Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Против большей стороны треугольника лежит больший угол.
2) Любой прямоугольник можно вписать в окружность.
3) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Против большей стороны треугольника лежит больший угол» — верно, по свойству треугольника.
2) «Любой прямоугольник можно вписать в окружность» — верно; выпуклый четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов этого четырёхугольника равна 180°.
3) «Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон» — верно, поскольку площадь треугольника можно вычислить по формуле 
, где a и b — стороны треугольника, а 
— угол между этими сторонами. Так как 
не может быть больше 1, то и S не может превышать полупроизведения сторон.
Четвертый признак равенства треугольников
Четвертый признак равенства треугольников — это признак,
c помощью которого можно доказать, что треугольники равны.
С помощью четвертого признака равенства можно решить
любую из задач, где требуется доказать, что треугольники равны.
Формулировка:
Если две стороны и угол, лежащий против большей из сторон
одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу,
лежащему против большей из сторон другого треугольника,
то такие треугольники равны.
Докажем, что △ABC и △FHE равны между собой. Для этого
совместим их так, как показано на рисунке 1.
Доказательство:
- Рассмотрим △ABC и △FHE, которые наложились друг на друга,
AВ = AH,∠ABO = ∠AHO, ∠BOC = ∠HOC. Докажем, что △ABC = △FHE. - △ABH — равнобедренный (AB = AH), значит ∠ABO = ∠AHO.
- ∠BOC = ∠HOC, так как остатки равных углов.
- △BHC — равнобедренный(∠BOC = ∠HOC), а так как углы при боковых
сторонах HC и BC равны, значит HC = BC. - Итак, △ABC = △FHE по двум сторонам и углу, лежащему
против большей из сторон.
Свойства сторон и углов треугольника
| Фигура | Рисунок | Формулировка | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Треугольник |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Большая сторона треугольника |  | Против большей стороны треугольника лежит больший угол | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Больший угол треугольника | Против большего угла треугольника лежит большая сторона | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Меньшая сторона треугольника |  | Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Меньший угол треугольника | Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Длины сторон треугольника |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Углы треугольника |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Внешний угол треугольника |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Больший угол треугольника |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Меньший угол треугольника |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Теорема косинусов |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Теорема синусов |  | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Треугольник | ||
| ||
| Большая сторона треугольника | ||
| Против большей стороны треугольника лежит больший угол | |
| Больший угол треугольника | ||
| Против большего угла треугольника лежит большая сторона | |
| Меньшая сторона треугольника | ||
| Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол | |
| Меньший угол треугольника | ||
| Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона | |
| Длины сторон треугольника | ||
| ||
| Углы треугольника | ||
| ||
| Внешний угол треугольника | ||
| ||
| Больший угол треугольника | ||
| ||
| Меньший угол треугольника | ||
| ||
| Теорема косинусов | ||
| ||
| Теорема синусов | ||
| ||
| Треугольник |
|
Рассматриваются три точки, не лежащие на одной прямой, и три отрезка, соединяющие эти точки.
Определение . Треугольником называют часть плоскости, ограниченную этими отрезками, отрезки называют сторонами треугольника , а концы отрезков – вершинами треугольника .
Свойство большей стороны треугольника:
Против большей стороны треугольника лежит больший угол
Свойство большего угла треугольника:
Против большего угла треугольника лежит большая сторона
Свойство меньшей стороны треугольника:
Против меньшей стороны треугольника лежит меньший угол
Свойство меньшего угла треугольника:
Против меньшего угла треугольника лежит меньшая сторона
Длины сторон треугольника удовлетворяют неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.
a неравенству треугольника : длина любой стороны треугольника больше модуля разности длин двух других сторон.
Свойство углов треугольника:
Сумма углов треугольника равна 180°
Свойство внешнего угла треугольника:
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.
Свойство большего угла треугольника:
Величина большего угла треугольника не может быть меньшей, чем 60°.
,
где α – больший угол треугольника.
Свойство меньшего угла треугольника:
Величина меньшего угла треугольника не может быть большей, чем 60°.
,
где β – меньший угол треугольника.
Свойство меньшего угла треугольника:
,