Поток вектора в физике

Теорема Гаусса

Для полноценного описания электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме достаточно экспериментально подтвержденного закона Кулона и принципа суперпозиции. Но при этом существует возможность свойства электростатического поля охарактеризовать в ином обобщенном виде, не опираясь на утверждения касательно кулоновского поля точечного заряда.

Видео:Урок 281. Электромагнитная индукция. Магнитный поток. Правило ЛенцаСкачать

Урок 281. Электромагнитная индукция. Магнитный поток. Правило Ленца

Поток вектора напряженности

Зададим новую физическую величину, описывающую электрическое поле – поток Φ вектора напряженности электрического поля. Предположим, что в пространстве, содержащем заданное электрическое поле, имеется некая достаточно малая площадка Δ S .

Элементарный поток вектора напряженности (через площадку S ) – это физическая величина, равная произведению модуля вектора E → , площади Δ S и косинуса угла α между вектором и нормалью к площадке:

Δ Φ = E Δ S cos α = E n Δ S.

В данной формуле E n является модулем нормальной составляющей поля E → .

Поток вектора в физике

Рисунок 1 . 3 . 1 . Иллюстрация элементарного потока Δ Φ .

Теперь возьмем для рассмотрения некую произвольную замкнутую поверхность S . Разобьем заданную поверхность на площадки небольшого размера Δ S i , рассчитаем элементарные потоки Δ Φ i поля через эти малые площадки, после чего найдем их сумму, что в итоге даст нам поток Φ вектора через замкнутую поверхность S (рис. 1 . 3 . 2 ):

Φ = ∑ ∆ Φ i = ∑ E m ∆ S i

Когда речь идет о поверхности замкнутого типа, всегда используется внешняя нормаль.

Поток вектора в физике

Рисунок 1 . 3 . 2 . Расчет потока Ф через произвольную замкнутую поверхность S .

Видео:Урок 222. Поток вектора напряженности электрического поляСкачать

Урок 222. Поток вектора напряженности электрического поля

Теорема Гаусса. Доказательство

Теорема или закон Гаусса для электростатического поля в вакууме является одним из основных электродинамических законов.

Поток вектора напряженности электростатического поля E → через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную ε 0 .

Уравнение Гаусса имеет вид:

Φ = 1 ε 0 ∑ q в н у т р

Докажем указанную теорию: для этого исследуем сферическую поверхность (или поверхность шара) S . В центре заданной поверхности расположен точечный заряд q . Любая точка сферы обладает электрическим полем, перпендикулярным поверхности сферы и равным по модулю:

E = E n = 1 4 π ε 0 · q R 2 ,

где R является радиусом сферы.

Поток Φ через поверхность шара запишется, как произведение E и площади сферы 4 π R 2 . Тогда: Φ = 1 ε 0 q .

Следующим нашим шагом будет окружение точечного заряда произвольной поверхностью S замкнутого типа; зададим также вспомогательную сферу R 0 (рис. 1 . 3 . 3 ).

Поток вектора в физике

Рисунок 1 . 3 . 3 . Поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность S , окружающую заряд.

Возьмем для рассмотрения конус с малым телесным углом Δ Ω при вершине. Рассматриваемый конус задаст на сфере малую площадку Δ S 0 , а на поверхности S – площадку Δ S . Элементарные потоки Δ Φ 0 и Δ Φ через эти площадки являются одинаковыми. В самом деле:

Δ Φ 0 = E 0 Δ S 0 , Δ Φ = E Δ S cos α = E Δ S ‘ ,

где выражением Δ S ‘ = Δ S cos α определяется площадка, которая задастся конусом с телесным углом Δ Ω на поверхности сферы радиуса n .

Поскольку ∆ S 0 ∆ S ‘ = R 0 2 r 2 , то ∆ Φ 0 = ∆ Φ . Из полученного следует вывод о том, что полный поток электрического поля точечного заряда через произвольную поверхность, охватывающую заряд, равен потоку Φ 0 через поверхность вспомогательной сферы:

Так же мы можем продемонстрировать, что, когда замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q , поток Φ равен нулю. Этот случай проиллюстрирован на рис. 1 . 3 . 2 . Все силовые линии электрического поля точечного заряда пронизывают замкнутую поверхность S насквозь. Внутри поверхности S зарядов нет, т.е. в этой области не наблюдается обрыва или зарождения силовых линий.

Обобщение теоремы Гаусса на случай произвольного распределения зарядов является следствием из принципа суперпозиции. Поле любого распределения зарядов возможно записать в виде векторной суммы электрических полей точечных зарядов. Поток Φ системы зарядов через произвольную замкнутую поверхность S сложится из потоков Φ i электрических полей отдельных зарядов. Когда заряд q i расположен внутри поверхности S , он дает вклад в поток, равный q i ε 0 . В случае расположения заряда снаружи поверхности его вклад в поток есть нуль.

Так, мы доказали теорему Гаусса.

Теорема Гаусса, по сути, есть следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Однако, взяв за изначальную аксиому утверждения теоремы, следствием станет закон Кулона, в связи с чем теорему Гаусса порой называют альтернативной формулировкой закона Кулона.

Опираясь на теорему Гаусса, в определенных случаях легко определить напряженность электрического поля вокруг заряженного тела (при наличии заранее угаданных симметрии заданного распределения зарядов и общей структуры поля).

Видео:Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.

Применение теоремы Гаусса

В качестве примера можно рассмотреть задачу, в которой необходимо вычислить поле тонкостенного полого однородно заряженного длинного цилиндра с радиусом R . Такая задача имеет осевую симметрию, и из соображений симметрии электрическое поле должно иметь направление по радиусу. Таким образом, чтобы иметь возможность применить теорему Гаусса, оптимально выбрать поверхность замкнутого типа S в виде соосного цилиндра некоторого радиуса r и длины l , закрытого с обоих торцов (рис. 1 . 3 . 4 ).

Поток вектора в физике

Рисунок 1 . 3 . 4 . Иллюстрация поля однородно заряженного цилиндра. O O ‘ – ось симметрии.

Если r ≥ R , то весь поток вектора напряженности пройдет через боковую поверхность цилиндра, поскольку поток через оба основания есть нуль. Формула площади боковой поверхности цилиндра запишется как: 2 π r l . Применим закон Гаусса и получим:

Φ = E 2 π r l = τ l ε 0 .

В указанном выражении τ является зарядом длины цилиндра. Далее можно записать:

Данное выражение не имеет зависимости от радиуса R заряженного цилиндра, а значит оно применимо и к полю длинной однородно заряженной нити.

Чтобы найти напряженность поля внутри заряженного цилиндра, необходимо создать замкнутую поверхность для случая r R . В соответствии с симметрией задачи поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра должен быть, и в этом случае он равен Φ = E 2 π r l . Исходя из гауссовской теоремы, этот поток находится в пропорции к заряду, расположенному внутри замкнутой поверхности. Заряд этот равен нулю, откуда вытекает, что электрическое поле внутри однородно заряженного длинного полого цилиндра тоже есть нуль.

Точно так же теорема и формула Гаусса применимы для определения электрического поля в иных случаях, когда распределение зарядов охарактеризовано какой-либо симметрией, к примеру, симметрией относительно центра, плоскости или оси. Во всех этих случаях необходимо выбирать замкнутую гауссову поверхность подходящей формы.

К примеру, в случае центральной симметрии поверхность оптимально выбрать в виде сферы, у которой центр расположен в точке симметрии. Когда мы имеем симметрию относительно оси, подходящим видом замкнутой поверхности будет соосный цилиндр, закрытый с обоих торцов (аналогично рассмотренному выше примеру).

При отсутствии симметрии и невозможности угадать общую структуру поля, теорема Гаусса не сможет быть применена для упрощения решения задачи по определению напряженности поля.

Разберем еще пример распределения зарядов при наличии симметрии: нахождение поля равномерно заряженной плоскости (рис. 1 . 3 . 5 ).

Поток вектора в физике

Рисунок 1 . 3 . 5 . Поле равномерно заряженной плоскости. σ – поверхностная плотность заряда. S – замкнутая гауссова поверхность.

Здесь гауссову поверхность S оптимально задать как цилиндр некой длины, замкнутый с обоих концов. Ось цилиндра является перпендикуляром к заряженной плоскости; в свою очередь, торцы цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от нее. В соответствии с симметрией поле равномерно заряженной плоскости должно везде иметь направление по нормали. Применим теорему Гаусса и получим:

2 E ∆ S = σ ∆ S ε 0 или E = σ 2 ε 0 .

Здесь σ является поверхностной плотностью заряда или зарядом, приходящимся на единицу площади.

Выражение, которое мы получили для электрического поля однородно заряженной плоскости, возможно использовать и для плоских заряженных площадок конечного размера: здесь расстояние от точки, в которой мы определяем напряженность поля, до заряженной площадки должно быть значимо меньше размеров площадки.

Видео:Билет №02 "Теорема Гаусса"Скачать

Билет №02 "Теорема Гаусса"

Лекция 4

Ранее была установлена связь между характеристикой электрического поля – напряженностью и его источниками, т.е. зарядами в виде определения напряженности. Существует еще одна связь между ними, которая может оказать существенную помощь при решении симметричных задач – теорема Гаусса. Заметим, что она входит в качестве постулата в систему уравнений Максвелла.

Видео:Физика. 10 класс. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса /18.01.2021/Скачать

Физика. 10 класс. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса /18.01.2021/

1.Общие замечания о векторном поле

В физике достаточно часто приходится изучать векторные поля (поле скорости жидкости, электромагнитное поле), теория которых достаточно хорошо разработана в математике.

Поле называют векторным, если каждой точке пространства поставлено в соответствии три числа, т.е. вектор.

Векторные поля существенно сложнее скалярных. Вектор поля можно показать с помощью силовых линий. Могут существовать точки, в которых эти линии начинаются и заканчиваются, такие точки называются источниками и стоками. Для электрического поля – это положительный и отрицательный заряд. Где линии гуще – поле сильнее.

Интегральной характеристикой векторного поля является поток вектора поля через какую-то либо поверхность. Дифференциальной или локальной характеристикой векторного поля является дивергенция. Вся терминология пришла из гидродинамики.

Видео:Магнитный поток | Физика 9 класс #38 | ИнфоурокСкачать

Магнитный поток | Физика 9 класс #38 | Инфоурок

2.Понятие потока

Пусть имеется какое-либо векторное поле Поток вектора в физикеи некоторая поверхность S. На этой поверхности мы выберем маленькую площадку dS, покажем нормаль к этой точке Поток вектора в физике.

Поток вектора в физике

Поток вектора в физике

Потоком Поток вектора в физикевектора Поток вектора в физикечерез произвольную поверхность площади S называется поверхностный интеграл следующего вида:

Поток вектора в физике

Поток вектора в физике

или используется ещё обозначение Поток вектора в физике,где Поток вектора в физике– произведение нормали на площадь.

Если поверхность замкнута, то поток через замкнутую поверхность обозначается, как

Поток вектора в физике,

где Поток вектора в физике– интеграл по замкнутой поверхности.

Поток вектора в физике

Поток – это объёмная или интегральная характеристика векторного поля.

Возьмем точку M в пространстве. Окружим ее замкнутой поверхностью S и вычислим поток через замкнутую поверхность. Затем поверхность будем стягивать к точке. Понятно, что поток начинает уменьшаться, однако отношение потока к объему, охваченному этой поверхностью, будет конечной величиной – это отношение и называется дивергенцией.

Дивергенцией векторного поля в точке пространства называется следующий интеграл.

Поток вектора в физике, div – дивергенция.

Очевидно, если div>0, то в точке пространства находится источник поля; если div r; j; z),

Поток вектора в физике

c)Сферическая (r, j, q ).

Поток вектора в физике

Видео:Поток вектора магнитной индукцииСкачать

Поток вектора магнитной индукции

4.Теорема Остроградского – Гаусса

Данная теорема связывает поверхностный и объемный интеграл.

Поток вектора в физике

Видео:Физика | Ликбез по векторамСкачать

Физика | Ликбез по векторам

5.Теорема Гаусса в физике

Поток вектора в физике
Поток вектора в физике

Это теорема Гаусса в интегральной форме.

Оказывается, что данное выражение справедливо для любого распределения зарядов.

Поток вектора в физике

Поток напряженности электрического поля через произвольную замкнутую поверхность определяется зарядом внутри этой поверхности.

Поток вектора в физике

Поток вектора в физике

Отсюда следует теорема Гаусса в дифференциальной форме:

Поток вектора в физике

Видео:Билет №38 "Поток энергии"Скачать

Билет №38 "Поток энергии"

6.Поле бесконечной плоскости

Поток вектора в физике

Будем считать, что заряд существует и на одной поверхности.

> Поток вектора в физике

Очевидно, что поле не зависит от расстояния, т.е. однородно. Если выберем 0 на плоскости и обозначим ось x, то

Поток вектора в физике
Поток вектора в физике
Поток вектора в физике

На самой плоскости нормальная составляющая напряженности испытывает разрыв и терпит скачок.

Видео:Физика Поток вектора магнитной индукцииСкачать

Физика Поток вектора магнитной индукции

7.Поле двух разноименно заряженных плоскостей

Поток вектора в физике
Поток вектора в физике
Поток вектора в физике

Видео:Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. Практическая часть. 10 класс.

8.Поле шара

Поток вектора в физике
Поток вектора в физике
Поток вектора в физике

Очевидно, что поле шара вне шара, поле сферы вне сферы и поле точечного заряда совпадают.

Видео:МАГНИТНЫЙ ПОТОК 9 и 11 класс физикаСкачать

МАГНИТНЫЙ ПОТОК 9 и 11 класс физика

Поток вектора

Пусть в пространстве имеются векторное поле Е = Е(г). Построим некоторую поверхность S (рис. 1.10). Отметим на ней произвольную точку Р и ’’вырежем” вокруг нее бесконечно малый элемент этой поверхности, площадь которого равна dS. Построим единичный вектор п, перпендикулярный к рассматриваемому элементу поверхности, и введем вектор Поток вектора в физике

Поток вектора в физике

Рис. 1.10. К определению потока вектора Е

Вектор п называется единичной нормалью к поверхности в точке Р, а вектор

векторным элементом поверхно-

Скалярное произведение вектора Е , определенного в точке Р элемента поверхности dS, на вектор dS называется потоком вектора Е через этот элемент поверхности и обозначается так:

Поток вектора в физике Поток вектора в физике

Рис. 1.11. Поток вектора Е зависит от ориентации элемента поверхности

где 0 — угол между векторами Е и п. Из этого определения следует, что поток d$E зависит от ориентации элемента поверхности в векторном поле Е . Рассмотрим частные случаи, когда векторы Е и dS : 1) параллельны, 2) ортогональны и 3) антипаралдельны (рис. 1.11). В первом случае поток с/Ф?, = Е1 dSь во втором = 0 и в

ки вектора Е интегралу

через эти элементарные части, придем к поверхностному

Поток вектора в физике

который называется потоком вектора Е через поверхность S. Поток — алгебраическая величина, знак которой зависит от выбора направления вектора нормали п.

Если поверхность интегрирования замкнута и ограничивает некоторый объем, то поток вектора Е через эту поверхность обозначается так:

Поток вектора в физике

При этом всегда предполагается, что вектор п направлен наружу. Такой вектор п называется внешней нормалью к поверхности 5.

📹 Видео

НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полейСкачать

НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ суперпозиция полей

Урок 225. Задачи на поток вектора напряженности электрического поляСкачать

Урок 225. Задачи на поток вектора напряженности электрического поля

Электромагнитная индукция. ЕГЭ Физика. Николай НьютонСкачать

Электромагнитная индукция. ЕГЭ Физика. Николай Ньютон

Электромагнитная индукция. Магнитный поток. Правило Ленца | Физика 11 класс #4 | ИнфоурокСкачать

Электромагнитная индукция. Магнитный поток. Правило Ленца | Физика 11 класс #4 | Инфоурок

Дивергенция векторного поляСкачать

Дивергенция векторного поля

Векторы в физике. Что нужно знать? | 50 уроков физики (2/50)Скачать

Векторы в физике. Что нужно знать? | 50 уроков физики (2/50)

Вектор Умова-Пойнтинга ● 1Скачать

Вектор Умова-Пойнтинга ● 1

Демидович №4442: поток вектора через цилиндрСкачать

Демидович №4442: поток вектора через цилиндр
Поделиться или сохранить к себе: