Потенциал через радиус вектор

Потенциал электростатического поля

Принцип суперпозиции для вектора напряженности электростатического поля

Потенциал через радиус вектор
Рис. 12.2.

Сложение выполняется по правилу треугольника или параллелограмма, «геометрически», по правилу сложения векторных величин, то есть покоординатно:

Потенциал через радиус вектор(12.2)

Силовая линия. Векторное поле

Потенциал через радиус вектор
Рис. 12.3.1Силовая линия вектора напряженности электростатического поля. Векторное поле

Потенциал через радиус векторПотенциал через радиус вектор

рис. 12.3.2 Примеры линий напряженности зарядовых систем

Потенциал через радиус вектор(12.3)
Потенциал через радиус вектор(12.4)

Пользуясь понятием «силовая линия векторного поля», следует иметь в виду два обстоятельства:

Силовых линий существует бесконечное множество.

Силовая линия сама по себе не содержит информации о величине вектора, величину вектора в окрестности элементарной площадки задает густота линий.

Потенциал электростатического поля

Разные пробные заряды q’,q»,… будут обладать в одной и той же точке поля разными потенциальными энергиями. Однако отношение энергии к зарядубудет для всех зарядов одним и тем же. Поэтому можно вести скалярную величину, являющуюся энергетической характеристикой собственно поля – потенциал.

При перемещении частицы из одной точки потенциального поля в другую работа, которую производят силы поля, может быть представлена как убыль потенциальной энергии частицы, т. е. Потенциал через радиус векторЭто относится и к элементарному перемещению Потенциал через радиус векторили

Потенциал через радиус вектор(12.5)

: Потенциал через радиус векторПоделив обе части на т и обозначив Потенциал через радиус векторполучим

Потенциал через радиус вектор(12.6)
Потенциал через радиус вектор(12.7)

Функцию Потенциал через радиус векторназывают потенциалом поля в точке с радиус-вектором Потенциал через радиус вектор.

Физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому договорились считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю.

Когда говорят «потенциал такой-то точки» – имеют в виду разность потенциалов между этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность.

Потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность

(или наоборот – такую же работу нужно совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля). При этом потенциал больше нуля, если q > 0.

Электрическое поле, создаваемое системой неподвижных электрических зарядов обладает свойством потенциальности: работа электрического поля по перемещению постоянного точечного заряда вдоль замкнутого контура равна нулю.

Рассмотрим электрическое поле одиночного точечного электрического заряда Потенциал через радиус вектор:

Если в точке наблюдения помещен точечный заряд Потенциал через радиус вектор, то по определению:

Потенциал через радиус вектор,(12.8)

где Потенциал через радиус вектор— сила, действующая на точечный заряд Потенциал через радиус векторсо стороны электрического поля Потенциал через радиус вектор.

Элементарная работа по перемещению заряда из точки в точку в поле другого заряда:

Потенциал через радиус вектор

Найдем работу по перемещению пробного заряда Потенциал через радиус векториз точки 1 в точку 2 в поле, создаваемом точечным зарядом q:

Потенциал через радиус вектор(12.9)

Потенциал через радиус вектор. (12.10)

И в этом случае работа сил не зависит от формы пути. Она является только функцией начального и конечного положения заряда.

Для замкнутой траектории L она равна нулю, т. к. Потенциал через радиус вектор, т. е.

Потенциал через радиус векторили Потенциал через радиус вектор(12.11 )

т.е. ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРА НАПРЯЖЕННОСТИ ПО ЛЮБОМУ ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ РАВНА НУЛЮ.

В механике было приведено следующее определение: «Силы, работа которых не зависит от формы пути, называются консервативными силами, а поля, работа сил которых не зави­сит от формы пути, называются потенциальными полями». Таким образом, рассмотренное нами электростатическое поле является потенциальным, а кулоновские силы — консерватив­ными.

1)Линии электростатического поля не могут быть замкнутыми.

Потенциал через радиус векторЕсли поле создается системой зарядов, то, используя принцип суперпозиции, получаем:

Потенциал через радиус вектор Потенциал через радиус векторТогда и для потенциала или

т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.

Выразим работу сил электростатического поля через разность потенциалов между начальной и конечной точками:

Потенциал через радиус вектор

Потенциал через радиус векторИли

Потенциал через радиус векторЗа единицу φ принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице.

В СИ единица потенциала

Электрон — вольт (эВ) – это работа, совершенная силами поля над зарядом, равным заряду электрона при прохождении им разности потенциалов 1 В, то есть:

Потенциал через радиус вектор

Вектор «ротор» напряженности электрического поля Потенциал через радиус вектор:

Потенциал через радиус вектор,

где Потенциал через радиус вектор— орты декартовой системы координат.

Условие потенциальности поля также имеет вид:

Потенциал через радиус вектор.(12.12)

Потенциал электростатического поля можно выразить иначе

Потенциал через радиус вектор.(12.13)

Дифференциал потенциала Потенциал через радиус векторравен элементарной работе против сил электростатического поля, совершаемой над единичным точечным зарядом на перемещении Потенциал через радиус вектор.

Если учесть, что Потенциал через радиус вектор— полный дифференциал, т.е.:

Потенциал через радиус вектор,(12.14)

то легко получить:

Потенциал через радиус вектор(12.15)

В компактной форме записи:

Потенциал через радиус вектор,(12.16)

где вектор Потенциал через радиус векторопределен соотношениями:

Потенциал через радиус вектор.(12.17)

Градиент скалярного поля выделяет направление наискорейшего возрастания скалярной функции, а его модуль численно равен максимальной интенсивности возрастания этой функции.

Скалярное поле часто описывают с помощью «поверхностей уровня», эквипотенциальных или изоповерхностей, которые определяются уравнением

Потенциал через радиус вектор.(12.18)

На эквипотенциальной поверхности

Потенциал через радиус вектор,(12.19)

что можно переписать в векторном виде:

Потенциал через радиус вектор,(12.20)
Потенциал через радиус вектор
Рис. 12.4. Эквипотенциальная поверхность и вектор напряженности электростатического поля

Вектор Потенциал через радиус векторперпендикулярен любому вектору Потенциал через радиус вектор, принадлежащему поверхности Потенциал через радиус вектор, то есть перпендикулярен элементу площади поверхности Потенциал через радиус вектор.

Следовательно, силовые линии электростатического поля перпендикулярны соответствующим элементам площади эквипотенциальной поверхности.

Иногда встречается обозначение

Потенциал через радиус вектор,(12.21)

где Потенциал через радиус вектор— вектор единичной нормали (величина безразмерная!) к поверхности Потенциал через радиус векторв точке, в которой вычисляется вектор Потенциал через радиус вектор, ориентированный в сторону увеличения Потенциал через радиус вектор; Потенциал через радиус вектор— обозначение координаты ( Потенциал через радиус вектор— величина, имеющая размерность длины) вдоль направления Потенциал через радиус вектор. Таким образом Потенциал через радиус вектор— вектор, направленный вдоль описанного выше направления Потенциал через радиус вектори численно равный производной от величины Потенциал через радиус векторпо координате Потенциал через радиус векторвдоль этого направления.

Потенциал произвольной точки пространства определен с точностью до произвольной постоянной:

Потенциал через радиус вектор.(12.22)

При решении большого числа задач (но не всех!) удобно считать, что точка с координатами Потенциал через радиус векторрасположена «на бесконечности», а потенциал ее равен нулю.

Видео:2.4. Радиус-вектор и вектор перемещенияСкачать

2.4. Радиус-вектор и вектор перемещения

Потенциал центрально-симметричного поля

Пусть электрическое поле имеет вид Ё(р) = Е(г)—, F — радиус-

вектор (г = jc/ + у j + zk], г = (х 2 + у 1 + г 2 ) |/2 , Е(г) — некоторая функция. Ищем разность потенциалов между точками Ft = х,/ + yj + zxk и г2 = х2/ +yj + z2k (рис. 7.10).

Отметим особенность данного поля. Имеем |Ё(г) | = ^ |г| = Е(г) |

(если А = аа, а — число, то й = |а| • |а|), т. е. величина напряженности поля одинакова на сфере радиусом г, а направление вектора Е

вдоль луча из начала координат (— = п — вектор единичной длины вдоль

такого луча). Поле обладает, как говорят, сферической симметрией.

Потенциал через радиус вектор

Пусть / — некоторая кривая, ведущая из точки 1 в точку 2. Имеем:

Потенциал через радиус вектор

Вектор d/ ведет из точки г в точку r+dr:F + dr=F + dl, т. е. dr = d/ и dr = dx / + dy j + dz k.

(учтено, что udu = ^d(u 2 )). Этот результат можно было получить еще проще: г dl = г dr = ^d(rr) = ^d(r ! ) = rdr. Таким образом,

Потенциал через радиус вектор Потенциал через радиус вектор

Если функция Е(г) предъявлена, интеграл может быть взят.

Существенно, что координаты начальной и конечной точек входят в ответ лишь в комбинации (х 2 + у 2 + г 2 ) |/2 = г, т. е. разность потенциалов между любыми двумя точками, одна из которых взята на сфере г = г,, другая — на сфере г = rv будет одна и та же.

На сфере х 2 + у 2 + г 2 = г 2 потенциал постоянен. Это следствие сферической симметрии.

Видео:Лекция 4.1 | Радиус-вектор, скорость и ускорение | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

Лекция 4.1 | Радиус-вектор, скорость и ускорение | Александр Чирцов | Лекториум

1.3. Электрическое поле. Напряженность и потенциал поля

Вокруг всякого электрического заряда всегда существует электрическое поле.

Электрическое поле, созданное неподвижным зарядом (или системой неподвижных зарядов), называется электростатическим.

Посредством электростатического поля осуществляется взаимодействие между зарядами. Само понятие поля оказалось весьма плодотворным и широко используется в современной физике. Появление поля означает, что что-то изменилось в окружающем нас пространстве. Математически поле описывается величиной, меняющейся от точки к точке. Например, можно рассмотреть поле скоростей в текущей жидкости. В каждой точке объема жидкости задан вектор скорости, который может меняться со временем (нестационарное течение), а может и быть постоянным (стационарное течение). Это пример векторного поля. К этому же типу полей относится и поле неподвижных электрических зарядов.

Напишем выражение для силы, действующей на точечный заряд Потенциал через радиус векторв результате его взаимодействия с системой точечных зарядов Потенциал через радиус вектор(соотношение Дополнения 1)

Потенциал через радиус вектор

Здесь Потенциал через радиус вектор— радиус-вектор точки, в которой находится заряд Потенциал через радиус вектор. Заряд Потенциал через радиус вектор, на который, действует сила, в подобных ситуациях иногда называют «пробным» зарядом, выписан отдельным множителем. Выражение, стоящее в круглых скобках, определяется исключительно свойствами той системы зарядов, которая воздействует на заряд Потенциал через радиус вектор. Естественно, что это воздействие (сила) зависит от того, где он находится, соответственно, выражение в круглых скобках зависит от радиус-вектора Потенциал через радиус вектор, определяющего местоположение заряда Потенциал через радиус вектор. Следуя изложенной выше идее об электростатическом поле существующем вокруг каждого заряда и, разумеется, системы зарядов, введем силовую характеристику этого поля, называемую напряженностью электрического поля.

Напряженностью электрического поля называется вектор Потенциал через радиус вектор, равный отношению силы, действующей на точечный заряд Потенциал через радиус векторк алгебраической величине этого заряда (рис. 1.12)

Потенциал через радиус вектор

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.12. Вектор напряженности электрического поля отрицательного и положительного точечного заряда

Из и определения напряженности вытекает, что напряженность поля произвольной системы покоящихся зарядов можно записать в виде

Потенциал через радиус вектор

Действительно, сила, с которой данная система зарядов действует на точечный заряд, равна векторной сумме сил, с которыми действует на него каждый из зарядов системы. Отсюда следует, что напряженность электрического поля системы зарядов определяется векторной суммой напряженностей полей, создаваемых отдельными зарядами системы. Имеет место так называемый принцип суперпозиции (независимого наложения) электрических полей

Напряженность поля, созданного системой неподвижных заряженных тел, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым телом в отдельности:

Потенциал через радиус вектор

Принцип суперпозиции является одним из наиболее общих принципов современной физики. Подчеркнем, что напряженности поля складываются векторно.

На рис. 1.13 иллюстрируется принцип суперпозиции полей на примере поля, создаваемого двумя точечными зарядами.

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.13. Принцип суперпозиции электрических полей

Для одного заряда Потенциал через радиус вектор, находящегося в начале координат Потенциал через радиус вектор, для напряженности создаваемого им поля в точке с радиус-вектором Потенциал через радиус векторполучаем (индекс 1 опущен):

Потенциал через радиус вектор

Напряженность поля точечного заряда в различных точках пространства, в общем случае различна и по величине и по направлению (рис. 1.14). Поле точечного заряда — центральное поле, центр симметрии поля совпадает с точкой, в которой находится заряд.

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.14. Векторы напряженности электрического поля заряда q в разных точках пространства

В СИ единицей измерения напряженности электрического поля является ньютон на кулон (Н/Кл), — то есть за единицу напряженности поля принята напряженность такого поля, в котором на заряд равный 1 Кл действует сила, равная 1 Н:

Потенциал через радиус вектор

На практике чаще употребляют другое название этой единицы — «вольт на метр» (В/м) (про единицу «вольт» речь пойдет несколько позже).

Характерные значения напряженностей электрических полей, встречающихся в нашем мире, приведены на рис. 1.15.

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.15. Характерные значения напряженностей электрических полей, встречающихся в природе

Обратим внимание на сходство закона Кулона с законом всемирного тяготения

Потенциал через радиус вектор

Роль зарядов играют массы, а гравитационная постоянная G аналогична коэффициенту Потенциал через радиус векторЗнак минус соответствует тому, что гравитационное взаимодействие всегда является притяжением. Можно ввести и вектор напряженности гравитационного поля как отношение силы Потенциал через радиус вектор, например, к пробной массе Потенциал через радиус вектор:

Потенциал через радиус вектор

Если при этом Потенциал через радиус вектор— масса Земли, а Потенциал через радиус вектореё радиус, то Потенциал через радиус векторесть ни что иное, как хорошо знакомое ускорение свободного падения Потенциал через радиус векторм/с 2 (с точностью до весьма малой центробежной силы инерции, входящей в силу тяжести Потенциал через радиус вектор)

Потенциал через радиус вектор

Пример 4. Среднее расстояние между электроном и протоном в атоме водорода равно r = 5,3·10 –11 м (рис. 1.16). Найти силы электростатического Потенциал через радиус вектори гравитационного Потенциал через радиус векторпритяжения между ними и определить отношение этих сил.

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.16. Электрон и протон в атоме водорода

Решение. Из закона Кулона имеем

Потенциал через радиус вектор

В свою очередь из закона всемирного тяготения следует

Потенциал через радиус вектор

Отношение сил Потенциал через радиус векторне зависит от расстояния между электроном и протоном и равно

Потенциал через радиус вектор

Этот расчет показывает, что в масштабах атомов и молекул силы гравитации столь меньше электростатических, что их можно не принимать во внимание.

Почему же в макромире, где мы обитаем, с законом гравитации мы знакомимся после первой же шишки на первых же шагах в детстве, а закон Кулона остается неизвестным многим из наших сограждан даже после окончания средней школы? Дело в том, что в макромире, как мы видели, положительные и отрицательные электрические заряды в телах скомпенсированы, так что в обычной жизни мы имеем дело с относительно небольшими избыточными зарядами. В то же время все тяготеющие массы имеют один и тот же знак, так что никакой компенсации масс не происходит, и силы гравитации проявляют себя в масштабах макромира в большей степени.

Электрическое поле можно задать, указав для каждой точки величину и направление вектора напряженности электрического поля Потенциал через радиус вектор. Для наглядного изображения электрического поля используют силовые линии (или линии векторного поля Потенциал через радиус вектор).

Линией напряженности электрического поля (силовой линией) называется такая линия, касательная к которой в каждой её точке совпадает по направлению с вектором напряженности электрического поля.

На рис. 1.17 показана силовая линия электрического поля. Векторы напряженности электрического поля направлены по касательной к силовой линии.

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.17. Векторы напряженности электрического поля направлены по касательной к силовым линиям

Число линий, пронизывающих перпендикулярную к ним площадку единичной площади, пропорционально величине (модулю) напряженности электрического поля в данном месте. Другими словами силовые линии проводятся гуще там, где модуль напряженности поля больше. Таким образом, конфигурация силовых линий позволяет судить об изменении направления и величины вектора Потенциал через радиус векторв пространстве. Картина линий векторного поля (не обязательно электрического или магнитного) весьма наглядный графический способ отображения его основных свойств.

Отметим некоторые важные свойства силовых линий электростатического поля:

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.18. Силовые линии точечного заряда: 1 — q > 0; 2 — q 3 . Было замечено, что капелька переставала падать при электрическом поле напряженностью 1,95·10 5 В/м. Это означало, что электростатическая сила qE компенсировала силу тяжести mg.

Масса капельки равна

Потенциал через радиус вектор

Отсюда находим заряд капельки

Потенциал через радиус вектор

то есть капелька несла пять электронных зарядов. Именно в таких экспериментах было обнаружено квантование электрического заряда и определена его минимальная величина e.

Движением заряженных частиц можно управлять, с помощью электрического поля нужной величины и направления. Так происходит, например, в электроннолучевой трубке осциллографа.

На рис. 1.24 показывается движение электронного луча, рисующего на экране электроннолучевой трубки с электрическим отклонением синусоиду. В осциллографе на вертикальные отклоняющие пластины подан усиленный исследуемый сигнал, а на горизонтальные — пилообразное напряжение развёртки. В результате электронный луч «рисует» зависимость исследуемого сигнала от времени на экране осциллографа.

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.24. Принцип действия электроннолучевой трубки

Определение напряженности поля очень часто используется в виде

Потенциал через радиус вектор

В силу определения (или, очевидным образом, это одно и то же) напряженность электрического поля называют его силовой характеристикой — оно определяет силу, действующую на заряд, помещенный в поле.

