Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Признаки и свойства параллельных прямых

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Признаки параллельных прямых

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b.

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Если a || b, то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Пятое свойство — это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой:

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Признаки параллельности прямых

При пересечении двух прямых третьей прямой образуются углы, названия которых приведены в следующей таблице.

Видео:Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.Скачать

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.

Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей прямой

РисунокОпределение углов
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьейВнутренние накрест лежащие углы
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьейВнешние накрест лежащие углы
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьейСоответственные углы
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьейВнутренние односторонние углы
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьейВнешние односторонние углы
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Внутренние накрест лежащие углы
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Внешние накрест лежащие углы
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Соответственные углы
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Внутренние односторонние углы
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Внешние односторонние углы
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Перечисленные в таблице углы используются в формулировках признаков параллельности двух прямых.

Определение . Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Замечание . Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.

Видео:Признаки параллельности прямых. Геометрия 7 класс.Скачать

Признаки параллельности прямых. Геометрия 7 класс.

Признаки параллельности двух прямых

РисунокПризнак параллельности
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьейПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьейПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьейПрямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьейПрямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьейПрямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

РисунокПризнак параллельности
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьейДве прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Переход свойства параллельности прямых

РисунокПризнак параллельности
Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьейЕсли прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Если прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Задача . Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны.

Решение . Решение этой задачи почти дословно совпадает с решением задачи из раздела нашего справочника «Углы на плоскости» и предоставляется читателю в качестве несложного самостоятельного упражнения.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Признаки параллельности прямых

1. Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и ∠1 = ∠2. Возьмём точку О — середину отрезка КL секущей ЕF (рис.).

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ ⊥ МN. Докажем, что и СD ⊥ МN.

Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: ∠1 = ∠2 по условию теоремы; ОK = ОL — по построению;

∠МОL = ∠NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, ΔМОL = ΔNОК, а отсюда и ∠LМО = ∠КNО,
но ∠LМО прямой, значит, и ∠КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны, что и требовалось доказать.

Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

2. Второй признак параллельности.

Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например ∠ 3 = ∠2 (рис.);

∠3 = ∠1, как углы вертикальные; значит, ∠2 будет равен ∠1. Но углы 2 и 1 — внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на рис. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (рис.).

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Пусть ∠1 и ∠2-внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d.

Но ∠3 + ∠2 = 2d, как углы смежные. Следовательно, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Отсюда ∠1 = ∠3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°), то эти две прямые параллельны.

Признаки параллельных прямых:

1. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

2.Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти две прямые параллельны.

4. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

5. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Видео:Теорема о двух прямых, параллельных третьейСкачать

Теорема о двух прямых, параллельных третьей

Аксиома параллельности Евклида

Задача. Через точку М, взятую вне прямой АВ, провести прямую, параллельную прямой АВ.

Пользуясь доказанными теоремами о признаках параллельности прямых, можно эту задачу решить различными способами,

Решение. 1-й с п о с о б (черт. 199).

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Проводим МN⊥АВ и через точку М проводим СD⊥МN;

получаем СD⊥МN и АВ⊥МN.

На основании теоремы («Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.») заключаем, что СD || АВ.

2-й с п о с о б (черт. 200).

Проводим МК, пересекающую АВ под любым углом α, и через точку М проводим прямую ЕF, образующую с прямой МК угол ЕМК, равный углу α. На основании теоремы (Признаки параллельности прямых) заключаем, что ЕF || АВ.

Решив данную задачу, можем считать доказанным, что через любую точку М, взятую вне прямой АВ, можно провести прямую, ей параллельную. Возникает вопрос, сколько же прямых, параллельных данной прямой и проходящих через данную точку, может существовать?

Практика построений позволяет предполагать, что существует только одна такая прямая, так как при тщательно выполненном чертеже прямые, проведённые различными способами через одну и ту же точку параллельно одной и той же прямой, сливаются.

В теории ответ на поставленный вопрос даёт так называемая аксиома параллельности Евклида; она формулируется так:

Через точку, взятую вне дaнной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.

На чертеже 201 через точку О проведена прямая СК, параллельная прямой АВ.

Признак параллельности прямых о двух прямых параллельных третьей

Всякая другая прямая, проходящая через точку О, уже не будет параллельна прямой АВ, а будет её пересекать.

Принятая Евклидом в его «Началах» аксиома, которая утверждает, что на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой, называется аксиомой параллельности Евклида.

Более двух тысячелетий после Евклида многие учёные-математики пытались доказать это математическое предложение, но всегда их попытки оказывались безуспешными. Только в 1826 г. великий русский учёный, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский доказал, что, используя все другие аксиомы Евклида, это математическое предложение доказать нельзя, что оно действительно должно быть принято за аксиому. Н. И. Лобачевский создал новую геометрию, которая в отличие от геометрии Евклида названа геометрией Лобачевского.

📹 Видео

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать

10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямых

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Признаки параллельности двух прямых | Геометрия 7-9 класс #26 | ИнфоурокСкачать

Признаки параллельности двух прямых  | Геометрия 7-9 класс #26 | Инфоурок

Признаки параллельности двух прямых - геометрия 7 классСкачать

Признаки параллельности двух прямых - геометрия 7 класс

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т2. Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т2. Теорема о двух прямых, перпендикулярных к третьей.

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 классСкачать

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ двух прямых. §14 геометрия 7 класс

Геометрия 7. Урок 7 - Признаки параллельности прямых.Скачать

Геометрия 7. Урок 7 - Признаки параллельности прямых.

25. Признаки параллельности двух прямыхСкачать

25. Признаки параллельности двух прямых

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.Скачать

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.

Признаки параллельности прямых. Геометрия. 7 КлассСкачать

Признаки параллельности прямых. Геометрия. 7 Класс
Поделиться или сохранить к себе: