Как находить вершину треугольника

Вершина треугольника – определение

В геометрии нередко рассматривают такое понятие, как «вершина треугольника». Это точка пересечения двух сторон данной фигуры. Практически в каждой задаче встречается это понятие, поэтому имеет смысл рассмотреть его более подробно.

Как находить вершину треугольника

Содержание
  1. Определение вершины треугольника
  2. Характеристики понятия
  3. Использование вершины треугольника
  4. Что мы узнали?
  5. Вершина треугольника
  6. Определение вершины треугольника
  7. Характеристики понятия
  8. Использование вершины треугольника
  9. Что мы узнали?
  10. Как найти вершину треугольника формула
  11. Типы треугольников
  12. По величине углов
  13. По числу равных сторон
  14. Вершины углы и стороны треугольника
  15. Свойства углов и сторон треугольника
  16. Теорема синусов
  17. Теорема косинусов
  18. Теорема о проекциях
  19. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  20. Медианы треугольника
  21. Свойства медиан треугольника:
  22. Формулы медиан треугольника
  23. Биссектрисы треугольника
  24. Свойства биссектрис треугольника:
  25. Формулы биссектрис треугольника
  26. Высоты треугольника
  27. Свойства высот треугольника
  28. Формулы высот треугольника
  29. Окружность вписанная в треугольник
  30. Свойства окружности вписанной в треугольник
  31. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  32. Окружность описанная вокруг треугольника
  33. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  34. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  35. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  36. Средняя линия треугольника
  37. Свойства средней линии треугольника
  38. Периметр треугольника
  39. Формулы площади треугольника
  40. Формула Герона
  41. Равенство треугольников
  42. Признаки равенства треугольников
  43. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  44. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  45. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  46. Подобие треугольников
  47. Признаки подобия треугольников
  48. Первый признак подобия треугольников
  49. Второй признак подобия треугольников
  50. Третий признак подобия треугольников
  51. 2 ответа 2
  52. 1. Как найти неизвестную сторону треугольника
  53. 2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника
  54. 3. Формулы сторон равнобедренного треугольника
  55. 4. Найти длину высоты треугольника

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Определение вершины треугольника

В треугольнике есть три точки пересечения сторон, образующие три угла. Их называют вершинами, а стороны, на которые они опираются – сторонами треугольника.

Как находить вершину треугольника

Рис. 1. Вершина в треугольнике.

Вершины в треугольниках обозначают большими латинскими буквами. Поэтому чаще всего в математике стороны обозначают двумя заглавными латинскими буквами, по названию вершин, которые входят в стороны. Например стороной АВ называют сторону треугольника, соединяющую вершины А и В.

Как находить вершину треугольника

Рис. 2. Обозначение вершин в треугольнике.

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Характеристики понятия

Если взять произвольно ориентированный в плоскости треугольник, то на практике очень удобно выразить его геометрические характеристики через координаты вершин этой фигуры. Так, вершину А треугольника можно выразить точкой с определенными числовыми параметрами А(х; y).

Зная координаты вершин треугольника можно найти точки пересечения медиан, длину высоты, опущенную на одну из сторон фигуры, и площадь треугольника.

Для этого используются свойства векторов, изображаемых в системе декартовой системе координат, ведь длина стороны треугольника определятся через длину вектора с точками, в которых находятся соответствующие вершины этой фигуры.

Видео:Вершины треугольникаСкачать

Вершины треугольника

Использование вершины треугольника

При любой вершине треугольника можно найти угол, который будет смежным внутреннему углу рассматриваемой фигуры. Для этого придется продлить одну из сторон треугольника. Поскольку сторон при каждой вершин две, то и внешних углов при каждой вершине два. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов треугольника, несмежных с ним.

Как находить вершину треугольника

Рис. 3. Свойство внешнего угла треугольника.

Если построить при одной вершине два внешних угла, то они будут равны, как вертикальные.

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Что мы узнали?

Одним из важных понятий геометрии при рассмотрении различных типов треугольников является вершина. Это точка, где пересекаются две стороны угла данной геометрической фигуры. Ее обозначают одной из больших букв латинского алфавита. Вершину треугольника можно выразить через координаты x и y, это помогает определять длину стороны треугольника как длину вектора.

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Вершина треугольника

Как находить вершину треугольника Как находить вершину треугольника

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 192.

Средняя оценка: 4.2

Всего получено оценок: 192.

В геометрии нередко рассматривают такое понятие, как «вершина треугольника». Это точка пересечения двух сторон данной фигуры. Практически в каждой задаче встречается это понятие, поэтому имеет смысл рассмотреть его более подробно.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Определение вершины треугольника

В треугольнике есть три точки пересечения сторон, образующие три угла. Их называют вершинами, а стороны, на которые они опираются – сторонами треугольника.

Как находить вершину треугольникаРис. 1. Вершина в треугольнике.

Вершины в треугольниках обозначают большими латинскими буквами. Поэтому чаще всего в математике стороны обозначают двумя заглавными латинскими буквами, по названию вершин, которые входят в стороны. Например стороной АВ называют сторону треугольника, соединяющую вершины А и В.

Видео:КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫСкачать

КАК НАЙТИ ВЕРШИНУ ПАРАБОЛЫ

Характеристики понятия

Если взять произвольно ориентированный в плоскости треугольник, то на практике очень удобно выразить его геометрические характеристики через координаты вершин этой фигуры. Так, вершину А треугольника можно выразить точкой с определенными числовыми параметрами А(х; y).

Зная координаты вершин треугольника можно найти точки пересечения медиан, длину высоты, опущенную на одну из сторон фигуры, и площадь треугольника.

Для этого используются свойства векторов, изображаемых в системе декартовой системе координат, ведь длина стороны треугольника определятся через длину вектора с точками, в которых находятся соответствующие вершины этой фигуры.

Видео:Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

Использование вершины треугольника

При любой вершине треугольника можно найти угол, который будет смежным внутреннему углу рассматриваемой фигуры. Для этого придется продлить одну из сторон треугольника. Поскольку сторон при каждой вершин две, то и внешних углов при каждой вершине два. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов треугольника, несмежных с ним.

Если построить при одной вершине два внешних угла, то они будут равны, как вертикальные.

Как находить вершину треугольника

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Что мы узнали?

Одним из важных понятий геометрии при рассмотрении различных типов треугольников является вершина. Это точка, где пересекаются две стороны угла данной геометрической фигуры. Ее обозначают одной из больших букв латинского алфавита. Вершину треугольника можно выразить через координаты x и y, это помогает определять длину стороны треугольника как длину вектора.

Видео:Как найти площадь треугольника, зная координаты его вершины.Скачать

Как найти площадь треугольника, зная координаты его вершины.

Как найти вершину треугольника формула

Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать

Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?

Типы треугольников

По величине углов

Как находить вершину треугольника

Как находить вершину треугольника

Как находить вершину треугольника

По числу равных сторон

Как находить вершину треугольника

Как находить вершину треугольника

Как находить вершину треугольника

Видео:Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольникаСкачать

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольника

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Как находить вершину треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACD

Медианы треугольника

Как находить вершину треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Биссектрисы треугольника

Как находить вершину треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p – a ) b + c

lb = 2√ acp ( p – b ) a + c

lc = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать

Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?

Высоты треугольника

Как находить вершину треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Окружность вписанная в треугольник

Как находить вершину треугольника

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Видео:№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)Скачать

№942. Найдите медиану AM треугольника ABC, вершины которого имеют координаты: А(0; 1), В(1; -4)

Окружность описанная вокруг треугольника

Как находить вершину треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Высота в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Подсчёт количества граней и рёбер у трёхмерных фигур | Фигура | ГеометрияСкачать

Подсчёт количества граней и рёбер у трёхмерных фигур | Фигура | Геометрия

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Как находить вершину треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Периметр треугольника

Как находить вершину треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Как находить вершину треугольника

Формула Герона

S =a · b · с
4R
S = p · r

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

Как находить вершину треугольника

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Как находить вершину треугольника

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

2 ответа 2

Пусть A , B — вершины основания, C — неизвестная вершина. Если дана сумма s длин боковых сторон, то каждая из сторон равна половине этой суммы. Итак, AC = BC = s/2 .

Пусть M — середина AB (её координаты равны полусумме координат A и B ). Тогда CM — высота, из прямоугольного треугольника AMC имеем:

(Если под корнем отрицательное число, задача, очевидно, не имеет решений.)

Итак, у нас есть длина вектора MC , его направление найти несложно, учитывая, что он перпендикулярен вектору AB : если (p, q) — вектор AB , то вектор (-q, p) перпендикулярен ему, вектор (-q/l, p/l) (где l = sqrt(p^2 + q^2) ) перпендикулярен AB и имеет длину 1, а вектор (-q/l*L, p/l*L) (где L — рассчитанная раньше длина CM ) перпендикулярен AB и имеет длину, равную длине MC .

Таким образом, у нас есть вектор MC . Прибавляя его координаты к координатам точки M , мы получаем точку C .

Как находить вершину треугольника

Заметьте, что у нас возможно 2 решения, отличающиеся знаком вектора MC : для получения второго решения поменяйте знак у MC из первого решения.

Эта и другие подобные задачи будут кодироваться очень легко, если в вашем арсенале есть классы, представляющие точку, вектор, и определены операции над ними. Например, в моём коде обычно решение выглядит так (C#):

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Как находить вершину треугольника

a , b , c – стороны произвольного треугольника

α , β , γ – противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Как находить вершину треугольника

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Как находить вершину треугольника

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Как находить вершину треугольника

a , b – катеты

c – гипотенуза

α , β – острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Как находить вершину треугольника

Формулы для катета, ( b ):

Как находить вершину треугольника

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Как находить вершину треугольника

Как находить вершину треугольника

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Как находить вершину треугольника

Как находить вершину треугольника

Как находить вершину треугольника

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Как находить вершину треугольника

b – сторона (основание)

a – равные стороны

α – углы при основании

β – угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Как находить вершину треугольника

Как находить вершину треугольника

Формулы длины равных сторон , (a):

Как находить вершину треугольника

Как находить вершину треугольника

4. Найти длину высоты треугольника

Высота– перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется – ортоцентр.

Как находить вершину треугольникаH – высота треугольника

a – сторона, основание

b, c – стороны

β , γ – углы при основании

p – полупериметр, p=(a+b+c)/2

R – радиус описанной окружности

S – площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Как находить вершину треугольника

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Как находить вершину треугольника

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Как находить вершину треугольника

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Поделиться или сохранить к себе: