Признаки параллельных прямых
1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:
2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:
Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.
3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:
Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a || b.
4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:
5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:
Свойства параллельных прямых
Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.
1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:
Если a || b, то ∠1 + ∠2 = 180°.
2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:
3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:
Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:
4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:
Пятое свойство — это аксиома параллельности прямых:
5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой:
Признаки параллельности прямых
При пересечении двух прямых третьей прямой образуются углы, названия которых приведены в следующей таблице.
Углы, образующиеся при пересечении двух прямых третьей прямой
| Рисунок | Определение углов |
 | Внутренние накрест лежащие углы |
 | |
 | Внешние накрест лежащие углы |
 | |
 | Соответственные углы |
 | |
 | |
 | |
 | Внутренние односторонние углы |
 | |
 | Внешние односторонние углы |
 |
| Внутренние накрест лежащие углы |
|
|
| Внешние накрест лежащие углы |
|
|
| Соответственные углы |
|
|
|
|
| Внутренние односторонние углы |
|
|
| Внешние односторонние углы |
|
|
Перечисленные в таблице углы используются в формулировках признаков параллельности двух прямых.
Определение . Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Замечание . Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых.
Признаки параллельности двух прямых
| Рисунок | Признак параллельности |
 | Прямые параллельны тогда и только тогда, когда внутренние накрест лежащие углы равны |
 | |
 | Прямые параллельны тогда и только тогда, когда внешние накрест лежащие углы равны |
 | |
 | Прямые параллельны тогда и только тогда, когда соответственные углы равны |
 | |
 | |
 | |
 | Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180° |
 | |
 | Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180° |
 |
Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внутренние накрест лежащие углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда внешние накрест лежащие углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда,
когда соответственные углы равны
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внутренних односторонних углов равна 180°
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда сумма внешних односторонних углов равна 180°
| Рисунок | Признак параллельности |
 | Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны |
Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны
Переход свойства параллельности прямых
| Рисунок | Признак параллельности |
 | Если прямая a параллельна прямой b , а прямая b параллельна прямой c , то прямая a параллельна прямой c |
Если прямая a параллельна прямой b ,
а прямая b параллельна прямой c ,
то прямая a параллельна прямой c
Задача . Доказать, что биссектрисы внутренних односторонних углов, полученных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, перпендикулярны.
Решение . Решение этой задачи почти дословно совпадает с решением задачи из раздела нашего справочника «Углы на плоскости» и предоставляется читателю в качестве несложного самостоятельного упражнения.
Признаки параллельности прямых
1. Первый признак параллельности.
Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и ∠1 = ∠2. Возьмём точку О — середину отрезка КL секущей ЕF (рис.).
Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ ⊥ МN. Докажем, что и СD ⊥ МN.
Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: ∠1 = ∠2 по условию теоремы; ОK = ОL — по построению;
∠МОL = ∠NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, ΔМОL = ΔNОК, а отсюда и ∠LМО = ∠КNО,
но ∠LМО прямой, значит, и ∠КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны, что и требовалось доказать.
Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.
2. Второй признак параллельности.
Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.
Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например ∠ 3 = ∠2 (рис.);
∠3 = ∠1, как углы вертикальные; значит, ∠2 будет равен ∠1. Но углы 2 и 1 — внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.
Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.
На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.
Приложим треугольник к линейке так, как это показано на рис. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.
3. Третий признак параллельности.
Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (рис.).
Пусть ∠1 и ∠2-внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d.
Но ∠3 + ∠2 = 2d, как углы смежные. Следовательно, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.
Отсюда ∠1 = ∠3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.
Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°), то эти две прямые параллельны.
Признаки параллельных прямых:
1. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
2.Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти две прямые параллельны.
4. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
5. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.
Аксиома параллельности Евклида
Задача. Через точку М, взятую вне прямой АВ, провести прямую, параллельную прямой АВ.
Пользуясь доказанными теоремами о признаках параллельности прямых, можно эту задачу решить различными способами,
Решение. 1-й с п о с о б (черт. 199).
Проводим МN⊥АВ и через точку М проводим СD⊥МN;
получаем СD⊥МN и АВ⊥МN.
На основании теоремы («Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.») заключаем, что СD || АВ.
2-й с п о с о б (черт. 200).
Проводим МК, пересекающую АВ под любым углом α, и через точку М проводим прямую ЕF, образующую с прямой МК угол ЕМК, равный углу α. На основании теоремы (Признаки параллельности прямых) заключаем, что ЕF || АВ.
Решив данную задачу, можем считать доказанным, что через любую точку М, взятую вне прямой АВ, можно провести прямую, ей параллельную. Возникает вопрос, сколько же прямых, параллельных данной прямой и проходящих через данную точку, может существовать?
Практика построений позволяет предполагать, что существует только одна такая прямая, так как при тщательно выполненном чертеже прямые, проведённые различными способами через одну и ту же точку параллельно одной и той же прямой, сливаются.
В теории ответ на поставленный вопрос даёт так называемая аксиома параллельности Евклида; она формулируется так:
Через точку, взятую вне дaнной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.
На чертеже 201 через точку О проведена прямая СК, параллельная прямой АВ.
Всякая другая прямая, проходящая через точку О, уже не будет параллельна прямой АВ, а будет её пересекать.
Принятая Евклидом в его «Началах» аксиома, которая утверждает, что на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой, называется аксиомой параллельности Евклида.
Более двух тысячелетий после Евклида многие учёные-математики пытались доказать это математическое предложение, но всегда их попытки оказывались безуспешными. Только в 1826 г. великий русский учёный, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский доказал, что, используя все другие аксиомы Евклида, это математическое предложение доказать нельзя, что оно действительно должно быть принято за аксиому. Н. И. Лобачевский создал новую геометрию, которая в отличие от геометрии Евклида названа геометрией Лобачевского.