Пример 5. В пространство между пластинами плоского конденсатора влетает частица, движущаяся параллельно пластинам вдоль оси конденсатора (рис. 1.25). Начальную кинетическую энергию частица по­лучила, пройдя ускоряющую разность потенциалов Потенциал через радиус векторПод действием поля конденсатора частица отклоняется к одной из пластин (в зависимости от знака заряда) и в конечном итоге попадает на нее. Это расстояние Потенциал через радиус векторможно измерить. Известно также расстояние Потенциал через радиус вектормежду пластинами и напряжение Потенциал через радиус векторна конденсаторе. Можно ли по этим данным установить тип частицы (найдя ее удельный заряд, т. е. отношение заряда Потенциал через радиус векторк массе Потенциал через радиус вектор)?

Решение. Решим задачу сначала методом размерностей. Пройденное расстояние должно быть функцией параметров задачи:

Потенциал через радиус вектор

Вспоминая, что произведение потенциала на заряд дает энергию, размерность которой Потенциал через радиус векторполучаем Потенциал через радиус вектор

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.25. движение заряженной частицы между пластинами плоского конденсатора

Подставляя эту размерность, получаем уравнение:

Потенциал через радиус вектор

Сравнивая размерности в обеих частях равенства, приходим к уравнениям:

Потенциал через радиус вектор Потенциал через радиус вектор Потенциал через радиус векторПотенциал через радиус вектор

Последнее уравнение, следующее из отсутствия в левой части величины размерности времени, сразу дает нам Потенциал через радиус векторили Потенциал через радиус векторПосле этого немедленно находим: Потенциал через радиус векторПодставляя найденные значения, получаем:

Потенциал через радиус вектор

Произвольная степень (показатель степени b определить не удалось) означает, что результат зависит от произвольной функции безразмерного отношения Потенциал через радиус вектор

Потенциал через радиус вектор

Вид этой функции мы пока не знаем: если в задачу входят величины одинаковой размерности, то функцию их отношения с помощью анализа размерности найти, естественно, не удастся. Но мы уже можем ответить на вопрос задачи: в ответ не вошли параметры, характеризующие частицу — ни ее масса, ни ее заряд. Все частицы при заданных усло­виях будут отклоняться одинаково, и использовать такой прибор для их идентификации нельзя.

Приведем теперь точное решение задачи. Начальную скорость частицы находим из соотношения

Потенциал через радиус вектор

В конденсаторе частица находится под действием электрического поля Потенциал через радиус вектори приобретает поперечное ускорение Потенциал через радиус векторРасстояние Потенциал через радиус вектордо попадания на пластину она пройдет за время t:

Потенциал через радиус вектор

откуда находим время полета:

Потенциал через радиус вектор

В продольном же направлении за это время частица пролетит расстояние

Потенциал через радиус вектор

Мы приходим к тому же выводу о независимости Потенциал через радиус векторот характеристик частицы. К тому же, теперь найдена функция Потенциал через радиус вектороставшаяся не опреде­ленной в нашем предварительном результате.

В Главе 4 раздела «Механика» было показано, что консервативная сила Потенциал через радиус векторсвязана с потенциальной энергией Потенциал через радиус векторсоотношением

Потенциал через радиус вектор

Здесь знак Потенциал через радиус вектор— общепринятое обозначение векторного оператора «набла», результат действия которого на скалярную функцию координат есть градиент этой функции. Явный вид оператора набла в декартовых координатах следующий:

Потенциал через радиус вектор

Подставив в Потенциал через радиус вектори разделив на Потенциал через радиус вектор, получаем

Потенциал через радиус вектор

Скалярная функция Потенциал через радиус векторназывается потенциалом электрического поля.

Функция Потенциал через радиус вектор, связанная с напряженностью электростати­чес­кого поля соотношением

Потенциал через радиус вектор,

называется потенциалом электростатического поля.

Как видно из (1.13), потенциальная энергия точечного заряда Потенциал через радиус векторв поле с потенциалом Потенциал через радиус векторравна

Потенциал через радиус вектор

а действующая на него сила Потенциал через радиус вектор

Потенциал через радиус вектор

В Дополнении 3 разобран пример использования этих соотношений.

В СИ единицей измерения потенциала электрического поля является вольт (В):

Потенциал через радиус вектор

Напряженность поля определяет силу, действующую в поле на точечный заряд, а потенциал — его потенциальную энергию в этом поле. Поэтому, следуя смыслу соотношений и, напряженность электрического поля Потенциал через радиус векторназывают силовой характеристикой поля, а потенциал Потенциал через радиус вектор— его энергетической характеристикой.

Как и потенциальная энергия, потенциал поля всегда определен с точностью до аддитивной постоянной. Это видно из : поскольку набла есть дифференциальный оператор, потенциалы Потенциал через радиус вектори Потенциал через радиус векторфизически тождественны, так как им соответствует поле одной и той же напряженности

Потенциал через радиус вектор.

Это позволяет нормировать потенциал, произвольно выбирая некоторую точку Потенциал через радиус вектори полагая потенциал в этой точке равным нулю

Потенциал через радиус вектор

Учитывая, что и напряженность поля, и потенциал поля убывают с ростом расстояния Потенциал через радиус вектордо системы зарядов, создающей поле, во всех тех случаях, когда конечный Потенциал через радиус векторзаряд распределен по конечной области пространства, нормировать потенциал естественно и удобно на «нуль на бесконечности», то есть полагать его равным нулю на бесконечном удалении от системы зарядов

Потенциал через радиус вектор

О тех идеализированных случаях, когда нормировка на нуль на бесконечности, именно в силу идеализированности задачи, лишена смысла, будет сказано далее.

Соотношение (1.13) позволяет вычислить напряженность поля по известному потенциалу;

Потенциал через радиус вектор

Получим «обратную» связь: выразим потенциал поля через его напряженность. Для этого сравним три выражения: выражение для Потенциал через радиус векториз (1.18), выражение для вектора бесконечно малого перемещения Потенциал через радиус вектори выражение для полного дифференциала Потенциал через радиус векторфункции Потенциал через радиус вектор:

Потенциал через радиус вектор

Нетрудно видеть, что скалярное произведение двух первых векторов равно полному дифференциалу Потенциал через радиус векторпотенциала

Потенциал через радиус вектор

Потенциал через радиус вектор

На самом деле это соотношение не новое. Если умножить (1.20) на заряд Потенциал через радиус вектори учесть связи (1.14) и (1.15), мы получим знакомое по главе 4 раздела «Механика» соотношение, связывающее работу консервативной силы и убыль потенциальной энергии

Потенциал через радиус вектор.

Там же, в разделе «Механика» было показано, что стационарное потенциальное поле консервативно. Из соотношения (1.18) вытекает, что электростатическое поле консервативно во всех тех случаях, когда потенциал поля не зависит от времени.

Интегрируя соотношение (1.20) от точки Потенциал через радиус вектор, потенциал в которой принят равным нулю, до некоторой точки Потенциал через радиус вектор, потенциал в которой нас интересует, вдоль произвольной, удобной для вычислений кривой (поле консервативно и от формы кривой результат не зависти), получаем

Потенциал через радиус вектор

Вычислим с помощью (1.21) потенциал поля точечного заряда Потенциал через радиус вектор, находящегося в начале координат, нормировав его на нуль на бесконечном удалении от этого заряда. Воспользуемся для этого законом Кулона в форме (1.9):

Потенциал через радиус вектор

При вычислении использовано тождество Потенциал через радиус вектор, справедливое для любого вектора Потенциал через радиус вектор: Потенциал через радиус вектори являющееся результатом простого дифференцирования определения модуля любого вектора: Потенциал через радиус вектор.

Таким образом, потенциал поля точечного заряда находящегося в начале координат имеет вид

Потенциал через радиус вектор

и поле это, как уже отмечалось ранее, центральное: фактически потенциал поля зависит только от Потенциал через радиус вектор.

Учитывая, что стоящей в знаменателе модуль радиус-вектора Потенциал через радиус векторесть ни что иное как расстояние от заряда, создающего поле до точки наблюдения поля, формулу легко обобщить на случай, когда заряд Потенциал через радиус векторнаходится не в начале координат, а в точке с радиус-вектором Потенциал через радиус вектор. В этом случае расстояние от заряда до точки наблюдения поля равно Потенциал через радиус вектори потенциал поля в точке Потенциал через радиус вектор(при прежней нормировке на нуль на бесконечности) равен

Потенциал через радиус вектор

Связь между напряженностью поля и его потенциалом Потенциал через радиус векторлинейная, поэтому принцип суперпозиции для напряженности поля справедлив и для потенциала поля. Другими словами: потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов поля от каждого из зарядов системы. Используя принцип суперпозиции, потенциал поля системы зарядов можно написать сразу Потенциал через радиус вектор:

Потенциал через радиус вектор

Здесь Потенциал через радиус вектор— полное число зарядов в системе.

В случае непрерывного распределения заряда по некоторому объему Потенциал через радиус вектор, получим

Потенциал через радиус вектор

При непрерывном распределении заряда по некоторой поверхности Потенциал через радиус векторили кривой Потенциал через радиус вектор, получим соответственно

Потенциал через радиус вектор

где Потенциал через радиус вектори Потенциал через радиус вектор— соответствующие поверхностная и линейная плотности.

В Дополнении 4 разобран пример использования только что полученных соотношений.

Мы не будем рассматривать здесь отдельно вопрос о работе электростатических сил при перемещении в электростатическом поле точечных зарядов и заряженных тел. Электростатическое поле консервативно (рис. 1.26), потенциальная энергия заряда в поле равна Потенциал через радиус вектор, поэтому работа электростатических сил всегда может быть вычислена с помощью соотношений вида

Потенциал через радиус вектор

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.26. Работа электростатических сил зависит только от положения начальной и конечной точек

Вычислим энергию взаимодействия зарядов, входящих с состав некоторой системы.

Для нумерации этих зарядов удобно использовать два индекса, например, Потенциал через радиус вектори Потенциал через радиус вектор. Одни и те же заряды системы, один раз это Потенциал через радиус вектор, другой раз это Потенциал через радиус вектор. Подчеркнем, что заряд Потенциал через радиус вектори заряд Потенциал через радиус векторэто один и тот же 5-ый заряд системы. Такие «сложности» необходимы для компактной записи выражения для их энергии взаимодействия и вот почему. Заряды взаимодействуют попарно, энергия взаимодействия Потенциал через радиус вектори Потенциал через радиус векторзарядов согласно равна

Потенциал через радиус вектор

Здесь Потенциал через радиус вектор— потенциал Потенциал через радиус векторзаряда в той точке, где находится Потенциал через радиус векторзаряд.

В Потенциал через радиус вектор— взаимодействие заряда самого с собой или его потенциальную энергию в собственном поле мы не рассматриваем.

Поэтому при суммировании энергий попарного взаимодействия зарядов мы обязательно должны учесть, что Потенциал через радиус вектор, во-первых, и, во вторых, каждая пара зарядов должна присутствовать в сумме только один раз. Это можно сделать двумя способами. Первый состоит в том, что при записи двойной суммы, явно оговаривается, например, что Потенциал через радиус вектор:

Потенциал через радиус вектор

При втором способе, при соблюдении неравенства Потенциал через радиус вектор, суммирование ведется по всем возможным значениям Потенциал через радиус вектори Потенциал через радиус вектор, соответственно, слагаемое, отвечающее взаимодействию одной и той же пары зарядов присутствует в сумме дважды, поэтому сумму необходимо разделить на 2. Получается:

Потенциал через радиус вектор

В случае непрерывного распределения заряда по некоторому объёму Потенциал через радиус векторс плотностью Потенциал через радиус вектор, соотношение, к примеру, принимает вид:

Потенциал через радиус вектор

В первой из формул в (1.31) Потенциал через радиус вектор— потенциал всех зарядов кроме Потенциал через радиус векторв той точке Потенциал через радиус вектор, в которой находится Потенциал через радиус вектор, во втором соотношении этот потенциал выписан явно, в третьей выполнена следующая операция: два интеграла, для краткости объединены в один и заряды Потенциал через радиус вектори Потенциал через радиус векторвыражены через плотность заряда Потенциал через радиус вектор.

Мы не выписываем здесь формулы для случаев распределения заряда по поверхности или вдоль некоторой кривой, они лишь требуют замены в Потенциал через радиус векторна Потенциал через радиус вектори Потенциал через радиус вектор.

Для наглядного представления распределения потенциала в пространстве используются эквипотенциальные поверхности.

Эквипотенциальная поверхность (поверхность равного потенциала) — это совокупность точек, имеющих равный потенциал.

Рассмотрим картину эквипотенциальных поверхностей некоторых полей.

Напомним, что как из физических соображений, так и непосредственно из соотношения Потенциал через радиус векторвытекает взаимная ортогональность силовых линий и эквипотенциальных поверхностей. Действительно, согласно определению, уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид

Потенциал через радиус вектор

Дифференцируя это соотношение, получаем

Потенциал через радиус вектор

для всех перемещений Потенциал через радиус вектор, касательных к эквипотенциальной поверхности. Значит вектор Потенциал через радиус векторперпендикулярен эквипотенциальной поверхности. Осталось вспомнить, что вектор Потенциал через радиус векторнаправлен по касательной к силовой линии по определению. Утверждение об ортогональности силовых линий и эквипотенциальных поверхностей доказано.

Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда представляют собой концентрические сферы с центром в точке нахождения заряда (см. рис. 1.27). Эквипотенциальные поверхности обозначены сплошными синими линиями, силовые линии — красными пунктирными линиями.

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.27. Эквипотенциальные поверхности (сферы) (сплошные линии синего цвета) и силовые линии (пунктирные линии красного цвета) поля точечного заряда

Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля представляют собой плоскости, перпендикулярные силовым линиям и расположенные на одинаковом расстоянии друг от друга (см. рис. 1.28).

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.28. Эквипотенциальные поверхности однородного электрического поля

Эквипотенциальные поверхности поля двух одноименных одинаковых точечных зарядов представлены на рис. 1.29.

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.29. Эквипотенциальные поверхности двух одноименных одинаковых точечных зарядов

Эквипотенциальные поверхности поля двух разноименных одинаковых по модулю точечных зарядов представлены на рис. 1.30.

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.30. Эквипотенциальные поверхности двух разноименных одинаковых по модулю точечных зарядов

Графический вид двумерного (в плоскости z = 0) потенциала электрического поля, создаваемого точечным зарядом, расположенным в начале координат, показан на рис. 1.31.

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.31. Вид двумерного (в плоскости z = 0) кулоновского потенциала 1/r вблизи положительного (1) и отрицательного (2) точечного зарядов. В случае (1) положительный пробный заряд натыкается на бесконечно высокий потенциальный барьер, препятствующий проникновению к центру. В случае (2) на пробный заряд действует сила притяжения, и он стремится скатиться в образовавшуюся потенциальную яму

Экспериментальное исследование потенциала поля вокруг заряженного металлического шара с помощью «пламенного» зонда показано на рис. 1.32. Используемый зонд присоединен к электрометру. Для выравнивания потенциала зонда с потенциалом той точки, где он находится, измерительный зонд помещается в пламя небольшой газовой горелки, обеспечивающей ионизацию воздуха и возможность стекания и натекания зарядов на зонд. Демонстрируется уменьшение потенциала при перемещении зонда по радиусу от центра шара и постоянство потенциала при движении зонда по окружности вокруг центра заряженного шара.

Потенциал через радиус вектор

Рис. 1.32. Экспериментальное исследование потенциала поля вокруг заряженного металлического шара с помощью «пламенного» зонда

В Дополнении 7 получено полезное соотношение для градиента скалярной функции, зависящей только от модуля радиус-вектора.

💡 Видео

Радиус векторСкачать

Радиус вектор

ЕГЭ по Физике 2022. Кинематика. Радиус-векторСкачать

ЕГЭ по Физике 2022. Кинематика. Радиус-вектор

10 Класс - Физика - Перемещение. Радиус-вектор.Скачать

10 Класс - Физика - Перемещение. Радиус-вектор.

Радиус-векторыСкачать

Радиус-векторы

Определение параметров движения по заданному радиус-вектору. Векторный способ задания движения.Скачать

Определение параметров движения по заданному радиус-вектору. Векторный способ задания движения.

Билет №03 "Потенциал"Скачать

Билет №03 "Потенциал"

Потенциал электрического поля. 10 класс.Скачать

Потенциал электрического поля. 10 класс.

Потенциальное поле. Нахождение потенциала векторного поляСкачать

Потенциальное поле.  Нахождение потенциала векторного поля

Физика 10 класс (Урок№27 - Напряжённость и потенциал электростатического поля.Разность потенциалов.)Скачать

Физика 10 класс (Урок№27 - Напряжённость и потенциал электростатического поля.Разность потенциалов.)

Лекция 2-2 Потенциал - примерыСкачать

Лекция 2-2  Потенциал  -  примеры

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.Скачать

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса. 10 класс.

Урок 233. Задачи на электрический потенциал - 1Скачать

Урок 233. Задачи на электрический потенциал - 1

Урок 234. Задачи на электрический потенциал - 2Скачать

Урок 234. Задачи на электрический потенциал - 2

Потенциал электростатического поля, разность потенциалов | Физика 10 класс #50 | ИнфоурокСкачать

Потенциал электростатического поля, разность потенциалов | Физика 10 класс #50 | Инфоурок

Урок 235. Задачи на электрический потенциал - 3Скачать

Урок 235. Задачи на электрический потенциал - 3

Задача №2. Потенциал проводящей сферы.Скачать

Задача №2. Потенциал проводящей сферы.

Урок 231. Свойства электрического потенциалаСкачать

Урок 231. Свойства электрического потенциала

Связь напряженности и потенциала. ЭлектростатикаСкачать

Связь напряженности и потенциала. Электростатика
Поделиться или сохранить к себе: