Работа с векторами maple

Основная часть команд для решения задач линейной алгебры содержится в библиотеке linalg . Поэтому перед решением задач с матрицами и векторами следует загрузить эту библиотеку командой with(linalg) .

Способы задания векторов.

Для определения вектора в Maple используется команда vector([x1,x2,…,xn]), где в квадратных скобках через запятую указываются координаты вектора. Например:

Координату уже определенного вектора x можно получить в строке вывода, если ввести команду x[i] , где i — номер координаты. Например, первую координату заданного в предыдущем примере вектора можно вывести так:

Вектор можно преобразовать в список и, наоборот, с помощью команды convert(vector, list) или convert(list, vector).

Сложить два вектора a и b можно с помощью двух команд:

Команда add позволяет вычислять линейную комбинацию векторов a и b : , где — скалярные величины, если использовать формат: matadd(a,b,alpha,beta) .

Скалярное, векторное произведение векторов и угол между векторами.

Скалярное произведение двух векторов вычисляется командой dotprod(a,b).

Векторное произведение двух векторов вычисляется командой crossprod(a,b).

Угол между двумя векторами a и b вычисляется с помощью команды angle(a,b) .

Норму (длину) вектора , которая равна , можно вычислить с помощью команды norm(а,2) .

Можно нормировать вектор а с помощью команды normalize(a), в результате выполнения которой будет получен вектор единичной длины .

Нахождение базиса системы векторов. Ортогонализация системы векторов по процедуре Грамма-Шмидта.

Если имеется система n векторов , то с помощью команды basis([a1,a2,…,an]) можно найти базис этой системы.

При помощи команды GramSchmidt([a1,a2,…,an]) можно ортогонализовать систему линейно-независимых векторов .

Видео:Анимация в MapleСкачать

Задание 1.

1. Даны два вектора: и . Найти и угол между a и b . Для решения этой задачи наберите:

2. Найти векторное произведение , а затем скалярное произведение , где , .

3. Найти норму вектора .

4. Из системы векторов: , , , , выделить базис и ортогонализовать его по процедуре Грамма-Шмидта:

g := [ a1, a2, a3, a5 ]

[[1,2,2, — 1], [2,3, — 3,2], ,

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Видео:Программирование в Maple 2017 | Programming in Maple 2017Скачать

5. Функции для работы, с векторами и матрицами

Функции для работы с векторами и матрицами

Для работы с векторами и матрицами Maple 7 имеет множество функций, входящих в пакет linalg. Ограничимся приведением краткого описания наиболее распространенных функций этой категории.

Операции со структурой отдельного вектора V и матрицы М:

• coldim(M) — возвращает число столбцов матрицы М;
• rowdim(M) — возвращает число строк матрицы М;
• vectdim(V) — возвращает размерность вектора V;
• col(M,i) — возвращает i-й столбец матрицы М;
• row(M,i) — возвращает i-ю строку матрицы М;
• tninor(M,i, j) — возвращает минор матрицы М для элемента с индексами i и j;
• delcols(M,i.. j) — удаляет столбцы матрицы М от i-roдо j-ro;
• del rows (V,i..j) — удаляет строки матрицы М от i-й до j-й;
• extend (М, т, n,х) — расширяет матрицу М на m строк и n столбцов с применением заполнителя х.

Основные векторные и матричные операции:

• dotprod(U,V) — возвращает скалярное произведение векторов U и V;
• crossprod(U,V) — возвращает векторное произведение векторов U и V;
• norm(V) или norm(M) — возвращает норму вектора или матрицы;
• copyinto(A,B,i, j) — копирует матрицу А в В для элементов последовательно от i до j;
• concat(Ml,M2) — возвращает объединенную матрицу с горизонтальным слиянием матриц Ml и М2;
• stack(Ml,M2) — возвращает объединенную матрицу с вертикальным слиянием Ml и М2;
• matadd(A,B) и evalm(A+B) — возвращает сумму матриц А и В;
• multlply(A,B) и evalm(A&*B) — возвращает произведение матриц А и В;
• adjoint (М) или adj(M) — возвращает присоединенную матрицу, такую что M?adj(M) дает диагональную матрицу, определитель которой есть det(M);
• charpoly(M,lambda) — возвращает характеристический полином матрицы М относительно заданной переменной lambda;
• det(M) — возвращает детерминант (определитель) матрицы М;
• Eigenvals(M,vector) — инертная форма функции, возвращающей собственные значения матрицы М и (при указании необязательного параметра vector) соответствующие им собственные векторы;
• jordan(M) — возвращает матрицу М в форме Жордана;
• hermite(M) — возвращает матрицу М в эрмитовой форме;
• trace(M) — возвращает след матрицы М;
• rank(M) — возвращает ранг матрицы М;
• transpose(M) — возвращает транспонированную матрицу М;
• inverse(M) или evalm(l/M) — возвращает матрицу, обратную к М;
• singularvals(A) — возвращает сингулярные значения массива или матрицы А.

Приведем примеры применения некоторых из этих функций:

Читатель, понимающий суть матричных вычислений, легко справится с тестированием других функций, входящих в пакет linalg. В приведенных примерах полезно обратить внимание на то, что многие матричные функции способны выдавать результаты вычислений в аналитическом виде, что облегчает разбор выполняемых ими операций.

Видео:Начало работы с Maple 2017 | Getting Started with Maple 2017Скачать

Глава 6

Решение задач линейной алгебры, оптимизации и регрессии

Задачи линейной алгебры, оптимизации и регрессии — одни из самых массовых в науке, технике и образовании [37, 39–46]. Им и посвящена эта глава. В ней даны основные определения линейной алгебры, основы работы с массивами, векторами и матрицами, функции для работы с векторами и матрицами и для решения систем линейных уравнений. Дано описание средств оптимизации, в том числе новейших системы Maple 10.

Видео:Решение системы линейных уравнений в MapleСкачать

6.1. Основные операции линейной алгебры

Видео:Maple Учимся рисовать в программеСкачать

6.1.1. Основные определения линейной алгебры

Прежде чем перейти к рассмотрению обширных возможностей пакетов Maple в решении задач линейной алгебры, рассмотрим краткие определения, относящиеся к ней.

Матрица (m×n) — прямоугольная двумерная таблица, содержащая m строк и n столбцов элементов, каждый из которых может быть представлен числом, константой, переменной, символьным или математическим выражением (расширительная трактовка матрицы).

Квадратная матрица — матрица, у которой число строк m равно числу столбцов n. Пример квадратной матрицы размера 3×3:

Определитель матрицы — это многочлен от элементов квадратной матрицы, каждый член которого является произведением n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца со знаком произведения, заданным четностью перестановок:

где M₁ — определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием первой строки и j-го столбца. В таком виде определитель (он же детерминант) легко получить в символьных вычислениях. В численных расчетах мы будем подразумевать под определителем численное значение этого многочлена.

Сингулярная (вырожденная) матрица — квадратная матрица, у которой детерминант (определитель) равен 0. Такая матрица обычно не упрощается при символьных вычислениях. Линейные уравнения с почти сингулярными матрицами могут давать большие погрешности при решении.

Единичная матрица — это квадратная матрица, у которой диагональные элементы равны 1, а остальные элементы равны 0. Ниже представлена единичная матрица размера 4×4:

Сингулярные значения матрицы А — квадратные корни из собственных значений матрицы transpose(A)∙А, где transpose(A) — транспонированная матрица А (см. ее определение ниже).

Транспонированная матрица — матрица, у которой столбцы и строки меняются местами, то есть элементы транспонированной матрицы удовлетворяют условию A T (i,j)=A(j,i). Приведем простой пример.

Обратная матрица — это матрица М -1 , которая, будучи умноженной на исходную квадратную матрицу М, дает единичную матрицу Е.

Ступенчатая форма матрицы соответствует условиям, когда первый ненулевой элемент в каждой строке есть 1 и первый ненулевой элемент каждой строки появляется справа от первого ненулевого элемента в предыдущей строке, то есть все элементы ниже первого ненулевого в строке — нули.

Диагональ матрицы — расположенные диагонально элементы А_i,i матрицы А. В приведенной ниже матрице элементы диагонали представлены заглавными буквами:

Обычно указанную диагональ называют главной диагональю — для матрицы А, приведенной выше, это диагональ с элементами А, Е и L. Иногда вводят понятия поддиагоналей (элементы d и k) и наддиагоналей (элементы b и f). Матрица, все элементы которой, расположенные кроме как на диагонали, поддиагонали и наддиагонали, равны нулю, называется ленточной.

Ранг матрицы — наибольший из порядков отличных от нуля миноров квадратной матрицы.

След матрицы — сумма диагональных элементов матрицы.

Матрица в целой степени — квадратная матрица в степени n (n — целое неотрицательное число), определяемая следующим образом: М 0 =Е, М 1 =М, М 2 =ММ, …, М n =М n-1 М.

Идемпотентная матрица — матрица, отвечающая условию Р²=Р.

Симметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А т =А.

Кососимметрическая матрица — матрица, отвечающая условию А т =-А.

Ортогональная матрица — матрица, отвечающая условию А т =А -1 .

Нуль-матрица — матрица, все элементы которой равны 0.

Блок-матрица — матрица, составленная из меньших по размеру матриц, также можно представить как матрицу, каждый элемент которой — матрица. Частным случаем является блок-диагональная матрица — блок-матрица, элементы-матрицы которой вне диагонали — нуль-матрицы.

Комплексно-сопряженная матрица — матрица Ā, полученная из исходной матрицы А заменой ее элементов на комплексно-сопряженные.

Эрмитова матрица — матрица А, удовлетворяющая условию Ā=А т .

Собственный вектор квадратной матрицы А — любой вектор х∈V n , х≠0, удовлетворяющий уравнению Ах=γх, где γ — некоторое число, называемое собственным значением матрицы А.

Характеристический многочлен матрицы — определитель разности этой матрицы и единичной матрицы, умноженный на переменную многочлена — |А-γЕ|.

Собственные значения матрицы — корни ее характеристического многочлена.

Норма — обобщенное понятие абсолютной величины числа.

Норма трехмерного вектора ||х|| — его длина.

Норма матрицы — значение sup(||Ax||/||x||).

Матричная форма записи системы линейных уравнений — выражение А∙Х=В, где А — матрица коэффициентов системы, X — вектор неизвестных и В — вектор свободных членов. Один из способов решения такой системы очевиден — X=А -1 ∙В, где А -1 — обратная матрица.

Видео:vector | Библиотека стандартных шаблонов (stl) | Уроки | C++ | #1Скачать

6.1.2. Системы линейных уравнений и их матричная форма

Как известно, обычная система линейных уравнений имеет вид:

Здесь а_1,1, а_1,2, …, a_n,n — коэффициенты, образующие матрицу А и могущие иметь действительные или комплексные значения, х₁, х₂, …, х_n — неизвестные, образующие вектор X и b₁, b₂, …, b_n — свободные члены (действительные или комплексные), образующие вектор В. Эта система может быть представлена в матричном виде как АХ=В, где А — матрица коэффициентов уравнений, X — искомый вектор неизвестных и В — вектор свободных членов. Из такого представления системы линейных уравнений вытекают различные способы ее решения: X=В/А (с применением матричного деления), X=А -1 В (с инвертированием матрицы А) и так далее.

Видео:Интерактивная математика в Maple 2017 | Clickable Math in Maple 2017Скачать

6.1.3. Матричные разложения

В ходе решения задач линейной алгебры часто приходится использовать различные методы, например известный еще из школы метод исключения Гаусса. Однако для эффективного решения таких задач приходится представлять матрицы специальным образом, осуществляя матричные разложения. В ходе этого приходится работать с некоторыми специальными типами матриц, что нередко резко упрощает решения систем линейных уравнений. Отметим некоторые из наиболее распространенных матричных разложений, которые реализованы в большинстве СКА и СКМ.

LU-разложение, называемое также треугольным разложением, соответствует матричному выражению вида Р∙А=L∙U, где L — нижняя и U — верхняя треугольные матрицы. Все матрицы в этом выражении квадратные.

QR-разложение имеет вид А=Q∙R, где Q — ортогональная матрица, a R — верхняя треугольная матрица. Это разложение часто используется при решении любых систем линейных уравнений, в том числе переопределенных и недоопределенных и с прямоугольной матрицей.

Разложение Холецкого А=L∙L T применяется к симметричной матрице А, при этом L — треугольная матрица.

Сингулярное разложение матрицы А размера M×N (М×N) определяется выражением А=U∙s∙VT, где U и V — ортогональные матрицы размера N×N и М×M, соответственно, a s — диагональная матрица с сингулярными числами матрицы А на диагонали.

Видео:Learning Maple: Vectors 1 - Cartesian CoordinatesСкачать

6.1.4. Элементы векторов и матриц

Элементы векторов и матриц в Maple являются индексированными переменными, то есть место каждого элемента вектора определяется его индексом, а у матрицы — двумя индексами. Обычно их обобщенно обозначают как i (номер строки матрицы или порядковый номер элемента вектора) и j (номер столбца матрицы). Допустимы операции вызова нужного элемента и присваивания ему нового значения:

V[i] — вызов i-го элемента вектора V;

M[i,j] — вызов элемента матрицы М, расположенного на i-й строке в j-м столбце.

V[i]:=x — присваивание нового значения х i-му элементу вектора V;

M[i,j]:=x — присваивание нового значения х элементу матрицы М.

Видео:Exercises of vectors, forces and moment with Maple part #01Скачать

6.1.5. Преобразование списков в векторы и матрицы

Прежде всего, надо обратить внимание на то, что векторы и матрицы, хотя и похожи на списки, но не полностью отождествляются с ними. В этом можно убедиться с помощью следующих примеров (файл vmop), в которых функция type используется для контроля типов множественных объектов (векторов и матриц):

Таким образом, используя функцию преобразования данных convert, можно преобразовывать одномерные списки в векторы, а двумерные — в матрицы. Функция type используется в следующих формах:

type(V,vector) — тестирует аргумент V и возвращает true, если V — вектор, и false в ином случае;

type(M.matrix) — тестирует аргумент М и возвращает true, если М — матрица, и false в ином случае.

Здесь параметры vector и matrix используются для указания того, какой тип объекта проверяется. Обратите внимание на то, что матрицы отображаются иначе, чем двумерные списки — без двойных квадратных скобок. Отображение вектора подобно отображению одномерного списка, поэтому здесь особенно важен контроль типов данных.

Видео:Новые возможности Maple 2023!Скачать

6.1.6. Операции с векторами

Важное достоинство систем компьютерной алгебры, к которым относится и Maple, заключается в возможности выполнения аналитических (символьных) операций над векторами и матрицами. Перед проведением символьных операций с векторами и матрицами рекомендуется очистить память от предшествующих определений с помощью команды restart. Если какие-то элементы векторов или матриц были ранее определены, это может привести к очень сильным искажениям вида конечных результатов. Очистка памяти устраняет возможность ошибок такого рода.

Приведем примеры операций над векторами (файл vectop):

В этих примерах используется функция evalm(M), осуществляющая вычисление матрицы или вектора М.

Видео:РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО ДУ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ В СРЕДЕ MAPLESOFT MAPLE 2017Скачать

6.1.7. Операции над матрицами с численными элементами

Над матрицами с численными элементами в Maple можно выполнять разнообразные операции. Ниже приведены основные из них:

Рекомендуется внимательно изучить эти примеры и попробовать свои силы в реализации простых матричных операций.

