Поток вектора через площадку ds (5 видео)

Поток вектора через площадку ds

Поток вектора напряженности электрического поля. Пусть небольшую площадку D S (рис.1.2) пересекают силовые линии электрического поля, направление которых составляет с нормалью n к этой площадке угол a . Полагая, что вектор напряженности Е не меняется в пределах площадки D S, определим поток вектора напряженности через площадку D S как

Поскольку густота силовых линий равна численному значению напряжённости E, то количество силовых линий, пересекающих площадку D S , будет численно равно значению потока D F _E через поверхность D S . Представим правую часть выражения (1.3) как скалярное произведение векторов E и D S = n D S , где n – единичный вектор нормали к поверхности D S . Для элементарной площадки d S выражение (1.3) принимает вид

Через всю площадку S поток вектора напряженности вычисляется как интеграл по поверхности

Поток вектора электрической индукции. Поток вектора электрической индукции определяется аналогично потоку вектора напряженности электрического поля

В определениях потоков заметна некоторая неоднозначность, связанная с тем, что для каждой поверхности можно задать две нормали противоположного направления. Для замкнутой поверхности положительной считается внешняя нормаль.

Теорема Гаусса. Рассмотрим точечный положительный электрический заряд q , находящийся внутри произвольной замкнутой поверхности S (рис. 1.3). Поток вектора индукции через элемент поверхности d S равен
(1.4)

Составляющую d S_D = d S cos a элемента поверхности d S в направлении вектора индукции D рассматриваем как элемент сферической поверхности радиуса r, в центре которой расположен заряд q .

Учитывая, что d S_D / r 2 равен элементарному телесному углу d w , под которым из точки нахождения заряда q виден элемент поверхности d S, преобразуем выражение (1.4) к виду d F _D = q d w / 4 p , откуда после интегрирования по всему окружающему заряд пространству, т. е. в пределах телесного угла от 0 до 4 p , получим

Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен заряду, заключенному внутри этой поверхности.

Если произвольная замкнутая поверхность S не охватывает точечный заряд q (рис. 1.4), то, построив коническую поверхность с вершиной в точке нахождения заряда, разделим поверхность S на две части: S₁ и S₂. Поток вектора D через поверхность S найдем как алгебраическую сумму потоков через поверхности S₁ и S₂:

Обе поверхности из точки нахождения заряда q видны под одним телесным углом w . Поэтому потоки равны

Поскольку при вычислении потока через замкнутую поверхность используется внешняя нормаль к поверхности, легко видеть, что поток Ф _1D _2D > 0. Суммарный поток Ф _D = 0. Это означает, что поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы не зависит от зарядов, расположенных вне этой поверхности.

Если электрическое поле создаётся системой точечных зарядов q ₁, q ₂, ¼ , q_n , которая охватывается замкнутой поверхностью S, то, в соответствии с принципом суперпозиции, поток вектора индукции через эту поверхность определяется как сумма потоков, создаваемых каждым из зарядов. Поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен алгебраической сумме зарядов, охваченных этой поверхностью:

(1.5)

Следует отметить, что заряды q_i не обязательно должны быть точечными, необходимое условие — заряженная область должна полностью охватываться поверхностью. Если в пространстве, ограниченном замкнутой поверхностью S, электрический заряд распределен непрерывно, то следует считать, что каждый элементарный объём d V имеет заряд . В этом случае в правой части выражения (1.5) алгебраическое суммирование зарядов заменяется интегрированием по объёму, заключённому внутри замкнутой поверхности S:

(1.6)

Выражение (1.6) является наиболее общей формулировкой теоремы Гаусса: поток вектора электрической индукции через замкнутую поверхность произвольной формы равен суммарному заряду в объеме, охваченном этой поверхностью, и не зависит от зарядов, расположенных вне рассматриваемой поверхности. Теорему Гаусса можно записать и для потока вектора напряженности электрического поля :

Из теоремы Гаусса следует важное свойство электрического поля: силовые линии начинаются или заканчиваются только на электрических зарядах или уходят в бесконечность. Еще раз подчеркнем, что, несмотря на то, что напряжённость электрического поля E и электрическая индукция D зависят от расположения в пространстве всех зарядов, потоки этих векторов через произвольную замкнутую поверхность S определяются только теми зарядами, которые расположены внутри поверхности S.

Дифференциальная форма теоремы Гаусса. Отметим, что интегральная форма теоремы Гаусса характеризует соотношения между источниками электрического поля (зарядами) и характеристиками электрического поля (напряженностью или индукцией) в объеме V произвольной, но достаточной для формирования интегральных соотношений, величины. Производя деление объема V на малые объемы V_i , получим выражение

справедливое как в целом, так и для каждого слагаемого. Преобразуем полученное выражение следующим образом:

(1.7)

и рассмотрим предел, к которому стремится выражение в правой части равенства, заключенное в фигурных скобках, при неограниченном делении объема V. В математике этот предел называют дивергенцией вектора (в данном случае вектора электрической индукции D):

Дивергенция вектора D в декартовых координатах:

Таким образом выражение (1.7) преобразуется к виду:

Учитывая, что при неограниченном делении сумма в левой части последнего выражения переходит в объемный интеграл, получим

Полученное соотношение должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V . Это возможно лишь в том случае, если значения подынтегральных функций в каждой точке пространства одинаковы. Следовательно, дивергенция вектора D связана с плотностью заряда в той же точке равенством

или для вектора напряженности электростатического поля

Эти равенства выражают теорему Гаусса в дифференциальной форме.

Отметим, что в процессе перехода к дифференциальной форме теоремы Гаусса получается соотношение, которое имеет общий характер:

Выражение называется формулой Гаусса — Остроградского и связывает интеграл по объему от дивергенции вектора с потоком этого вектора сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую объем.

1) В чем заключается физический смысл теоремы Гаусса для электростатического поля в вакууме

2) В центре куба находится точечный заряд q . Чему равен поток вектора Е:

а) через полную поверхность куба; б) через одну из граней куба.

Изменятся ли ответы, если:

а) заряд находится не в центре куба, но внутри его ; б) заряд находится вне куба.

3) Что такое линейная, поверхностная, объемная плотности заряда.

4) Укажите связь объемной и поверхностной плотности зарядов.

5) Может ли поле вне разноименно и однородно заряженных параллельных бесконечных плоскостей быть отличным от нуля

6) Электрический диполь помещен внутрь замкнутой поверхности. Каков поток сквозь эту поверхность

Видео:Поток векторного поля через замкнутую поверхностьСкачать

Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для поля В

Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) через площадку dS называют скалярную физическую величину, равную

где В_п = ficosa — проекция вектора В на направление нормали к площадке d5 (а — угол между

векторами п и В); dS = ndS — вектор, модуль которого равен d. а направление его совпадает с

направлением нормали п к площадке (dS не является истинным вектором — это псевдовектор).

Будет ли поток вектора В положительным или отрицательным, определяется знаком cos а, а по существу выбором положительного направления нормали п.

Поток вектора В связывают с контуром, по которому течет ток. Поскольку положительное направление нормали к контуру связывается с током правилом правого винта (см. § 49), то магнитный поток, создаваемый контуром через поверхность, ограниченную им самим, всегда положителен.

Поток вектора магнитной индукции Ф_в сквозь произвольную поверхность S

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно вектору В , В = В = const и

Из этой формулы определяется единица магнитного потока в СИ — вебер (Вб): 1 Вб — магнитный поток, проходящий сквозь плоскую поверхность площадью I м : , расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл:

Магнитный поток характеризует магнитное поле, пронизывающее поверхность. Магнитный поток сквозь контур ABCD равен произведению магнитной индукции В на площадь контура S [см. (60.3)]: Ф = BS (рис. 84, я, в).

Если контур ABCD наклонен к линиям магнитной индукции, то он охватывает меньший магнитный поток. В данном случае эффективная площадь А’В’С’О’ равна 5cos а, а поток Ф’ равен BScosa (рис. 84, б, г).

Если контур расположен параллельно линиям магнитной индукции (рис. 84, д), то поток сквозь этот контур равен нулю.

Рассчитаем поток вектора В сквозь бесконечно длинный соленоид (см. § 59). Магнитная индукция поля внутри соленоида (в вакууме), согласно (59.2),

Магнитный поток сквозь один виток соленоида площадью S равен

а полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида и называемый потокоецеп- лением,

Теорема Гаусса для магнитного поля гласит: поток вектора магнитной индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю:

Эта теорема — математическое выражение отсутствия в природе магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

Видео:Урок 222. Поток вектора напряженности электрического поляСкачать

6.6. Поток вектора магнитной индукции. Вихревой характер магнитного поля

Потоком вектора магнитной индукции В (магнитным потоком) через малую поверхность площадью dS называется скалярная физическая величина, равная

Здесь , — единичный вектор нормали к площадке площадью dS, В_n — проекция вектора В на направление нормали, — угол между векторами В и n (рис. 6.28).

Рис. 6.28. Поток вектора магнитной индукции через площадку

Магнитный поток Ф_B через произвольную замкнутую поверхность S равен

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца. Поэтому поток вектора В через замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для любого магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S выполняется условие

Формула (6.28) выражает теорему Остроградского — Гаусса для вектора :

Поток вектора магнитной индукции через произвольную замкнутую поверхность тождественно равен нулю.

