Доказать неравенство треугольника для метрики

Видео:✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис ТрушинСкачать

Метрическое пространство.

Будем множество (X) называть метрическим пространством, если каждой паре элементов (x) и (y) этого множества поставлено в соответствие неотрицательное число (p(x,y)), называемое расстоянием между элементами (x) и (y), такое, что для любых элементов (x, y, z) множества (X) выполнены следующие условия:

1. (rho(x,y) = 0 Leftrightarrow x = y)
2. (rho(x,y) = rho(y,x));
3. (rho(x,y) leq rho(x,z) + rho(z,y)) (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства будем называть точками, функцию (rho(x,y)), определенную на множестве пар точек метрического пространства (X), (rho) — метрикой, а условия 1)-3) — аксиомами метрики.

Например, определяя расстояние между вещественными числами (alpha) и (beta) при помощи формулы (rho(alpha,beta)=|beta — alpha|), получаем метрическое пространство, которое обозначается через (R).

Рассмотрим множество пар вещественных чисел (x = (x_,x_)). Если (x = (x_,x_)), а (y = (y_,y_)), то полагая
$$
rho(x,y) = ((x_ — y_)^ + (x_ — y_)^)^nonumber
$$
получаем метрическое пространство, которое обозначается через (R^). Для проверки аксиом 1)-3) воспользуемся тем, что между множеством точек евклидовой плоскости и множеством пар вещественных чисел можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором евклидово расстояние между точками плоскости совпадает с введенным выше расстоянием между соответствующими этим точкам парами вещественных чисел (декартовыми координатами точек). При такой геометрической интерпретации пространства (R^) доказательство неравенства треугольника следует из того, что длина любой стороны треугольника не превышает суммы длин двух других его сторон.

На одном и том же множестве можно различными способами определять расстояние между элементами и получать тем самым различные метрические пространства. На множестве пар вещественных чисел можно расстояние между точками определить также и следующим образом:
$$
tilde(x,y) = max (|x_ — y_|,|x_ — y_|).label
$$

Аксиомы метрики 1) и 2), очевидно, выполняются. Проверим неравенство треугольника.

(circ) Из eqref следует, что
$$
|x_-y_| leq tilderho(x,y),qquad |x_-y_| leq tilde(x,y),nonumber
$$
а поэтому
$$
|x_-y_|leq |x_-z_|+|z_-y_|leq tilde(x,z)+tilde(z,y),qquad i=1,2.nonumber
$$
Следовательно,
$$
tilde(x,y) = max(|x_ — y_|, |x_ — y_|) leq tilde(x,z) + tilde(z,y).quadbulletnonumber
$$

Если рассмотреть множество всевозможных упорядоченных троек вещественных чисел (x = (x_, x_, x_)) и для (x = (x_, x_, x_)) и (y = (y_, y_, y_)) определить расстояние (rho(x,y)) при помощи формулы
$$
rho(x,y) = ((x_ — y_)^ + (x_ — y_)^ + (x_ — y_)^)^,nonumber
$$
то получим метрическое пространство (R^).

Если в евклидовом пространстве выбрать декартову прямоугольную систему координат, то между этим пространством и пространством (R^) устанавливается взаимно однозначное соответствие, при котором расстояние между любыми двумя точками евклидового пространства совпадает с расстоянием между соответствующими им точками пространства (R^). Проверка аксиом метрики проводится так же, как и в (R^).

Видео:Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.Скачать

Метрическое пространство R n .

Точками пространства (R^) являются упорядоченные совокупности из (n) вещественных чисел
$$
x = (x_, ldots, x_),quad y=(y_, ldots, y_),quad z = (z_, ldots, z_).nonumber
$$
Расстояние между точками (x) и (y) определяется формулой
$$
rho(x,y) = left(sum_^(x_ — y_)^right)^.label
$$

Свойства 1) и 2) расстояния, очевидно, выполняются. Сложнее проверить, что справедливо неравенство треугольника.

Докажем сначала неравенство Коши
$$
left(sum_^a_b_right)^ leq sum_^a_i^sum_^b_i^,nonumber
$$
справедливое для любых вещественных чисел (a_, b_,dots, a_, b_).

(circ) Рассмотрим квадратный трехчлен
$$
P(xi) = sum_^(a_ + xi b_)^ = A + 2Bxi + C xi^,label
$$

Так как квадратный трехчлен (P(xi)) принимает только неотрицательные значения, то его дискриминант неположителен, а именно, (B^ — AC leq 0). Подставляя в неравенство значения коэффициентов (A), (B) и (C), получаем неравенство Коши. (bullet)

Полагая в неравенстве eqref (a_ = x_ — z_, b_ = z_ — y_), получаем неравенство
$$
left(sum_ <substack>^<substack>(x_ — y_)^right)^ leq left(sum_ <substack>^<substack>(x_ — z_)^right)^ + left(sum_ <substack>^<substack>(z_ — y_)^right)^,nonumber
$$
то есть неравенство треугольника для расстояния (rho(x,y)), определяемого формулой eqref.

На множестве всех упорядоченных совокупностей из (n) вещественных чисел расстояние между элементами можно определить и другими способами. Например, можно положить
$$
tilde(x,y) = max_<substack<i=overline>>|x_ — y_|,qquad hat(x,y) = sum_ <substack>^<substack>|x_ — y_|.nonumber
$$
Неравенство треугольника в этих случаях проверяется так же, как в случае (n = 2). Расстояние, определяемое формулой eqref, будем называть евклидовым.

В этой главе, посвященной функциям многих переменных, используется только метрическое пространство (R^). Но те свойства пространства (R^), при доказательстве которых существенны лишь свойства расстояния, будут справедливы и для произвольного метрического пространства. Поэтому в некоторых случаях доказательства будут проводиться для произвольного метрического пространства.

Видео:Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Сходимость последовательности точек в метрическом пространстве.

Пусть (<x^>) — последовательность точек метрического пространства (X). Говорят, что последовательность точек (<x^>) сходится к точке (a) (имеет предел (a)) и пишут (displaystylelim_x^ = a), если
(displaystylelim_<substack>rho(x^, a) = 0). Последовательность точек (<x^>) называется ограниченной, если (exists C in R) и (exists a in X) такие, что для любого (k in mathbb) выполнено неравенство (rho(x^,a) leq C).

Докажем несколько простых свойств сходящихся последовательностей.

Если последовательность (<x^>) имеет предел, то она ограничена.

(circ) Пусть (displaystylelim_<substack>x^ = a), тогда (displaystylelim_<substack>rho(x^, a) = 0). Поэтому числовая последовательность (<rho(x^, a)>) ограничена, то есть (exists C in R) такое, что для любого (k in mathbb) выполнено неравенство (rho(x^, a) leq C). (bullet)

Последовательность (<x^>) не может сходиться к двум различным точкам.

(circ) Пусть (displaystylelim_<substack>x^ = a) и (displaystylelim_<substack>x^ = b). В силу неравенства треугольника для любого (k in mathbb) выполнено неравенство
$$
0 leq rho(a, b) leq rho(a, x^) + rho(x^, b).nonumber
$$
Так как числовые последовательности (rho(a, x^)) и (rho(x^, b)) бесконечно малые, то (rho(a, b) = 0). Поэтому (a = b). (bullet)

Для того чтобы последовательность точек (<x^>) метрического пространства (R^), где (x^ = (x_^, ldots, x_^)), сходилась к пределу (a = (a_, ldots, a_)), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства
$$
lim_<substack>x_^ = a_,quad i = overline.nonumber
$$

Наоборот, если при любом (i = overline) выполнено условие (displaystylelim_<substack>|x_^ — a_| = 0), то
$$
rho(x^, a) = left(sum_ <substack>^<substack>(x_^ — a_)^right)^ rightarrow 0,quad при k rightarrow infty.quadbulletnonumber
$$

Последовательность точек (<x^>) метрического пространства (X) называется фундаментальной, если (forall varepsilon > 0 exists N in mathbb) такое, что (forall k geq N) и (forall m geq N) выполнено неравенство (rho(x^, x^) Лемма 4.

Если последовательность точек (<x^>) метрического пространства (X) сходится, то она фундаментальна.

(circ) Пусть (displaystylelim_x^ = a). Тогда (forall varepsilon > 0 exists N in mathbb) такое, что (forall k geq N) и (forall m geq N) выполнены неравенства (rho(x^, a) Теорема 1.

Пространство (R^) полное.

(circ) Пусть (<x^>) — фундаментальная последовательность точек в (R^). Если
$$
x^ = (x_^, ldots, x_^),nonumber
$$
то числовые последовательности (<x_^>) фундаментальны при (i = overline). В самом деле, (forall varepsilon > 0) (exists N) такое, что для любых (k, m geq N) выполнено неравенство (rho(x^, x^)

Видео:Неравенство треугольникаСкачать

Открытые и замкнутые множества в метрическом пространстве.

Шар радиуса (r) с центром в точке (a) определяется как множество (S_(a) = <x: x in X, rho(x, a) Пример 1.

Шар в метрическом пространстве — открытое множество.

(triangle) Действительно, пусть
$$
S_(a) = <x: rho(x, a) Рис. 23.1

Открытые множества в метрическом пространстве обладают следующими свойствами:

1. все пространство (X) и пустое множество (varnothing) — открытые множества;
2. объединение любого множества открытых множеств — открытое множество;
3. пересечение конечного числа открытых множеств — открытое множество.

(circ) Свойство 1) очевидно. Докажем свойство 2). Пусть (G = displaystylebigcup_ <substack>G_), где (G_) — открытые множества. Пусть точка (a in G). Тогда существует (overline in Lambda) такое, что (a in G_<overline>). Но множество (G_<overline>) открытое. Поэтому существует шар (S_(a) subset G_<overline>). Тем более, (S_(a) subset G). Итак, (a) — внутренняя точка множества (G). В силу произвольности точки (a) множество (G) открытое.

Докажем 3). Пусть (G = displaystylebigcap_ <substack>^G_), где (G_) — открытые множества. Возьмем любую точку (a in G). Тогда (a in G_) при (i = overline). Так как множества (G_) открытые, то существуют шары (S_<varepsilon_>(a) subset G_). Пусть (varepsilon = displaystylemin_<substack<i-overline>>varepsilon_). Тогда (S_(a) subset G_), (i = overline). Поэтому
$$
S_(a) subset bigcap_ <substack>^G_ = G,nonumber
$$
и, следовательно, (G) есть открытое множество. (bullet)

Видео:Неравенство треугольникаСкачать

Предельные точки. Замкнутые множества.

Пусть (X) — метрическое пространство. Окрестностью точки (x^in X) будем называть любое множество (O(x^)), для которого точка (x^) является внутренней. Например, шар (S_(x^)) является окрестностью (шаровой) точки (x^).

Точка (x^) называется предельной точкой множества (M subset X), если в любой окрестности точки (x^) есть точки множества (M), отличные от точки (x^). Предельная точка множества (M) может принадлежать множеству (M), а может и не принадлежать. Например, все точки интервала ((a, b)) будут его предельными точками. Концы интервала (a) и (b) — тоже его предельные точки, но концы не принадлежат интервалу.

Точка множества (M), не являющаяся предельной точкой множества (M), называется изолированной точкой множества (M). Если (x^) есть изолированная точка множества (M), то существует такая окрестность (O(x^)), в которой нет точек множества (M), отличных от точки (x^). Каждая точка множества (M) является или предельной точкой множества (M), или изолированной точкой множества (M).

Множество (M subset X) называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки. Например, отрезок [(a, b)] замкнут в (R), а интервал ((a, b)) не является замкнутым множеством в (R).

Множество, которое получается, если присоединить к множеству (M) все его предельные точки, называется замыканием (M) и обозначается (overline).

Для того чтобы множество (F) в метрическом пространстве (X) было замкнутым, необходимо и достаточно, чтобы его дополнение (X setminus F) было открытым.

(circ) Необходимость. Пусть множество (F subset X) содержит все свои предельные точки. Докажем, что его дополнение (G = X setminus F) есть открытое множество. Если это не так, то существует точка (a in G), не являющаяся внутренней точкой множества (G). Тогда в любой окрестности (O(a)) точки (a) есть точки, не принадлежащие (G), то есть принадлежащие множеству (F). Поэтому (a) есть предельная точка множества (F). Так как (F) замкнуто, то (a in F). С другой стороны, (a in G = X setminus F) и, следовательно, (a notin F). Полученное противоречие доказывает, что все точки (G = X setminus F) внутренние, то есть (G) — открытое множество.

Достаточность. Пусть теперь (X setminus F = G) — открытое множество. Покажем, что (F) замкнуто. Пусть (a) — предельная точка (F). Предположим, что (a notin F). Тогда (a in G), а так как (G) — открытое множество, то найдется окрестность (O(a) subset G). Но тогда (O(a) bigcap F = varnothing), следовательно, (a) не может быть предельной точкой множества (F). Поэтому множество (F) содержит все свои предельные точки, то есть (F) замкнуто. (bullet)

Замкнутые множества обладают следующими свойствами:

1. все пространство (X) и пустое множество (varnothing) замкнуты;
2. пересечение любого множества замкнутых множеств замкнуто;
3. объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

(circ) Свойство 1) очевидно, так как (X) и (varnothing) являются друг для друга дополнениями и открыты.

Докажем 2). Пусть (F = displaystylebigcap_ <substack>F_), где (F_) — замкнутые множества.

