Прямая (MN), имеющая с окружностью только одну общую точку (A), называется касательной к окружности.
Общая точка называется в этом случае точкой касания.
Возможность существования касательной, и притом проведенной через любую точку окружности, как точку касания, доказывается следующей теоремой.
Теорема.
Если прямая перпендикулярна к радиусу в его конце, лежащем на окружности, то эта прямая — касательная.
Пусть O — центр некоторого круга и OA какой-нибудь его радиус. Через его конец A проведем MN ⊥ OA.Требуется доказать, что прямая MN — касательная, т.е. что эта прямая имеет с окружностью только одну общую точку A.
Допустим противное: пусть MN имеет с окружностью еще другую общую точку, например B. Тогда прямая OB была бы радиусом и, следовательно, равнялась бы OA.
Но этого быть не может, так как, если OA — перпендикуляр, то OB должна быть наклонной к MN, а наклонная больше перпендикуляра.
Обратная теорема.
Если прямая касательная к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.
Следствие.
Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.
Теорема.
Касательная параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.
Пусть прямая AB касается окружности в точке M и параллельна хорде СD. Требуется доказать, что ∪CM= ∪MD.
Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EM ⊥ AB и следовательно, EM ⊥ СD. Поэтому СM=MD.
Через данную точку провести касательную к данной окружности.
Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.
Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.
Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A. Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.
Проведя затем хорды OB и OС, соединим точку A с точками D и E, в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AE — касательные к окружности O. Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС) с основаниями OB и OС, равными диаметру круга O.
Так как OD и OE — радиусы, то D — середина OB, а E — середина OС, значит AD и AE — медианы, проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE, то они — касательные.
Следствие.
Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.
Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE, имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной” от данной точки до точки касания.
- Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. r H M O. — презентация
- Похожие презентации
- Презентация на тему: » Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. r H M O.» — Транскрипт:
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью
- Свойства хорд и дуг окружности
- Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
- Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
- Теорема о бабочке
- 📽️ Видео
Видео:Окружность и прямая: варианты взаимного расположенияСкачать
Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. r H M O. — презентация
Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемВиктория Мишенина
Похожие презентации
Видео:№13. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точкиСкачать
Презентация на тему: » Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. r H M O.» — Транскрипт:
2 Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. r H M O
3 Касательная к окружности Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. А точка касания. о A p
4 Касательная к окружности. Теорема: касательная окружности перпендикулярна к радиусу,проведенному в точку касания. Доказательство: пусть p — касательная к окружности с центром O,А- точка касания.Докажем,что касательная p перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим,что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой p.Так как перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой p, меньше наклонной OA, то расстояние от центра О окружности до прямой p меньше радиуса. Следовательно, прямая p и окружность имеют две общие точки.Но это противоречит условию: прямая p — касательная.Таким образом,прямая p перпендикулярна к радиусу OA. Теорема доказана. O A P
5 Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. По теореме о свойстве касательной 1 и 2 прямые, поэтому АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу АО и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ = АС и 3 = 4, что и требовалось доказать A O BC
6 Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной Из условия теоремы следует, что радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и следовательно, прямая и окружность имеет только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности.
7 Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному АОВ соответствуют две дуги с концами А и В. Если АОВ развернутый, то ему соответствуют две полуокружности. ALB = 180º O A B L
8 Если АОВ (центральный) неразвернутый, то говорят, что АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности. Про дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности. L O B A
9 Дугу окружности можно измерять в градусах. Если АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального АОВ. B L A O L B O A
10 Если же АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360 º — АОВ ( центральный). ALB = 360 º — АОВ. L B O A
11 Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный АВС опирается на АМС. B O C M A
12 Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается Пусть АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на АС. Докажем, что АВС = половине АС (на которую он опирается). Существует 3 возможных случая расположения луча ВО относительно АВС. Рассмотрим их.
13 Рассмотрим 1 случай расположения луча ВО относительно АВС. Например луч совпадает со стороной ВС в этом случае АС меньше полуокружности, поэтому АОС= АС. Так как АОС внешний угол равнобедренного АВО, а 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то АОС = 1+ 2 = 2 1. Отсюда следует, что 2 1 = АС или АВС = 1 = 1/2 АС. O B 2 1 C A
14 Рассмотрим 2 случай, когда луч ВО делит АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает АС в некоторой точке D. Точка D разделяет АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в п.1 АВD = 1/2 AD и DBC= 1/2 DC. Складывая эти равенства попарно, получаем: ABD + DBC = 1/2 АD + 1/2 DC, или АВС= 1/2 АС. A B C D
AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл» title=»Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно АВС АВD равнобедренный, AOD — внешний, т.к. ABD — равнобедр. То 1 = 2 => AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл» > 15 Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно АВС АВD равнобедренный, AOD — внешний, т.к. ABD — равнобедр. То 1 = 2 => AOD = = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Следовательно, АВС=1/2 АС A O B C D AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл»> AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Следовательно, АВС=1/2 АС A O B C D»> AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл» title=»Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно АВС АВD равнобедренный, AOD — внешний, т.к. ABD — равнобедр. То 1 = 2 => AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл»>
16 РАССМОТРИМ 1 СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
17 Рассмотрим 2 следствие из теоремы Вписанный угол, опирающийся на полуокружность прямой.
Видео:Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)Скачать
Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Отрезки и прямые, связанные с окружностью |
Свойства хорд и дуг окружности |
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих |
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих |
Теорема о бабочке |
Видео:8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Фигура | Рисунок | Определение и свойства | ||||||||||||||||||||||||||
Окружность | ||||||||||||||||||||||||||||
Круг | ||||||||||||||||||||||||||||
Радиус | ||||||||||||||||||||||||||||
Хорда | ||||||||||||||||||||||||||||
Диаметр | ||||||||||||||||||||||||||||
Касательная | ||||||||||||||||||||||||||||
Секущая |
Окружность |
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Видео:9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать
Свойства хорд и дуг окружности
Фигура | Рисунок | Свойство |
Диаметр, перпендикулярный к хорде | Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | |
Равные хорды | Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. | |
Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | |
Две хорды разной длины | Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. | |
Равные дуги | У равных дуг равны и хорды. | |
Параллельные хорды | Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
Диаметр, перпендикулярный к хорде |
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
У равных дуг равны и хорды.
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Видео:Прямая и окружность. Математика. 6 класс.Скачать
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Фигура | Рисунок | Теорема | ||||||||||||||||
Пересекающиеся хорды | ||||||||||||||||||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||||||||||||||||||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||||||||||||||||||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга |
Пересекающиеся хорды | ||
Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||
Секущие, проведённые из одной точки вне круга | ||
Пересекающиеся хорды |
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Видео:Касание окружностейСкачать
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Видео:ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)Скачать
Теорема о бабочке
Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
📽️ Видео
8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать
Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
Касательная к окружностиСкачать
Касательная к окружности. 8 классСкачать
Задача о двух касающихся окружностях, вписанных в уголСкачать
КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ в точке ЗАДАЧИ 8 классСкачать
Геометрия 8 класс Атанасян Ч 10 п 70-71Скачать
Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать
ОГЭ за одну минуту. Задание 16 |Геометрия 8 класс |ОкружностьСкачать
При каком значении p прямая y=-2x+p имеет с параболой y=x^2+2x ровно одну общую точку?Скачать
Касательная к окружности. Геометрия 7 классСкачать
Окружность. Урок №1Скачать