Подчеркнем еще раз: эта теорема является математическим выражением того факта, что в природе отсутствуют магнитные заряды, на которых начинались бы и заканчивались линии магнитной индукции, как это имело место в случае напряженности электрического поля Е точечных зарядов.

Это свойство существенным образом отличает магнитное поле от электрического. Линии магнитной индукции замкнуты, поэтому число линий, входящих в некоторый объем пространства, равно числу линий, выходящих из этого объема. Если входящие потоки брать с одним знаком, а выходящие — с другим, то суммарный поток вектора магнитной индукции через замкнутую поверхность будет равен нулю.

В системе СИ единицей измерения магнитного потока является вебер (Вб) (рис. 6.29):

Рис. 6.29. В. Вебер (1804–1891) — немецкий физик

Отличие магнитного поля от электростатического проявляется также в значении величины, которую мы называем циркуляцией — интеграла от векторного поля по замкнутому пути. В электростатике равен нулю интеграл

взятый по произвольному замкнутому контуру. Это связано с потенциальностью электростатического поля, то есть с тем фактом, что работа по перемещению заряда в электростатическом поле не зависит от пути, но лишь от положения начальной и конечной точек.

Посмотрим, как обстоит дело с аналогичной величиной для магнитного поля. Возьмем замкнутый контур, охватывающий прямой ток, и вычислим для него циркуляцию вектора В, то есть

Как было получено выше, магнитная индукция, создаваемая прямолинейным проводником с током на расстоянии R от проводника, равна

Рассмотрим случай, когда контур, охватывающий прямой ток, лежит в плоскости, перпендикулярной току, и представляет собой окружность радиусом R с центром на проводнике. В этом случае циркуляция вектора В по этой окружности равна

Можно показать, что результат для циркуляции вектора магнитной индукции не меняется при непрерывной деформации контура, если при этой деформации контур не пересекает линий тока. Тогда в силу принципа суперпозиции циркуляция вектора магнитной индукции по пути, охватывающем несколько токов, пропорциональна их алгебраической сумме (рис. 6.30)

Рис. 6.30. Замкнутый контур (L) с заданным направлением обхода.
Изображены токи I₁, I₂ и I₃, создающие магнитное поле.
Вклад в циркуляцию магнитного поля вдоль контура (L) дают только токи I₂ и I₃

Если выбранный контур не охватывает токов, то циркуляция по нему равна нулю.

При вычислении алгебраической суммы токов следует учитывать знак тока: положительным будем считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Например, вклад тока I₂ в циркуляцию — отрицательный, а вклад тока I₃ — положительный (рис. 6.18). Воспользовавшись соотношением

между силой тока I через любую замкнутую поверхность S и плотностью тока , для циркуляции вектора В можно записать

где S — любая замкнутая поверхность, опирающаяся на данный контур L.

Циркуляция магнитной индукции отлична от нуля, если контур, по которому она берется, охватывает ток.

Такие поля называются вихревыми. Поэтому для магнитного поля нельзя ввести потенциал, как это было сделано для электрического поля точечных зарядов. Наиболее наглядно разницу потенциального и вихревого полей можно представить по картине силовых линий. Силовые линии электростатического поля похожи на ежей: они начинаются и кончаются на зарядах (либо уходят в бесконечность). Силовые линии магнитного поля никогда не напоминают «ежей»: они всегда замкнуты и охватывают текущие токи.

Для иллюстрации применения теоремы о циркуляции найдем другим методом уже известное нам магнитное поле бесконечного соленоида. Возьмем прямоугольный контур 1-2-3-4 (рис. 6.31) и вычислим циркуляцию вектора В по этому контуру

Рис. 6.31. Применение теоремы о циркуляции В к определению магнитного поля соленоида

Второй и четвертый интегралы равны нулю в силу перпендикулярности векторов и . Третий интеграл можно положить равным нулю, ввиду малости магнитного поля вне соленоида. Поэтому

Рассмотренный контур охватывает суммарный ток nlI, где n — число витков соленоида, приходящееся на единицу длины, I — сила тока в соленоиде. Следовательно,

Мы воспроизвели результат (6.20) без интегрирования магнитных полей от отдельных витков.

Полученный результат (6.35) можно использовать для нахождения магнитного поля тонкого тороидального соленоида (рис.6.32).

Рис. 6.32. Тороидальная катушка: линии магнитной индукции замыкаются внутри катушки и представляют собой концентрические окружности. Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. Одна из линий индукции некоторого радиуса r₁ ≤ r < r₂ изображена на рисунке

Дополнительная информация