С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:
- Три стороны треугольника.
- Две стороны треугольника и угол между ними.
- Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
- Одна сторона и любые два угла.
Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.
Решение треугольника по трем сторонам
Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем 
.
 |
 |
 |
 | (1) |
 | (2) |
Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения
 . |
Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: 
Найти (Рис.1).
Решение. Из формул (1) и (2) находим:
  . |
  . |
 ,  . |
И, наконец, находим угол C:
  |
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.
 |
Найдем сторону c используя теорему косинусов:
 . |
 . |
Далее, из формулы
| . |
| . | (3) |
Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
 . |
Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: 
и 
(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.
Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:
| , |
   . |
Из формулы (3) найдем cosA:
  |
 . |
Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:
  . |
Решение треугольника по стороне и любым двум углам
Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.
 |
Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:
 . |
Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:
 ,  . |
 ,  . |
Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: 
и углы 
(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.
Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:
  |
Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:
 |
 |
Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:
Углы треугольника
Геометрическая фигура из трех отрезков, соединенных между собой тремя точками, не лежащими на одной прямой, называется треугольником. Это — многоугольник с тремя углами. Сумма всех углов треугольника равна 180°. Если известна величина двух из них, третий угол определяем вычитанием из 180° величины двух известных углов.
α = 180°-β-γ
Если известны стороны треугольника, можно рассчитать его углы, воспользовавшись теоремой косинусов. Здесь, квадрат одной стороны треугольника (а) равен сумме квадратов двух его других сторон (b,с), образующих искомый угол (α), плюс удвоенное произведение этих сторон (b,с) на косинус угла.
a 2 = b 2 + c 2 + 2abc cos (α)
Отсюда, косинус искомого угла равняется сумме квадратов смежных сторон (b, с) минус квадрат третей стороны треугольника (а), противолежащей искомому углу, и все это делится на удвоенное произведение смежных сторон:
cos (α) = (b 2 + c 2 — a 2 ) / 2bc
,
где а, b, с — стороны треугольника.
Используя теорему косинусов, определяем косинусы остальных углов. Величины углов в градусах находим по тригонометрической таблице.
Углы прямоугольного треугольника
Калькулятор расчёта углов прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками соединяющихся тремя точками, у которой все углы внутренние, при этом один из углов прямой (равен 90°).
Тангенс угла tg(α) — это тригонометрическая функция выражающая отношение противолежащего катета a к прилежащему катету b.
Формула тангенса
- tg α — тангенс угла α
- a — противолежащий катет
- b — прилежащий катет
Арктангенс — это обратная тригонометрическая функция. Арктангенсом числа x называется такое значение угла α, выраженное в радианах, для которого tg α = x . Вычислить арктангенс, означает найти угол α, тангенс которого равен числу x.
Углы треугольника
Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов:
Так как у прямоугольного треугольника один из углов равен 90°, то сумма двух других углов равна 90°.
Поэтому, если известен один из острых углов треугольника, второй угол можно посчитать по формуле:
Острый угол — угол, значение которого меньше 90°.
У прямоугольного треугольника один угол прямой, а два других угла — острые.