Математика фипи огэ взаимное расположение прямой и окружности

Опубликовано: Гармс Людмила Павловна

→ скачать

Автор: Е. А. Ширяева

→ задания

Решение типовых задач № 16 на ОГЭ по математике

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)Скачать

Математика фипи огэ взаимное расположение прямой и окружности

В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как радиусы окружности, ∠AOB = ∠COD по условию). Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.

Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.

Точка I равноудалена от A и B, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. То же можно сказать и о J . Значит, IJ — серединный перпендикуляр к AB.

Задание 25 № 341422

Окружности с цен­тра­ми в точ­ках I и J пе­ре­се­ка­ют­ся в точ­ках A и B, причём точки I и J лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой AB. Докажите, что от­рез­ки AB и IJ перпендикулярны.

Решение: IA и IB — радиусы окружности с центром в точке I => IA = IB => треугольник IAB — равнобедренный.

Проведем медиану IJ к стороне AB. Т.к. треугольник IAB — равнобедренный, то IJ также является высотой, проведённой AB => AB и IJ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

В окружности с центром O проведены две равные хорды и MN. На эти хорды опущены перпендикуляры OH и OS. Докажите, что OH и OS равны.

Проведем ОK, ON, OL, OM — радиусы. Треугольники KOL и MON равны по трем сторонам, тогда высоты OH и OS также равны как элементы равных треугольников. Что и требовалось доказать.

В окружности через середину O хорды AC проведена хорда BD так, что дуги AB и CD равны. Докажите, что O — середина хорды BD.

Вписанные углы ADB, CBD , ACB и DAC опираются на равные дуги, значит, они равны.

Получаем, что треугольники СOВ и AOD подобны по двум углам; их коэффициент подобия равен AO:OC. Поскольку AO = OC , эти треугольники равны, следовательно, BO = OD.

Окружности с центрами в точках O₁ и O₂ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении m:n. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как m:n.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, углы и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны, откуда

Видео:8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

Кодификатор ОГЭ по математике 2021-2022 ФИПИ

Экзамен состоит из двух частей, включающих в себя 25 заданий. Часть 1 содержит 19 заданий, часть 2 содержит 6 заданий с развёрнутым ответом.

Ответы к заданиям 7 и 13 запишите в виде одной цифры. Для остальных заданий части 1 ответом является число или последовательность цифр. Решения заданий части 2 и ответы к ним запишите на соответствующем бланке ответов.

Для прохождения аттестационного порога необходимо набрать не менее 8 баллов, из которых не менее 2 баллов должны быть получены за решение заданий по геометрии (задания 15–19, 23–25).

На выполнение ОГЭ по математике отводится 3 часа 55 минут (235 минут).

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

1 Числа и вычисления

1.1 Натуральные числа

1.1.1 Десятичная система счисления. Римская нумерация

1.1.2 Арифметические действия над натуральным числами

1.1.3 Степень с натуральный показателем

1.1.4 Делимость натуральных чисел. Простые и составные числа, разложение натурального числа на простые множители

1.1.5 Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10

1.1.6 Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное

1.1.7 Деление с остатком

1.2 Дроби

1.2.1 Обыкновенная дробь, основное свойство дроби. Сравнение дробей

1.2.2 Арифметические действия с обыкновенными дробями

1.2.3 Нахождение части от целого и целого по его части

1.2.4 Десятичная дробь, сравнение десятичных дробей

1.2.5 Арифметические действия с десятичным дробям

1.2.6 Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной

1.3 Рациональные числа

1.3.1 Целые числа

1.3.2 Модуль (абсолютная величина) числа

1.3.3 Сравнение рациональных чисел

1.3.4 Арифметические действия с рациональным числам

1.3.5 Степень с целым показателем

1.3.6 Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок. Законы арифметических действий

1.4 Действительные числа

1.4.1 Квадратный корень из числа

1.4.2 Корень третьей степени

1.4.3 Нахождение приближенного значения корня

1.4.4 Запись корней с помощью степени с дробным показателем

1.4.5 Понятие об иррациональном числе. Десятичные приближения иррациональных чисел. Действительные числа как бесконечные десятичные дроби

1.4.6 Сравнение действительных чисел

1.5 Измерения, приближения, оценки

1.5.1 Единицы измерения длины, площади, объёма, массы, времени, скорости

1.5.2 Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире

1.5.3 Представление зависимости между величинами в виде формул

1.5.4 Проценты. Нахождение процента от величины и величины по её проценту

1.5.5 Отношение, выражение отношения в процентах

1.5.6 Пропорция. Пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости

1.5.7 Округление чисел. Прикидка и оценка результатов вычислений. Выделение множителя — степени десяти в записи числа

Видео:ВСЕ ТИПЫ 20 ЗАДАНИЕ 2 ЧАСТЬ ОГЭ МАТЕМАТИКА 2023Скачать

2 Алгебраические выражения

2.1 Буквенные выражения (выражения с переменными)

2.1.1 Буквенные выражения. Числовое значение буквенного выражения

2.1.2 Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения

2.1.3 Подстановка выражений вместо переменных

2.1.4 Равенство буквенных выражений, тождество. Преобразования выражений

2.2 Свойства степени с целым показателем

2.3 Многочлены

2.3.1 Многочлен. Сложение, вычитание, умножение многочленов

2.3.2 Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности; формула разности квадратов

2.3.3 Разложение многочлена на множители

2.3.4 Квадратный трехчлен. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители

2.3.5 Степень и корень многочлена с одной переменной

2.4 Алгебраическая дробь

2.4.1 Алгебраическая дробь. Сокращение дробей

2.4.2 Действия с алгебраическими дробями

2.4.3 Рациональные выражения и их преобразования

2.5 Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях

Видео:70. Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

3 Уравнения и неравенства

3.1 Уравнения

3.1.1 Уравнение с одной переменной, корень уравнения

3.1.2 Линейное уравнение

3.1.3 Квадратное уравнение, формула корней квадратного уравнения

3.1.4 Решение рациональных уравнений

3.1.5 Примеры решения уравнений высших степеней. Решение уравнений методом замены переменной. Решение уравнений методом разложения на множители

3.1.6 Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными

3.1.7 Система уравнений; решение системы

3.1.8 Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и алгебраическим сложением

3.1.9 Уравнение с несколькими переменными

3.1.10 Решение простейших нелинейных систем

3.2 Неравенства

3.2.1 Числовые неравенства и их свойства

3.2.2 Неравенство с одной переменной. Решение неравенства

3.2.3 Линейные неравенства с одной переменной

3.2.4 Системы линейных неравенств

3.2.5 Квадратные неравенства

3.3 Текстовые задачи

3.3.1 Решение текстовых задач арифметическим способом

3.3.2 Решение текстовых задач алгебраическим способом

Видео:Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИСкачать

4 Числовые последовательности

4.1 Понятие последовательности

4.2 Арифметическая и геометрическая прогрессии

4.2.1 Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии

4.2.2 Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии

4.2.3 Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии

4.2.4 Формула суммы первых нескольких членов геометрической прогрессии

4.2.5 Сложные проценты

Видео:ВСЕ ТИПЫ НОМЕРА 22 ИЗ ФИПИ. ОГЭ по Математике 2023. Занятие 5. Февраль. Онлайн школа EXAMhackСкачать

5 Функции

5.1 Числовые функции

5.1.1 Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции

5.1.2 График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, чтение графиков функций

5.1.3 Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы

5.1.4 Функция, описывающая прямую пропорциональную зависимость, её график

5.1.5 Линейная функция, её график, геометрический смысл коэффициентов

5.1.6 Функция, описывающая обратно пропорциональную зависимость, её график. Гипербола

5.1.7 Квадратичная функция, её график. Парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии

5.1.8 График функции

5.1.9 График функции

5.1.10 График функции у = |х|

5.1.11 Использование графиков функций для решения уравнений и систем

Видео:ОКРУЖНОСТИ В ОГЭ ✨ #огэ #математика #егэ #геометрия #окружностьСкачать

6 Координаты на прямой и плоскости

6.1 Координатная прямая

6.1.1 Изображение чисел точками координатной прямой

6.1.2 Геометрический смысл модуля

6.1.3 Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч

6.2 Декартовы координаты на плоскости

6.2.1 Декартовы координаты на плоскости; координаты точки

6.2.2 Координаты середины отрезка

6.2.3 Формула расстояния между двумя точками плоскости

6.2.4 Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых

6.2.5 Уравнение окружности

6.2.6 Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем

6.2.7 Графическая интерпретация неравенств с двумя переменными и их систем

Видео:Взаимное расположение прямой и окружности | Геометрия 7-9 класс #68 | ИнфоурокСкачать

7 Геометрия

7.1 Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин

7.1.1 Начальные понятия геометрии

7.1.2 Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла и её свойства

7.1.3 Прямая. Параллельность и перпендикулярность прямых

7.1.4 Отрезок. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку. Перпендикуляр и наклонная к прямой

7.1.5 Понятие о геометрическом месте точек

7.1.6 Преобразования плоскости. Движения. Симметрия

7.2 Треугольник

7.2.1 Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника; точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан, высот или их продолжений

7.2.2 Равнобедренный и равносторонний треугольники. Свойства и признаки равнобедренного треугольника

7.2.3 Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора

7.2.4 Признаки равенства треугольников

7.2.5 Неравенство треугольника

7.2.6 Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника

7.2.7 Зависимость между величинами сторон и углов треугольника

7.2.8 Теорема Фалеса

7.2.9 Подобие треугольников, коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников

7.2.10 Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°

7.2.11 Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Теорема косинусов и теорема синусов

7.3 Многоугольники

7.3.1 Параллелограмм, его свойства и признаки

7.3.2 Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки

7.3.3 Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция

7.3.4 Сумма углов выпуклого многоугольника

7.3.5 Правильные многоугольники

7.4 Окружность и круг

7.4.1 Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла

7.4.2 Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей

7.4.3 Касательная и секущая к окружности; равенство отрезков касательных, проведённых из одной точки

7.4.4 Окружность, вписанная в треугольник

7.4.5 Окружность, описанная около треугольника

7.4.6 Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника

7.5 Измерение геометрических величин

7.5.1 Длина отрезка, длина ломаной, периметр многоугольника. Расстояние от точки до прямой

7.5.2 Длина окружности

7.5.3 Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности

7.5.4 Площадь и её свойства. Площадь прямоугольника

7.5.5 Площадь параллелограмма

7.5.6 Площадь трапеции

7.5.7 Площадь треугольника

7.5.8 Площадь круга, площадь сектора

7.5.9 Формулы объёма прямоугольного параллелепипеда, куба, шара

7.6 Векторы на плоскости

7.6.1 Вектор, длина (модуль) вектора

7.6.2 Равенство векторов

7.6.3 Операции над векторами (сумма векторов, умножение вектора на число)

7.6.4 Угол между векторами

7.6.5 Коллинеарные векторы, разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

7.6.6 Координаты вектора

7.6.7 Скалярное произведение векторов

Видео:Что будет в задания №1-5 на ОГЭ по математике 2024Скачать

8 Статистика и теория вероятностей

8.1 Описательная статистика

8.1.1 Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков

8.1.2 Средние результатов измерений

8.2 Вероятность

8.2.1 Частота события, вероятность

8.2.2 Равновозможные события и подсчёт их вероятности

8.2.3 Представление о геометрической вероятности

8.3 Комбинаторика

8.3.1 Решение комбинаторных задач: перебор вариантов, комбинаторное правило умножения

💥 Видео

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать

Шестнадцатое задание ОГЭ по математике (1) #огэ #огэ2023 #огэматематика #огэпоматематике #математикаСкачать

Все виды №25 из банка ФИПИ ОГЭ по математикеСкачать

ОГЭ по математике 2024 геометрия | Разбор всех 16 заданийСкачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

Взаимное расположение прямой и окружности, математика 6 классСкачать

18 задание ОГЭ по математикеСкачать