каждом случае назовите их пересечение.

Решение:

На рисунках 2.13—2.19 показано, что пересечение двух треугольников может:

а) не содержать точек (рис. 2.13);

б) состоять из одной точки (рис. 2.14);

в) быть отрезком (рис. 2.15);

г) быть треугольником (рис. 2.16);

д) быть четырехугольником (рис. 2.17);

е) быть пятиугольником (рис. 2.18);

ж) быть шестиугольником (рис. 2.19).

На рисунках 2.13—2.19 изображены различные случаи пересечения треугольников, если они лежат в одной плоскости. Однако, если треугольники лежат в разных плоскостях, то пересечением может быть:

а) точка (рис. 2.20);

б) отрезок (рис. 2.21, 2.22);

в) пустое множество точек (рис. 2.23).

Изображение геометрических фигур

Изображение плоских фигур на листе бумаги (или на доске) подчинено некоторым правилам и выполняется с использованием различных инструментов: линейки, угольника, транспортира, циркуля.

При изображении или построении плоских фигур мы не меняем формы и размеры тех фигур, которые изображаем. При этом сохраняются длины отрезков, величины углов, параллельность прямых и т. д. В геометрии говорят, что при этом получаются равные фигуры. Если нужно изобразить очень большие или очень маленькие фигуры, то сохраняются формы, а размеры могут быть изменены (в одном и том же отношении). При этом получают так называемые подобные фигуры.

Изображать пространственные фигуры на плоскости (листе бумаги) намного сложнее.

Наиболее важные из правил изображения пространственных фигур:

— все линии, которые не видны, которые закрыты гранями (плоскостями), изображаются пунктирными линиями;

— плоскости на рисунках изображаются иногда параллелограммами (рис. 2.24), а чаще — произвольной областью (рис. 2.25);

— длины отрезков сохраняются не всегда, но всегда середины отрезков изображаются серединами их изображения (это свойство означает, что если на модели у нас отмечена середина ребра, то и на рисунке будет обозначена тоже середина ребра);

— параллельные прямые (отрезки), имеющиеся на реальной модели, на рисунках тоже изображаются параллельными прямыми (отрезками).

Точки и прямые

Точки могут произвольно располагаться в пространстве: лежать и не лежать на плоскости (на рис. 2.26 точки А и Б лежат на плоскости, а точка С не лежит), принадлежать различным фигурам и не принадлежать им (на рис. 2.27 точка А принадлежит шару, а на рис. 2.28 не принадлежит ему).

Точки обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами: А, В, С, D, К, М, . .

Пусть даны две точки А и В. Проведем через точки А л В прямую (рис. 2.29). У нас появляется еще одно, важное понятие геометрии — прямая, которая также состоит из точек.

Изобразить прямую целиком невозможно, мы лишь условно изображаем ее часть (рис. 2.29).

Некоторые важные проблемы в геометрии решают путем введения законов — аксиом, которые принимаются без доказательства.

Слово «аксиома» в переводе с греческого языка означает «бесспорная истина, не требующая доказательств», т. е. очевидный факт, ясный сам по себе.

Аксиома 1.

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: и т. д., а также соответствующими точками, лежащими на ней. Например, прямую на рисунке 2.29 можно обозначить АВ.

Взаимное расположение точек и прямых

Точки и прямые могут по-разному располагаться по отношению друг к другу (рис. 2.30).

Про точки М и К говорят, что они лежат на прямой , или что точки М и К принадлежат прямой . Точки А и В не лежат на прямой или не принадлежат прямой а.

Про прямую иногда говорят, что она проходит через точки. Так, прямая на рисунке 2.30 проходит через точки М, К. Можно также сказать, что прямая не проходит через точку А.

В курсе геометрии применяются некоторые удобные знаки, которые относятся к так называемой теории множеств: знак принадлежности и знак непринадлежности .

Запись читается: точка С принадлежит прямой р. Глядя на рисунок 2.30, можно записать:

Запись читается: точка D не принадлежит прямой р. Глядя на рисунок 2.30 можно записать:

Плоскости

Плоскости расположены в пространстве, в пространстве есть бесконечно много различных плоскостей. На рисунке 2.31 изображены несколько плоскостей, пересекающихся по одной прямой, а на рисунке 2.32 — параллельные друг другу плоскости.

Плоскости обозначаются строчными греческими буквами: . .

На рисунке 2.33 изображены плоскость , прямые и точки А, В и С. Про точку А и прямую говорят, что они лежат в плоскости или принадлежат ей. Про точки Б и С и прямую говорят, что они не лежат в плоскости или не принадлежат ей.

Принадлежность прямой плоскости обозначают знаком — включение, который показывает, что некоторое множество точек принадлежит другому множеству точек, например:

— точка А принадлежит плоскости ; — точка Б не лежит в плоскости ;

— прямая принадлежит плоскости ; — прямая не принадлежит плоскости .

Одно из свойств взаимного расположения прямой и плоскости формулируется как аксиома — аксиома прямой и плоскости.

Аксиома 2.

Прямая, проходящая через две точки плоскости, принадлежит этой плоскости. (Аксиома прямой и плоскости.)

Аксиома 3.

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит одна и только одна плоскость. (Аксиома плоскости.)

Теорема 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит одна, и только одна плоскость.

Любая прямая разбивает плоскость на два непустых множества (рис. 2.34). Объединение прямой с одним из образовавшихся множеств называется полуплоскостью. Прямую называют границей полуплоскости. На рисунке 2.34 прямая одновременно является границей обеих полуплоскостей.

Плоскость разбивает пространство на два множества, которые на рисунке 2.35 заштрихованы. Объединение этой плоскости с одним из образовавшихся множеств и называется полупространством. Плоскость называется границей полупространства. Из рисунка 2.35 ясно, что плоскость определяет сразу два полупространства.

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Как найти количество точек пересечения окружности и квадрата?

Внизу приведена задача, с решением которой возникли трудности.
Как находить кол-во точек пересечения?
Варианты 3,4,7 вызвали трудности.

Даны координаты центра круга и его радиус, а также координаты центра
квадрата и его длина стороны.
Найти взаимное расположение фигур.
Набросок вариантов:
1) Окружность вписана в квадрат
2) Окружность описана вокруг квадрата
3) Окружность и квадрат касаются в одной точке (внешнее и внутреннее
касание)
4) Окружность и квадрат касаются в двух точках
5) Окружность лежит внутри квадрата
6) Квадрат лежит внутри окружности
7) Окружность и квадрат пересекаются в двух и более точках

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Квадрат вписанный в окружность

Видео:Пересечение поверхностей. Построение линии пересечения.Скачать

Определение

Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата и окружность, вписанная в квадрат.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Формулы

Радиус вписанной окружности в квадрат

1. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:
   

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:

Радиус описанной окружности около квадрата

1. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:
   

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнаплощадь:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнадиагональ:

Сторона квадрата

1. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнаплощадь:
   

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнадиагональ:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата

1. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Периметр квадрата

1. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известенрадиус вписанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Диагональ квадрата

1. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:
   

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

📸 Видео

Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Как найти площадь фигуры ограниченной квадратом, окружностью и линиейСкачать

Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

Площади фигур. Сохраняй и запоминай!#shortsСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Аксонометрические Проекции Окружности #черчение #окружность #проекции #изометрияСкачать

Уравнение окружности (1)Скачать

Лучший способ найти площадь кругаСкачать

Задача о площади фигуры, ограниченной 4 окружностямиСкачать

Найти площадь пересечения кругов. Задача для тех, кто учился в школе на пятеркиСкачать

Центр кругаСкачать

Лекция 12. Пересечение поверхностей метод плоскостейСкачать

85КБ. Пересечение поверхностей цилиндра и полусферы. Определение видимости.Скачать

Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать