Доказательство треугольника 180 градусов

Доказательство треугольника 180 градусов

Наглядная геометрия 7 класс. Опорный конспект № 4 Сумма углов треугольника.

Доказательство треугольника 180 градусов

Великий французский ученый XVII века Блез Паскаль в детстве любил возиться с геометрическими фигурами. Он был знаком с транспортиром и умел измерять углы. Юный исследователь заметил, что у всех треугольников сумма трех углов получается одна и та же — 180°. «Как же это доказать? — подумал Паскаль. — Ведь нельзя же проверить сумму углов у всех треугольников — их бесконечное множество». Тогда он отрезал ножницами два уголка треугольника и приложил их к третьему углу. Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие. Дальнейшая судьба мальчика была уже предопределена.

Доказательство треугольника 180 градусов

В этой теме вы познакомитесь с пятью признаками равенства прямоугольных треугольников и, пожалуй, с самым популярным свойством прямоугольного треугольника с углом 30°. Оно звучит так: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Разделив равносторонний треугольник высотой, мы сразу получим доказательство этого свойства.

Доказательство треугольника 180 градусов

Сумма углов треугольника

ТЕОРЕМА. Сумма углов треугольника равна 180°. Для доказательства проведем через вершину прямую, параллельную основанию. Темные углы равны и серые углы равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Темный угол, серый угол и угол при вершине образуют развернутый угол, их сумма 180°. Из теоремы следует, что углы равностороннего треугольника равны по 60° и что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с углом треугольника. Поэтому иногда углы самого треугольника называют внутренними углами.

ТЕОРЕМА о внешнем угле треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним. Действительно, внешний угол и два внутренних, не смежных с ним, дополняют закрашенный угол до 180°. Из теоремы следует, что внешний угол больше любого внутреннего, не смежного с ним.

ТЕОРЕМА о соотношениях между сторонами и углами треугольника. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла лежит большая сторона. Отсюда следует: 1) Катет меньше гипотенузы. 2) Перпендикуляр меньше наклонной.

Расстояние от точки до прямой. Так как перпендикуляр меньше любой наклонной, проведенной из той же точки, то его длина принимается за расстояние от точки до прямой.

Неравенство треугольника. Длина любой стороны треугольника меньше суммы двух других его сторон, т. е. а

ТЕОРЕМА о свойстве катета, лежащего против угла 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Доказывается достроением треугольника до равностороннего.

ТЕОРЕМА о свойстве точек биссектрисы угла. Любая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла. Доказывается проведением двух перпендикуляров к сторонам угла и рассмотрением прямоугольных треугольников.

Вторая замечательная точка. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Расстояние между параллельными прямыми. ТЕОРЕМА. Все точки каждой из двух параллельных прямых находятся на равном расстоянии от другой прямой. Из теоремы следует определение расстояния между параллельными прямыми.

Определение. Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой.

Подробные доказательства теорем

Доказательство треугольника 180 градусов
Доказательство треугольника 180 градусов
Доказательство треугольника 180 градусов

Это опорный конспект № 4 по геометрии в 7 классе «Сумма углов треугольника». Выберите дальнейшие действия:

Видео:ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать

ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольник

Сумма углов треугольника

Сумма треугольника равна 180 градусов.

Это легко доказать. Нарисуйте треугольник. Через одну из его вершин проведите прямую, параллельную противоположной стороне, и найдите на рисунке равные углы. Сравните с решением в конце статьи.

Доказательство треугольника 180 градусов

А мы разберем задачи ЕГЭ, в которых фигурирует сумма углов треугольника.

1. Один из внешних углов треугольника равен 85 градусов. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2:3. Найдите наибольший из них. Ответ дайте в градусах.

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Следовательно, сумма двух других углов треугольника равна 85 градусов, а их отношение равно 2:3. Пусть эти углы равны 2х и 3х. Получим уравнение

2. Один из углов равнобедренного треугольника равен 98 градусов. Найдите один из других его углов. Ответ дайте в градусах.

Как вы думаете, может ли равнобедренный треугольник иметь два угла по 98 градусов?

Нет, конечно! Ведь сумма углов треугольника равна 180 градусов. Значит, один из углов треугольника равен , а два других равны .

3. На рисунке угол равен , угол равен , угол равен . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

Доказательство треугольника 180 градусов

Давайте отметим на чертеже еще несколько углов. Они нам понадобятся.

Доказательство треугольника 180 градусов

Сначала найдем угол .

Угол , смежный с углом равен .

Заметим, что такой способ решения — не единственный. Просто находите и отмечайте на чертеже все углы, которые можно найти.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

4. Углы треугольника относятся как . Найдите меньший из них. Ответ дайте в градусах.

Пусть углы треугольника равны , и . Запишем, чему равна сумма углов этого треугольника.

Как же все-таки доказать, что сумма углов треугольника равна 180 градусов? Очень просто. На нашем рисунке угол равен углу (они накрест лежащие). Угол равен углу (тоже накрест лежащие). Развернутый угол равен . Значит, и сумма углов треугольника тоже равна 180 градусов.

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов треугольника — определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Доказательство треугольника 180 градусов

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Доказательство треугольника 180 градусов

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: Доказательство треугольника 180 градусовАВС (рис. 220).

Доказательство треугольника 180 градусов

Доказать: Доказательство треугольника 180 градусовA+Доказательство треугольника 180 градусовB +Доказательство треугольника 180 градусовC = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда Доказательство треугольника 180 градусовKBA =Доказательство треугольника 180 градусовA как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aДоказательство треугольника 180 градусовMBC =Доказательство треугольника 180 градусовC как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

Доказательство треугольника 180 градусовKBA +Доказательство треугольника 180 градусовABC +Доказательство треугольника 180 градусовMBC = 180°. ОтсюдаДоказательство треугольника 180 градусовA +Доказательство треугольника 180 градусовB +Доказательство треугольника 180 градусовC = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

Доказательство треугольника 180 градусов

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

Доказательство треугольника 180 градусов

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, тоДоказательство треугольника 180 градусов1 =Доказательство треугольника 180 градусов2.

Доказательство треугольника 180 градусов

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Доказательство треугольника 180 градусов

Решение:

Пусть Доказательство треугольника 180 градусов( Доказательство треугольника 180 градусов— градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Доказательство треугольника 180 градусов

Тогда Доказательство треугольника 180 градусов

Доказательство треугольника 180 градусов

Ответ: Доказательство треугольника 180 градусов

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Доказательство треугольника 180 градусов

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° — 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Доказательство треугольника 180 градусовДоказательство треугольника 180 градусов

Из треугольника АОС находим: Доказательство треугольника 180 градусов

Замечание. Если Доказательство треугольника 180 градусовто, рассуждая аналогично, получим формулу: Доказательство треугольника 180 градусовЕсли, например, Доказательство треугольника 180 градусов

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, Доказательство треугольника 180 градусов(рис. 226).

Доказательство треугольника 180 градусов

Докажем, чтоДоказательство треугольника 180 градусовACB = 90°. Обозначим Доказательство треугольника 180 градусовA = Доказательство треугольника 180 градусов,Доказательство треугольника 180 градусовВ = Доказательство треугольника 180 градусов. Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = Доказательство треугольника 180 градусовАВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как Доказательство треугольника 180 градусовАМС — равнобедренный, тоДоказательство треугольника 180 градусовA =Доказательство треугольника 180 градусовACM = Доказательство треугольника 180 градусовкак углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, Доказательство треугольника 180 градусовСМВ — равнобедренный и Доказательство треугольника 180 градусовB =Доказательство треугольника 180 градусовBCM = Доказательство треугольника 180 градусов. Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 Доказательство треугольника 180 градусов+ 2Доказательство треугольника 180 градусов, с другой — равна 180°. Отсюда 2 Доказательство треугольника 180 градусов+ 2 Доказательство треугольника 180 градусов= 180°, 2( Доказательство треугольника 180 градусов+ Доказательство треугольника 180 градусов) = 180°, Доказательство треугольника 180 градусов+ Доказательство треугольника 180 градусов= 90°. НоДоказательство треугольника 180 градусовACB = Доказательство треугольника 180 градусов+ Доказательство треугольника 180 градусов, поэтому

Доказательство треугольника 180 градусовACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Доказательство треугольника 180 градусов

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) Доказательство треугольника 180 градусовC=90°,Доказательство треугольника 180 градусовA=Доказательство треугольника 180 градусов,Доказательство треугольника 180 градусовB=Доказательство треугольника 180 градусов.

Доказательство треугольника 180 градусов

Проведем отрезок СМ так, чтоДоказательство треугольника 180 градусовACM=Доказательство треугольника 180 градусов, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=Доказательство треугольника 180 градусовАВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aДоказательство треугольника 180 градусовBCM дополняетДоказательство треугольника 180 градусовACM до 90°. Поскольку Доказательство треугольника 180 градусовACM =Доказательство треугольника 180 градусовA = Доказательство треугольника 180 градусов, тоДоказательство треугольника 180 градусовBCM =Доказательство треугольника 180 градусов. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = Доказательство треугольника 180 градусовАВ.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Внешний угол треугольника
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  • Признаки равенства треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Соотношения в прямоугольном треугольнике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

💥 Видео

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Сумма углов треугольника. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Сумма углов треугольника. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Геометрия 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?Скачать

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?

Сумма углов 180 градусовСкачать

Сумма углов 180 градусов

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА 180 градусовСкачать

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА   180 градусов

А ты знал? Почему сумма углов треугольника 180 градусов. #математика #геометрия #углы #7классСкачать

А ты знал? Почему сумма углов треугольника 180 градусов. #математика #геометрия #углы #7класс

Сумма углов треугольника равна 180Скачать

Сумма углов треугольника равна 180

Почему сумма углов в треугольнике равна 180 градусовСкачать

Почему сумма углов в треугольнике равна 180 градусов

Внешний угол треугольникаСкачать

Внешний угол треугольника

Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Теорема 14.2 Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны || Геометрия 7Скачать

Теорема 14.2 Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, то прямые параллельны || Геометрия 7

Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

31. Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

31. Теорема о сумме углов треугольника

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать

Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углы

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонами

Почему сумма углов треугольника 180 градусов? 📚 #егэ #профильнаяматематика #профиль #егэпрофильСкачать

Почему сумма углов треугольника 180 градусов? 📚 #егэ #профильнаяматематика #профиль #егэпрофиль
Поделиться или сохранить к себе: