Рассмотрим теперь частный случай потока из маленького кубика и получим интересную формулу. Ребра куба пусть направлены вдоль осей координат (фиг. 3.5), координаты вершины, ближайшей к началу, суть х, у, z, ребро куба в направлении х равно Δx:, ребро куба (а точнее, бруска) в направлении у равно Δу, а в направлении z равно Δz. Мы хотим найти поток векторного поля С через поверхность куба. Для этого вычислим сумму потоков через все шесть граней. Начнем с грани 1 (см. фиг. 3.5). Поток наружу сквозь нее равен x-компоненте С с минусом, проинтегрированной по площади грани. Он равен
 |
Так как куб считается малым, этот интеграл можно заменить значением Сх в центре грани [эту точку мы обозначили (1)], умноженным на площадь грани ΔyΔz:
 |
Подобным же образом поток наружу через грань 2 равен
 |
Величины Сх(1) и Сх(2), вообще говоря, слегка отличаются. Если Δx достаточно мало, то можно написать
 |
Существуют, конечно, и другие члены, но в них входит (Δx) 2 и высшие степени Δx, и в пределе малых Δx ими запросто можно пренебречь. Значит, поток сквозь грань 2 равен
 |
Складывая потоки через грани 1 и 2, получаем
 |
Производную нужно вычислять в центре грани 1, т. е. в точке [х, y + (Δy/2), z+(Δz/2)]. Но если куб очень маленький, мы сделаем пренебрежимую ошибку, если вычислим ее в вершине (х, у, z).
Повторяя те же рассуждения с каждой парой граней, мы получаем
 |
А общий поток через все грани равен сумме этих членов. Мы обнаруживаем, что
 |
Сумма производных в скобках как раз есть v·С, a ΔxΔyΔz=ΔV (объем куба). Таким образом, мы можем утверждать, что для бесконечно малого куба
 |
Мы показали, что поток наружу с поверхности бесконечно малого куба равен произведению дивергенции вектора на объем куба. Теперь мы понимаем «смысл» понятия дивергенции вектора. Дивергенция вектора в точке Р — это поток С («истечение» С наружу) на единицу объема, взятого в окрестности Р.
Мы связали дивергенцию С с потоком С из бесконечно малого объема. Для любого конечного объема можно теперь использовать факт, доказанный выше, что суммарный поток из объема есть сумма потоков из отдельных его частей. Иначе говоря, мы можем проинтегрировать дивергенцию по всему объему. Это приводит нас к теореме, согласно которой интеграл от нормальной составляющей произвольного вектора по замкнутой поверхности может быть представлен также в виде интеграла от дивергенции вектора по объему, заключенному внутри поверхности. Теорему эту называют теоремой Гаусса.
 |
где S — произвольная замкнутая поверхность, V — объем внутри нее.
- Поток вектора в кубе
- Поток из куба; теорема Гаусса
- Поток векторного поля: теория и примеры
- Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла
- Направление и интенсивность потока векторного поля
- Вычисление потока векторного поля: примеры
- Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского
- Замечание:
- Пример 4:
- Поток векторного поля: теория и примеры
- Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла
- Направление и интенсивность потока векторного поля
- Вычисление потока векторного поля: примеры
- 🎥 Видео
Видео:#3.2 Найти поток вектора a=x^3i+y^3j=z^3k через всю поверхность куба в направлении внешней нормалиСкачать
Поток вектора в кубе
Видео:Поток векторного поля через замкнутую поверхностьСкачать
Поток из куба; теорема Гаусса
Рассмотрим теперь частный случай потока из маленького кубика и получим интересную формулу. Ребра куба пусть направлены вдоль осей координат (фиг. 3.5), координаты вершины, ближайшей к началу, суть х, у, z, ребро куба в направлении х равно Δx:, ребро куба (а точнее, бруска) в направлении у равно Δу, а в направлении z равно Δz. Мы хотим найти поток векторного поля С через поверхность куба. Для этого вычислим сумму потоков через все шесть граней. Начнем с грани 1 (см. фиг. 3.5). Поток наружу сквозь нее равен x-компоненте С с минусом, проинтегрированной по площади грани. Он равен
|
Так как куб считается малым, этот интеграл можно заменить значением Сх в центре грани [эту точку мы обозначили (1)], умноженным на площадь грани ΔyΔz:
|
Подобным же образом поток наружу через грань 2 равен
|
Величины Сх(1) и Сх(2), вообще говоря, слегка отличаются. Если Δx достаточно мало, то можно написать
|
Существуют, конечно, и другие члены, но в них входит (Δx) 2 и высшие степени Δx, и в пределе малых Δx ими запросто можно пренебречь. Значит, поток сквозь грань 2 равен
|
Складывая потоки через грани 1 и 2, получаем
|
Производную нужно вычислять в центре грани 1, т. е. в точке [х, y + (Δy/2), z+(Δz/2)]. Но если куб очень маленький, мы сделаем пренебрежимую ошибку, если вычислим ее в вершине (х, у, z).
Повторяя те же рассуждения с каждой парой граней, мы получаем
|
А общий поток через все грани равен сумме этих членов. Мы обнаруживаем, что
|
Сумма производных в скобках как раз есть v·С, a ΔxΔyΔz=ΔV (объем куба). Таким образом, мы можем утверждать, что для бесконечно малого куба
|
Мы показали, что поток наружу с поверхности бесконечно малого куба равен произведению дивергенции вектора на объем куба. Теперь мы понимаем «смысл» понятия дивергенции вектора. Дивергенция вектора в точке Р — это поток С («истечение» С наружу) на единицу объема, взятого в окрестности Р.
Мы связали дивергенцию С с потоком С из бесконечно малого объема. Для любого конечного объема можно теперь использовать факт, доказанный выше, что суммарный поток из объема есть сумма потоков из отдельных его частей. Иначе говоря, мы можем проинтегрировать дивергенцию по всему объему. Это приводит нас к теореме, согласно которой интеграл от нормальной составляющей произвольного вектора по замкнутой поверхности может быть представлен также в виде интеграла от дивергенции вектора по объему, заключенному внутри поверхности. Теорему эту называют теоремой Гаусса.
|
где S — произвольная замкнутая поверхность, V — объем внутри нее.
Видео:Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать
Поток векторного поля: теория и примеры
Видео:Поток через замкнутую поверхность. Формула Остроградского-ГауссаСкачать
Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла
Своим названием поток векторного поля обязан задачам гидродинамики о потоке жидкости. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла, который выражает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую поверхность в направлении вектора скорости течения жидкости в данной точке. Понятие потока векторного поля обобщается также на магнетический поток, поток электричества, поток тепла через заданную поверхность и другие. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла как первого, так и второго рода и далее мы дадим его вывод через эти интегралы.
Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле
и поверхность σ, в каждой точке M которой определён единичный вектор нормали 
. Пусть также направляющие косинусы этого вектора — непрерывные функции координат x, y, z точки M.
Определение потока векторного поля. Потоком W поля вектора 
через поверхность σ называется поверхностный интеграл
.
Обозначим как a n проекцию вектора на на единичный вектор 
. Тогда поток можем записать как поверхностный интеграл первого рода
.
.
поток векторного поля можно вычислить и как поверхностный интеграл второго рода
.
Видео:Формула Остроградского-ГауссаСкачать
Направление и интенсивность потока векторного поля
Поток векторного поля зависит от местоположения поверхности σ. Если поверхность размещена так, что во всех её точках вектор поля образует с вектором нормали поверхности острый угол, то проекции вектора a n положительны и, таким образом поток W также положителен (рисунок ниже). Если же поверхность размещена так, что во всех её точках вектор образует с вектором нормали поверхности тупой угол, то поток W отрицателен.
Через каждую точку поверхности проходит одна векторная линия, поэтому поверхность σ пересекает бесконечное множество векторных линий. Однако условно можно принять, что поверхность σ пересекает некоторое конечное число векторных линий. Поэтому можно считать, что поток векторного поля — это число векторных линий, пересекающих поверхность σ. Чем интенсивнее поток векторного поля, тем более плотно расположены векторные линии и в результате получается бОльший поток жидкости.
Если поток векторного поля — поле скорости 
частиц текущей жидкости через поверхность σ, то поверхностный интеграл 
равен количеству жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность σ. Если рассматривать магнетическое поле, которое характеризуется вектором магнетической индукции 
, то поверхностный интеграл 
называется магнетическим потоком через поверхность σ и равен общему количеству линий магнетической индукции, пересекающих поверхность σ. В случае электростатического поля интеграл 
выражает число линий электрической силы, пересекающих поверхность σ. Этот интеграл называется потоком вектора интенсивности электростатического поля 
через поверхнсть σ. В теории теплопроводности рассматривается стационарный поток тепла через поверхность σ. Если k — коэффициент теплопроводности, а u(M) — температура в данной области, то поток тепла, протекающего через поверхность σ в единицу времени, определяет интеграл 
.
Видео:Билет №02 "Теорема Гаусса"Скачать
Вычисление потока векторного поля: примеры
Пример 1. Вычислить поток векторного поля 
через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости 
с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.
1) Поверхностью σ является треугольник ABC , а её проекцией на ось xOy — треугольник AOB .
Координатами вектора нормали данной поверхности являются коэффициенты при переменных в уравнении плоскости:
.
Длина вектора нормали:
.
Единичный вектор нормали:
.
Из выражения единичного вектора нормали следует, что направляющий косинус 
. Тогда 
.
Теперь можем выразить поток векторного поля в виде поверхностного интеграла первого рода и начать решать его:
Выразим переменную «зет»:
Продолжаем вычислять интеграл и, таким образом, поток векторного поля:
Получили ответ: поток векторного поля равен 64.
2) Выражая поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода, получаем
.
Представим этот интеграл в виде суммы трёх интегралов и каждый вычислим отдельно. Учитывая, что проекция поверхности на ось yOz является треугольник OCB , который ограничивают прямые y = 0 , z = 0 , y + 3z = 6 или y = 6 − 3z и в точках поверхности 2x = 6 − y − 3 , получаем первый интеграл и вычисляем его:
Проекцией поверхности на ось xOz является треугольник OAC , который ограничен прямыми x = 0 , z = 0 , 2x + 3z = 6 или 
. По этим данным получаем второй интеграл, который сразу решаем:
Проекцией поверхности на ось xOy является треугольник OAB , который ограничен прямыми x = 0 , y = 0 , 2x + y = 6 . Получаем третий интеграл и решаем его:
Осталось только сложить все три интеграла:
.
Получили ответ: поток векторного поля равен 64. Как видим, он совпадает с ответом, полученным в первом случае.
Пример 2. Вычислить поток векторного поля 
через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости 
с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.
Решение. Данная поверхность представляет собой треугольник ABC , изображённый на рисунке ниже.
1) Коэффициенты при x , y и z из уравнения плоскости являются координатами вектора нормали плоскости, которые нужно взять с противоположным знаком (так как вектор нормали верхней стороны треугольника образует с осью Oz острый угол, так что третья координата вектора нормали плоскости должна быть положительной). Таким образом, вектор нормали запишется в координатах так:
.
Длина этого вектора:
,
единичный вектор нормали (орт):
.
Скалярное произведение векторного поля и единичного нормального вектора:
Поток векторного поля, таким образом, представим в виде поверхностного интеграла первого рода
.
Выразим «зет» и продифференцируем то, что уже можно продифференцировать:
2) Представим поток векторного поля в виде поверхностного интеграла второго рода:
.
Первый и второй интегралы берём со знаком «минус», так как вектор нормали поверхности образует с осями Ox и Oy тупой угол.
Вычисляем первый интеграл:
Вычисляем второй интеграл:
Вычисляем третий интеграл:
Складываем три интеграла и получаем тот же самый результат:
.
Пример 3. Вычислить поток векторного поля 
через внешнюю сторону параболоида 
в первом октанте, отсечённую плоскостью z = 9 .
Поток векторного поля представим в виде поверхностного интеграла второго рода:
Второй интеграл берём со знаком минус, так как нормальный вектор поверхности образует с осью Oz тупой угол. Вычисляем первый интеграл:
Вычисляем второй интеграл:
В сумме получаем искомый поток векторного поля:
.
Видео:Урок 222. Поток вектора напряженности электрического поляСкачать
Поток вектора через незамкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского
Содержание:
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Укажем некоторые способы вычисления потока вектора через незамкнутые поверхности. 1. . Пусть поверхность 5 однозначно проектируется на область Dxy плоскости хОу. В этом случае поверхность S можно задать уравнением вида Орт п° нормали к поверхности S находится по формуле Если в формуле (1) берется знак« то угол 7 между осью Oz и нормалью острый; если же знак то угол 7 — тупой.
Так как элемент площади этой поверхности равен то вычисление потока П через выбранную сторону поверхности 5 сводится к вычи-слениюдвойного интеграла по формуле Символ Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность.
Теорема Гаусса—Остроградского означает, что при вычислении в подынтегральной функции надо вместо z всюду поставить f(x> у). Пример 1. Найти поток вектора через часть поверхности параболоида z = s2 + y2, отсеченной плоскостью z = 2. По отношению к области, ограниченной параболоидом, берется внешняя нормаль (рис. 15). Данная поверхность проектируется на круг плоскости хОу с центром в начале координат радиуса .
Находим орт п° нормали к параболоиду: Согласно условию задачи вектор п° образует с осью Oz тупой угол 7, поэтому перед дробью следует взять знак минус. Таким образом, Находим скалярное произведение , значит, Согласно формуле (3) Вводя полярные координаты где получаем Если поверхность 5 проектируется однозначно на область плоскости yOz, то ее можно задать уравнением х = г). В этом случае имеем Наконец, если поверхность S проектируется однозначно на область Dxz плоскости xOzy то ее можно задать уравнением и тогда Знак « + » перед дробью в формуле (10) означает, чтоугол /3 между осью Оу и вектором нормали п° — острый, а знак «-», что угол /3 — тупой.
Замечание. Для нахождения потока вектора через поверхность 5, заданную уравнением г = /(х,у), методом проектирования на координатную плоскость хОу, не обязательно находить орт п° нормали, а можно брать вектор Тогда формула (2) для вычисления потока П примет вид: Аналогичные формулы получаются для потоков через поверхности, задэнные уравнениями Пример 2. Вычислить поток вектора а = хг через внешнюю сторону параболоида ограниченного плоскостью.
Имеем Так как угол 7 — острый, следует выбрать знак « + ». Отсюда Искомый поток вычисляется так: Переходя к полярным координатам , получим Метод проектирования на все координатные плоскости. Пусть поверхность S однозначно проектируется на все три координатные плоскости. Обозначим через Dzy, Dxz, Dyz проекции 5 на плоскости хОу, xOz, yOz соответственно. В этом случае уравнение F у, z) = 0 поверхности S однозначно разрешимо относительно каждого из аргументов, т. е.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Тогда погок вектора к через поверхность S, единичный вектор нормали к которой равен можно записать так: Известно, что причем знак в каждой из формул (14) выбирается таким, каков знак на поверхности S. Подставляя соотношения (12) и (14) в формулу (13), получаем, что Пример 3. Вычислить поток векторного поля через треугольник, ограниченный плоскостями 4 Имеем так что Значит, перед всеми интегралами в формуле (15) следует взять знак « + ».
Полагая получим Вычислим первый интеграл в правой части формулы (16). Область Dvz —треугольник ВОС в плоскости yOz, уравнение стороны . Имеем Аналогично получим . Значит, искомый поток равен 3. Метод введения криволинейных координат на поверхности. Если поверхность 5 является частью кругового цилиндра или сферы, при вычислении потока удобно, не применяя проектирования на координатные плоскости, ввести на поверхности криволинейные координаты. А.
Поверхность 5 является частью кругового цилиндра ограниченного поверхностями будем иметь Элемент площади поверхности выражается так: и поток вектора а через внешнюю сторону поверхности 5 вычисляется по формуле: где 4. Найти поток вектора через внешнюю сторону поверхности цилиндра ограниченной плоскостями Так как то скалярное произведение (а, п°) на цилиндре равно: Тогда по формуле (18) получим В.
Поверхность 5 является частью сфсры офаничснной коническими поверхностями, уравнения которых в сферических координатах имеют вид и полуплоскостями.
Точки данной сферы описываются соотношениями где Поэтому элемент площади В этом случае поток векторного поля а через внешнюю часть поверхности 5 вычисляется по формуле где Пример 5. Найти поток вектора через внешнюю часть сферы Положим Тогда скалярное произведение выразится так: По формуле (21) получим.
Замечание:
Здесь мы воспользовались формулой Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Теорема 4.
Если в некоторой области G пространства R3 координаты вектора непрерывны и имеют непрерывные частные производные , то поток вектора а через любую замкнутую кусочно-гладкую поверхность S, лежащую в области G, равен тройному интегралу от дх ду dz по области V, ограниченной поверхностью S: Здесь — орт внешней нормали к поверхности, а символ означает поток через замкнутую поверхность 5. Эта формула называется формулой Гаусса—Остроградского.
Рассмотрим сначала векгор а, имеющий только одну компоненту а = R(x, у, z)k, и предположим, что гладкая поверхность 5 пересекается каждой прямой, параллельной оси Oz, не более чем в двух точках. Тогда поверхность 5 разбивается на две части 5| и 52, однозначно проектирующиеся на некоторую область D плоскости хОу (рис.21). Внешняя нормаль к поверхности 52 образует острый угол 7 с осью Oz, а внешняя нормаль к поверхности 51 образует тупой угол с осью Oz.
Поэтому cos так что на 52 имеем 7. В силу аддитивности потока имеем Пусть da — элемент площади на поверхности S. Тогда
элемент площади области D. Сведем интегралы по поверхности к двойным интегралам по области D плоскости хОу, на которую проектируются поверхности Si и S2. Пусть S2 описывается уравнением — уравнением z = z(x>y). Тогда Так как приращение непрерывно дифференцируемой фунмции можно представить как интеграл от ее производной то для функции R(x, у, z) будем иметь.
Пользуясь этим, получаем из формулы (3) Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Если поверхность S содержит часть цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси Oz (рис. 22), то на этой части поверхности (Як, п°) = 0 и интеграл / da по ней равен нулю.
| Поэтому формула (4) остается |
справедливой и для поверхностей, содержащих указанные цилиндрические части. Формула (4) переносится и на случай, когда поверхность S пересекается вертикальной прямой более, чем в двух точках (рис. 23). Разрежем область V на части, поверхность каждой из которых пересекается вертикальной прямой не более чем в двух точках, и обозначим через Sp поверхность разреза.
Пусть S и S2 — те части поверхности 5, на которые она разбивается разрезом 5Р, a V и Vj — соответствующие части области V, ограниченные поверхностями . Здесь Sp означает, что вектор нормали к разрезу Sp направлен вверх (образует с осью Oz острый угол), a Sp — что этот вектор нормали направлен вниз (образует с осью Oz тупой угол). Имеем: Складывая полученные равенства и пользуясь аддитивностью потока и тройною интеграла, получим (интегралы по разрезу взаимно уничтожаются).
Рассмотрим, наконец, вектор Для каждой компоненты Лк мы можем написать формулу, аналогичную формуле (4) (все компоненты равноправны). Получим Складывая эти равенства и пользуясь линейностью потока и тройного интеграла, получаем формулу Гаусса—Остро градского Пример 1. Вычислить поток век-гора через замкнутую поверхность по определению, 2) по формуле Остроградского. 4 1)
Поток вектора а равен сумме на поверхности Si), на поверхности S2 К так как Перейдем на цилиндре к криволинейным координатам Тогда 2) По формуле Гаусса—Остроградского имеем Пример 2. Вычислить поток радиус-вектора через сферу радиуса R с центром 8 начале координат: 1) по определению; 2) по формуле Остроградского. Так как для сферы и поэтому 2) Сначала находим Отсюда Пример 3.
Вычислить поток вектора через замкнугую поверхность S, заданную условиями: 1) по определению; 2) по формуле Острогрздя ого (рис.25). Имеем Значит, Поэтому Итак, Имеем Поэтому Переходя к цилиндрическим координатам и замечая,на поверхности 5, имеем Замечание . При вычислении потока через незамкнутую поверхность часто бывает удобно подходящим образом дополнить седо замкнутой и воспользоваться формулой Гаусса—Ос гроградского.
Пример 4:
Вычислить поток вектора Заданная поверхность S есть конус с осыо Оу (рис.26). Замкнем этот конус куском £ плоскости у — I. Тогда, обозначая через П| искомый поток, а через Н2 поток по поверхности будем иметь где V — объем конуса, ограниченного поверхностями S Поток вектора через незамкнутую поверхность метод проектирования на одну из координатных плоскостей Метод проектирования на все координатные плоскости Метод введения криволинейных координат на поверхности Поток вектора через замкнутую поверхность. Теорема Гаусса—Остроградского Так как на поверхности Е выполняется равенство у = 1. Следовательно, ITj
Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 
Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.
Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.
Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.
Видео:Электромагнетизм Пр3.3. Теорема Гаусса. Поле плоскости. Поток через грань кубаСкачать
Поток векторного поля: теория и примеры
Видео:Задача 2. Часть 1. Поток вектора напряженности через поверхность.Скачать
Понятие потока векторного поля и его вычисление как поверхностного интеграла
Своим названием поток векторного поля обязан задачам гидродинамики о потоке жидкости. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла, который выражает общее количество жидкости, протекающей в единицу времени через некоторую поверхность в направлении вектора скорости течения жидкости в данной точке. Понятие потока векторного поля обобщается также на магнетический поток, поток электричества, поток тепла через заданную поверхность и другие. Поток векторного поля может быть вычислен в виде поверхностного интеграла как первого, так и второго рода и далее мы дадим его вывод через эти интегралы.
Пусть в некоторой области пространства задано векторное поле
и поверхность σ, в каждой точке M которой определён единичный вектор нормали . Пусть также направляющие косинусы этого вектора — непрерывные функции координат x, y, z точки M.
Определение потока векторного поля. Потоком W поля вектора через поверхность σ называется поверхностный интеграл
.
Обозначим как a n проекцию вектора на на единичный вектор . Тогда поток можем записать как поверхностный интеграл первого рода
.
.
поток векторного поля можно вычислить и как поверхностный интеграл второго рода
.
Видео:Математика это не ИсламСкачать
Направление и интенсивность потока векторного поля
Поток векторного поля зависит от местоположения поверхности σ. Если поверхность размещена так, что во всех её точках вектор поля образует с вектором нормали поверхности острый угол, то проекции вектора a n положительны и, таким образом поток W также положителен (рисунок ниже). Если же поверхность размещена так, что во всех её точках вектор образует с вектором нормали поверхности тупой угол, то поток W отрицателен.
Через каждую точку поверхности проходит одна векторная линия, поэтому поверхность σ пересекает бесконечное множество векторных линий. Однако условно можно принять, что поверхность σ пересекает некоторое конечное число векторных линий. Поэтому можно считать, что поток векторного поля — это число векторных линий, пересекающих поверхность σ. Чем интенсивнее поток векторного поля, тем более плотно расположены векторные линии и в результате получается бОльший поток жидкости.
Если поток векторного поля — поле скорости частиц текущей жидкости через поверхность σ, то поверхностный интеграл равен количеству жидкости, протекающей в единицу времени через поверхность σ. Если рассматривать магнетическое поле, которое характеризуется вектором магнетической индукции , то поверхностный интеграл называется магнетическим потоком через поверхность σ и равен общему количеству линий магнетической индукции, пересекающих поверхность σ. В случае электростатического поля интеграл выражает число линий электрической силы, пересекающих поверхность σ. Этот интеграл называется потоком вектора интенсивности электростатического поля через поверхнсть σ. В теории теплопроводности рассматривается стационарный поток тепла через поверхность σ. Если k — коэффициент теплопроводности, а u(M) — температура в данной области, то поток тепла, протекающего через поверхность σ в единицу времени, определяет интеграл .
Видео:Найти поток векторного поля через замкнутую поверхность S (нормаль внешняя).Скачать
Вычисление потока векторного поля: примеры
Пример 1. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.
1) Поверхностью σ является треугольник ABC , а её проекцией на ось xOy — треугольник AOB .
Координатами вектора нормали данной поверхности являются коэффициенты при переменных в уравнении плоскости:
.
Длина вектора нормали:
.
Единичный вектор нормали:
.
Из выражения единичного вектора нормали следует, что направляющий косинус . Тогда .
Теперь можем выразить поток векторного поля в виде поверхностного интеграла первого рода и начать решать его:
Выразим переменную «зет»:
Продолжаем вычислять интеграл и, таким образом, поток векторного поля:
Получили ответ: поток векторного поля равен 64.
2) Выражая поток векторного поля через поверхностный интеграл второго рода, получаем
.
Представим этот интеграл в виде суммы трёх интегралов и каждый вычислим отдельно. Учитывая, что проекция поверхности на ось yOz является треугольник OCB , который ограничивают прямые y = 0 , z = 0 , y + 3z = 6 или y = 6 − 3z и в точках поверхности 2x = 6 − y − 3 , получаем первый интеграл и вычисляем его:
Проекцией поверхности на ось xOz является треугольник OAC , который ограничен прямыми x = 0 , z = 0 , 2x + 3z = 6 или . По этим данным получаем второй интеграл, который сразу решаем:
Проекцией поверхности на ось xOy является треугольник OAB , который ограничен прямыми x = 0 , y = 0 , 2x + y = 6 . Получаем третий интеграл и решаем его:
Осталось только сложить все три интеграла:
.
Получили ответ: поток векторного поля равен 64. Как видим, он совпадает с ответом, полученным в первом случае.
Пример 2. Вычислить поток векторного поля через верхнюю сторону треугольника, образованного пересечением плоскости с координатными плоскостями. Решить задачу двумя способами: 1) через поверхностный интеграл первого рода; 2) через поверхностный интеграл второго рода.
Решение. Данная поверхность представляет собой треугольник ABC , изображённый на рисунке ниже.
1) Коэффициенты при x , y и z из уравнения плоскости являются координатами вектора нормали плоскости, которые нужно взять с противоположным знаком (так как вектор нормали верхней стороны треугольника образует с осью Oz острый угол, так что третья координата вектора нормали плоскости должна быть положительной). Таким образом, вектор нормали запишется в координатах так:
.
Длина этого вектора:
,
единичный вектор нормали (орт):
.
Скалярное произведение векторного поля и единичного нормального вектора:
Поток векторного поля, таким образом, представим в виде поверхностного интеграла первого рода
.
Выразим «зет» и продифференцируем то, что уже можно продифференцировать:
2) Представим поток векторного поля в виде поверхностного интеграла второго рода:
.
Первый и второй интегралы берём со знаком «минус», так как вектор нормали поверхности образует с осями Ox и Oy тупой угол.
Вычисляем первый интеграл:
Вычисляем второй интеграл:
Вычисляем третий интеграл:
Складываем три интеграла и получаем тот же самый результат:
.
Пример 3. Вычислить поток векторного поля через внешнюю сторону параболоида в первом октанте, отсечённую плоскостью z = 9 .
Поток векторного поля представим в виде поверхностного интеграла второго рода:
Второй интеграл берём со знаком минус, так как нормальный вектор поверхности образует с осью Oz тупой угол. Вычисляем первый интеграл:
Вычисляем второй интеграл:
В сумме получаем искомый поток векторного поля:
.
🎥 Видео
Непосредственное вычисление потокаСкачать
Демидович №4441б: поток радиус-вектора через замкнутую поверхностьСкачать
Кокшаров Ю. А. - Электромагнетизм - Теорема Остроградского — ГауссаСкачать
Физика. 10 класс. Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса /18.01.2021/Скачать
Урок 223. Теорема ГауссаСкачать
2421. Формула Остроградского.Скачать
Урок 225. Задачи на поток вектора напряженности электрического поляСкачать
Поток векторного поля через поверхность. Поверхностный интеграл.Скачать
Семинар 12. Формула Остроградского — Гаусса.Скачать
