Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения

Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

На рисунке 16 изображен параллелограмм Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Рассмотрим свойства параллелограмма.

1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Действительно, углы Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныпараллелограмма Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи секущей Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныПоэтому Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныАналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.

2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

Так как Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныто Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныАналогично Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныПоэтому параллелограмм — выпуклый четырехугольник.

3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Доказательство:

Диагональ Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныразбивает параллелограмм Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельнына два треугольника Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(рис. 17). Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны-их общая сторона, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи секущей Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныТогда Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(как соответственные элементы равных треугольников). Так как Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныто Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

4. Периметр параллелограмма Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Пусть Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— точка пересечения диагоналей Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныпараллелограмма Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(рис. 18). Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(как противолежащие стороны параллелограмма), Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи секущих Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельнысоответственно). Следовательно, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(по стороне и двум прилежащим углам). Тогда Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(как соответственные стороны равных треугольников).

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Пример:

Дано: Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныпараллелограмм, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— биссектриса угла Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(рис. 19). Найдите: Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Решение:

1) Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

2) Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи секущей Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

3) Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(по условию), тогда Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныТогда Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

4) Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.

На рисунке 20 Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— высота параллелограмма, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныПрямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Рассмотрим признаки параллелограмма.

Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(рис. 22). Проведем диагональ Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныРассмотрим Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи секущей Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— общая сторона, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(по условию). Следовательно, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(по двум сторонам и углу между ними). Тогда Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельнысекущей Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныПоэтому Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныпротиволежащие стороны попарно параллельны. Поэтому Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны-параллелограмм.

2) Пусть в четырехугольнике Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(рис. 22). Проведем диагональ Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныТогда Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(по трем сторонам). Поэтому Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи следовательно, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныСледовательно, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— параллелограмм.

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

3) Пусть в четырехугольнике Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныдиагонали Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныпересекаются в точке Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(рис. 23). Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(как вертикальные). Поэтому Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(по двум сторонам и углу между ними). Отсюда Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныАналогично доказываем, что Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныПринимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— параллелограмм.

4) Пусть в параллелограмме Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(рис. 16). Так как Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныто Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныт. е. Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныоткуда Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныНо Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— внутренние накрест лежащие углы для прямых Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи секущей Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныПоэтому Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныСледовательно, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— параллелограмм.

Пример:

В четырехугольнике Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныПрямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныДокажите, что Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— параллелограмм.

Доказательство:

Пусть Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныи Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны— их общая сторона, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(по условию). Тогда, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныНо тогда в четырехугольнике Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныпротиволежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.

О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).

В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.

Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.

Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.

Термин «диагональ» — греческого происхождения; «диа» означает «через», а «гониос» — «угол», что можно понимать как отрезок, соединяющий вершины углов.

Следует отметить, что Евклид, как и большинство математиков того времени, для названия отрезка, соединяющего противолежащие вершины четырехугольника, в частности прямоугольника, употреблял другой термин — «диаметр». Это можно объяснить тем, что первые геометры свои рассуждения основывали на вписанных в окружность прямоугольниках. В Средние века для названия упомянутого отрезка использовали оба термина. Лишь в XVIII в. термин «диагональ» стал общепринятым.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площадь параллелограмма
  • Прямоугольник и его свойства
  • Ромб и его свойства, определение и примеры
  • Квадрат и его свойства
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Четырехугольники и окружность

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Параллелограмм: свойства и признаки

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

О чем эта статья:

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

  1. В параллелограмме точка пересечения диагоналей делит их пополам.
  2. Любая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
  3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.

Биссектриса угла параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

  1. Биссектриса параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
  2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма пересекаются под прямым углом.
  3. Отрезки биссектрис противоположных углов равны и параллельны.

Как найти площадь параллелограмма:

  1. S = a × h, где a — сторона, h — высота.
    Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны
  2. S = a × b × sinα, где a и b — две стороны, sinα — синус угла между ними. Для ромба формула примет вид S = a 2 × sinα.
    Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны
  3. Для ромба: S = 0,5 × (d1 × d2), где d1 и d2 — две диагонали.
    Для параллелограмма: S = 0,5 × (d1 × d2) × sinβ, где β — угол между диагоналями.
    Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Видео:7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

  1. Противоположные стороны параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, AB = DC, BC = AD.
    Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны
  2. Противоположные углы параллелограмма равны.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
    Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны
  3. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
    ABCD — параллелограмм, AC и BD — диагонали, AC∩BD=O, значит, BO = OD, AO = OC.
    Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны
  4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
    ABCD — параллелограмм, AC — диагональ, значит, △ABC = △CDA.
    Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны
  5. Сумма углов в параллелограмме, прилежащих к одной стороне, равна 180 градусам.
    ABCD — параллелограмм, значит, ∠A + ∠D = 180°.
    Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны
  6. В параллелограмме диагонали d1, d2 и стороны a, b связаны следующим соотношением: d1 2 + d2 2 = 2 × (a 2 + b 2 ).
    Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

  1. AB = CD как противоположные стороны параллелограмма.
  2. ∠1 = ∠2 как накрест лежащие углы при пересечении секущей AC параллельных прямых AB и CD; ∠3 = ∠4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей BD параллельных прямых AB и CD.
  3. Следовательно, треугольник AOB равен треугольнику COD по второму признаку равенства треугольников, то есть по стороне и прилежащим к ней углам, из чего следует:
    • CO = AO
    • BO = DO

    Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Видео:Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB || CD
  • AB = CD

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

  1. AC — общая сторона;
  2. По условию AB = CD;
  3. ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей АС.

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

  • AB = CD
  • BC = AD

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

  • AC — общая сторона;
  • AB = CD по условию;
  • BC = AD по условию.

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

  • CO = OA;
  • DO = BO;
  • углы между ними равны, как вертикальные, то есть угол AOB равен углу COD.

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Видео:№430. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если его противоположныеСкачать

№430. Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Видео:8 класс, 5 урок, Признаки параллелограммаСкачать

8 класс, 5 урок, Признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Видео:№980. Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см,Скачать

№980. Напишите уравнения прямых, содержащих стороны ромба, диагонали которого равны 10 см и 4 см,

Свойства параллелограмма

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

1. Противоположные стороны параллелограмма попарно равны

2. Противоположные углы параллелограмма попарно равны

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

3. Сумма смежных (соседних) углов параллелограмма равна 180 градусов

4. Сумма всех углов равна 360°

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны 5. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

6. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

7. Диагонали Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныпараллелограмма и стороны
Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельнысвязаны следующим соотношением: Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

8. Биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник

Видео:8 класс, 4 урок, ПараллелограммСкачать

8 класс, 4 урок, Параллелограмм

Признаки параллелограмма

Четырехугольник Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныявляется параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны: Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

2. Противоположные углы попарно равны: Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны: Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

5. Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельны

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:

Прямые содержащие противолежащие стороны четырехугольника параллельныФормулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

🔍 Видео

Признаки параллелограмма | Геометрия 7-9 класс #43 | ИнфоурокСкачать

Признаки параллелограмма  | Геометрия 7-9 класс #43 | Инфоурок

Геометрия. 8 класс. Урок 1 ПараллелограммСкачать

Геометрия. 8 класс. Урок 1 Параллелограмм

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ и его свойства. §2 геометрия 8 классСкачать

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ и его свойства. §2 геометрия 8 класс

Математика, 10-й класс, Выпуклые четырёхугольники: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб...Скачать

Математика, 10-й класс, Выпуклые четырёхугольники: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб...

Обзор четырехугольниковСкачать

Обзор четырехугольников

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Геометрия Один из углов трапеции равен 30, а прямые, содержащие боковые стороны трапецииСкачать

Геометрия Один из углов трапеции равен 30, а прямые, содержащие боковые стороны трапеции

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Геометрия. 8 класс. Трапеция, виды и свойства /08.10.2020/Скачать

Геометрия. 8 класс. Трапеция, виды и свойства /08.10.2020/

В параллелограмме противоположные углы равны 8кл теоремаСкачать

В параллелограмме противоположные углы равны 8кл теорема
Поделиться или сохранить к себе: