Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

479. Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Пусть О — центр симметрии, а — данная прямая, α — плоскость, проведенная через О и а.

Пусть А ∈ а, построим отрезок ОА.

Продолжим ОА за точку О на расстояние ОА1=АО. Получим точку А1, симметричную А.

Пусть В ∈ а, построим отрезок ОВ. Продолжим ОВ за точку О на расстояние ОВ1=ОВ. Получим точку B1, симметричную точке В.

Через А1 и В1 проведем прямую b. Рассмотрим ΔAОВ и ΔА1ОВ1⋅AО=А1О, ВО=ОВ1, ΔАОВ=ΔА1ОВ1 как вертикальные, следовательно, ΔAОВ=ΔА1ОВ1.

Тогда, ∠1=∠2 и а || b.

б) Пусть А ∈ а. Симметричная ей точка А1 тоже принадлежит прямой а; АО=ОА1.

Точка А произвольна, следовательно, любая точка прямой, а также симметричная точка относительно центра О лежат на прямой а, следовательно, прямая а переходит сама в себя при условии, что проходит через центр симметрии.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую Решебник по геометрии за 10 класс (Л.С.Атанасян, 2001 год),
задача №479
к главе «Глава V. Метод координат в пространстве. § 3. Движения».

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Докажите, что при центральной симметрии плоскости: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную

Видео:Уравнение параллельной прямойСкачать

Уравнение параллельной прямой

Ваш ответ

Видео:8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрия

решение вопроса

Видео:Проецирование прямой общего положенияСкачать

Проецирование прямой общего положения

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,688
  • разное 16,822

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Осевая симметрия. 6 класс.

Тема: Центральная и зеркальная симметрия

Выполнила ученица 11 А класса Ковалева Дарья

Учитель Багирян Нонна Александровна

· определение и основные свойства

· фигуры, обладающие центральной симметрией

· применение в жизни

· определение и построение

· фигуры, обладающие зеркальной симметрией

· зеркальная симметрия в реальной жизни

Центральной симметрией называют преобразование пространства относительно точки A , переводящее точку X в такую точку X′, что A — середина отрезка XX′. Фигура называется симметричной относительно точки A, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки A также принадлежит этой фигуре.Точка A называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией.

Другие названия этого преобразования — симметрия с центром A. Центральная симметрия в планиметрии является частным случаем поворота, точнее, является поворотом на 180 градусов.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

· Центральная симметрия является движением;

· Любая прямая при центральной симметрии преобразуется в прямую. Причем, прямая, проходящая через центр, преобразуется в себя. Прямая, не проходящая через центр, преобразуется в параллельную ей прямую. (доказано в задаче 2)

· Центральная симметрия сохраняет расстояния между точками.

· Центральная симметрия переводит отрезки в отрезки, лучи в лучи.

Докажем, что центральная симметрия является движением.

Обозначим буквой O центр симметрии и введем в прямоугольную систему координат Oxyz с началом в точке О. Установим связь между координатами двух точек M (x; y; z) и M (x₁; y₁; z₁), симметричных относительно точки О.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Если точка М не совпадает с центром О, то О – середина отрезка ММ₁. По формулам координат середины отрезка получаем Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую= 0, Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую= 0, Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую=0, откуда x₁ = -x, y₁= -y, z₁ = -z.

Рассмотрим теперь две точки А (x₁; y₁; z₁) и В (x₂; y₂; z₂) и докажем, что расстояние между симметричными им точкам А₁ и В₁ равно АВ. Точки А₁ и В₁ имеют координаты А₁ (-x₁; -y₁; -z₁ ) и В₁ (-x₂; -y₂; -z₂). По формуле расстояния между двумя точками находим: Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую. Из этих соотношений ясно, что АВ=А₁В₁, что и требовалось доказать.

Построим точку А₀ симметричную точке А относительно точки О.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Пусть А (a; b; c). Тогда координаты A₀ (-a; -b; -c).

Фигуры, обладающие центральной симметрией.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

1. – тетраэдр 2. – куб 3. – октаэдр 4. – додекаэдр 5. – икосаэдр

Применение центральной симметрии в жизни.

В архитектуре центральная симметрия используется реже осевой. Она присуща античным круглым храмам, используется в колоннах.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямуюПрямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Колизей Пирамиды в Египте

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Башни церквей, замков, колонны проектировались с учетом центральной симметрии. Такие сооружения предавали зданиям массивности. Башни одинаково роскошно выглядели с любой плоскости города.

Центральная симметрия в природе. Она присутствует в снежинках, листьях деревьев и трав, насекомых, цветах, животных.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямуюПрямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Центральная симметрия прослеживается в

костюмах казанских татар

№ 1. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при центральной симметрии относительно начала координат.

При центральной симметрии относительно начала координат знаки координат искомых точек меняются на противоположные.

А (0; 1; 2) → А₁ (0; -1; -2)

В (3; -1; 4) → В₁ (-3; 1; -4)

С (1; 0; -2) → С₁ (-1; 0; 2)

№ 2. Докажите, что при центральной симметрии: а) прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую; б) прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямуюа)

Через центр симметрии и данную прямую можно провести единственную плоскость. Пусть О — центр симметрии, а — данная прямая, α — плоскость, проведенная через О и а. Пусть А ∈ а, построим отрезок ОА.

Продолжим ОА за точку О на расстояние ОА1=АО. Получим точку А1, симметричную А.

Пусть В ∈ а, построим отрезок ОВ. Продолжим ОВ за точку О на расстояние ОВ1=ОВ. Получим точку B1, симметричную точке В.