Видео:Применение системы компьютерной алгебры MAPLE при подготовке к ЕГЭ по математикеСкачать

6.1.8. Символьные операции с матрицами

Одной из привлекательных возможностей СКА является возможность проведения символьных операций с матрицами. Ниже представлены примеры символьных операций, осуществляемых над квадратными матрицами одного размера в системе Maple:

Приведем еще ряд гримеров выполнения символьных операций с одной матрицей:

Среди других функций для работы с матрицами полезно обратить внимание на функцию map, которая применяет заданную операцию (например, функции дифференцирования diff и интегрирования int) к каждому элементу матрицы. Примеры такого рода даны ниже:

В результате возвращаются матрицы, каждый элемент которых представлен производной или интегралом. Аналогично можно выполнять над матрицами и другие достаточно сложные преобразования.

В дальнейшем мы продолжим изучение матричных функций и операций, включенных в пакеты Maple.

Видео:Основные действия с матрицами и векторами в MathCAD 14 (20/34)Скачать

6.2. Пакет линейной алгебры linalg системы

Видео:Новые возможности Maple 2022!Скачать

6.2.1. Состав пакета linalg

Несомненно, что уникальной возможностью системы Maple, как и других систем компьютерной алгебры, является возможность решения задач линейной алгебры в символьном (формульном, аналитическом) виде. Однако такое решение представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку даже при небольших размерах матриц (уже при 4–5 строках и столбцах) символьные результаты оказываются очень громоздкими и трудно обозримыми. Они полезны только при решении специфических аналитических задач, например с разреженными матрицами, у которых большинство элементов имеют нулевые значения.

Поэтому разработчики Maple были вынуждены реализовать в своей системе численные методы решения задач линейной алгебры, которые широко используются в основных сферах ее приложения — математическом моделировании систем и устройств, расчетах в электротехнике, механике, астрономии и т.д. Решение задач линейной алгебры в численном виде можно рассматривать как одну из форм визуализации результатов вычислений, относящихся к линейной алгебре.

В ядро Maple, как отмечалось, введены очень скромные и минимально необходимые средства для решения задач линейной алгебры. Основной упор в их реализации сделан на подключаемые пакеты. Основным из них, унаследованным от предшествующих реализаций системы, является пакет решения задач линейной алгебры linalg. Это один из самых обширных и мощных пакетов в области решения задач линейной алгебры. Для их просмотра достаточно использовать команду:

Для большинства пользователей системой Maple набор функций пакета оказывается чрезмерно обширным и потому опущен. Укажем, однако, наиболее употребительные функции пакета linalg:

• addcol — добавляет к одному из столбцов другой столбец, умноженный на некоторое число;

• addrow — добавляет к одной из строк другую строку, умноженную на некоторое число;

• angle — вычисляет угол между векторами;

• augment — объединяет две или больше матриц по горизонтали;

• backsub — реализует метод обратной подстановки при решении системы линейных уравнений (см. также forwardsub);

• band — создает ленточную матрицу;

• basis — находит базис векторного пространства;

• bezout — создает Bezout-матрицу двух полиномов;

• BlockDiagonal — создает блок-диагональную матрицу;

• blockmatrix — создает блок-матрицу;

• cholesky — декомпозиция Холесского для квадратной положительно определенной матрицы;

• charmat — создает характеристическую матрицу (charmat(M,v) матрица, вычисляемая как v∙E-М);

• charpoly — возвращает характеристический полином матрицы;

• colspace — вычисляет базис пространства столбцов;

• colspan — находит базис линейной оболочки столбцов матрицы;

• companion — вычисляет сопровождающую матрицу, ассоциированную с полиномом;

• cond — вычисляет число обусловленности матрицы (cond(M) есть величина norm(M)∙norm(M -l ));

• curl — вычисляет ротор вектора;

• definite — тест на положительную (отрицательную) определенность матрицы;

• diag — создает блок-диагональную матрицу;

• diverge — вычисляет дивергенцию векторной функции;

• eigenvals — вычисляет собственные значения матрицы;

• eigenvects — вычисляет собственные векторы матрицы;

• equal — определяет, являются ли две матрицы равными;

• exponential — создает экспоненциальную матрицу;

• ffgausselim — свободное от дробей Гауссово исключение в матрице;

• fibonacci — матрица Фибоначчи;

• forwardsub — реализует метод прямой подстановки при решении системы линейных уравнений (например для матрицы L и вектора b forwardsub(L,b) возвращает вектор решения х системы линейных уравнений L∙x=b);

• frobenius — вычисляет форму Фробениуса (Frobenius) матрицы;

• gausselim — Гауссово исключение в матрице;

• gaussjord — синоним для rref (метод исключения Гаусса-Жордана);

• geneqns — генерирует элементы матрицы из уравнений;

• genmatrix — генерирует матрицу из коэффициентов уравнений;

• grad — градиент векторного выражения;

• GramSchmidt — вычисляет ортогональные векторы;

• hadamard — вычисляет ограничение на коэффициенты детерминанта;

• hessian — вычисляет гессиан-матрицу выражения;

• hilbert — создает матрицу Гильберта;

• htranspose — находит эрмитову транспонированную матрицу;

• ihermite — целочисленная эрмитова нормальная форма;

• indexfunc — определяет функцию индексации массива;

• innerprod — вычисляет векторное произведение;

• intbasis — определяет базис пересечения пространств;

• ismith — целочисленная нормальная форма Шмитта;

• iszero — проверяет является ли матрица ноль-матрицей;

• jacobian — вычисляет якобиан векторной функции;

• JordanBlock — возвращает блок-матрицу Жордана;

• kernel — находит базис ядра преобразования, соответствующего данной матрице;

• laplacian — вычисляет лапласиан;

• leastsqrs — решение уравнений по методу наименьших квадратов;

• linsolve — решение линейных уравнений;

• Ludecomp — осуществляет LU-разложение;

• minpoly — вычисляет минимальный полином матрицы;

• mulcol — умножает столбец матрицы на заданное выражение;

• mulrow — умножает строку матрицы на заданное выражение;

• multiply — перемножение матриц или матрицы и вектора;

• normalize — нормализация вектора;

• orthog — тест на ортогональность матрицы;

• permanent — вычисляет перманент матрицы — определитель, вычисляемый без перестановок;

• pivot — вращение относительно элементов матрицы;

• potential — вычисляет потенциал векторного поля;

• Qrdecomp — осуществляет QR-разложение;

• randmatrix — генерирует случайные матрицы;

• randvector — генерирует случайные векторы;

• ratform — вычисляет рациональную каноническую форму;

• references — выводит список основополагающих работ по линейной алгебре;

• rowspace — вычисляет базис пространства строки;

• rowspan — вычисляет векторы охвата для места столбца;

• rref — реализует преобразование Гаусса-Жордана матрицы;

• scalarmul — умножение матрицы или вектора на заданное выражение;

• singval — вычисляет сингулярное значение квадратной матрицы;

• singularvals — возвращает список сингулярных значений квадратной матрицы;

• smith — вычисляет Шмиттову нормальную форму матрицы;

• submatrix — извлекает указанную подматрицу из матрицы;

• subvector — извлекает указанный вектор из матрицы;

• sumbasis — определяет базис объединения системы векторов;

• swapcol — меняет местами два столбца в матрице;

• swaprow — меняет местами две строки в матрице;

• sylvester — создает матрицу Сильвестра из двух полиномов;

• toeplitz — создает матрицу Теплица;

• trace — возвращает след матрицы;

• vandermonde — создает вандермондову матрицу;

• vecpotent — вычисляет векторный потенциал;

• vectdim — определяет размерность вектора;

• wronskian — вронскиан векторных функций.

Назначение многих функция вполне очевидно из названия. Далее мы рассмотрим более подробно некоторые функции из этого пакета. С деталями синтаксиса (достаточно разнообразного) для каждой из указанных функций можно ознакомиться в справочной системе Maple. Для этого достаточно использовать команду ?name;, где name — имя функции (из приведенного списка).

Видео:Maple Fundamentals GuideСкачать

6.2.2. Интерактивный ввод матриц

Для интерактивного ввода матриц можно, определив размерность некоторого массива, использовать функцию entermatrix:

После исполнения этого фрагмента документа диалог с пользователем имеет следующий вид:

🎬 Видео

Новые возможности Maple 2018 | New Features in Maple 2018Скачать