Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Все формулы стороны квадрата

1. Формула стороны квадрата через диагональ

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

a — сторона квадрата

d — диагональ квадрата

Формула стороны квадрата, ( a ):

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

2. Формула стороны квадрата через радиус вписанной окружности

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

a — сторона квадрата

R — радиус вписанной окружности

D — диаметр вписанной окружности

Формула стороны квадрата, ( a ):

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

3. Формула стороны квадрата через радиус описанной окружности

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

a — сторона квадрата

R — радиус описанной окружности

D — диаметр описанной окружности

d — диагональ

Формула стороны квадрата, ( a ):

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

4. Формула стороны квадрата через площадь и периметр

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

a — сторона квадрата

S — площадь квадрата

P — периметр квадрата

Формула стороны квадрата, ( a ):

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

5. Формула стороны квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

a — сторона квадрата

C — линия выходящая из угла на середину стороны квадрата

Формула стороны квадрата, ( a ):

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19Скачать

Найти площадь квадрата описанного около окружности радиуса 19

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружностиКак найти длину квадрата если известен радиус описанной окружностиКак найти длину квадрата если известен радиус описанной окружностиКак найти длину квадрата если известен радиус описанной окружностиКак найти длину квадрата если известен радиус описанной окружностиКак найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности
Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Ответ: Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Видео:КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР ИЛИ РАДИУС? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР ИЛИ РАДИУС? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Ответ: Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Видео:ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематикаСкачать

ОГЭ Площадь квадрата, описанного около окружности #огэ #огэ2023 #алгебра #огэматематика

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Ответ: Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Видео:СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать

СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностей

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Видео:16)Радиус окружности, описанной около квадрата, равен 8√2. Найдите длину стороны этого квадрата.Скачать

16)Радиус окружности,  описанной около квадрата, равен 8√2. Найдите длину стороны этого квадрата.

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности
Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности(5)

Из формулы (5) найдем R:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности
Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности, получим:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Ответ: Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Видео:№1105. Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренныйСкачать

№1105. Найдите длину окружности, вписанной: а) в квадрат со стороной а; б) в равнобедренный

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности
Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружностиНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружностив (8), получим:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Ответ: Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Видео:КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности(9)

где Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружностив (9), получим:

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Ответ: Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружностиКак найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружностиКак найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности(13)

Из (13) следует, что

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Видео:Как найти сторону квадрата через радиус?Скачать

Как найти сторону квадрата через радиус?

Формулы квадрата

Для расчёта всех основных параметров квадрата воспользуйтесь калькулятором.

Как найти длину квадрата если известен радиус описанной окружности

Свойства квадрата

  1. Длины сторон квадрата равны.
  2. Все углы квадрата прямые, равны 90°.
  3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.
  4. Сумма всех углов квадрата равна 360°.
  5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45°.
  6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.
  7. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
  8. Обе диагонали делят квадрат на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника.
  9. Пересечение диагоналей является центром вписанной и описанной окружности.

Сторона квадрата

Где:AB – сторона квадрата
AC(BD) – диагональ квадрата
RВ – радиус вписанной окружности
RO – радиус описанной окружности
AA1 — линия выходящая из угла на середину стороны квадрата

Стороны квадрата через диагональ

Стороны квадрата через радиус вписанной окружности

Стороны квадрата через радиус описанной окружности

Стороны квадрата через площадь, S

Стороны квадрата через периметр, P

Стороны квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата, AA1

Площадь квадрата

Где:AB – сторона квадрата
AC(BD) – диагональ квадрата

Площадь квадрата через сторону

Площадь квадрата через диагональ

Периметр квадрата

Где:AB – сторона квадрата

$$ P = 4 * AB $$

Диагональ квадрата

Где:AB – сторона квадрата
AC(BD) – диагональ квадрата
S – площадь квадрата
P – периметр квадрата

Диагональ квадрата через сторону

Диагональ квадрата через площадь

Диагональ квадрата через периметр

Вписанная окружность

Где:AB – сторона квадрата

Радиус вписанной окружности

Длина окружности, L

Площадь окружности, S

Описанная окружность

Где:AB – сторона квадрата
AC(BD) – диагональ квадрата

Радиус описанной окружности через сторону

Радиус описанной окружности через диагональ

💥 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Площадь круга. Математика 6 класс.Скачать

Площадь круга. Математика 6 класс.

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shortsСкачать

Как найти центр и радиус нарисованной окружности #математика #егэ2023 #школа #fyp #shorts

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадратаСкачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Окружность описана около квадрата

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Задание 16 Часть 3Скачать

Задание 16  Часть 3
Поделиться или сохранить к себе: