Видео:№643. Прямые АВ и АС касаются окружности с центром О в точках В и С. Найдите ВС, еслиСкачать
решение вопроса
Видео:ОГЭ по математике. 9 класс. Задача 26. Вариант 5.Скачать
Похожие вопросы
Все категории
экономические 43,277
гуманитарные 33,618
юридические 17,900
школьный раздел 606,909
разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АССкачать
Касательная к окружности
О чем эта статья:
Видео:№44. Прямые ОВ и CD параллельные, а ОА и CD — скрещивающиеся прямые.Скачать
Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Видео:ОГЭ Задание 26 Внешнее касание двух окружностейСкачать
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 16. Касающиеся окружностиСкачать
Прямые ab и cd касаются окружности
§ 20. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности
Диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.
Если хорда является диаметром, то теорема очевидна.
На рисунке 287 изображена окружность с центром O , M — точка пересечения диаметра CD и хорды AB , CD ⊥ AB . Надо доказать, что AM = MB .
Проведём радиусы OA и OB . В равнобедренном треугольнике AOB ( OA = OB ) отрезок OM — высота, а значит, и медиана, т. е. AM = MB .
Диаметр окружности, делящий хорду, отличную от диаметра, пополам, перпендикулярен этой хорде.
Докажите эту теорему самостоятельно. Подумайте, будет ли верным это утверждение, если хорда является диаметром.
На рисунке 288 показаны все возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности. На рисунке 288, а они не имеют общих точек, на рисунке 288, б — имеют две общие точки, на рисунке 288, в — одну.
Прямую, имеющую с окружностью только одну общую точку, называют касательной к окружности.
Касательная к окружности имеет только одну общую точку с кругом, ограниченным этой окружностью. На рисунке 288, в прямая a — касательная к кругу с центром в точке O , A — точка касания.
Если отрезок (луч) принадлежит касательной к окружности и имеет с этой окружностью общую точку, то говорят, что отрезок (луч) касается окружности. Например, на рисунке 289 изображён отрезок AB , который касается окружности в точке С .
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
На рисунке 290 изображена окружность с центром O , A — точка касания прямой a и окружности. Надо доказать, что OA ⊥ a .
Предположим, что это не так, т. е. отрезок OA — наклонная к прямой a . Тогда из точки O опустим перпендикуляр OM на прямую a (рис. 291). Поскольку точка A — единственная общая точка прямой a и круга с центром O , то точка M не принадлежит этому кругу. Отсюда OM = MB + OB , где точка B — точка пересечения окружности и перпендикуляра OM . Отрезки OA и OB равны как радиусы окружности. Таким образом, OM > OA. Получили противоречие: перпендикуляр OM больше наклонной OA . Следовательно, OA ⊥ a .
(признак касательной к окружности)
Если прямая, проходящая через точку окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.
На рисунке 290 изображена окружность с центром в точке O , отрезок OA — её радиус, точка A принадлежит прямой a , OA ⊥ a . Докажем, что прямая a — касательная к окружности.
Пусть прямая a не является касательной, а имеет ещё одну общую точку B с окружностью (рис. 292). Тогда ∆ AOB — равнобедренный ( OA = OB как радиусы). Отсюда ∠ OBA = ∠ OAB = 90°. Получаем противоречие: в треугольнике AOB есть два прямых угла. Следовательно, прямая a является касательной к окружности.
Если расстояние от центра окружности до некоторой прямой равно радиусу окружности, то эта прямая является касательной к данной окружности.
Докажите это следствие самостоятельно.
Задача. Докажите, что если через данную точку к окружности проведены две касательные, то отрезки касательных, соединяющих данную точку с точками касания, равны.
Решение. На рисунке 293 изображена окружность с центром O . Прямые AB и AC — касательные, точки B и C — точки касания. Надо доказать, что AB = AC .
Проведём радиусы OB и OC в точки касания. По свойству касательной OB ⊥ AB и OC ⊥ AC . В прямоугольных треугольниках AOB и AOC катеты OB и OC равны как радиусы одной окружности, AO — общая гипотенуза. Следовательно, треугольники AOB и AOC равны по гипотенузе и катету. Отсюда AB = AC .
507. Начертите окружность с центром O , проведите хорду AB . Пользуясь угольником, разделите эту хорду пополам.
508. Начертите окружность с центром O , проведите хорду CD . Пользуясь линейкой со шкалой, проведите диаметр, перпендикулярный хорде CD .
509. Начертите окружность, отметьте на ней точки A и B . Пользуясь линейкой и угольником, проведите прямые, которые касаются окружности в точках A и B .
510. Проведите прямую a и отметьте на ней точку M . Пользуясь угольником, линейкой и циркулем, проведите окружность радиуса 3 см, которая касается прямой a в точке M . Сколько таких окружностей можно провести?
511. На рисунке 294 точка O — центр окружности, диаметр CD перпендикулярен хорде AB . Докажите, что ∠ AOD = ∠ BOD .
512. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.
513. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.
514. Верно ли, что прямая, перпендикулярная радиусу окружности, касается этой окружности?
515. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A , отрезок AB — хорда окружности, ∠ BAD = 35° (рис. 295). Найдите ∠ AOB .
516. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A , отрезок AB — хорда окружности, ∠ AOB = 80° (см. рис. 295). Найдите ∠ BAC .
517. Дана окружность, диаметр которой равен 6 см. Прямая a удалена от её центра на: 1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см. В каком случае прямая a является касательной к окружности?
518. В треугольнике ABC известно, что ∠ C = 90°. Докажите, что:
1) прямая BC является касательной к окружности с центром A , проходящей через точку C ;
2) прямая AB не является касательной к окружности с центром C , проходящей через точку A .
519. Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.
520. В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB , перпендикулярную ему. Докажите, что ∠ AOB = 120°.
521. Найдите угол между радиусами OA и OB окружности, если расстояние от центра O окружности до хорды AB в 2 раза меньше: 1) длины хорды AB ; 2) радиуса окружности.
522. В окружности провели диаметр AB и хорды AC и CD так, что AC = 12 см, ∠ BAC = 30°, AB ⊥ CD . Найдите длину хорды CD .
523. Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB , A и B — точки касания, ∠ OAB = 20°. Найдите ∠ AMB .
524. Через концы хорды AB , равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке C . Найдите ∠ ACB .
525. Через точку C окружности с центром O провели касательную к этой окружности, AB — диаметр окружности. Из точки A на касательную опущен перпендикуляр AD . Докажите, что луч AC — биссектриса угла BAD .
526. Прямая AC касается окружности с центром O в точке A (рис. 296). Докажите, что угол BAC в 2 раза меньше угла AOB .
527. Отрезки AB и BC — соответственно хорда и диаметр окружности, ∠ ABC = 30°. Через точку A провели касательную к окружности, пересекающую прямую BC в точке D . Докажите, что ∆ ABD — равнобедренный.
528. Известно, что диаметр AB делит хорду CD пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что CD — также диаметр.
529. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой в данной точке.
530. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются обеих сторон данного угла.
531. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой.
532. Прямые, касающиеся окружности с центром O в точках A и B , пересекаются в точке K , ∠ AKB = 120°. Докажите, что AK + BK = OK .
533. Окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке M и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков BC и BM равна половине периметра треугольника ABC .
534. Через точку C проведены касательные AC и BC к окружности, A и B — точки касания (рис. 297). На окружности взяли произвольную точку M , лежащую в одной полуплоскости с точкой C относительно прямой AB , и через неё провели касательную к окружности, пересекающую прямые AC и BC в точках D и E соответственно. Докажите, что периметр треугольника DEC не зависит от выбора точки M .
Упражнения для повторения
535. Докажите, что середина M отрезка, концы которого принадлежат двум параллельным прямым, является серединой любого отрезка, который проходит через точку M и концы которого принадлежат этим прямым.
536. Отрезки AB и CD лежат на одной прямой и имеют общую середину. Точку M выбрали так, что треугольник AMB — равнобедренный с основанием AB . Докажите, что ∆ CMD также является равнобедренным с основанием CD .
537. На стороне MK треугольника MPK отметили точки E и F так, что точка E лежит между точками M и F , ME = EP , PF = FK . Найдите угол M , если ∠ EPF = 92°, ∠ K = 26°.
538. В остроугольном треугольнике ABC проведена биссектриса BM , из точки M на сторону BC опущен перпендикуляр MK , ∠ ABM = ∠ KMC . Докажите, что треугольник ABC — равнобедренный.
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
539. Установите закономерность форм фигур, изображённых на рисунке 298. Какую фигуру надо поставить следующей?
📹 Видео
Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите расстояние от центра окружности до хорды CDСкачать
