Через вершины данного треугольника провёдем прямые, параллельные противолежащим сторонам. Рассмотрим треугольник с вершинами в точках пересечения проведённых прямых. Высоты исходного треугольника лежат на серединных перпендикулярах построенного. Поэтому они пересекаются в одной точке.
Если треугольник остроугольный, то его высоты лежат на биссектрисах треугольника с вершинами в основаниях высот данного (ортотреугольник), и поэтому пересекаются в одной точке.
Если же треугольник тупоугольный, то одна его высота лежит на биссектрисе одного из углов ортотреугольника, а две другие — на биссектрисах внешних углов ортотреугольника.
Для прямоугольного треугольника утверждение очевидно.
Если треугольник остроугольный, то его высоты лежат на биссектрисах треугольника с вершинами в точках пересечения с описанной окружностью продолжений высот данного треугольника.
Пусть AA1, BB1, CC1 — высоты треугольника ABC. Обозначим через 
, 
, 
углы треугольника ABC. Тогда из прямоугольного треугольника AB1B находим, что
AB1 = AB| cos
|.
AС1 = AС| cos
|, BA1 = AB| cos
|, BC1 = BC| cos
|,
CA1 = CA| cos
|, CB1 = CB| cos
|.
(Если треугольник остроугольный, то знаки модуля можно опустить). Поэтому
. 
. 
=
= 
= 1.
Тогда по теореме Чевы прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Известно, что геометрическое место точек М таких, что разность AM 2 — BM 2 постоянна, есть прямая, перпендикулярная отрезку AB. Отсюда следует, что прямые AB и CD перпендикулярны тогда и только тогда, когда
Пусть H — точка пересечения высот BB1 и CC1 треугольника ABC. Тогда
Сложив почленно эти равенства, получим, что
Следовательно, прямая AH перпендикулярна стороне BC.
Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC. Рассмотрим вектор 
= 
+ 
+ 
. Если
+ 
= 
,
то K — вершина ромба AOBK. Значит, OK 
AB. Если
= 
+ 
,
то CH
OK. Значит, CH 
AB. Поэтому точка H лежит на прямой, содержащей высоту треугольника ABC, проведённую из вершины C.
Аналогично докажем, что точка H (конец вектора 
) лежит на прямых, содержащих две другие высоты треугольника. Следовательно, все три прямые пересекаются в точке H.
Воспользуемся следующим утверждением. Если A, B, C и H — произвольные точки плоскости, то
. 
+ 
. 
+ 
. 
= 0.
Пусть прямые, содержащие высоты треугольника ABC, проведённые из вершин A и B, пересекаются в точке H. Тогда AH 
BC и BH 
AC, поэтому
. 
= 0, 
. 
= 0.
Из приведённого выше утверждения следует, что
. 
= 0.
Значит, CH 
AB, т.е. прямая, содержащая высоту, проведённую из вершины C, также проходит через точку H.
При гомотетии с центром в точке M пересечения медиан и коэффициентом — 
треугольник ABC переходит в треугольник A»B»C» с вершинами в серединах сторон BC, AC и AB. Поскольку при гомотетии прямая, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную ей прямую, то прямые, содержащие высоты треугольника ABC переходят при рассматриваемой гомотетии в серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника. Известно, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — в центре O описанной окружности. Следовательно, прямые, содержащие высоты треугольника также пересекаются в одной точке — в прообразе точки O. (Отсюда, в частности, следует, что точки M, O и точка пересечения высот H лежат на одной прямой, причём точка M лежит между O и H и MH = 2MO.)
Другие доказательства: см. МШ, N1, 1988, с.72, В.В.Прасолов, «Несколько доказательств теоремы о высотах треугольника».
- Прямые, содержащие высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В — тупой, угол С = 20 градусам?
- Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке О, угол А = 80 градусов, угол В = 50 градусов?
- Прямые, содержащие боковые стороны трапеции ABCD с основанием AD, пересекаются с точке М?
- В прямоугольном треугольнике АВС проведены высота СМ и биссектриса АК, пересекающиеся в точке О?
- Прямые, содержащие высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В — тупой, угол С — 20°?
- Высоты треугольника АВС пересекаются в точке О?
- Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке М?
- В прямоугольном треугольнике АВС (угол С — прямой) угол между высотой СН и медианой СМ равен 20 градусов?
- В прямоугольном треугольнике авс угол с прямой проведена высота сд найдите угол acb если угол b = 33 градусам?
- В треугольнике АВС известно, что угол А = 70 градусов, угол В = 50 градусов?
- В прямоугольном треугольнике авс угол а—прямой, угол в = 30 градусов, ав = 40см, ао—высота треугольника авс, fo— высота треугольника аво?
- 💥 Видео
Видео:Прямые, содержащие высоты треугольника. БердовскаяСкачать
Прямые, содержащие высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В — тупой, угол С = 20 градусам?
Геометрия | 1 — 4 классы
Прямые, содержащие высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В — тупой, угол С = 20 градусам.
Найдите угол АНВ.
Если треугольник АВС — тупоугольный, то высота АА1 лежит вне этого треугольника (на продолжении стороны ВС)
из рисунка видно, что углы СВВ1 и А1ВН — вертикальные ⇒ они равны 90 — 20 = 70
угол Н = 90 — угол А1ВН = 90 — 70 = 20
Видео:8 класс, 37 урок, Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать
Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке О, угол А = 80 градусов, угол В = 50 градусов?
Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке О, угол А = 80 градусов, угол В = 50 градусов.
Найдите угол АСО.
Видео:№212. Прямые, содержащие высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В - тупой,Скачать
Прямые, содержащие боковые стороны трапеции ABCD с основанием AD, пересекаются с точке М?
Прямые, содержащие боковые стороны трапеции ABCD с основанием AD, пересекаются с точке М.
Найдите угол М, если угол А = 65 градусов и угол С = 115 градусов.
Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать
В прямоугольном треугольнике АВС проведены высота СМ и биссектриса АК, пересекающиеся в точке О?
В прямоугольном треугольнике АВС проведены высота СМ и биссектриса АК, пересекающиеся в точке О.
Найдите угол В (в градусах) если угол АОС равен 104.
Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
Прямые, содержащие высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В — тупой, угол С — 20°?
Прямые, содержащие высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В — тупой, угол С — 20°.
Найдите угол АНВ.
Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
Высоты треугольника АВС пересекаются в точке О?
Высоты треугольника АВС пересекаются в точке О.
Известно, что ОС = АВ.
Найдите в градусах угол при вершине С.
Видео:Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?Скачать
Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке М?
Биссектрисы углов А и В треугольника АВС пересекаются в точке М.
Найдите угол АМВ, если угол А = углу 58 градусов, угол В = 96 градусов.
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№31 - Теорема о пересечении высот треугольника.)Скачать
В прямоугольном треугольнике АВС (угол С — прямой) угол между высотой СН и медианой СМ равен 20 градусов?
В прямоугольном треугольнике АВС (угол С — прямой) угол между высотой СН и медианой СМ равен 20 градусов.
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
В прямоугольном треугольнике авс угол с прямой проведена высота сд найдите угол acb если угол b = 33 градусам?
В прямоугольном треугольнике авс угол с прямой проведена высота сд найдите угол acb если угол b = 33 градусам.
Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать
В треугольнике АВС известно, что угол А = 70 градусов, угол В = 50 градусов?
В треугольнике АВС известно, что угол А = 70 градусов, угол В = 50 градусов.
Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке М.
Найдите угол АМС.
Видео:Теорема о пересечении высот треугольника | Геометрия 7-9 класс #73 | ИнфоурокСкачать
В прямоугольном треугольнике авс угол а—прямой, угол в = 30 градусов, ав = 40см, ао—высота треугольника авс, fo— высота треугольника аво?
В прямоугольном треугольнике авс угол а—прямой, угол в = 30 градусов, ав = 40см, ао—высота треугольника авс, fo— высота треугольника аво.
На этой странице находится ответ на вопрос Прямые, содержащие высоты АА1 и ВВ1 треугольника АВС, пересекаются в точке Н, угол В — тупой, угол С = 20 градусам?, из категории Геометрия, соответствующий программе для 1 — 4 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Геометрия. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.
1. Найдем координатыАС = (2 + 3 ; — 1 + 1) = (5 ; 0) ВD = ( — 2 + ( — 1) ; — 4 + 1) = ( — 3 ; — 3) ; AC = [tex] sqrt < (2 — 3) ^ + ( — 1 — 1 ) ^ > = sqrt ; BD = [tex] sqrt < ( — 2 + 1 ) ^ + x( — 4 — 4) ^ > = sqrt ; 2) коо..
P = 2(AB + BC) AB = x + 8 BC = x P = 104 104 = x + x + 8 X = 22 BC = 22 AB = 22 + 8 = 30.
По теореме пифагора √169 — 25 = √144 = 12.
Можно решить и по теореме Пифагора.
Точки А, В, С не могут лежать на одной прямой.
Треугольники подобныпо двум сторонам и углу между ними следовательно A1C1 в 4 раза меньше. A1C1 = 30 / 4 = 7. 5 м.
ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ = полусумма длин оснований * на высотув трапеции проводим высоту СН, рассмотрим треугольник СДНуголД = 45 градусовугол Н = 90 градусовиз этого следует, что уголС = 45 градусов, а из этого следует треугольник СДН — равнобедренныйСН = ..
Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов (не смежных с ним) , АВ = ВС, значит угол А равен углу С, получаем С = 70 / 40 = 1. 75.
Гипотенуза АВ по т. Пифагора равна BC = корень(AB ^ 2 + AC ^ 2) = корень(10 ^ 2 + 6 ^ 2) = корень(136) = 2 * корень(34)По определению синуса острого угла прямоугольного треугольникаsin B = AC ABsin B = 10 (2 * корень(34)) = 5 (корень(34))ответ..
Прямоугольные треугольники имеют общую гипотенузу, значит оба вписаны в одну окружность с диаметром АВ. Для этой окружности РВ и РД — секущие. По теореме о секущих РА·РВ = РС·РД, отсюда РА / РС = РД / РВ. С таким отношением сторон и общим углом Р ..
💥 Видео
Медианы, биссектрисы и высоты треугольника | Геометрия 7-9 класс #18 | ИнфоурокСкачать
Геометрия | 7 класс | Атанасян Л.С. | Номер 212 | Подробный разборСкачать
ЕГЭ 2022 планиметрия досрок ЕГЭ 2018 высоты в тупоугольном треугольникеСкачать
СВОЙСТВА ВЫСОТ И ОРТОЦЕНТРАСкачать
72 Теорема о пересечении высот треугольникаСкачать
#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать
Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
№264. Высоты АА1 и ВВ1 треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, еслиСкачать