Через А1 и В1 проведем прямую b. Рассмотрим ΔAОВ и ΔА1ОВ1⋅AО=А1О, ВО=ОВ1, ΔАОВ=ΔА1ОВ1 как вертикальные, следовательно, ΔAОВ=ΔА1ОВ1.

Тогда, ∠1=∠2 и а || b.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Пусть А ∈ а. Симметричная ей точка А1 тоже принадлежит прямой а; АО=ОА1.

Точка А произвольна, следовательно, любая точка прямой, а также симметричная точка относительно центра О лежат на прямой а, следовательно, прямая а переходит сама в себя при условии, что проходит через центр симметрии.

Зеркальной симметрией (симметрией относительно плоскости α) называется такое отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М₁ относительно плоскости α.

Докажем, что зеркальная симметрия является движением.

Для этого введем прямоугольную систему координат Оxyz так, чтобы плоскость Oxy совпала с плоскостью симметрии, и установим связь между координатами точек Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямуюи Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую, Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямуюи Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямуюсимметричных относительно плоскости Oxy

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Найдем длину отрезков BC и B₁C₁ по формуле расстояния между точками:

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Отсюда BC = B₁C₁, значит, зеркальная симметрия является движением.

Отсюда следует, что зеркальная симметрия обладает следующими свойствами:

· переводит прямые в прямые

· полупрямые – в полупрямые

· отрезки – в отрезки

· плоскости – в плоскости

· сохраняет углы между прямыми.

Фигуры, обладающие зеркальной симметрией

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

(слева на право) – куб, пирамида, цилиндр, конус, сфера

Зеркальная симметрия в жизни

Наиболее распространена вархитектуре зеркальная симметрия.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямуюПрямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Эйфелева башня Тадж Махал

Зеркальная симметрия в природе может быть представлена отражением изображения в воде.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Животные, растения, и человек тоже могут послужить примерами зеркальной симметрии. Однако назвать их идеальными примерами сложно, ведь даже лицо человека, которое на первый взгляд может показаться симметричным, таковым не является.

№ 1. Найдите координаты точек, в которые переходят точки А (0; 1; 2), В (3; -1; 4), С (1; 0; -2) при зеркальной симметрии относительно координатных плоскостей.

Если плоскость симметрии — плоскость Оxy, то меняем значение координаты z на противоположную (т.к. ось Оz перпендикулярна плоскости Оxy, О – точка их пересечения)

А (0; 1; 2) → А₁ (0; 1; -2)

В (3; -1; 4) → B₁ (3; -1; -4)

С (1; 0; -2) → C₁ (1; 0; 2)

Аналогично решение с другими плоскостями.

Если плоскость симметрии — плоскость Оyz, то меняем значение координаты x.

А (0; 1; 2) → А₁ (0; 1; 2)

В (3; -1; 4) → B₁ (-3; -1; 4)

С (1; 0; -2) → C₁ (-1; 0; -2)

Если плоскость симметрии — плоскость Оxz, то меняем значение координаты y.

А (0; 1; 2) → А₁ (0; -1; 2)

В (3; -1; 4) → B₁ (3; 1; 4)

С (1; 0; -2) → C₁ (1; 0; -2)

№ 2. При зеркальной симметрии относительно плоскости α плоскость β отображается на плоскость β₁. Докажите, что если: а) β || α, то β₁ || α; б) β ┴ α, то β₁ совпадает с β.

а) Выберем три точки в плоскости А, В, С, не лежащие на одной прямой. Проведем АА2⊥α, ВВ2 ⊥α, СС2 ⊥α. Продолжим эти отрезки за точки А1, B1, C1 так, что А2А1=АА2, B2B1=BB2, C2C1=CC2.

Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Плоскость β1 проходит через точки А1, В1 и C1, она — единственная.

Если две пересекающиеся прямые (ВА и ВС) одной плоскости (β) параллельны двум прямым (B1A1 и В1С1) другой плоскости (β1), то эти плоскости параллельны: β1 || β.

б) Прямая не проходящая через центр симметрии отображается на параллельную ей прямую

Пусть α⊥β. Возьмем произвольную точку А ∈ β и построим АО перпендикулярно плоскости α. Продолжим отрезок за точку О на расстояние ОА1=АО.

Две плоскости взаимно перпендикулярны и к одной из них проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с другой плоскостью, тогда этот перпендикуляр весь лежит в этой плоскости, т.е.

АО⊂β, следовательно, и АА1 ⊂β.

Таким образом, каждая точка плоскости β отображается в точку, ей симметричную, которая тоже принадлежит плоскости β. тогда, плоскость β отображается сама на себя, или β1 совпадает с β.

🔍 Видео

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Осевая и центральная симметрия, 6 классСкачать

Осевая и центральная симметрия, 6 класс

Геометрия 11 класс (Урок№4 - Движения в пространстве.)Скачать

Геометрия 11 класс (Урок№4 - Движения в пространстве.)

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Центральная симметрия. 6 класс.Скачать

Центральная симметрия. 6 класс.

Задание №479 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)Скачать

Задание №479 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)

Задание № 1149 - Геометрия 9 класс (Атанасян)Скачать

Задание № 1149 - Геометрия 9 класс (Атанасян)

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиомСкачать

10 класс, 3 урок, Некоторые следствия из аксиом

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать

10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространстве

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскости

Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№7 - Осевая и центральная симметрия.)

№ 479 - Геометрия 10-11 класс АтанасянСкачать

№ 479 - Геометрия 10-11 класс Атанасян

Параллельность прямой к плоскостиСкачать

Параллельность прямой к плоскости
Поделиться или сохранить к себе: