Признаки равенства дуг окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Признаки равенства дуг окружностиОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Признаки равенства дуг окружностиСвойства хорд и дуг окружности
Признаки равенства дуг окружностиТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Признаки равенства дуг окружностиДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Признаки равенства дуг окружностиТеорема о бабочке

Признаки равенства дуг окружности

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьПризнаки равенства дуг окружности
КругПризнаки равенства дуг окружности
РадиусПризнаки равенства дуг окружности
ХордаПризнаки равенства дуг окружности
ДиаметрПризнаки равенства дуг окружности
КасательнаяПризнаки равенства дуг окружности
СекущаяПризнаки равенства дуг окружности
Окружность
Признаки равенства дуг окружности

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПризнаки равенства дуг окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПризнаки равенства дуг окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПризнаки равенства дуг окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПризнаки равенства дуг окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПризнаки равенства дуг окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПризнаки равенства дуг окружности

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеПризнаки равенства дуг окружностиДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыПризнаки равенства дуг окружностиЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныПризнаки равенства дуг окружностиБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиПризнаки равенства дуг окружностиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыПризнаки равенства дуг окружностиДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Признаки равенства дуг окружности

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыПризнаки равенства дуг окружности

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыПризнаки равенства дуг окружности

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиПризнаки равенства дуг окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныПризнаки равенства дуг окружности

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиПризнаки равенства дуг окружности

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыПризнаки равенства дуг окружности

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Признаки равенства дуг окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПризнаки равенства дуг окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПризнаки равенства дуг окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПризнаки равенства дуг окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПризнаки равенства дуг окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Признаки равенства дуг окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Пересекающиеся хорды
Признаки равенства дуг окружности
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Признаки равенства дуг окружности
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Признаки равенства дуг окружности
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Признаки равенства дуг окружности
Пересекающиеся хорды
Признаки равенства дуг окружности

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Признаки равенства дуг окружности

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Тогда справедливо равенство

Признаки равенства дуг окружности

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Признаки равенства дуг окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Признаки равенства дуг окружности

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Признаки равенства дуг окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Признаки равенства дуг окружности

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Признаки равенства дуг окружности

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Признаки равенства дуг окружности

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Признаки равенства дуг окружности

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Равные хорды

Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

Признаки равенства дуг окружностиДано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Признаки равенства дуг окружностиСоединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать .

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Признаки равенства дуг окружностиДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

1)OF=OK (по условию)

2)OD=OB (как радиусы).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Признаки равенства дуг окружности

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Признаки равенства дуг окружностиСоединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Что и требовалось доказать .

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

Признаки равенства дуг окружностиДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Видео:8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружностиСкачать

8 класс, 33 урок, Градусная мера дуги окружности

Окружность. Основные теоремы

Определения

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности.

Градусная мера дуги окружности – это градусная мера центрального угла, который на неё опирается.

Теорема

Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказательство проведём в два этапа: сначала докажем справедливость утверждения для случая, когда одна из сторон вписанного угла содержит диаметр. Пусть точка (B) – вершина вписанного угла (ABC) и (BC) – диаметр окружности:

Признаки равенства дуг окружности

Треугольник (AOB) – равнобедренный, (AO = OB) , (angle AOC) – внешний, тогда (angle AOC = angle OAB + angle ABO = 2angle ABC) , откуда (angle ABC = 0,5cdotangle AOC = 0,5cdotbuildrelsmileover) .

Теперь рассмотрим произвольный вписанный угол (ABC) . Проведём диаметр окружности (BD) из вершины вписанного угла. Возможны два случая:

1) диаметр разрезал угол на два угла (angle ABD, angle CBD) (для каждого из которых теорема верна по доказанному выше, следовательно верна и для исходного угла, который является суммой этих двух и значит равен полусумме дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 1.

2) диаметр не разрезал угол на два угла, тогда у нас появляется ещё два новых вписанных угла (angle ABD, angle CBD) , у которых сторона содержит диаметр, следовательно, для них теорема верна, тогда верна и для исходного угла (который равен разности этих двух углов, значит, равен полуразности дуг, на которые они опираются, то есть равен половине дуги, на которую он опирается). Рис. 2.

Признаки равенства дуг окружности

Следствия

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой.

3. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Определения

Существует три типа взаимного расположения прямой и окружности:

1) прямая (a) пересекает окружность в двух точках. Такая прямая называется секущей. В этом случае расстояние (d) от центра окружности до прямой меньше радиуса (R) окружности (рис. 3).

2) прямая (b) пересекает окружность в одной точке. Такая прямая называется касательной, а их общая точка (B) – точкой касания. В этом случае (d=R) (рис. 4).

3) прямая (c) не имеет общих точек с окружностью (рис. 5).

Признаки равенства дуг окружности

Теорема

1. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

2. Если прямая проходит через конец радиуса окружности и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной к окружности.

Следствие

Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.

Доказательство

Проведем к окружности из точки (K) две касательные (KA) и (KB) :

Признаки равенства дуг окружности

Значит, (OAperp KA, OBperp KB) как радиусы. Прямоугольные треугольники (triangle KAO) и (triangle KBO) равны по катету и гипотенузе, следовательно, (KA=KB) .

Следствие

Центр окружности (O) лежит на биссектрисе угла (AKB) , образованного двумя касательными, проведенными из одной точки (K) .

Теорема об угле между секущими

Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки, равен полуразности градусных мер большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Доказательство

Пусть (M) – точка, из которой проведены две секущие как показано на рисунке:

Признаки равенства дуг окружности

Покажем, что (angle DMB = dfrac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) .

(angle DAB) – внешний угол треугольника (MAD) , тогда (angle DAB = angle DMB + angle MDA) , откуда (angle DMB = angle DAB — angle MDA) , но углы (angle DAB) и (angle MDA) – вписанные, тогда (angle DMB = angle DAB — angle MDA = fracbuildrelsmileover — fracbuildrelsmileover = frac(buildrelsmileover — buildrelsmileover)) , что и требовалось доказать.

Теорема об угле между пересекающимися хордами

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме градусных мер высекаемых ими дуг: [angle CMD=dfrac12left(buildrelsmileover+buildrelsmileoverright)]

Доказательство

(angle BMA = angle CMD) как вертикальные.

Признаки равенства дуг окружности

Из треугольника (AMD) : (angle AMD = 180^circ — angle BDA — angle CAD = 180^circ — frac12buildrelsmileover — frac12buildrelsmileover) .

Но (angle AMD = 180^circ — angle CMD) , откуда заключаем, что [angle CMD = frac12cdotbuildrelsmileover + frac12cdotbuildrelsmileover = frac12(buildrelsmileover + buildrelsmileover).]

Теорема об угле между хордой и касательной

Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.

Доказательство

Пусть прямая (a) касается окружности в точке (A) , (AB) – хорда этой окружности, (O) – её центр. Пусть прямая, содержащая (OB) , пересекает (a) в точке (M) . Докажем, что (angle BAM = frac12cdot buildrelsmileover) .

Признаки равенства дуг окружности

Обозначим (angle OAB = alpha) . Так как (OA) и (OB) – радиусы, то (OA = OB) и (angle OBA = angle OAB = alpha) . Таким образом, (buildrelsmileover = angle AOB = 180^circ — 2alpha = 2(90^circ — alpha)) .

Так как (OA) – радиус, проведённый в точку касания, то (OAperp a) , то есть (angle OAM = 90^circ) , следовательно, (angle BAM = 90^circ — angle OAB = 90^circ — alpha = frac12cdotbuildrelsmileover) .

Теорема о дугах, стягиваемых равными хордами

Равные хорды стягивают равные дуги, меньшие полуокружности.

И наоборот: равные дуги стягиваются равными хордами.

Доказательство

1) Пусть (AB=CD) . Докажем, что меньшие полуокружности дуги (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

Признаки равенства дуг окружности

(triangle AOB=triangle COD) по трем сторонам, следовательно, (angle AOB=angle COD) . Но т.к. (angle AOB, angle COD) — центральные углы, опирающиеся на дуги (buildrelsmileover, buildrelsmileover) соответственно, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover) .

2) Если (buildrelsmileover=buildrelsmileover) , то (triangle AOB=triangle COD) по двум сторонам (AO=BO=CO=DO) и углу между ними (angle AOB=angle COD) . Следовательно, и (AB=CD) .

Теорема

Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен.

Верно и обратное: если радиус перпендикулярен хорде, то точкой пересечения он делит ее пополам.

Признаки равенства дуг окружности

Доказательство

1) Пусть (AN=NB) . Докажем, что (OQperp AB) .

Рассмотрим (triangle AOB) : он равнобедренный, т.к. (OA=OB) – радиусы окружности. Т.к. (ON) – медиана, проведенная к основанию, то она также является и высотой, следовательно, (ONperp AB) .

2) Пусть (OQperp AB) . Докажем, что (AN=NB) .

Аналогично (triangle AOB) – равнобедренный, (ON) – высота, следовательно, (ON) – медиана. Следовательно, (AN=NB) .

Теорема о произведении отрезков хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Пусть хорды (AB) и (CD) пересекаются в точке (E) .

Признаки равенства дуг окружности

Рассмотрим треугольники (ADE) и (CBE) . В этих треугольниках углы (1) и (2) равны, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу (BD) , а углы (3) и (4) равны как вертикальные. Треугольники (ADE) и (CBE) подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Тогда (dfrac = dfrac) , откуда (AEcdot BE = CEcdot DE) .

Теорема о касательной и секущей

Квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.

Доказательство

Пусть касательная проходит через точку (M) и касается окружности в точке (A) . Пусть секущая проходит через точку (M) и пересекает окружность в точках (B) и (C) так что (MB . Покажем, что (MBcdot MC = MA^2) .

Признаки равенства дуг окружности

Рассмотрим треугольники (MBA) и (MCA) : (angle M) – общий, (angle BCA = 0,5cdotbuildrelsmileover) . По теореме об угле между касательной и секущей, (angle BAM = 0,5cdotbuildrelsmileover = angle BCA) . Таким образом, треугольники (MBA) и (MCA) подобны по двум углам.

Из подобия треугольников (MBA) и (MCA) имеем: (dfrac = dfrac) , что равносильно (MBcdot MC = MA^2) .

Следствие

Произведение секущей, проведённой из точки (O) , на её внешнюю часть не зависит от выбора секущей, проведённой из точки (O) :

📽️ Видео

№659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордамиСкачать

№659. Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенных между параллельными хордами

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкамСкачать

Определение центра дуги окружности, построение окружности по 3 точкам

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хордыСкачать

ГЕОМЕТРИЯ (урок 14) окружности, дуги, хорды

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.

Окружность и связанные с ней определенияСкачать

Окружность и связанные с ней определения

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружностиСкачать

ДЛИНА ДУГИ окружности 9 класс Атанасян 1111 1112 длина окружности

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.

Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Равные хорды, равные дугиСкачать

Равные хорды, равные дуги

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.Скачать

Окружность. Длина хорды. Теорема синусов.

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрия

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.
Поделиться или сохранить к себе: