Пусть на плоскости задана геометрическая фигура. Если каждую точку данной фигуры переместить на некоторое расстояние, так чтобы расстояние между точками сохранилось, то мы получим новую фигуру, преобразованную из данной. (Рис.1) Таким образом, преобразование одной фигуры в другую так, что расстояние между точками остается неизменным, называется движением.
Например, при перемещении фигуры М на некоторое расстояние получим фигуру М1. Все точки фигуры М передут в точки фигуры М1. Расстояние между точками сохранится АВ = А1В1
Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать
Свойства движения
При движение все точки, лежащие на прямой, перейдут в точки также лежащие на прямой. Порядок их взаимного расположения останется неизменным. Т.е. Прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки и т.д. При движении градусная мера угла между двумя полупрямыми останется неизменной.
Рис.1 Движение и его свойства.
Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать
2.Симметрия относительно точки
Пусть на плоскости задана точка О. (Рис.2) Возьмем произвольную точку А. Если через точки О и А провести прямую и отложить от точки О отрезок ОА’, равный отрезку АО, то точка О будет называться точкой симметрии. А точка А’ — точкой симметричной точке А относительно точки О.
При преобразовании фигур каждая точка переходит в симметричную ей точку относительно точки симметрии О. Такое преобразование называется преобразованием симметрии, а фигуры называются симметричными относительно точки О.
Если при преобразовании фигура переходит в саму себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется точкой симметрии. Например, параллелограмм, окружность, эллипс, ромб, квадрат.
Преобразование фигур относительно точки симметрии является движением.
Рис.2 Симметрия относительно точки.
Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать
3.Симметрия относительно прямой
Пусть дана прямая а. (Рис.3). Если взять произвольную точку, например точку Е, провести перпендикуляр к прямой а и на продолжении этого перпендикуляра отложить отрезок ВE’, равный отрезку ЕВ, то точка Е’ будет симметрична относительно прямой а. Если точка лежит на прямой а, то она симметрична сама себе.
При преобразовании фигуры в фигуру каждая точка переходит в точку С’, симметричную относительно прямой а. Такое преобразование называется преобразование симметрии относительно прямой.
Преобразование симметрии относительно прямой также является движением, т.к. согласно определению движения расстояние между точками фигуры при смещении относительно прямой не изменяется.
Рис.3 Симметрия относительно прямой.
Видео:10 класс, 5 урок, Параллельность трех прямыхСкачать
4.Параллельный перенос и его свойства
Пусть на плоскости с осями координат Ox и Oy задана фигура S. Каждая точка фигуры параллельным переносом переходит в точку А’ на одно и тоже расстояние. Тогда можно дать следующее определение: преобразование фигуры S в фигуру S’, в котором каждая точка фигуры с координатами x и y смещается в точку с координатами x+a и y+b, где a и b постоянные числа, называется параллельным переносом.
Параллельный перенос есть движение, т.к. все точки смещаются на одно и тоже расстояние.
Таким образом, для получения координат новой фигуры, параллельный перенос задается следующими формулами:
При параллельном переносе все точки какой-либо фигуры смещаются по параллельным прямым на одно и тоже расстояние. Перпендикулярные прямые переходят в перпендикулярные прямые, параллельные прямые — в параллельные. Расстояния между точками какой-либо фигуры при перемещении, так же как и углы между прямыми, сохраняются.
Рис.4 Параллельный перенос и его свойства.
5.Пример 1
Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.
Доказательство:
Пусть дан параллелограмм АВA’В’ (Рис.5). По свойству параллелограмма, его диагонали делятся точкой пересечения пополам, а противолежащие стороны параллельны и равны. Следовательно, треугольники АОB’ и ВОА’ равны по двум сторонам и углу между ними. АО = ОА’, ВО = ОB’, углы при вершине О равны как вертикальные. А отсюда следует, что точки A’ и B’ симметричны точкам А и В относительно точки О. Т.е. получается, что вершины параллелограмма центрально симметричны относительно точки О.
Теперь на стороне АВ’ возьмем произвольную точку Е и проведем через нее прямую, проходящую через точку О. Треугольники ЕОВ’ и BOE’ равны по второму признаку равенства треугольников: по стороне и прилегающим к ней углам. BO = OB’ и углы при вершинах О и В,B’ равны (при вершине О как вертикальные, при вершинах B,B’ как внутренние накрест лежащие). Следовательно, отрезки ЕО и ОE’ равны, т.е. ЕО = ОE’.
Рис.5 Задача. Докажите, что у параллелограмма.
Отсюда можно сделать вывод, что каждая точка Х параллелограмма переходит в точку X’, симметричную относительно данной точки О. Т.е. преобразование симметрии относительно точки О переводит параллелограмм в сам себя, поэтому он называется центрально-симметричной фигурой, а точка О является его центром симметрии.
Пример 2
Докажите, что прямая, содержащая медиану равнобедренного треугольника, которая проведена к основанию, является его осью симметрии.
Доказательство:
Пусть АВА’ данный равнобедренный треугольник с основанием АА’, АВ = ВA’ (Рис.6). Медиана ОВ лежит на прямой а. Так как медиана делит противолежащую сторону пополам, то треугольники АВО и A’BO равны по трем сторонам (АВ = ВA’, АО = ОA’, сторона ОВ у них общая). Следовательно, углы при вершине О равны 90°, как равные смежные углы. А углы при вершине В равны, так как треугольники равны. Следовательно, вершина треугольника А симметрична вершине A’ относительно прямой а, так как основание АA’ перпендикулярно прямой а. Так же как и для любой точки, принадлежащей отрезку АО, найдется симметричная ей точка на отрезке ОА’ относительно прямой а.
Точка В лежит на прямой а, поэтому она симметрична сама себе относительно прямой а.
Теперь проведем произвольную прямую b, параллельную основанию АА’. Она пересечет боковые стороны треугольника в точках ЕЕ’. Рассмотрим треугольники ЕВО’ и BO’E’. Они равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим к ней углам: сторона BO’ у них общая, углы при вершинах В и О’ равны). Следовательно, ЕО’ = O’E’.
Рис.6 Задача. Докажите, что прямая, содержащая медиану.
Отсюда следует, что любая точка Х’ треугольника ВОА’ симметрична точке Х треугольника АВО относительно прямой а, что является преобразованием симметрии относительно прямой. А если преобразование симметрии относительно прямой а переводит треугольник АВА’ сам в себя, то прямая а является его осью симметрии.
Пример 3
Параллельный перенос задается формулами x’ = x + 2, y’ = y — 3. В какие точки при этом параллельном переносе переходят точки А (1;1), В (2;2), С (-2;0).
Решение:
По условию задачи параллельный перенос задается формулами:
x’ = x + 2, y’ = y — 3
Следовательно, точка А переходит в точку А’ с координатами:
Докажите, что если у двух ромбов равны диагонали, то они равны.
Доказательство:
Пусть даны два ромба: ABCD и A»B»С»D». AC = A»C», BD = B»D». Углы между диагоналями равны 90°. Докажем, что они совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину A», вершина В — в B», вершина С — в С», вершина D — в D».
Подвергнем ромб ABCD преобразованию симметрии относительно прямой а, перпендикулярной отрезку СС’ и проходящей через его середину (Рис.8). Если два ромба не располагаются друг под другом, то нужного расположения можно добиться при помощи параллельного переноса. (Напомним, что параллельный перенос также является движением со всеми вытекающими из этого свойствами.) В результате получим ромб A’B’C’D’. Если точки А и А’ различны, то подвергнем его симметрии относительно прямой b, перпндикулярной отрезку A’A» и проходящей через его середину и точку С’. Таким образом, отрезок A’C’ перейдет в отрезок A»C». И в результате получим ромб A»B»’C»D»’.
Преобразование симметрии относительно прямой является движением. А при движении точки переходят в точки, прямые — в прямые, углы между прямыми, так же как и расстояния между точками, сохраняются.
Рис.8 Задача. Докажите, что если у двух ромбов.
Отсюда следует, что отрезок B»’D»’ перпендикулярен отрезку А»C» и проходит через его середину, а точки B»’ и D»’ совпадают с точками B» и D», так как по условию задачи диагонали двух ромбов равны. Таким образом, получается, что диагонали ромба АС и BD полностью совпадут с диагоналями A»C» и B»D». А из этого следует, что и вершины ромба ABCD полностью совпадут с вершинами ромба A»B»C»D», так как они находятся на концах диагоналей. Следовательно, ромб ABCD полностью перейдет в ромб A»B»C»D».
Пример 5
Существует ли параллельный перенос, при котором точка А (2;2) переходит в точку A'(3;-2), а точка В (-2;1) переходит в точку В'(-2;-3).
Решение:
Параллельный перенос задается формулами:
x’ = x + a, y’ = y + b
где а и b одни и те же числа. Отсюда следует, что
a = x’ — x, b = y’ — y. Подставим координаты точки А и A’:
a = 3 — 2, b = -2 — 2; т.е. a = 1, b = -4
Следовательно, параллельный перенос по точке А задается формулами: x’ = x + 1, y’ = y — 4
Отсюда, координаты точки В» будут:
x» = -2 + 1 = -1, y» = 1 — 4 = -3
т.е. B»(-1;-3), а точка B’ имеет координаты (-2;-3).
Следовательно, такого параллельного переноса не существует. (Рис.9)
Видео:10 класс, 4 урок, Параллельные прямые в пространствеСкачать
«Календарь счастливой жизни: инструменты и механизм работы для достижения своих целей»
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
Видео:Математика без Ху!ни. Взаимное расположение прямой и плоскости.Скачать
«Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
Описание презентации по отдельным слайдам:
Движение Движением называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками, т.е. если точки А, В переводятся в точки А’, B’ соответственно, то АВ = A’B’. Примерами движений являются: центральная симметрия, поворот, осевая симметрия и параллельный перенос. Пусть одно движение переводит точку A в точку A’, а другое движение переводит точку A’ в точку A». Тогда преобразование плоскости, при котором точке A сопоставляется точка A», называется композицией движений. Оно получается последовательным выполнением двух данных движений.
Свойства Свойство 1. Композиция движений является движением. Свойство 2. Движение переводит прямые в прямые, лучи в лучи и отрезки в отрезки (рис. 1). Свойство 3. При движении сохраняются углы (рис. 2).
Равенство фигур Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую. Для обозначения равенства фигур используется обычный знак равенства. Запись F = F’ означает, что фигура F равна фигуре F’. Теорема. Два треугольника равны в том и только том случае, когда один из них переводится движением в другой.
Вопрос 1 Какое преобразование плоскости называется движением? Ответ: Движением называется преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками.
Вопрос 2 Приведите примеры движений. Ответ: Примерами движений являются: центральная симметрия, поворот, осевая симметрия и параллельный перенос.
Вопрос 3 Что называется композицией движений? Ответ: Композицией движений называется преобразование, получающееся в результате последовательных выполнений двух данных движений.
Вопрос 4 Какие фигуры называются равными? Ответ: Две фигуры называются равными, если они движением переводятся одна в другую.
Вопрос 5 Как обозначается равенство фигур Ответ: Равенство фигур F и F’ обозначается F = F’.
Упражнение 1 Могут ли при движении разные точки переходить в одну точку? Ответ: Нет.
Упражнение 2 Могут ли при движении разные прямые переходить в одну прямую? Ответ: Нет.
Упражнение 3 Какие из фигур, изображенных на рисунке, равны? Ответ: а, б, д; в, г, з; е, ж.
Упражнение 4 Для лучей, изображенных на рисунке, укажите движения, переводящие один луч в другой. Ответ: Композиция параллельного переноса и поворота; осевая симметрия.
Упражнение 5 Ответ: Композиция параллельного переноса и поворота. Для двух данных равных отрезков укажите движения, переводящие один в другой.
Упражнение 6 Для двух данных равных углов укажите движения, переводящие один в другой. Ответ: Композиция параллельного переноса и поворота.
Упражнение 7 Имеются две равные окружности. Укажите движения, которые могут одну из них перевести в другую. Ответ: Параллельный перенос; поворот; центральная симметрия; осевая симметрия.
Упражнение 8 Назовите движения, при которых каждая прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя. Ответ: Параллельный перенос; центральная симметрия.
Упражнение 9* Каким движением можно заменить две последовательно выполненные осевые симметрии относительно параллельных прямых? Ответ: Параллельным переносом.
Упражнение 10* Верно ли следующее утверждение: «Если движение G оставляет точки A и B на месте, то G является осевой симметрией»? Ответ: Да.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Сейчас обучается 967 человек из 79 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Сейчас обучается 342 человека из 71 региона
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Сейчас обучается 689 человек из 74 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тележинская Елена ЛеонидовнаНаписать 1215 19.04.2018
Номер материала: ДБ-1475582
19.04.2018 218
19.04.2018 1377
18.04.2018 346
17.04.2018 3044
16.04.2018 520
16.04.2018 271
16.04.2018 583
16.04.2018 175
Не нашли то, что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников
Время чтения: 1 минута
Россия направит $10,3 млн на развитие школьного питания в нескольких странах
Время чтения: 1 минута
ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России
Время чтения: 1 минута
Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки
Время чтения: 11 минут
В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января
Время чтения: 1 минута
Число участников РДШ за 2021 год выросло в три раза
Время чтения: 2 минуты
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать
Дидактические материалы по геометрии для 8 класса
Главная > Документ
Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:
Тест № 4 «Движение»
1. Какие прямые при центральной симметрии переходят в себя?
3) Проходящие через центр симметрии.
4) Таких прямых нет.
2. Как расположены относительно друг друга две центрально симметричные прямые?
2) Параллельны или совпадают.
4) Пересекаются в центре симметрии.
3. При каком расположении трех различных прямых образованная ими фигура имеет бесконечно много центров симметрии?
1) Прямые параллельны.
2) Прямые пересекаются в одной точке.
3) Две прямые параллельны, третья им перпендикулярна.
4) Прямые параллельны и одна из них находится на равных расстояниях от двух других.
4. Какому условию должны удовлетворять два луча, чтобы они были центрально симметричными?
1) Лежать в одной полуплоскости относительно прямой, проходящей через их начала.
2) Лежать на параллельных прямых.
3) Быть сонаправленными.
4) Быть противоположно направленными.
5. Какие точки переходят в себя при повороте вокруг некоторой точки на угол j?
1) Принадлежащие прямым, проходящим через центр поворота.
2) Принадлежащие углам с вершиной в центре поворота.
3) Центр поворота.
4) Лучи с началом в центре поворота.
6. На какой угол нужно повернуть прямую вокруг точки, не принадлежащей ей, чтобы получить прямую, параллельную данной?
7. Поворот на какой положительный угол совпадает с поворотом на угол –j (0° CDEF , и .
1) Параллелограмм общего вида.
4) Равнобедренная трапеция.
17. В какую фигуру перейдет полуплоскость при движении?
3) В полуплоскость.
18. При некотором движении луч AB переходит в луч A ’ B ’. При этом лучи сонаправлены. Назовите движение.
1) Параллельный перенос.
2) Центральная симметрия.
3) Параллельный перенос или центральная симметрия.
4) Параллельный перенос или осевая симметрия.
19. При каком условии существует движение, переводящее треугольник KLM в треугольник K ’ L ’ M ’?
1) Соответствующие стороны треугольников параллельны.
2) Соответствующие стороны треугольников перпендикулярны.
3) Треугольники равны.
4) Соответствующие углы треугольников равны.
20. Назовите движение, при котором каждая прямая переходит в параллельную прямую или саму в себя.
1) Центральная симметрия.
2) Центральная симметрия или параллельный перенос.
3) Осевая симметрия или параллельный перенос.
4) Параллельный перенос.
Тест № 5 «Подобие»
1. Сколько пар подобных треугольников изображено на рисунке (рис. 33), где MN||AC ?
2. Сколько пар подобных треугольников получится, если в прямоугольном треугольнике провести высоту из вершины прямого угла?
3. Сколько получится подобных треугольников, если в треугольнике провести все его средние линии?
4. В треугольнике DEF проведен отрезок MN||DF (рис. 34). Найдите коэффициент подобия изображенных треугольников, если EN =4 см, NF =5 см.
1) .
2) .
3) .
4) или 2,25.
5. Стороны треугольника относятся как 2:3:4. Большая сторона подобного ему треугольника равна 36 см. Найдите периметр второго треугольника.
6. В треугольниках ABC и A 1 B 1 C 1 Ð A =Ð A 1 и Ð B =Ð B 1 , AB =4,2 см, BC =6,3 см, CA =3,6 см, C 1 A 1 =2,4 см. Найдите A 1 B 1 и B 1 C 1 .
1) 6,3 см и 9,45 см.
3) 2,8 см и 4,2 см.
4) 25,2 см и 37,8 см.
7. В треугольнике XYZ проведен отрезок YO , точка O принадлежит стороне XZ , таким образом, что XOY= XYZ . Найдите XO и ZO , если XY =24 мм, XZ =36 мм.
8. В треугольнике KLM KL =25 см, LM =20 см, KM =30 см. На стороне KL от вершины K отложен отрезок KN =21 см, LNP= M , где точка P принадлежит стороне ML . Найдите периметр треугольника LNP .
9. В одной окружности проведены диаметр CD и хорда CE , в другой – диаметр FG= C D и хорда FH = CE . Определите DE , если HG =187 см.
10. Периметр одного треугольника составляет периметра подобного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон треугольников равна 2 см. Найдите эти стороны.
4) 169 см, 121 см.
11. Наибольшие стороны двух подобных многоугольников равны 35 см и 14 см, разность их периметров равна 60 см. Найдите периметры многоугольников.
1) 140 см и 80 см.
2) 350 см и 140 см.
4) 100 см и 40 см.
12. Стороны прямоугольника равны a и b . Найдите радиус окружности, описанной около него.
1) .
2) .
3) .
4) .
13. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 дм и 18 дм. Найдите радиус описанной около треугольника окружности.
1) см.
3) см.
14. Найдите сторону квадрата, если она меньше его диагонали на 2 см.
1) 2см.
2) 2(+1) см.
3) -1 см.
15. Стороны пятиугольника относятся как 3:4:2:5:6. Найдите периметр подобного ему пятиугольника, если его наибольшая сторона равна 1,2 дм.
16. Прямая делит параллелограмм на два подобных параллелограмма. Стороны меньшего из них равны 4 см и 5 см. Найдите периметр первоначального параллелограмма.
17. Основания трапеции равны 3 см и 27 см. Прямая делит эту трапецию на две подобные трапеции. Найдите их общее основание.
18. Периметр параллелограмма равен 96 см. Каждая его диагональ разделена на три равные части. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются точки деления.
19. Во сколько раз нужно увеличить каждую из сторон прямоугольника, чтобы получить прямоугольник, подобный данному, с периметром в 3 раза большим периметра данного прямоугольника.
1) В раза.
2) В раз.
20. Во сколько раз нужно уменьшить каждую сторону ромба, чтобы получить ромб, подобный данному, с периметром в n раз меньше периметра данного ромба.
3) В раз.
4) В раз.
Тест № 6 «Тригонометрические функции острого угла. Длина окружности»
1. Чему равен sin 60°?
1) .
2) .
3) .
4) .
2. Чему равен ctg 30°?
1) .
2) .
3) .
4) .
3. Для какого угла sin a=cos a?
4. Определите косинус угла A в прямоугольном треугольнике ABC , где Ð C =90°.
1) .
2) .
3) .
4) .
5. Определите тангенс угла C в прямоугольном треугольнике CDE , где Ð E =90°.
1) .
2) .
3) .
4) .
6. Синус какого угла равен ?
7. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 3 см, основание равно 8 см. Найдите синус и косинус угла a при основании данного треугольника.
1) sin a=, cos a=.
2) sin a=, cos a=.
3) sin a=, cos a=.
4) sin a=, cos a=.
8. Диагональ прямоугольника в два раза больше одной из его сторон. Найдите угол между диагоналями прямоугольника.
9. Найдите cos B , если sin B =.
1) .
2) .
3) .
4) .
10. Найдите tg F , если cos F =0,2.
1) .
2) 2.
3) .
4) .
11. В треугольнике OPR Ð O =60°, OP =5 см, OR =3 см. Найдите PR .
1) см.
2) см.
4) 4см.
12. Стороны треугольника равны 5 см, 6 см, 8 см. Найдите его медиану, проведенную к большей стороне.
1) см.
2) см.
3) 5см.
4) см.
13. В треугольнике RST сторона RT =12 см, Ð S =60°. Найдите радиус описанной окружности.
2) 3см.
3) 4см.
4) 8см.
14. Углы треугольника относятся как 3:2:1. Найдите соответствующее отношение его сторон.
3) 2::1.
4) ::1.
15. Найдите длину окружности, описанной около правильного треугольника со стороной 3 см.
1) 2pсм.
2) 3pсм.
3) 2pсм.
4) pсм.
16. Найдите радианную меру угла в 45°.
1) p.
2) .
3) .
4) p.
17. Сколько градусов содержит центральный угол окружности, опирающийся на хорду, равную радиусу этой окружности.
18. Длина окружности равна C . Найдите длину дуги, центральный угол которой равен 135°.
19. Длина окружности больше периметра вписанного в нее правильного шестиугольника на 8p см. Найдите радиус окружности.
1) .
2) .
3) .
20. Дуга, радиус которой равен 24 см и центральный угол равен 120°, свернута в окружность. Найдите диаметр этой окружности.
🔍 Видео
Геометрия 11 класс (Урок№4 - Движения в пространстве.)Скачать
и 
.
.
.
.
XOY= 
C D и хорда FH = 
периметра подобного ему треугольника. Разность двух соответствующих сторон треугольников равна 2 см. Найдите эти стороны.
.
.
.
.
см.
см.
см.
раза.
раз.
раз.
раз.
.
.
.
.
sin a=cos a?
.
.
.
.
.
.
.
.
, cos a=
, cos a=
.
, cos a=
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
см.
см.
см.
см.
см.
см.
.
.
p.
.
.