Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Окружность. Касательная к окружности.

Прямая (MN), имеющая с окружностью только одну общую точку (A), называется касательной к окружности.

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной, и притом проведенной через любую точку окружности, как точку касания, доказывается следующей теоремой.

Теорема.

Если прямая перпендикулярна к радиусу в его конце, лежащем на окружности, то эта прямая — касательная.

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Пусть O — центр некоторого круга и OA какой-нибудь его радиус. Через его конец A проведем MNOA.Требуется доказать, что прямая MNкасательная, т.е. что эта прямая имеет с окружностью только одну общую точку A.

Допустим противное: пусть MN имеет с окружностью еще другую общую точку, например B. Тогда прямая OB была бы радиусом и, следовательно, равнялась бы OA.

Но этого быть не может, так как, если OA — перпендикуляр, то OB должна быть наклонной к MN, а наклонная больше перпендикуляра.

Обратная теорема.

Если прямая касательная к окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней.

Следствие.

Через всякую данную на окружности точку можно провести касательную к этой окружности и притом только одну, так как через эту точку можно провести перпендикуляр, и притом только один, к радиусу, проведенному в нее.

Теорема.

Касательная параллельная хорде, делит в точке касания дугу, стягиваемую хордой, пополам.

Пусть прямая AB касается окружности в точке M и параллельна хорде СD. Требуется доказать, что ∪CM= ∪MD.

Проведя через точку касания диаметр ME, получаем: EMAB и следовательно, EMСD. Поэтому СM=MD.

Через данную точку провести касательную к данной окружности.

Если данная точка находится на окружности, то проводят через нее радиус и через конец радиуса перпендикулярную прямую. Эта прямая будет искомой касательной.

Рассмотрим тот случай, когда точка дана вне круга.

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A. Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO, а из точки O, как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и , соединим точку A с точками D и E, в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AEкасательные к окружности O. Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС) с основаниями OB и , равными диаметру круга O.

Так как OD и OE — радиусы, то Dсередина OB, а E — середина , значит AD и AEмедианы, проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE, то они — касательные.

Следствие.

Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром.

Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE, имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной” от данной точки до точки касания.

Видео:Окружность и прямая: варианты взаимного расположенияСкачать

Окружность и прямая: варианты взаимного расположения

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. r H M O. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемВиктория Мишенина

Похожие презентации

Видео:№13. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точкиСкачать

№13. Могут ли две плоскости иметь: а) только одну общую точку; б) только две общие точки

Презентация на тему: » Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. r H M O.» — Транскрипт:

2 Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. r H M O

3 Касательная к окружности Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. А точка касания. о A p

4 Касательная к окружности. Теорема: касательная окружности перпендикулярна к радиусу,проведенному в точку касания. Доказательство: пусть p — касательная к окружности с центром O,А- точка касания.Докажем,что касательная p перпендикулярна к радиусу ОА. Предположим,что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой p.Так как перпендикуляр, проведенный из точки O к прямой p, меньше наклонной OA, то расстояние от центра О окружности до прямой p меньше радиуса. Следовательно, прямая p и окружность имеют две общие точки.Но это противоречит условию: прямая p — касательная.Таким образом,прямая p перпендикулярна к радиусу OA. Теорема доказана. O A P

5 Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности. По теореме о свойстве касательной 1 и 2 прямые, поэтому АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу АО и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ = АС и 3 = 4, что и требовалось доказать A O BC

6 Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной Из условия теоремы следует, что радиус является перпендикуляром, проведенным из центра окружности к данной прямой. Поэтому расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, и следовательно, прямая и окружность имеет только одну общую точку. Но это и означает, что данная прямая является касательной к окружности.

7 Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом. Пусть стороны центрального угла окружности с центром О пересекают ее в точках А и В. Центральному АОВ соответствуют две дуги с концами А и В. Если АОВ развернутый, то ему соответствуют две полуокружности. ALB = 180º O A B L

8 Если АОВ (центральный) неразвернутый, то говорят, что АВ, расположенная внутри этого угла, меньше полуокружности. Про дугу с концами А и В говорят, что она больше полуокружности. L O B A

9 Дугу окружности можно измерять в градусах. Если АВ окружности с центром в точке О меньше полуокружности или является полуокружностью, то ее градусная мера считается равной градусной мере центрального АОВ. B L A O L B O A

10 Если же АВ больше полуокружности, то ее градусная мера считается равной 360 º — АОВ ( центральный). ALB = 360 º — АОВ. L B O A

11 Угол вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Вписанный АВС опирается на АМС. B O C M A

12 Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается Пусть АВС – вписанный угол окружности с центром О, опирающийся на АС. Докажем, что АВС = половине АС (на которую он опирается). Существует 3 возможных случая расположения луча ВО относительно АВС. Рассмотрим их.

13 Рассмотрим 1 случай расположения луча ВО относительно АВС. Например луч совпадает со стороной ВС в этом случае АС меньше полуокружности, поэтому АОС= АС. Так как АОС внешний угол равнобедренного АВО, а 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то АОС = 1+ 2 = 2 1. Отсюда следует, что 2 1 = АС или АВС = 1 = 1/2 АС. O B 2 1 C A

14 Рассмотрим 2 случай, когда луч ВО делит АВС на два угла. В этом случае луч ВО пересекает АС в некоторой точке D. Точка D разделяет АС на две дуги: АD и DC. По доказанному в п.1 АВD = 1/2 AD и DBC= 1/2 DC. Складывая эти равенства попарно, получаем: ABD + DBC = 1/2 АD + 1/2 DC, или АВС= 1/2 АС. A B C D

AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл» title=»Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно АВС АВD равнобедренный, AOD — внешний, т.к. ABD — равнобедр. То 1 = 2 => AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл» > 15 Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно АВС АВD равнобедренный, AOD — внешний, т.к. ABD — равнобедр. То 1 = 2 => AOD = = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Следовательно, АВС=1/2 АС A O B C D AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл»> AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Следовательно, АВС=1/2 АС A O B C D»> AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл» title=»Рассмотрим 3 случай расположения луча ВО относительно АВС АВD равнобедренный, AOD — внешний, т.к. ABD — равнобедр. То 1 = 2 => AOD = 1 + 2 = 2 1 = AD, следовательно ABD = 1/2 AD. Аналогично: ВСО равнобедр. COD — внешний, следовательно СВD= 1/2 CD. Сл»>

16 РАССМОТРИМ 1 СЛЕДСТВИЕ ИЗ ТЕОРЕМЫ Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

17 Рассмотрим 2 следствие из теоремы Вписанный угол, опирающийся на полуокружность прямой.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№25 - Взаимное расположение прямой и окружности.)

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Прямая окружность имеет только одну общую точку еслиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Прямая окружность имеет только одну общую точку еслиСвойства хорд и дуг окружности
Прямая окружность имеет только одну общую точку еслиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Прямая окружность имеет только одну общую точку еслиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Прямая окружность имеет только одну общую точку еслиТеорема о бабочке

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Видео:8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьПрямая окружность имеет только одну общую точку если
КругПрямая окружность имеет только одну общую точку если
РадиусПрямая окружность имеет только одну общую точку если
ХордаПрямая окружность имеет только одну общую точку если
ДиаметрПрямая окружность имеет только одну общую точку если
КасательнаяПрямая окружность имеет только одну общую точку если
СекущаяПрямая окружность имеет только одну общую точку если
Окружность
Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПрямая окружность имеет только одну общую точку если

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПрямая окружность имеет только одну общую точку если

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПрямая окружность имеет только одну общую точку если

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПрямая окружность имеет только одну общую точку если

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПрямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПрямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеПрямая окружность имеет только одну общую точку еслиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыПрямая окружность имеет только одну общую точку еслиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныПрямая окружность имеет только одну общую точку еслиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиПрямая окружность имеет только одну общую точку еслиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыПрямая окружность имеет только одну общую точку еслиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыПрямая окружность имеет только одну общую точку если

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыПрямая окружность имеет только одну общую точку если

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиПрямая окружность имеет только одну общую точку если

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныПрямая окружность имеет только одну общую точку если

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиПрямая окружность имеет только одну общую точку если

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыПрямая окружность имеет только одну общую точку если

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Прямая и окружность. Математика. 6 класс.Скачать

Прямая и  окружность. Математика. 6 класс.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПрямая окружность имеет только одну общую точку если
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПрямая окружность имеет только одну общую точку если
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПрямая окружность имеет только одну общую точку если
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПрямая окружность имеет только одну общую точку если

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Пересекающиеся хорды
Прямая окружность имеет только одну общую точку если
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Прямая окружность имеет только одну общую точку если
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Прямая окружность имеет только одну общую точку если
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Прямая окружность имеет только одну общую точку если
Пересекающиеся хорды
Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Видео:Касание окружностейСкачать

Касание окружностей

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Тогда справедливо равенство

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)Скачать

ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Прямая окружность имеет только одну общую точку если

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

📽️ Видео

8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Касательная к окружностиСкачать

Касательная к окружности

Касательная к окружности. 8 классСкачать

Касательная к окружности. 8 класс

Задача о двух касающихся окружностях, вписанных в уголСкачать

Задача о двух касающихся окружностях, вписанных в угол

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ в точке ЗАДАЧИ 8 классСкачать

КАСАТЕЛЬНАЯ К ОКРУЖНОСТИ в точке ЗАДАЧИ 8 класс

Геометрия 8 класс Атанасян Ч 10 п 70-71Скачать

Геометрия 8 класс  Атанасян Ч 10 п 70-71

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

ОГЭ за одну минуту. Задание 16 |Геометрия 8 класс |ОкружностьСкачать

ОГЭ за одну минуту. Задание 16 |Геометрия 8 класс |Окружность

При каком значении p прямая y=-2x+p имеет с параболой y=x^2+2x ровно одну общую точку?Скачать

При каком значении p прямая y=-2x+p имеет с параболой y=x^2+2x ровно одну общую точку?

Касательная к окружности. Геометрия 7 классСкачать

Касательная к окружности. Геометрия 7 класс

Окружность. Урок №1Скачать

Окружность. Урок №1
Поделиться или сохранить к себе: