В четырехугольник можно вписать окружность если 2 вариант (5 видео)

В четырехугольник можно вписать окружность если 2 вариант

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90° , то эти две прямые параллельны.

2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90° , то эти две прямые параллельны» — верно, по признаку параллельности прямых.

2) «В любой четырёхугольник можно вписать окружность» — неверно, поскольку в выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника» — верно, по свойству треугольника.

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Вписанная в четырехугольник окружность

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются окружности. При этом окружность называется вписанной в четырехугольник.

Какими свойствами обладает вписанная в четырехугольник окружность? Когда в четырехугольник можно вписать окружность? Где находится центр вписанной окружности?

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противолежащих сторон равны.

В четырехугольник ABCD можно вписать окружность, если

И обратно, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны:

то в четырехугольник ABCD можно вписать окружность.

Центр вписанной в четырехугольник окружности — точка пересечения его биссектрис.

O — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

AO, BO, CO, DO — биссектрисы углов четырехугольника ABCD,

то есть ∠BAO=∠DAO, ∠ABO=∠CBO и т.д.

3. Точки касания вписанной окружности, лежащие на сторонах, выходящих из одной вершины, равноудалены от этой вершины.

AM=AN,

5. Площадь четырехугольника связана с радиусом вписанной в него окружности формулой

где p — полупериметр четырехугольника.

Так как суммы противолежащих сторон описанного четырехугольника равны, полупериметр равен любой из пар сумм противолежащих сторон.

Например, для четырехугольника ABCD p=AD+BC или p=AB+CD и

Соответственно, радиус вписанной в четырехугольник окружности равен

Видео:2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shortsСкачать

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны

Пусть окружность вписана в четырехугольник АВСD. Докажем, что суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

Отрезки касательных, проведенных к окружности из точек А, В, С и D, обозначим соответственно а, b, с и d.
Тогда АВ + СD = АD + ВС = а + c = b + d.

Докажем обратное утверждение.
Формулируется оно так: Если суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Пусть в четырехугольнике АВСD равны суммы длин противоположных сторон: АВ + СD = АD + ВС. Докажем, что в четырехугольник АВСD можно вписать окружность.

Проведем AO и BO – биссектрисы углов A и B, AO ∩ BO = O.

Точка O равноудалена от сторон AB, BC и AD четырёхугольника АВСD. Окружность с центром О касается сторон АВ, ВС и AD четырехугольника.
Покажем, что окружность с центром в точке O касается также стороны CD, то есть вписана в четырёхугольник ABCD.

Предположим, что это не так, и CD либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей.

Рассмотрим первый случай. Проведем касательную параллельно CD. Четырехугольник – описанный вокруг окружности, и для него выполняется равенство:
.

При этом . Получим:

С другой стороны,
поэтому
и .

Получили, что для четырехугольника длина стороны CD равна сумме трех других сторон. Это невозможно. Мы пришли к противоречию. Предположение о том, что CD не имеет общих точек с окружностью, было неверно.

Аналогично доказывается, что CD не может быть секущей к окружности. Значит, CD – касательная к окружности и четырехугольник ABCD – описанный вокруг окружности.

Задача ЕГЭ по теме «Описанный четырехугольник»

В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10, CD=16. Найдите периметр четырёхугольника ABCD.