Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Прямая а параллельна стороне bc параллелограмма abcd и не лежит в его плоскости?

Геометрия | 10 — 11 классы

Прямая а параллельна стороне bc параллелограмма abcd и не лежит в его плоскости.

Докажите что а и cd скрещивающиеся прямые и найдите угол между ними, учитывая что один из углов параллелограмма равен 58 градусов.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Ответ : решение представлено на фотоОбъяснение :

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Содержание
  1. Через вершины А и С параллелограмма ABCD проведены параллельные прямые AA1 и CC1 ; не лежащие в плоскости параллелограмма?
  2. Прямая EF параллельна стороне AB параллелограмма ABCD(см?
  3. Дана прямая a , параллельная стороне BC параллелограмма ABCD и не лежащая в плоскости параллелограмма?
  4. ОЧЕНЬ СРОЧНО( с чертежами) ?
  5. Помогите с задачей?
  6. Через вершины А и С параллелограмма ABCD проведены параллельные прямые А1А и С1С, не лежащие в плоскости параллелограмма?
  7. Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, угол C = 30 градусов , а перпендикуляр BH к прямой CD равен 6, 5 см?
  8. ABCD — параллелограмм, ВК — биссектриса (точка К лежит на стороне CD) если угол BKD = 117 градусов то больший угол параллелограмма равен?
  9. Прямая m параллельно диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости роила?
  10. Тупой угол параллелограмма равен 135 градусов?
  11. №45. Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма.
  12. Планиметрия. Страница 4
  13. 1.Параллелограмм
  14. 3.Ромб
  15. Задача
  16. 4.Теорема Фалеса
  17. 5.Средняя линия треугольника
  18. 6.Трапеция
  19. 7.Теорема о пропорциональных отрезках
  20. Пример 1
  21. Пример 2
  22. Пример 3
  23. Пример 4
  24. Пример 5

Видео:№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВССкачать

№199. Прямая р параллельна стороне АВ треугольника ABC. Докажите, что прямые ВС

Через вершины А и С параллелограмма ABCD проведены параллельные прямые AA1 и CC1 ; не лежащие в плоскости параллелограмма?

Через вершины А и С параллелограмма ABCD проведены параллельные прямые AA1 и CC1 ; не лежащие в плоскости параллелограмма.

Докажите параллельность плоскостей AA1B и CC1D.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Видео:№45. Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма.Скачать

№45. Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма.

Прямая EF параллельна стороне AB параллелограмма ABCD(см?

Прямая EF параллельна стороне AB параллелограмма ABCD(см.

Рисунок) докажите что ABEF — параллелограмм.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Видео:№ 45 - Геометрия 10-11 класс АтанасянСкачать

№ 45 - Геометрия 10-11 класс Атанасян

Дана прямая a , параллельная стороне BC параллелограмма ABCD и не лежащая в плоскости параллелограмма?

Дана прямая a , параллельная стороне BC параллелограмма ABCD и не лежащая в плоскости параллелограмма.

Докажите, что a и CD — скрещивающиеся прямые.

Найдите угол между ними если угол BAD = 45°.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Видео:Задание №45 — ГДЗ по геометрии 10 класс (Атанасян Л.С.)Скачать

Задание №45 — ГДЗ по геометрии 10 класс (Атанасян Л.С.)

ОЧЕНЬ СРОЧНО( с чертежами) ?

ОЧЕНЬ СРОЧНО( с чертежами) .

1. Прямые а и b пересекаются.

Прямая с является скрещивающейся с прямой а.

Могут ли прямые b и с быть параллельными?

2. Плоскость проходит через середины боковых стороны АВ и СD трапеции ABCD – точки M и N.

А) Докажите, что АD параллельна альфа.

Б) Найдите ВС, если AD = 10см, MN = 8см.

3. Прямая МА проходит через вершину квадрата ABCD и не лежит в плоскости квадрата.

А) Докажите, что МА и ВС – скрещивающиеся прямые.

Б) Найдите угол между прямыми МА и ВС, если MAD = 45.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Видео:№31. Плоскость α параллельна стороне ВС треугольника ABC и проходит черезСкачать

№31. Плоскость α параллельна стороне ВС треугольника ABC и проходит через

Помогите с задачей?

Помогите с задачей.

Точка S не лежит в плоскости параллелограмма ABCD.

Докажите , что линия пересечения плоскостей SAB и SCD параллельна плоскости параллелограмма.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Через вершины А и С параллелограмма ABCD проведены параллельные прямые А1А и С1С, не лежащие в плоскости параллелограмма?

Через вершины А и С параллелограмма ABCD проведены параллельные прямые А1А и С1С, не лежащие в плоскости параллелограмма.

Доказать параллельность плоскостей A1AB и C1CD.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Видео:Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // ГеометрияСкачать

Все про ПАРАЛЛЕЛОГРАММ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия

Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, угол C = 30 градусов , а перпендикуляр BH к прямой CD равен 6, 5 см?

Периметр параллелограмма ABCD равен 50 см, угол C = 30 градусов , а перпендикуляр BH к прямой CD равен 6, 5 см.

Найдите стороны параллелограмма .

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

ABCD — параллелограмм, ВК — биссектриса (точка К лежит на стороне CD) если угол BKD = 117 градусов то больший угол параллелограмма равен?

ABCD — параллелограмм, ВК — биссектриса (точка К лежит на стороне CD) если угол BKD = 117 градусов то больший угол параллелограмма равен?

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Прямая m параллельно диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости роила?

Прямая m параллельно диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости роила.

Докажите что m и AD — скрещивающиеся прямые — и найдите угол между ними, если угол ABC равен 128градус.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Тупой угол параллелограмма равен 135 градусов?

Тупой угол параллелограмма равен 135 градусов.

Высота проведенная из вершины этого угла делит сторону параллелограмма на отрезки 4см и 8см, учитывая от вершины острго угла.

Найдите площадь параллелограмма.

Вы открыли страницу вопроса Прямая а параллельна стороне bc параллелограмма abcd и не лежит в его плоскости?. Он относится к категории Геометрия. Уровень сложности вопроса – для учащихся 10 — 11 классов. Удобный и простой интерфейс сайта поможет найти максимально исчерпывающие ответы по интересующей теме. Чтобы получить наиболее развернутый ответ, можно просмотреть другие, похожие вопросы в категории Геометрия, воспользовавшись поисковой системой, или ознакомиться с ответами других пользователей. Для расширения границ поиска создайте новый вопрос, используя ключевые слова. Введите его в строку, нажав кнопку вверху.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

АС⊥BD как диагонали квадрата. АС∩BD = О АО — проекция МО на плоскость квадрата ⇒ МО⊥BD по теореме о трех перпендикулярах. ⇒ МО — искомое расстояние. ΔАВМ : tg60° = AM / BA AM = BA·tg60° = 2√3 см АС = АВ√2 = 2√2 см как диагональ квадрата. ⇒АО = 1 ..

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

2)Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра : r = S / p площадь треугольника S = r * p = 6 * 36 = 216 м² a + b + c = 72 a² + b² = c² a * b / 2 = 216 a + b = 72 — c (a + b)² = (72 — c)² a² + b² ..

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Ответ : Решения в трёх приложениях. Объяснение .

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Есть треугольник STM с углами Т = 90 и М = 30. Катет ST находится напротив угла в 30 градусов, значит по свойству прямоугольного треугольника он равен половине гипотенузы. ST = 1 / 2 * SM = 5 ST = 5.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Смотри, угол В равен 90°, угол Д так же. Угол А, лежит напротив угла Е, эти углы равные как противоположные Если АВ = 25см, тогда и ЕД = 25 см.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Дано ABCD — четырёхугольник Окр (O ; R) вписана : ab + cd = 15 дм P = ? Решение Т. К. ABCD описанный четырехугольник следовательно. Ab + cd = ad + bc т. Е. ad + dc = 15см 2)p = ab + cd + bc + ad = 30 дм.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Можно решить и другим способом : sinА = R / 2R = 12 ⇒∠А = 30°.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

В результате вращения образуется фигура — цилиндр с радиусом 6 см и высотой 6 см V = πR² * H = π6² * 6 = 216π см³ Sп = 2πR * H + 2πR² = π(2 * 6 * 6 + 2 * 6²) = 144π см².

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Уже сам разберись в записях.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

2 * (х + х + 3) = 48 2х + 3 = 48÷ 2 2х + 3 = 24 2х = 24 — 3 2х = 21 х = 10, 5 см 10, 5 + 3 = 13, 5 см.

Видео:Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41Скачать

Задание 3 ЕГЭ по математике. Урок 41

№45. Прямая а параллельна стороне ВС параллелограмма ABCD и не лежит в плоскости параллелограмма.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Задание №45 — ГДЗ по геометрии 10 класс (Атанасян Л.С.)Подробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

№ 45 — Геометрия 10-11 класс АтанасянПодробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

№ 46 — Геометрия 10-11 класс АтанасянПодробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

№19. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость αПодробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

№46. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба.Подробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

№23. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD.Подробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

§ 5 № 1-41 — Геометрия 10 класс МерзлякПодробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Задание №46 — ГДЗ по геометрии 10 класс (Атанасян Л.С.)Подробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Геометрия, 10 класс | Краткая апология стереометрии. Часть 2Подробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

№24. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD.Подробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Геометрия, 10 класс ОГН, СОР за I четвертьПодробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

ЕГЭ 14 Стереометрия. Расстояние между точками и от точки до прямойПодробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Задание №42 — ГДЗ по геометрии 10 класс (Атанасян Л.С.)Подробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

№950. Докажите, что четырехугольник MNPQ является параллелограммом,Подробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

ВАРИАНТ #23 (ЗАДАНИЯ 14 и 16) ЕГЭ ПРОФИЛЬ ПО МАТЕМАТИКЕ (ШКОЛА ПИФАГОРА)Подробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

§ 13 № 1-41 — Геометрия 10 класс МерзлякПодробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Алгоритмы и структуры данных 9. Элементарная геометрия. ТриангуляцииПодробнее

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

№ 801-860 — Геометрия 8 класс МерзлякПодробнее

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Планиметрия. Страница 4

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

  • Главная
  • Репетиторы
  • Учебные материалы
  • Контакты

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Видео:№551. На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке FСкачать

№551. На стороне CD параллелограмма ABCD отмечена точка Е. Прямые АЕ и ВС пересекаются в точке F

1.Параллелограмм

Параллелограмм — это геометрическая фигура, у которой диагонали пересекаются в точке, делящей их пополам, а противолежащие стороны параллельны.

Теорема: если диагонали четырехугольника пересекаются и делятся этой точкой пересечения пополам, то такой четырехугольник называется параллелограммом.

Доказательство. Пусть АВСD данный четырехугольник. Точка О — точка пересечения его диагоналей (рис.1). Тогда треугольники Δ АОD и Δ ВOC равны по двум сторонам и углу между ними. А следовательно, угол ODA равен углу CBO и угол OAD равен углу BCO. Таким образом, эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей AC. А по признаку параллельности прямых, прямые AD и BC параллельны. Аналогично можно доказать, что прямая АВ параллельна ВС. Теорема доказана.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.1 Теорема. Параллелограмм.

Теорема. если четырехугольник является параллелограммом, то его диагонали делятся точкой пересечения пополам.

Доказательство. Пусть дан параллелограмм АВСD. (Рис. 2)

Тогда его стороны AD и BC равны и лежат на параллельных прямых а и b. Если мы проведем секущие с и d так, чтобы прямая с проходила через точку А и С, а прямая d проходила через точку B и D, то угол ОАD будет равен углу ОСВ, а угол ОDА будет равен углу ОВС, как внутренние накрест лежащие. Следовательно, треугольники АОD и ВОС равны по стороне и прилегающим к ней углам. А отсюда следует и равенство сторон этих треугольников. Т.е. АО = ОС, а ВО = ОD. Сумма этих сторон и есть диагонали параллелограмма.

Пример 1

Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что ее отрезок, заключенный между параллельными сторонами, делится этой точкой пополам. (Рис.9)

Доказательство:

Пусть ABCD данный параллелограмм. EF данный отрезок, проходящий через точку О пересечения диагоналей.

Рассмотрим треугольники COF и AOE. Сторона АО треугольника АОЕ равна стороне ОС треугольника COF по свойству параллелограмма. Угол при вершине А треугольника АОЕ равен углу при вершине С треугольника COF, как внутренние накрест лежащие углы. Углы при вершине О у обоих треугольников равны как вертикальные.

Отсюда можно сделать вывод, что треугольники АОЕ и COF равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам). Следовательно, отрезки OF и ОЕ равны.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.9 Задача. Через точку пересечения диагоналей.

Пример 2

Две стороны параллелограмма относятся как 3:4, а его периметр равен 2,8 м. Найдите стороны параллелограмма. (Рис.10)

Решение:

Пусть ABCD данный параллелограмм. Обозначим сторону АВ как 3х, а сторону ВС как 4х. Тогда составим следующее соотношение:

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.10 Задача. Две стороны параллелограмма.

Пример 3

В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный из вершины В на сторону AD, делит ее пополам. Найдите диагональ BD и стороны параллелограмма, если периметр параллелограмма равен 4 м, а периметр треугольника ABD равен 3 м. (Рис.11)

Решение:

Так как перпендикуляр BE, опущенный на сторону AD, делит ее пополам, то треугольники ABE и BED равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). У них сторона АЕ равна стороне ED, сторона BE — общая, а углы при вершине Е равны 90°.Отсюда следует, что диагональ BD равна стороне АВ.

Обозначим сторону АВ как х, а сторону AD — как 2y. Тогда можно составить следующие соотношения:

PABCD = 2*(х + 2y) = 4, PABD = 2x +2y = 3

PABCD = 2х + 4y = 4, а 2х = 4 — 4y.

Тогда подставим 4 — 4y во второе уравнение:

4 — 4y + 2y = 3 и,следовательно, y = 0,5, а х = 1

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.11 Задача. В параллелограмме ABCD перпендикуляр.

Пример 4

В прямоугольный треугольник, каждый катет которого равен 8 см, вписан прямоугольник, имеющий с треугольником общий угол. Найдите периметр прямоугольника.(Рис.12)

Решение:

Пусть АВС данный треугольник. АВ = АС = 8 см. Тогда углы при вершинах В и С равны 45°. А следовательно, углы при вершине Е в треугольниках FEC и BDE также равны 45°. Если обозначить часть катета АF как х, то FC будет равно 8 — х.

Отсюда следует, что FE = AD = 8-х, а BD = х.

Теперь можно составить следующее соотношение:

РADEF = 2*(х + 8 — х) = 16 см.

Периметр прямоугольника ADEF равен 16 см.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.12 Задача. В прямоугольный треугольник.

Пример 5

Докажите, что если у параллелограмма диагонали перпендикулярны, то он является ромбом.(Рис.13)

Доказательство:

Пусть АВСD данный параллелограмм. По свойству параллелограмма, у него противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, стороны АВ и CD можно рассматривать как параллельные прямые, а диагональ BD — как секущую. Тогда в треугольниках АВО и DOC углы при вершинах B и D равны как внутренние накрест лежащие. Так же как и углы при вершинах А и С.

Отсюда следует, что эти треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам). Сторона АВ = DC и внутренние накрест лежащие углы при них равны. Следовательно, АО = ОС, а ВО = OD.

Теперь рассмотрим треугольники AOD и DOC. Они также равны, но по первому признаку равенства треугольников. Сторона АО = ОС, а сторона OD у них общая. Углы при вершине О равны 90°. Т.е. по двум сторонам и углу между ними.

Следовательно, можно сделать вывод, что сторона AD = DC = AB = BC, т.е. данный параллелограмм является ромбом.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.13 Задача. Докажите, что если у параллелограмма.

Поделиться или сохранить к себе:
Главная > Учебные материалы > Математика: Планиметрия. Страница 4
Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма
Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма
2.Свойство диагоналей параллелограмма
Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.2 Теорема. Свойство диагоналей параллелограмма.

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

3.Ромб

Ромб — это геометрическая фигура, у которой все стороны равны.

Теорема. диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.

Доказательство. Пусть АВСD — ромб.(Рис. 3). Тогда треугольник АВС — равнобедренный. А это значит, что отрезок ВО, который является половиной диагонали, является биссектрисой медианой и высотой. Следовательно диагонали ромба АС и ВD пересекаются под прямым углом.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.3 Теорема. Свойство диагоналей ромба.

Видео:Классификация четырёхугольников (видео 58) | Подобие. Геометрия | МатематикаСкачать

Классификация четырёхугольников (видео 58) | Подобие. Геометрия | Математика

Задача

В параллелограмме АВСD проведена биссектриса угла А, которая пересекает сторону ВС в точке Е. Необходимо найти отрезки ВЕ и ЕС, если АВ = 9 см, АD = 14 см (рис.4)

Решение. Так как прямая АЕ биссектриса, то это значит, что треугольники АВЕ и АЕР равны. Так как угол ВАЕ равен углу АЕР, а угол ЕАР равен углу ВЕА как внутренние накрест лежащие. Следовательно АВЕР — ромб, так как угол ВАЕ равен углу ЕАР ( по условию). Отсюда следует, что АВ = ВЕ = 9 см, а ЕС = 5 см.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Видео:№19. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость αСкачать

№19. Стороны АВ и ВС параллелограмма ABCD пересекают плоскость α

4.Теорема Фалеса

Теорема: параллельные прямые, пересекающие стороны угла и отсекающие на одной его стороне равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол и пересекающие его параллельные прямые (рис.5). Точки А 1 А 2 А 3 А 4 и В 1 В 2 В 3 В 4 — точки пересечения. Проведем прямую ОЕ. Тогда А 1 ЕОА 3 — параллелограмм. И ОЕ = А 1 А 3 Треугольники В 1 В 2 Е и ОВ 2 В 3 равны по стороне (ОВ 2 = ЕВ 2 ) и прилегающим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что В 1 В 2 = В 2 В 3 .

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.5 Теорема Фалеса.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№3 - Признаки параллелограмма)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№3 - Признаки параллелограмма)

5.Средняя линия треугольника

Теорема. средняя линия треугольника, которая соединяет середины двух данных сторон, параллельна третьей его стороне и равна ее половине.

Доказательство. Пусть АВС — треугольник. Отрезок ЕР соединяет середины сторон АВ и ВС (Рис. 5). Тогда по теореме Фалеса отрезок ЕР параллелен основанию АС, так как он делит стороны АВ и ВС на равные части.
Если на стороне АС отметить точку К, которая делит ее пополам и провести отрезок РК, то он будет параллелен стороне АВ. А геометрическая фигура АЕРК будет являться параллелограммом. Отсюда следует, что средняя линия ЕР равна половине основания.
Таким образом, утверждение, что средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине, верно.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.5 Теорема. Средняя линия треугольника.

6.Трапеция

Трапеция — это геометрическая фигура, у которой только две противолежащие стороны параллельны.

Теорема. средняя линия трапеции параллельна двум своим основаниям и равна их полусумме.

Доказательство. Пусть АВСD — трапеция.(Рис. 6). Проведем прямую от вершины В через середину стороны СD точку Н к основанию, т.е. достроим треугольник АВО. Тогда треугольники ВСН и DHO равны по сторонам СН и НD и прилегающим к ним углам. Следовательно отрезок АО равен сумме оснований АD и ВС. Рассмотрим треугольник АВО. ЕН это средняя линия треугольника, которая равна половине основания АО, т.е. полусумме оснований трапеции АD и ВС.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.6 Теорема. Средняя линия трапеции.

7.Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема. параллельные прямые, которые пересекают стороны угла, отсекают от его сторон пропорциональные отрезки.

Доказательство. Пусть дан угол и пересекающие его параллельные прямые.
Необходимо доказать, что AС 1 /AС = AВ 1 /AВ (Рис. 7).

Разобьем угол ВAС параллельными прямыми на n частей. Тогда АВ = ns, a AB1 = ms. Где s — отрезок некоторой длины. По теореме Фалеса эти прямые разбивают сторону AС также на равные части. Тогда:

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.7 Теорема о пропорциональных отрезках.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Отложим на луче АС отрезок АС 2 1 , который равен АС 2 = АС*АВ 1 /АВ (Рис.8). Если отрезок АС разбить на большое число частей, то между точками С 1 и С 2 будут деления. Одно из них обозначим как x и y.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Т.е. мы пришли к противоречию, так как изначально мы взяли отрезок АС 2 = АС*АВ 1 /АВ.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма

Рис.8 Теорема о пропорциональных отрезках.

Прямая а параллельна стороне вс параллелограмма