Для полноценного описания электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме достаточно экспериментально подтвержденного закона Кулона и принципа суперпозиции. Но при этом существует возможность свойства электростатического поля охарактеризовать в ином обобщенном виде, не опираясь на утверждения касательно кулоновского поля точечного заряда.
- Поток вектора напряженности
- Теорема Гаусса. Доказательство
- Применение теоремы Гаусса
- Лекция 4
- 1.Общие замечания о векторном поле
- 2.Понятие потока
- 4.Теорема Остроградского – Гаусса
- 5.Теорема Гаусса в физике
- 6.Поле бесконечной плоскости
- 7.Поле двух разноименно заряженных плоскостей
- 8.Поле шара
- Поток вектора
- 📹 Видео
Видео:Урок 281. Электромагнитная индукция. Магнитный поток. Правило ЛенцаСкачать
Поток вектора напряженности
Зададим новую физическую величину, описывающую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Предположим, что в пространстве, содержащем заданное электрическое поле, имеется некая достаточно малая площадка Δ S .
Элементарный поток вектора напряженности (через площадку S ) – это физическая величина, равная произведению модуля вектора E → , площади Δ S и косинуса угла α между вектором и нормалью к площадке:
Δ Φ = E Δ S cos α = E n Δ S.
В данной формуле E n является модулем нормальной составляющей поля E → .
Рисунок 1 . 3 . 1 . Иллюстрация элементарного потока Δ Φ .
Теперь возьмем для рассмотрения некую произвольную замкнутую поверхность S . Разобьем заданную поверхность на площадки небольшого размера Δ S i , рассчитаем элементарные потоки Δ Φ i поля через эти малые площадки, после чего найдем их сумму, что в итоге даст нам поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1 . 3 . 2 ):
Φ = ∑ ∆ Φ i = ∑ E m ∆ S i
Когда речь идет о поверхности замкнутого типа, всегда используется внешняя нормаль.
Рисунок 1 . 3 . 2 . Расчет потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S .
Видео:Урок 222. Поток вектора напряженности электрического поляСкачать
Теорема Гаусса. Доказательство
Теорема или закон Гаусса для электростатического поля в вакууме является одним из основных электродинамических законов.
Поток вектора напряженности электростатического поля E → через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε 0 .
Уравнение Гаусса имеет вид:
Φ = 1 ε 0 ∑ q в н у т р
Докажем указанную теорию: для этого исследуем сферическую поверхность (или поверхность шара) S . В центре заданной поверхности расположен точечный заряд q . Любая точка сферы обладает электрическим полем, перпендикулярным поверхности сферы и равным по модулю:
E = E n = 1 4 π ε 0 · q R 2 ,
где R является радиусом сферы.
Поток Φ через поверхность шара запишется, как произведение E и площади сферы 4 π R 2 . Тогда: Φ = 1 ε 0 q .
Следующим нашим шагом будет окружение точечного заряда произвольной поверхностью S замкнутого типа; зададим также вспомогательную сферу R 0 (рис. 1 . 3 . 3 ).
Рисунок 1 . 3 . 3 . Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S , окружающую заряд.
Возьмем для рассмотрения конус с малым телесным углом Δ Ω при вершине. Рассматриваемый конус задаст на сфере малую площадку Δ S 0 , а на поверхности S – площадку Δ S . Элементарные потоки Δ Φ 0 и Δ Φ через эти площадки являются одинаковыми. В самом деле:
Δ Φ 0 = E 0 Δ S 0 , Δ Φ = E Δ S cos α = E Δ S ‘ ,
где выражением Δ S ‘ = Δ S cos α определяется площадка, которая задастся конусом с телесным углом Δ Ω на поверхности сферы радиуса n .
Поскольку ∆ S 0 ∆ S ‘ = R 0 2 r 2 , то ∆ Φ 0 = ∆ Φ . Из полученного следует вывод о том, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ 0 через поверхность вспомогательной сферы:
Так же мы можем продемонстрировать, что, когда замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q , поток Φ равен нулю. Этот случай проиллюстрирован на рис. 1 . 3 . 2 . Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, т.е. в этой области не наблюдается обрыва или зарождения силовых линий.
Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов является следствием из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов возможно записать в виде векторной суммы электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S сложится из потоков Φ i электрических полей отдельных зарядов. Когда заряд q i расположен внутри поверхности S , он дает вклад в поток, равный q i ε 0 . В случае расположения заряда снаружи поверхности его вклад в поток есть нуль.
Так, мы доказали теорему Гаусса.
Теорема Гаусса, по сути, есть следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако, взяв за изначальную аксиому утверждения теоремы, следствием станет закон Кулона, в связи с чем теорему Гаусса порой называют альтернативной формулировкой закона Кулона.
Опираясь на теорему Гаусса, в определенных случаях легко определить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела (при наличии заранее угаданных симметрии заданного распределения зарядов и общей структуры поля).
Видео:Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать
Применение теоремы Гаусса
В качестве примера можно рассмотреть задачу, в которой необходимо вычислить поле тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра с радиусом R . Такая задача имеет осевую симметрию, и из соображений симметрии электрическое поле должно иметь направление по радиусу. Таким образом, чтобы иметь возможность применить теорему Гаусса, оптимально выбрать поверхность замкнутого типа S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l , закрытого с обоих торцов (рис. 1 . 3 . 4 ).
Рисунок 1 . 3 . 4 . Иллюстрация поля однородно заряженного цилиндра. O O ‘ – ось симметрии.
Если r ≥ R , то весь поток вектора напряженности пройдет через боковую поверхность цилиндра, поскольку поток через оба основания есть нуль. Формула площади боковой поверхности цилиндра запишется как: 2 π r l . Применим закон Гаусса и получим:
Φ = E 2 π r l = τ l ε 0 .
В указанном выражении τ является зарядом длины цилиндра. Далее можно записать:
Данное выражение не имеет зависимости от радиуса R заряженного цилиндра, а значит оно применимо и к полю длинной однородно заряженной нити.
Чтобы найти напряженность поля внутри заряженного цилиндра, необходимо создать замкнутую поверхность для случая r R . В соответствии с симметрией задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра должен быть, и в этом случае он равен Φ = E 2 π r l . Исходя из гауссовской теоремы, этот поток находится в пропорции к заряду, расположенному внутри замкнутой поверхности. Заряд этот равен нулю, откуда вытекает, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра тоже есть нуль.
Точно так же теорема и формула Гаусса применимы для определения электрического поля в иных случаях, когда распределение зарядов охарактеризовано какой-либо симметрией, к примеру, симметрией относительно центра, плоскости или оси. Во всех этих случаях необходимо выбирать замкнутую гауссову поверхность подходящей формы.
К примеру, в случае центральной симметрии поверхность оптимально выбрать в виде сферы, у которой центр расположен в точке симметрии. Когда мы имеем симметрию относительно оси, подходящим видом замкнутой поверхности будет соосный цилиндр, закрытый с обоих торцов (аналогично рассмотренному выше примеру).
При отсутствии симметрии и невозможности угадать общую структуру поля, теорема Гаусса не сможет быть применена для упрощения решения задачи по определению напряженности поля.
Разберем еще пример распределения зарядов при наличии симметрии: нахождение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1 . 3 . 5 ).
Рисунок 1 . 3 . 5 . Поле равномерно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. S – замкнутая гауссова поверхность.
Здесь гауссову поверхность S оптимально задать как цилиндр некой длины, замкнутый с обоих концов. Ось цилиндра является перпендикуляром к заряженной плоскости; в свою очередь, торцы цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от нее. В соответствии с симметрией поле равномерно заряженной плоскости должно везде иметь направление по нормали. Применим теорему Гаусса и получим:
2 E ∆ S = σ ∆ S ε 0 или E = σ 2 ε 0 .
Здесь σ является поверхностной плотностью заряда или зарядом, приходящимся на единицу площади.
Выражение, которое мы получили для электрического поля однородно заряженной плоскости, возможно использовать и для плоских заряженных площадок конечного размера: здесь расстояние от точки, в которой мы определяем напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значимо меньше размеров площадки.
Видео:Билет №02 "Теорема Гаусса"Скачать
Лекция 4
Ранее была установлена связь между характеристикой электрического поля – напряженностью и его источниками, т.е. зарядами в виде определения напряженности. Существует еще одна связь между ними, которая может оказать существенную помощь при решении симметричных задач – теорема Гаусса. Заметим, что она входит в качестве постулата в систему уравнений Максвелла.
Видео:Физика. 10 класс. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса /18.01.2021/Скачать
1.Общие замечания о векторном поле
В физике достаточно часто приходится изучать векторные поля (поле скорости жидкости, электромагнитное поле), теория которых достаточно хорошо разработана в математике.
или используется ещё обозначение ,где – произведение нормали на площадь.
Если поверхность замкнута, то поток через замкнутую поверхность обозначается, как
,
где – интеграл по замкнутой поверхности.
Поток – это объёмная или интегральная характеристика векторного поля.
Возьмем точку M в пространстве. Окружим ее замкнутой поверхностью S и вычислим поток через замкнутую поверхность. Затем поверхность будем стягивать к точке. Понятно, что поток начинает уменьшаться, однако отношение потока к объему, охваченному этой поверхностью, будет конечной величиной – это отношение и называется дивергенцией.
Отсюда следует теорема Гаусса в дифференциальной форме:
Видео:Билет №38 "Поток энергии"Скачать
6.Поле бесконечной плоскости
Будем считать, что заряд существует и на одной поверхности.
>
Очевидно, что поле не зависит от расстояния, т.е. однородно. Если выберем 0 на плоскости и обозначим ось x, то
На самой плоскости нормальная составляющая напряженности испытывает разрыв и терпит скачок.
Видео:Физика Поток вектора магнитной индукцииСкачать
7.Поле двух разноименно заряженных плоскостей
Видео:Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. Практическая часть. 10 класс.Скачать
8.Поле шара
Очевидно, что поле шара вне шара, поле сферы вне сферы и поле точечного заряда совпадают.
Видео:МАГНИТНЫЙ ПОТОК 9 и 11 класс физикаСкачать
Поток вектора
Пусть в пространстве имеются векторное поле Е = Е(г). Построим некоторую поверхность S (рис. 1.10). Отметим на ней произвольную точку Р и ’’вырежем” вокруг нее бесконечно малый элемент этой поверхности, площадь которого равна dS. Построим единичный вектор п, перпендикулярный к рассматриваемому элементу поверхности, и введем вектор
Рис. 1.10. К определению потока вектора Е
Вектор п называется единичной нормалью к поверхности в точке Р, а вектор
векторным элементом поверхно-
Скалярное произведение вектора Е , определенного в точке Р элемента поверхности dS, на вектор dS называется потоком вектора Е через этот элемент поверхности и обозначается так:
Рис. 1.11. Поток вектора Е зависит от ориентации элемента поверхности
где 0 — угол между векторами Е и п. Из этого определения следует, что поток d$E зависит от ориентации элемента поверхности в векторном поле Е . Рассмотрим частные случаи, когда векторы Е и dS : 1) параллельны, 2) ортогональны и 3) антипаралдельны (рис. 1.11). В первом случае поток с/Ф?, = Е1 dSь во втором = 0 и в
ки вектора Е интегралу
через эти элементарные части, придем к поверхностному
который называется потоком вектора Е через поверхность S. Поток — алгебраическая величина, знак которой зависит от выбора направления вектора нормали п.
Если поверхность интегрирования замкнута и ограничивает некоторый объем, то поток вектора Е через эту поверхность обозначается так:
При этом всегда предполагается, что вектор п направлен наружу. Такой вектор п называется внешней нормалью к поверхности 5.
📹 Видео
НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полейСкачать
Урок 225. Задачи на поток вектора напряженности электрического поляСкачать
Электромагнитная индукция. ЕГЭ Физика. Николай НьютонСкачать
Электромагнитная индукция. Магнитный поток. Правило Ленца | Физика 11 класс #4 | ИнфоурокСкачать
Дивергенция векторного поляСкачать
Векторы в физике. Что нужно знать? | 50 уроков физики (2/50)Скачать
Вектор Умова-Пойнтинга ● 1Скачать
Демидович №4442: поток вектора через цилиндрСкачать