В равнобедренную трапецию с основаниями ад и вс вписана окружность (8 видео)

В равнобедренную трапецию с основаниями ад и вс вписана окружность

В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями BC и AD вписана окружность. Вторая окружность, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, второй раз пересекает большее основание AD в точке H.

а) Докажите, что треугольник CHD равнобедренный.

б) Найдите основания трапеции, если радиусы первой и второй окружностей равны соответственно 6 и 6,5.

а) Доплнительные построения и обозначения:

О — центр вписанной окружности; O₁ — середина отрезка AB; MN — отрезок, соединяющий середины оснований равнобедренной трапеции; ОМ, ОN радиусы вписанной окружности; E — проекции С на АD; K — точка касания первой окружности стороны трапеции CD.

Рассмотрим Δ OMC и Δ ONH. Они прямоугольные, у них: ОМ = ОN как радиусы одной и той же окружности, ∠MOC = ∠NOH как вертикальные. Значит, Δ OMC = Δ ONH, откуда MC = NH.

Имеем: D = KC + KD, DH = DN + NH. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной и той же точки: DN = KD. Прибавим к левой и правой частям этого равенства равные отрезки NH и МС соответственно. Получим верное равенство: DN + NH = KD + MC. В правой части слагаемое МС заменим равным KC. Тогда будем иметь: DN + NH = KD + KC, а это значит, что DH = DC, что и требовалось доказать.

б) В четырехугольник можно вписать окружность только в том случае, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны. Следовательно, 2AB = AD + BC, т. е. AD + BC = 2 · 2 · 6,5 = 26.

BH ⊥ AD, так как ∠ AHB = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр второй окружности. CE ⊥ AD по построению, значит, BH||CE. Кроме того, BC||AD по определению трапеции, следовательно, HBCE — прямоугольник, BC = HE, BH = CE.

В прямоугольном треугольнике AHB

Значит, откуда

Критерии оценивания выполнения задания

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.

Получен обоснованный ответ в пункте б.

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

Содержание

Задача 8190 В равнобедренную трапецию ABCD с.
Условие
Решение
Задача 4 (описанный четырехугольник).
📽️ Видео

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача 8190 В равнобедренную трапецию ABCD с.

Условие

В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность, CH — высота трапеции.

а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке BH.

б) Найдите диагональ AC, если известно, что средняя линия трапеции равна 2sqrt(7), а угол AOD=120 градусов, где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание.

Решение

а)См. рис. 1
BG⊥AD; GBCH-прямоугольник
Пусть О=BH⋂CG
Докажем, что О-центр вписанной окружности.
KT⊥BC; OK=OT, т.е. О равноудалена от ВС и AD.
MN-средняя линия трапеции,
MN=CD по свойству описанной равнобедренной трапеции.
Тогда, ON=CN
⇒ △ONC-равнобедренный,
OF и CL его высоты, проведенные к равным сторонам,
⇒ OF=CL=KO, т.е. О равноудалена от BC,CD, AD(аналогично и от AB).
Значит, О-центр вписанной окружности и О∈ВН.

б)См. рис. 2
По свойству описанной равнобедренной трапеции CD=MN=2sqrt(7)
Из △AOD: ∠ADO=(180°-120°):2=30°.
∠ODC=∠ADO=30°(OD-биссектриса).
Из △CHD: ∠DCH=90°-60°=30°, ⇒HD=1/2*CD=1/2*2sqrt(7)=sqrt(7), по теореме Пифагора: CH=sqrt((2sqrt(7))^2-(sqrt(7))^2)=sqrt(28-7)=sqrt(21).
Так как трапеция описано около окружности AD+ВС=AB+CD=2sqrt(7)+2sqrt(7)=4sqrt(7)
AD=2HD+BC
Тогда, 2HD+BC+BC=4sqrt(7)
2BC=4sqrt(7)-2sqrt(7)
2BC=2sqrt(7)
BC=sqrt(7)
⇒ AH=sqrt(7)+sqrt(7)=2sqrt(7).
По теореме Пифагора из △АСН: АС=sqrt((sqrt(21))^2+(2sqrt(7))^2)=sqrt(21+28)=sqrt(49)=7

Видео:Геометрия Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром OСкачать

Задача 4 (описанный четырехугольник).

В равнобедренную трапецию АВСD с основаниями AD и ВС вписана окружность, СН – высота трапеции.

а) Доказать, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке ВН.

б) Найдите диагональ АС, если известно, что средняя линия трапеции равна , а угол AOD равен 135°, где О – центр окружности, вписанной в трапецию, AD – большее основание.

а) 1) Пусть точки K и L – точки касания окружности оснований трапеции, тогда

2) ΔBOK=ΔHOL по катету(см. пункт 1) и острому углу (углы OBK и LHO равны как накрест лежащие при BC II AD и секущей BH. Поэтому ВО = ОН.

3) Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов трапеции. Данная трапеция ABCD – равнобедренная, поэтому углы ОВК и ОСК равны. Значит, треугольники ΔВОК и ΔСОК равны (по катету и острому углу)

4) Из 2) и 3) следует, что ВО=ОС=ОН. Точка О равноудалена от вершин прямоугольного треугольника ΔВСН. О – центр описанной около треугольника окружности. Следовательно О принадлежит ВН (его середина). Пункт а) доказан.

б) Для доказательства пункта б) сделаем дополнительный чертеж

1) Пусть MN – средняя линия трапеции. Точка О принадлежит MN и О – её середина, поэтому МО =

2) АО – биссектриса, углы МАО и RAO равны, углы RAO и МОА раны как накрест лежащие. ΔАМО – равнобедренный, АМ=МО= . Тогда АВ = 2АМ=

3) ∠AOD=135° (по условию), ∠OAD+∠ODA=45°. Значит, ∠BAD=∠CDA=45°. Пусть BR перпендикулярен AD. BR = AR=

4) Пусть CD₁ II BD и точка D₁ лежит на прямой AD. Четырехугольник ВСD₁D – параллелограмм. CD₁=BD (противоположные стороны), BD=AC(диагонали равнобедренной трапеции). Тогда СD₁=BD=AC.

5) ₁ – равнобедренный, AD₁ – основание. АD₁=AD+DD₁=AD+BC=2MN=2 . CH=BR= . По теореме Пифагора из ΔCHА: AC= = 2 = = 3

Задача 5

В треугольнике АВС угол ВАС равен 60 ° , угол АВС равен 45 ° . Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P.

а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если ВС=12.

Повторить. Свойство вписанных углов; теорему синусов.

а) Пусть продолжения высот треугольника АВС, проведенных из вершин А, В и С, пересекают описанную около него окружность в точках M, N и P соответственно.