В силу закона двойственности (легко проверяемого)
$$
X setminus F = bigcup_ <substack>(X setminus F_).nonumber
$$
Однако в силу теоремы 3 множества (X setminus F_) открыты как дополнения замкнутых множеств. Их объединение (X setminus F) есть открытое множество. В силу той же теоремы 3 множество (F) замкнуто. Столь же просто доказывается и свойство 3). (bullet)

Видео:Аксиомы метрикиСкачать

Компакт в метрическом пространстве.

Множество (M) в метрическом пространстве (X) называется компактом в (X), если из любой последовательности точек (x_ in M) можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке, принадлежащей множеству (M). Например, отрезок ([a, b]) есть компакт в (R), а промежуток ([a, b)) не является компактом в (R).

На пространство (R^) обобщается теорема Больцано-Вейерштрасса.

Из любой ограниченной последовательности точек пространства (R^) можно выделить сходящуюся подпоследовательность точек.

(circ) Ограничимся случаем пространства (R^). В общем случае доказательство аналогично. Пусть (x^ = (x_^, x_^)) — произвольная ограниченная последовательность точек пространства (R^). Числовая последовательность (<x_^>) ограничена. В силу теоремы Больцано Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность (<x_^<(k_)>>). Тогда у последовательности точек (x^<(k_)>) последовательность первых координат сходится, а последовательность вторых координат ограничена. Применим еще раз теорему Больцано-Вейерштрасса и выделим из ограниченной числовой последовательности (<x_^<(k_)>>) сходящуюся подпоследовательность (<x_^<(k_<m_>)>>). У последовательности точек (<x^<(k_<m_>)>>) сходится и последовательность первых координат, и последовательность вторых координат. В силу леммы 3 подпоследовательность точек (<x^<(k_<m_>)>>) сходится в (R^). (bullet)

Для того чтобы множество (M subset R^) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы множество (M) было ограниченным и замкнутым.

(circ) Докажем достаточность. Пусть множество (M) ограничено и замкнуто в пространстве (R^). Возьмем произвольную последовательность точек (<x^> in M ). Так как эта последовательность ограничена, то из нее можно выделить подпоследовательность (<x^<(k_)>>), сходящуюся к точке (a). В силу замкнутости множества (M) точка (a in M). (bullet)

Справедлива следующая лемма, доказательство которой не приводится.

Для того чтобы множество (M) в метрическом пространстве (X) было компактом, необходимо и достаточно, чтобы из любого его открытого покрытия можно было выделить конечное подпокрытие.

Поясним понятие покрытия, участвующего в формулировке леммы Гейне-Бореля. Система множеств (<<G_, alpha in Lambda>>) называется покрытием множества (G), если (G subset displaystylebigcup_<substack>G_). Покрытие называется конечным, если множество (Lambda) конечно, и открытым, если все множества (G_) открыты. Подмножество покрытия называется подпокрытием, если это подмножество само образует покрытие.

Видео:7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать

Граница множества.

Точка (a) метрического пространства (X) называется граничной точкой множества (M subset X), если в любой окрестности точки (a) есть как точки, принадлежащие множеству (M), так и точки, не принадлежащие множеству (M).

Граничная точка (a) множества М может не принадлежать множеству (M).

Совокупность всех граничных точек множества (M) называется границей множества (М) и обозначается (partial M). Например,
$$
partial (a, b) = , partial [a, b] = , a, b in R;nonumber
$$
$$
partial<x: rho(x, a)

Видео:Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать

Прямые, лучи и отрезки в R n .

До сих пор рассматривались только такие объекты в (R^), при исследовании которых используются лишь свойства расстояния. Такая метрическая геометрия не очень содержательна. В ней есть точки, шары, но нет прямых, векторов, плоскостей и так далее.

В этой главе ограничимся тем, что введем в (R^) такие не связанные с метрикой объекты, как прямые, лучи и отрезки.

Прямой в (R^), проходящей через точки (a = (a_, ldots. a_)) и (b = (b_, ldots. b_)), будем называть следующее множество точек:
$$
<x: x in R^, x_ = a_t + b_(1 — t), t in R, i = overline>.nonumber
$$
Лучом с вершиной в точке (a) в направлении (l = (l_, ldots. l_)), где (l_^ + ldots + l_^ = 1), назовем множество
$$
<x: x in R^, x_ = a_ + tl_, 0 leq t leq + infty, i = overline>.nonumber
$$
Отрезком, соединяющим точки (a) и (b), назовем множество
$$
<x: x in R^, x_ = a_t + b_(1 — t), 0 leq t leq 1, i = overline>.nonumber
$$
Множество в (R^) будем называть выпуклым, если вместе с любыми двумя своими точками оно содержит отрезок, который эти точки соединяет.

Кривая в (R^) была определена нами ранее в другой статье. Это определение без существенных изменений переносится на (R^) . Кривая в (R^) задается параметрическими уравнениями
$$
x_ = varphi_(t), alpha leq t leq beta, i = overline,nonumber
$$
где (varphi_(t)) — непрерывные функции на отрезке ([alpha, beta]).

Множество (M subset R^) называется связным, если любые две его точки можно соединить кривой (Gamma), лежащей в множестве (M). Открытое и связное множество в (R^) называют областью. Замыкание области называют замкнутой областью.

Кривая в (R^), являющаяся объединением конечного числа отрезков, называется ломаной в (R^).

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№24 - Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треуг.)Скачать

Функциональный анализ в примерах и задачах. С. В. Ревина Л. И. Сазонов

Ярослав Гвоздев 5 лет назад Просмотров:

1 Функциональный анализ в примерах и задачах С. В. Ревина Л. И. Сазонов

2 Оглавление I Метрические пространства 4 Основные понятия 5. Аксиомы метрики Примеры задания метрик на прямой Неравенства Гельдера и Минковского Метрики в R n Шары в метрических пространствах Сходимость последовательностей Эквивалентные метрики Декартово произведение метрических пространств Открытые и замкнутые множества Пространства последовательностей Определения пространств последовательностей Сходимость в пространствах последовательностей Связь между пространствами l p и S Сепарабельность Пример неархимедовой метрики Пространства непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций Линейные нормированные пространства C[a, b], C m [a, b] Примеры счетно-нормированных пространств Пространства Лебега 4 4. Пространства L p (a, b), p 3 Оглавление 3 5 Непрерывность отображений 56 6 Полнота метрических пространств Определение полноты Доказательство полноты Пример неполного пространства Теорема о пополнении Принцип вложенных шаров и теорема Бэра Принцип сжимающих отображений Общие сведения Применение к алгебраическим уравнениям и системам Применение к интегральным и дифференциальным уравнениям Линейные нормированные пространства Банаховы пространства Гильбертовы пространства Эквивалентные нормы Подпространство Компактность в метрических пространствах Относительная компактность и ограниченность Критерий Хаусдорфа Гильбертов кирпич Отображения на компактных множествах Компактность в C[0, ] Топологические пространства 06

4 Часть I Метрические пространства

5 Глава Основные понятия В этой главе основные определения теории метрических пространств иллюстрируются простыми примерами, в основном относящимися к конечномерному случаю. Для первоначального ознакомления с метрическими пространствами хорошо подходит книга [, глава ], в ней разобрано большое количество примеров. Можно также рекомендовать книги [9, 2, 3, 5, 7].. Аксиомы метрики Абстрактное понятие метрики является обобщением понятия «расстояние». При этом свойства расстояния (неотрицательность; равенство нулю тогда и только тогда, когда точки пространства совпадают; симметричность; неравенство треугольника) положены в основу определения метрики. Определение.. Метрикой на множестве X называется функция : X Ч X R, удовлетворяющая следующим трем аксиомам:. (x, y) 0, причем (x, y) = 0 x = y; 2. (x, y) = (y, x); 3. (x, y) (x, z) + (z, y) x, y, z X. Заметим, что перечисленные аксиомы не являются независимыми. Так, если в аксиоме треугольника 3 положить x = y, то, с учетом аксиомы симметричности 2, получим условие неотрицательности метрики из первой

6 .2. Примеры задания метрик на прямой 6 аксиомы (y, z) 0. Задача.. Докажите, что аксиомы метрики эквивалентны следующим двум аксиомам:. (x, y) = 0 x = y; 2. (x, y) (x, z) + (y, z) x, y, z X. Определение.2. Метрическим пространством называется множество с заданной на нем метрикой, т.е. пара (X, ). Элементы метрического пространства называются точками (это могут быть функции, числовые последовательности, операторы и т.д.). В общем случае одно и то же множество X можно превратить в различные метрические пространства, задавая по-разному метрики. Приведем примеры метрических пространств..2 Примеры задания метрик на прямой Пример.. Пусть сначала X = R. Стандартной метрикой на прямой называется метрика, которая задается по правилу (x, y) = x y. Очевидно, что первые две аксиомы выполняются по свойствам модуля, а третья следует из неравенства a + b a + b, (.) если в нем положить a = x z, b = z y. Помимо стандартной, существуют и другие метрики на прямой. Пример.2. Теперь зададим на X = R так называемую дискретную (или тривиальную) метрику: < 0 при x = y (x, y) = при x y (.2)

7 .2. Примеры задания метрик на прямой 7 Выполнение первых двух аксиом метрики очевидно. Неравенство треугольника могло бы не выполняться только в одном случае: если в левой части этого неравенства находится единица: а в правой части ноль: (x, y) =, (x, z) = 0, (z, y) = 0. Но тогда x = z = y. Следовательно, (x, y) = 0 противоречие. Задача.2. Пусть X произвольное множество. Докажите, что (.2) определяет метрику на X. Пример.3. Пусть X = R. Зададим метрику по правилу (x, y) = x y + x y. Первые две аксиомы метрики, очевидно, выполняются. Для доказательства третьего свойства достаточно проверить выполнение неравенства a + b + a + b В свою очередь (.3) следует из неравенства a + b + a + b a + a + b + b. (.3) a + b + a + b. (.4) Если рассмотреть функцию f(t) = t на множестве неотрицательных + t чисел, то (.4) можно трактовать как свойство неубывания функции f(t). Легко убедиться, что f(t), действительно, является возрастающей функцией. Задача.3. Пусть X — произвольное множество, (x, y) — метрика на нем. Покажите, что функции (x, y) = метрики на X. (x, y) + (x, y), 2(x, y) = min((x, y), )

8 .3. Неравенства Гельдера и Минковского 8 Задача.4. Докажите, что является метрикой на R. (x, y) = arctg(x) arctg(y) Задача.5. Каким условиям должна удовлетворять определенная на R непрерывная функция u = f(v), чтобы на вещественной прямой можно было задать метрику с помощью равенства (x, y) = f(x) f(y)?.3 Неравенства Гельдера и Минковского Чтобы проверить выполнение неравенства треугольника для основных примеров метрических пространств, нам понадобится неравенство Минковского. В следующей серии упражнений устанавливается справедливость неравенства Минковского для конечных сумм, а затем оно распространяется на ряды. Определение.3. Числа p и q называются сопряженными показателями, если они удовлетворяют условиям 0, разделите обе части неравенства (.5) на b q и рассмотрите функцию при x. f(x) = xp p + q x

9 .3. Неравенства Гельдера и Минковского 9 Задача.7. Докажите, что в неравенстве Юнга достигается равенство ab = ap p + bq q тогда и только тогда, когда a p = b q. Пример.4. Пусть > 0, > 0, + =. Тогда для любого > 0, для любых неотрицательных a и b выполняется интерполяционное неравенство Юнга Доказательство. Заменим в (.5) ab a + b. (.6) a p a, b p b. Тогда, по неравенству Юнга, с учетом условий p >, q > : ab ap p + q q p b q a p + q p b q. Полагая = p, =, приходим к (.6). q Задача.8. Воспользовавшись неравенством Юнга (.5), установите неравенство Гельдера для конечных числовых наборов /p /q a k b k a k p b k q, (.7) k= k= k= где p и q сопряженные показатели. Указание. Разделите обе части (.7) на правую часть и примените почленно неравенство Юнга (.5). Задача.9. Выведите условия, при которых в неравенстве Гельдера (.7) достигается знак равенства: a i p n = a i p b i q n, sgn a i b i = const, i =. n. (.8) b i q

10 .3. Неравенства Гельдера и Минковского 0 При p = q = 2 неравенство Гельдера (.7) называется неравенством Коши-Буняковского: /2 /2 a k b k a k 2 b k 2. (.9) k= k= k= Если ввести обозначения a = (a, a 2. a n ), b = (b, b 2. b n ), через a, b обозначить евклидову норму (длину) векторов a и b соответственно, /2 /2 a = a k 2, b = b k 2, k= а через (a, b) их скалярное произведение n (a, b) = a k b k, k= то неравенство Коши-Буняковского примет вид k= (a, b) a b. (.0) Так как скалярное произведение векторов в R n равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (a, b) = a b cos( a, b), то неравенство Коши-Буняковского допускает простую геометрическую трактовку косинус угла между векторами a и b по модулю не превосходит единицу! Знак равенства в неравенстве (.0) имеет место тогда и только тогда, когда векторы a и b коллинеарны: a = Cb. В следующих разделах будет показано, что вид неравенства (.0) и его геометрический смысл сохраняется для абстрактных гильбертовых пространств.

11 .3. Неравенства Гельдера и Минковского Пример.5. Выведем неравенство Минковского ( n ) /p ( n ) /p ( n ) /p a i + b i p a i p + b i p, (.) p . Применив (.2), приходим к неравенству n n a k + b k p = a k + b k a k + b k p k= k= n a k a k + b k p + k= n b k a k + b k p. Оценим каждое слагаемое в правой части по неравенству Гельдера: ( n n ) ( ) p q n a k + b k p a k p a k + b k (p)q + k= k= k= k= ( n ) ( p n + b k p k= k= a k + b k (p)q ) q С учетом того, что (p )q = p, последнее неравенство преобразуется к виду ( n n ) /p ( n ) /p ( n ) q a k + b k p a i p + b i p a k + b k p или k= ( n k= откуда следует (.). a k + b k p ) q k= ( n ) /p ( n ) /p a i p + b i p,

12 .3. Неравенства Гельдера и Минковского 2 Задача.0. Сформулируйте условия, при которых в неравенстве Минковского (.) достигается знак равенства. Аналогично выводятся неравенства Гельдера и Минковского для рядов. Задача.. Выведите неравенство Гельдера для рядов /p /q a k b k a k p b k q, (.3) k= k= в предположениях, что p и q сопряженные показатели, и ряды в правой части неравенства сходятся. Задача.2. Выведите неравенство Минковского для рядов ( ) /p ( ) /p ( ) /p a i + b i p a i p + b i p, p 13 .4. Метрики в R N 3 Указание. Для функции y = x p при x > 0 рассмотрите три ситуации: )b > a p ; 2)b = a p ; 3)b 0, b i > 0, i n и показателей p и q, удовлетворяющих условиям 0 0, b i > 0, i n и показателя p, удовлетворяющего условию 0 14 .4. Метрики в R N 4 Определение.4. Линейное пространство X над полем R или C называется нормированным, если определена функция : X R, называемая нормой и удовлетворяющая следующим аксиомам:. x 0, причем x = 0 x = 0; 2. x = x x X, R(или C); 3. x + y x + y x, y X. Каждое линейное нормированное пространство является метрическим пространством относительно метрики (x, y) = x y. Задача.6. Какие из метрических пространств на R, рассмотренные в примерах предыдущего раздела, являются линейными нормированными? Пример.6. Пусть X = R n, n >. Аналогом стандартной метрики на прямой является (x, y) = n x i y i Первые две аксиомы метрики, очевидно, выполняются. Неравенство треугольника следует из (.). Метрика используется в теории кодирования. Пусть M = множество вершин единичного куба в R n. Расстояние между двумя вершинами число перемен нулей и единиц, необходимое, чтобы получить из координат одной вершины координаты другой. Каждая такая перемена есть переход вдоль одного из ребер куба. Таким образом, есть кратчайший путь по ребрам куба между рассматриваемыми его вершинами. Пространство (R n, ) является линейным нормированным. Норма x определяется как расстояние от x до 0: n x = (x, 0) = x i.

15 .4. Метрики в R N 5 Пример.7. Определим на R n евклидову метрику ( n ) /2 2 (x, y) = x i y i 2 Расстояние между точками в этой метрике среднее квадратичное уклонение. В евклидовом пространстве (R n, 2 ) помимо нормы ( n ) /2 x 2 = x i 2 можно ввести скалярное произведение n (x, y) = x i y i. Пример.8. На R n можно также определить метрику p по правилу: p фиксировано. ( n ) /p p (x, y) = x i y i p, p 16 .5. Шары в метрических пространствах 6 Для второго сомножителя справедливо двойное неравенство /p n p x i y i p max x n i y i p p. in Устремив p к бесконечности, получим, что выражение в центральной части неравенства стремится к единице. Таким образом, (.8) доказано. Аксиомы метрики для очевидно, выполняются. (x, y) = max in x i y i,.5 Шары в метрических пространствах Определение.5. Открытым шаром радиуса r с центром в точке x в метрическом пространстве (X, ) называется множество S r (x) = <y X : (y, x) 17 .5. Шары в метрических пространствах 7 Так как метрическое пространство не обязано быть линейным, в нем могут происходить необычные явления. Задача.8. Может ли в метрическом пространстве шар большего радиуса лежать строго внутри шара меньшего радиуса [5, c. 36]? Пример.0. Докажем, что в метрическом пространстве невозможно строгое включение S 2 (x) S (y). Доказательство. Предположим, что все точки шара S 2 (x) принадлежат шару S (y), и это включение строгое. Это означает, что для любой точки t S 2 (x) выполняется условие t S (y), но найдется точка z S (y), которая не принадлежит "меньшему"шару: z / S 2 (x). Взяв в качестве точки t центр шара радиуса 2, из условия t S (y) выводим, что расстояние между центрами рассматриваемых шаров меньше единицы: В то же время (x, y) 0 заданы.

18 .6. Сходимость последовательностей 8 Задача.20. Докажите, что в метрическом пространстве Хемминга существуют шары, имеющие несколько центров. Приведите пример шара в ( n, ), совпадающего со множеством своих центров..6 Сходимость последовательностей Определение.6. Последовательность x n X сходится к точке x X, если (x n, x) 0 при n. Определение.7. Последовательность x n называется ограниченной, если она содержится в некотором шаре. Из определения метрики следуют общие свойства сходящихся последовательностей. Задача.2. Докажите, что из сходимости последовательности в метрическом пространстве следует сходимость любой ее подпоследовательности; предел сходящейся последовательности единственен; из сходимости последовательности следует ее ограниченность [, c. 6]..7 Эквивалентные метрики Определение.8. Две метрики и 2 называются эквивалентными, если существуют константы C,C 2 >0 такие, что x, y X C (x, y) 2 (x, y) C 2 (x, y) Задача.22. Докажите, что последовательности одновременно сходятся или расходятся в эквивалентных метриках. Задача.23. Пусть X — произвольное множество, (x, y) — метрика на нем, а метрика (x, y) задана по правилу (x, y) = (x, y) + (x, y) Найдите условия, при которых метрики и эквивалентны.

19 .8. Декартово произведение метрических пространств 9 Задача.24. Пусть функция f : R R непрерывно дифференцируема. Найдите условие эквивалентности следующих метрик на R (x, y) = x y, 2 (x, y) = f(x) f(y). Задача.25. Являются ли метрики (x, y) = x y, 2 (x, y) = arctg(x) arctg(y). эквивалентными на всей вещественной оси, на конечном интервале? Задача.26. Докажите, что (x, y) = n x i y i, (x, y) = max in x i y i являются эквивалентными метриками на R n. Задача.27. Пусть метрика p задается по правилу ( n ) /p p (x, y) = x i y i p, p 20 .9. Открытые и замкнутые множества 20 В силу эквивалентности этих метрик, на декартовом произведении метрических пространтв можно определить метрику любым из указанных способов. Таким образом, пара (X Ч X 2, d), где в качестве метрики d берется любая из указанных метрик, является метрическим пространством. Заметим, что сходимость в X Ч X 2 «покоординатная»: (x, x 2 ) (y, y 2 ) (x, y ) 0, 2 (x 2, y 2 ) 0. Задача.29. Докажите, что для любых четырех точек x, y, z, t метрического пространства справедливы неравенства: (неравенство четырехугольника).. (x, z) (y, z) (x, y); 2. (x, z) (y, t) (x, y) + (z, t) Задача.30. Докажите, что метрика : X Ч X R непрерывная функция [5, c. 32]..9 Открытые и замкнутые множества Определение.9. Множество называется открытым в X, если вместе с каждой своей точкой x оно содержит и некоторый шар S r (x). Определение.0. Точка x X называется предельной точкой множества M X, если существует последовательность x n M, x n x, сходящаяся к x. Определение.. Замыканием множества A (обозначение A) называется объединение этого множества и множества всех его предельных точек. Определение.2. Mножество замкнуто, если оно совпадает со своим замыканием. Пример.2. Зададим на прямой X = R стандартную метрику (x, y) = x y.

21 .9. Открытые и замкнутые множества 2 Тогда интервал (a, b) является открытым множеством, отрезок [a, b] замкнутым множеством, а полуинтервал [a, b) не является ни открытым, ни замкнутым множеством. Пример.3. Однако, если метрику оставить прежней (x, y) = x y, а в качестве всего пространства рассматривать интервал X = (a, b), то он будет как открытым, так и замкнутым множеством. То же самое справедливо для отрезка и полуинтервала. Замыкание открытого шара S r (x) будем обозначать через S r (x), в отличие от замкнутого шара S r (x). В метрических пространствах S r (x) и S r (x) не обязаны совпадать. Задача.3. Докажите, что открытый шар в метрическом пространстве есть открытое множество, замкнутый шар замкнутое множество. Пример.4. Пусть X произвольное множество.определим на X дискретную метрику: < 0 при x = y (x, y) = при x y Докажем, что любое подмножество X является одновременно и открытым, и замкнутым множеством. Доказательство. Любое подмножество пространства X открыто, так как вместе с любой точкой x в нем содержится шар S /2 (x) (этот шар состоит из одной точки!). Любое подмножество пространства X замкнуто. Если оно состоит из одной точки, то у него нет предельных точек. Если оно состоит более чем из одной точки то тоже нет, в силу специфики задания метрики. Задача.32. Докажите, что замыкание открытого шара в метрическом пространстве содержится в замкнутом шаре, но может с ним не совпадать [5, c. 37].

22 .9. Открытые и замкнутые множества 22 Задача.33. Пусть F и F 2 замкнутые множества в метрическом пространстве и F F2 =. Постройте открытые множества U и U 2 такие, что F U, F 2 U 2 и U U2 =. Задача.34. Пусть A система открытых множеств в метри- ческом пространстве X. Покажите, что открытые множества. A U, n U i Задача.35. Сформулируйте и докажите соответствующие утверждения для замкнутых множеств. Задача.36. Докажите, что открытое множество можно представить в виде объединения шаров. Задача.37. Докажите, что замкнутое множество можно представить в виде пересечения дополнений к шарам. Задача.38. Докажите, что множество M в метрическом пространстве открыто (замкнуто) тогда и только тогда, когда его дополнение X/M замкнуто (открыто).

23 Глава 2 Пространства последовательностей Непосредственным обобщением на бесконечномерный случай пространств (R n, p ) являются пространства последовательностей l p, p 24 2.. Определения пространств последовательностей 24 Помимо нормы, ( ) /2 x 2 = x i 2 в l 2 можно задать скалярное произведение (x, y) = x i y i. Забегая вперед, отметим, что l 2 называется координатным гильбертовым пространством, так как любое сепарабельное гильбертово пространство изоморфно l 2. Для любого вещественного p, p 25 2.2. Сходимость в пространствах последовательностей 25 Доказательство. Так как x k y k 2 k + x k y k 2, k то ряд (2.) сходится. Первая и вторая аксиомы метрики, очевидно, выполняются. Неравенство треугольника следует из неравенства (.3) a + b + a + b которое было доказано в первой главе. a + a + b + b. Задача 2.. Можно ли в пространстве S задать норму, согласованную с метрикой данного пространства (2.)? 2.2 Сходимость в пространствах последовательностей Пример 2.2. Докажем, что сходимость в пространстве S совпадает с покоординатной сходимостью. Доказательство. Пусть последовательность x (n) сходится к некоторому элементу x в пространстве S. Это означает, что для любого > 0 найдется номер элемента последовательности N такой, что x (n) k x k N. 2 k + x (n) k x k k= Зафиксируем номер координаты k. Тогда x (n) k x k N. 2 k + x (n) k x k Так как произвольно, а k фиксировано, то последнее неравенство озна- чает, что x (n) k x k 0 при n, (2.2) то есть из сходимости последовательности в S следует покоординатная сходимость.

26 2.2. Сходимость в пространствах последовательностей 26 Обратно, пусть выполняется (2.2). Докажем сходимость последовательности x (n) в S. Так как ряд 2 k k= сходится, то остаток ряда стремится к нулю: Тогда (x (n), x) = k= > 0 m : m x (n) k x k 2 k + x (n) k x k + k=m+ k=m+ 2 k 27 2.3. Связь между пространствами l P и S 27 Последовательность x (n) не сходится также в пространстве l. Покоординатный предел не принадлежит этому пространству, так как sup x i =. i 0): а) x (n) = (. ><, 0. ); n б) x (n) = (/n, /n. /n, 0. )? 2.3 Связь между пространствами l p и S Пример 2.4. Докажем, что для пространств последовательностей выполняются теоретико-множественные включения l l p l q l S, 28 2.4. Сепарабельность 28 По определению, пространству l p принадлежат те последовательности, для которых ряд x i p сходится. Следовательно, общий член ряда должен стремиться к нулю. Если x i 0 при i, и p 29 2.4. Сепарабельность 29 Доказательство. Докажем, что в l p при p 0 x l p x 0 M : x x 0 lp 0 n : i=n+ x i p 30 2.5. Пример неархимедовой метрики 30 Так как множеству M можно поставить во взаимно-однозначное соответствие множество всех подмножеств натурального ряда, то M имеет мощность континуума. Если два различных элемента x и y принадлежат множеству M, то расстояние между ними равно единице: x y l =. Таким образом, в пространстве l существует континуум элементов, отстоящих друг от друга на расстояние, равное единице. Доказательство несепарабельности пространства проведем от противного. Предположим, что пространство сепарабельно. Тогда существует всюду плотное множество K в l. Рассмотрим шар с центром в произвольной точке множества K с радиусом, равным 3. Если K всюду плотно, вне этих шаров нет элементов пространства каждый из элементов l попал хотя бы в один такой шар. Шаров счетное число, а в пространстве существует множество мощности континуума. Следовательно, хотя бы в один шар попали две различные точки из множества M. Обозначим их m и m 2. Тогда Но так как m m 2 l 31 2.5. Пример неархимедовой метрики 3 а) (x, y) = (y, z); 2) (x, y) (y, z)

32 2.5. Пример неархимедовой метрики 32 следует, что k 0 (x, y) (y, z) = (x, z) = (x, y). Аналогично, поменяв местами в последнем рассуждении x и z, во втором случае получим: (x, y) 33 2.5. Пример неархимедовой метрики 33 Теперь докажем, что любой открытый шар S r (x) является одновременно замкнутым множеством, причем выполняется равенство: S r (x) = S r (x). (2.4) В рассматриваемом пространстве открытый шар радиуса r определяется следующим образом: r> Докажем, что шар S r (x) содержит все свои предельные точки. Точка x называется предельной точкой шара S r (x), если существует последовательность такая, что z n S r (x), z n x (z n, x ) 0 при n. Для данной метрики это означает, что k 0 (x, z n ) > r, k 0(z n, x ) при n. Требуется доказать, что для любой предельной точки шара x выполняется неравенство (x, x ) r или x = x. Предположим противное: k 0 (x, x ). Так как для достаточно больших n выполняется r неравенство k 0 (z n, x ) > k 0 (x, z n ), то k 0 (x, x ) = k 0 (x, z n ). Но правая часть этого равенства больше r, а левая, по предположению, не превосходит противоречие. Равенство (2.4) r доказано. Теперь докажем, что для любого y S r (x) шар с центром в точке y радиуса r совпадает с шаром с центром в точке x радиуса r: S r (x) = S r (y).

34 2.5. Пример неархимедовой метрики 34 Сначала покажем, что S r (y) S r (x). Пусть z S r (y), то есть k 0 (y, z) > r. Так как y S r (x), то k 0 (x, y) > r. Докажем, что z S r(x), то есть k 0 (x, z) > r. Действительно, если y z x, то Если же z = y, то k 0 (x, z) = min(k 0 (y, z), k 0 (x, y)) > r. k 0 (x, z) k 0 (x, y) > r. Аналогично для z = x. Включение S r (x) S r (y) доказывается заменой в предыдущем рассуждении x на y. Докажем, что любой замкнутый шар S r (x) является одновременно открытым множеством. По определению, < S r (x) = z : k 0 (x, z) r> Требуется доказать, что для любой точки z S r (x) найдется > 0 такое, что S (z) S r (x). Более подробно: для любого z: k 0 (x, z) r найдется > 0: Так как то достаточно выбрать = k 0(x, y) r. k 0 (x, y) min(k 0 (x, z), k 0 (z, y)),

35 2.5. Пример неархимедовой метрики 35 Докажем, что S r (y) = S r (x) для любого y S r (x). Пусть z S r (y), то есть k 0 (y, z) r. Покажем, что z S r(x), то есть k 0 (x, z). Так как r y S r (x), то k 0 (y, x). По неравенству треугольника r k 0 (x, z) min(k 0 (y, z), k 0 (y, x)) r. Задача 2.7. Докажите утверждения е), ж), з) примера. Пространство, рассмотренное в последнем примере, обладает довольно экзотическими свойствами. Это связано с тем, что неравенство треугольника в форме (2.3) соответствует геометрии, в которой не выполняется аксиома Архимеда (по-другому называемая аксиомой измеримости). Аксиома Архимеда состоит в следующем. Рассмотрим прямую и выберем на ней два отрезка a и b с началом в одной точке, причем длина отрезка a меньше длины отрезка b. Тогда, прикладывая меньший отрезок a доль прямой достаточное число раз, мы в конце концов превзойдем больший отрезок b. Как следует из свойства в), все треугольники в неархимедовом пространстве с метрикой (2.3) равнобедренные. Два разных шара не могут частично пересекаться: либо они не имеют общих точек, либо один из них содержится внутри другого. Метрики, подобные рассмотренной выше, применяются в теоретической физике. Так, в монографии [4] для описания свойств микромира предлагается ввести так называемую p-адическую норму на множестве рациональных чисел. Неархимедовость этой нормы согласуется с соотношением неопределенности Планка.

36 Глава 3 Пространства непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций 3. Линейные нормированные пространства C[a, b], C m [a, b] C[a, b] стандартное обозначение пространства непрерывных на отрезке [a, b] функций с максимум-метрикой (f, g) = max f(t) g(t). t[a,b] Аксиомы метрики, очевидно, выполняются. Неравенство треугольника следует из неравенства для модулей (.3). Последовательность f n сходится к f в метрике C[a, b], если max f n(t) f(t) 0 при n. t[a,b] Поэтому сходимость в C[a, b] последовательности элементов f n к f есть равномерная сходимость последовательности функций f n (t) к функции f(t) на отрезке [a, b]. Задача 3.. Пространство C[a, b] является линейным нормированным относительно нормы f = max t[a,b] f(t). Задача 3.2. Что собой представляет шар S (0) в C[a, b]?

37 3.. Линейные нормированные пространства C[A, B], C M [A, B] 37 C[a, b] сепарабельное пространство. Счетное всюду плотное множество в нем образуют многочлены с рациональными коэффициентами P Q [a, b]. Действительно, любой многочлен можно сколь угодно точно приблизить многочленами с рациональными коэффициентами. Поэтому P Q [a, b] всюду плотно во множестве всех многочленов P [a, b]: P Q [a, b] P [a, b] По теореме Вейерштрасса, любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить многочленами, поэтому P [a, b] C[a, b]. В следующих главах будет доказана полнота пространства C[a, b]. Таким образом, C[a, b] сепарабельное банахово пространство. На множестве непрерывно-дифференцируемых функций на отрезке [a, b] функций зададим метрику по правилу (f, g) = max f(t) g(t) + max f (t) g (t). (3.) t[a,b] t[a,b] Сходимость последовательности f n к f по этой метрике означает, что последовательности функций f n (t) равномерно сходится к функции f(t) на отрезке [a, b], и последовательность производных f n(t) также сходится к f (t) равномерно. Задача 3.3. Пространство C [a, b] является линейным нормированным относительно нормы f = max f(t) + max f (t). t[a,b] t[a,b] Задача 3.4. Что собой представляет шар S (0) в C [a, b]? Задача 3.5. Докажите сепарабельность пространства C [a, b]. В C [a, b] можно задать эквивалентную метрику по правилу: (f, g) = max(max f(t) g(t), max f (t) g (t) ) t[a,b] t[a,b]

38 3.. Линейные нормированные пространства C[A, B], C M [A, B] 38 Действительно, для метрик (3.) и выполняется двойное неравенство: (f, g) (f, g) 2 (f, g). Задача 3.6. Приведите другие примеры метрик в C [a, b], эквивалентных (3.). Аналогично определяется пространство m раз непрерывно-дифференцируемых функций на отрезке [a, b]. Задача 3.7. Пусть C m [a, b] множество всех m раз непрерывнодифференцируемых функций на конечном отрезке [a, b]. Докажите, что (f, g) = метрика на C m [a, b]. sup 0nm max f (n) (t) g (n) (t). (3.2) t[a,b] Задача 3.8. Что означает сходимость в пространстве C m [a, b]? Задача 3.9. Пространство C m [a, b] является линейным нормированным относительно нормы f = sup 0nm max f (n) (t). t[a,b] Задача 3.0. Докажите сепарабельность пространства C m [a, b]. Задача 3.. Приведите пример метрики на множестве m раз непрерывно-дифференцируемых на отрезке [a, b] функций, эквивалентной (3.2). Позже мы докажем полноту пространства C m [a, b]. Если ограниченная область в R n, то пространства непрерывных в замыкании функций C() и m раз непрерывно дифференцируемых в замыкании функций C m () определяются аналогично.

39 3.2. Примеры счетно-нормированных пространств Примеры счетно-нормированных пространств На множестве непрерывных на интервале (a, b) функций также можно задать метрику. При этом используется та же конструкция, что и для определения метрики в пространстве последовательностей S. Полученное пространство нормированным не будет, оно является счетно-нормированным. Определение 3.. Последовательность x n в линейном нормированном пространстве X называется фундаментальной, если x n x m 0 при n, m. Определение 3.2. Две нормы в линейном пространстве X называются согласованными, если любая последовательность x n X, фундаментальная по каждой из этих норм и сходящаяся к некоторому пределу x X по одной из этих норм, сходится к тому же пределу и по второй норме. Определение 3.3. Линейное пространство X называется счетнонормированным, если в нем задана счетная система согласованных друг с другом норм x n, n =, 2. В каждом счетно-нормированном пространстве можно ввести метрику по правилу: f g n (f, g) =. (3.3) 2 n + f g n n= Вместо норм в (3.3) могут задаваться полунормы. Полунорма отличается от нормы тем, что из равенства нулю f = 0 не следует, что f = 0. Пример 3.. Пространство C(a, b) определяется как множество непрерывных на интервале (a, b) функций f(t) со счетной системой полунорм: f n = max tk n f(t), (a, b) = K n, K n компактные множества (в данном случае отрезки), такие, что K n K n+. n=

40 3.2. Примеры счетно-нормированных пространств 40 Метрика в C(a, b) задается по правилу (f, g) = max f(t) g(t) tk n 2 n + max f(t) g(t). (3.4) tk n n= Сходимость по метрике (3.4) это равномерная на любом компактном множестве K n сходимость функций. Рассмотрим функции, непрерывные на прямой. Задача 3.2. Докажите, что на множестве C(R) всех непрерывных функций на R можно ввести метрику (f, g) = max f(t) g(t) ntn 2 n + max f(t) g(t) n= ntn Задача 3.3. Что означает сходимость в C(R)? Аналогично определяется пространство C() для любой области R n. Теперь рассмотрим множество всех бесконечно дифференцируемых функций на отрезке. Задача 3.4. Пусть C [a, b] множество всех бесконечно дифференцируемых функций на конечном отрезке [a, b]. Докажите, что (f, g) = метрика на C [a, b]. n= max f (n) (t) g (n) (t) t[a,b] 2 n + max f (n) (t) g (n) (t) t[a,b] Задача 3.5. Каков смысл сходимости в C [a, b]? Задача 3.6. Докажите сепарабельность пространства C [a, b]. Структуру счетно-нормированного пространства можно также ввести на множестве функций, бесконечно дифференцируемых на прямой. Задача 3.7. Аналогично предыдущим упражнениям определите метрику на C (R).

41 Глава 4 Пространства Лебега 4. Пространства L p (a, b), p 42 4.. Пространства L P (A, B), P 43 4.. Пространства L P (A, B), P 44 4.. Пространства L P (A, B), P 45 4.. Пространства L P (A, B), P 0 выполняется оценка f Lq (a,b) f Lp (a,b) + µ f Lq (a,b), (4.5) где r µ = q p, p 0, для любых неотрицательных a и b, > 0, > 0, + =. Пример 4.2. Пусть f L p (a, b), g L q (a, b). Тогда fg принадлежит L s (a, b), где показатель s определяется из равенства: и выполняется оценка: s = p + q fg Ls (a,b) f Lp (a,b)g Lq (a,b). Доказательство. Обозначим p = p s, q = q s. Тогда выполняется равенство p + q =. Применим неравенство Гельдера с сопряженными показателями

46 4.. Пространства L P (A, B), P . Задача 4.. Проверьте, что при p = неравенство Минковского обращается в равенство, если sgn f(x) = sgn g(x), (4.7) а при p >, если f(x) = c g(x), c > 0. (4.8) В следующем разделе будет показано, что различие условий (4.7) и (4.8) приводит к тому, что множества экстремальных точек шаров в L p (a, b) при p = и p > различны.

47 4.2. Экстремальные точки шара S (0) в пространствах L P (0, ) Экстремальные точки шара S (0) в пространствах L p (0, ) Определение 4.2. Пусть X линейное пространство над полем R. Замкнутым отрезком, соединяющим точки a и b, называется множество точек . Определение 4.3. Множество M X называется выпуклым, если m, m 2 M отрезок, соединяющий точки m и m 2, принадлежит X. Далее в этом параграфе будем предполагать, что M выпуклое множество. Определение 4.4. Точка x M называется экстремальной точкой множества M, если x не является серединой никакого отрезка, целиком принадлежащего M. То, что x является серединой, означает x = 2 (a + b), a, b M, a b, b x. (4.9) Если M — открытое множество, то для него экстремальных точек нет по определению открытого множества. Пример 4.3. Пусть в R 3 задана евклидова норма x = x 2 + x2 2 + x2 3. Рассмотрим замкнутый единичный шар S (0) = . Тогда множество экстремальных точек это сфера . O

📹 Видео

Неравенство Коши — Буняковского | Ботай со мной #049 | Борис Трушин |Скачать

Доказать неравенство: (1/2)∙(3/4)∙(5/6)∙…∙(99/100)≤1/10Скачать

Неравенства треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Неравенство о средних | Ботай со мной #048 | Борис Трушин !Скачать

Доказать неравенство ★ 3^n+4^n≤5^n, для n≥3 ★ Метод математической индукцииСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Метрические пространства | вводим понятие метрикиСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

РЕШАЕМ УРАВНЕНИЕ: метрика Минковского и неравенство ЙенсенаСкачать

11.12.2021 Лекция 28. Неравенства Юнга, Гельдера, Минковского, Йенсена. Метрики, AM-GMСкачать

Наглядная Планиметрия: Неравенство Треугольника и Отрезки Касательных.Скачать