Постройте куб и найдите вектор

Векторы в пространстве и метод координат

Существует два способа решения задач по стереометрии

Первый — классический — требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мозги и пространственное воображение.

Другой метод — применение векторов и координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Он очень удобен, особенно когда времени до экзамена мало, а решить задачу хочется.

Если вы освоили векторы на плоскости и действия с ними — то и с векторами в пространстве разберетесь. Многие понятия окажутся знакомыми.

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Система координат в пространстве

Выберем начало координат. Проведем три взаимно перпендикулярные оси X, Y и Z. Зададим удобный масштаб.

Постройте куб и найдите вектор

Получилась система координат в трехмерном пространстве. Теперь каждая его точка характеризуется тремя числами — координатами по X, Y и Z. Например, запись M(−1; 3; 2) означает, что координата точки M по X (абсцисса) равна −1, координата по Y (ордината) равна 3, а координата по Z (аппликата) равна 2.

Векторы в пространстве определяются так же, как и на плоскости. Это направленные отрезки, имеющие начало и конец. Только в пространстве вектор задается тремя координатами x, y и z:

Постройте куб и найдите вектор

Как найти координаты вектора? Как и на плоскости — из координаты конца вычитаем координату начала.

Постройте куб и найдите вектор
Постройте куб и найдите вектор

Длина вектора Постройте куб и найдите векторв пространстве – это расстояние между точками A и B. Находится как корень квадратный из суммы квадратов координат вектора.

Постройте куб и найдите вектор

Пусть точка M – середина отрезка AB. Ее координаты находятся по формуле:

Постройте куб и найдите вектор

Для сложения векторов применяем уже знакомые правило треугольника и правило параллелограмма

Постройте куб и найдите вектор

Сумма векторов, их разность, произведение вектора на число и скалярное произведение векторов определяются так же, как и на плоскости. Только координат не две, а три. Возьмем векторы Постройте куб и найдите вектори Постройте куб и найдите вектор.

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Произведение вектора на число:

Постройте куб и найдите вектор

Скалярное произведение векторов:

Постройте куб и найдите вектор

Косинус угла между векторами:

Постройте куб и найдите вектор

Последняя формула удобна для нахождения угла между прямыми в пространстве. Особенно если эти прямые – скрещиваются. Напомним, что так называются прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Они лежат в параллельных плоскостях.

1. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и K — середины ребер соответственно A1B1 и B1C1. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Если вам достался куб — значит, повезло. Он отлично вписывается в прямоугольную систему координат. Строим чертеж:

Постройте куб и найдите вектор

Длина ребра куба не дана. Какой бы она ни была, угол между AE и BK от нее не зависит. Поэтому возьмем единичный куб, все ребра которого равны 1.

Прямые AE и BK — скрещиваются. Найдем угол между векторами Постройте куб и найдите вектори Постройте куб и найдите вектор. Для этого нужны их координаты.

Постройте куб и найдите вектор

Запишем координаты векторов:

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

и найдем косинус угла между векторами Постройте куб и найдите вектори Постройте куб и найдите вектор:

Постройте куб и найдите вектор

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, точки E, K — середины ребер SB и SC соответственно. Найдите косинус угла между прямыми AE и BK.

Лучше всего выбрать начало координат в центре основания пирамиды, а оси X и Y сделать параллельными сторонам основания.

Постройте куб и найдите вектор

Координаты точек A, B и C найти легко:

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Из прямоугольного треугольника AOS найдем Постройте куб и найдите вектор

Координаты вершины пирамиды: Постройте куб и найдите вектор

Точка E — середина SB, а K — середина SC. Воспользуемся формулой для координат середины отрезка и найдем координаты точек E и K.

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Найдем координаты векторов Постройте куб и найдите вектори Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

и угол между ними:

Постройте куб и найдите вектор

Покажем теперь, как вписать систему координат в треугольную призму:

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, точка D — середина ребра A1B1. Найдите косинус угла между прямыми AD и BC1

Пусть точка A — начало координат. Возьмем ось X параллельно стороне BC, а ось Y перпендикулярно ей. Другими словами, на оси Y будет лежать отрезок AH, являющийся высотой треугольника ABC. Нарисуем отдельно нижнее основание призмы.

Постройте куб и найдите вектор

Запишем координаты точек:

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Точка D — середина A1B1. Значит, пользуемся формулами для координат середины
отрезка.

Постройте куб и найдите вектор

Найдем координаты векторов Постройте куб и найдите вектори Постройте куб и найдите вектор, а затем угол между ними:

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Смотрите, как легко с помощью векторов и координат найти угол между прямыми. А если требуется найти угол между плоскостями или между прямой и плоскостью? Для решения подобных задач нам понадобится уравнение плоскости в пространстве.

Видео:Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Плоскость в пространстве задается уравнением:

Постройте куб и найдите вектор

Здесь числа A, B и C — координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости. Его называют нормалью к плоскости.

Постройте куб и найдите вектор

Вместо x, y и z можно подставить в уравнение координаты любой точки, принадлежащей данной плоскости. Получится верное равенство.

Плоскость в пространстве можно провести через любые три точки, не лежащие на одной прямой. Поэтому для того, чтобы написать уравнение плоскости, берем координаты трех принадлежащих ей точек. Подставляем их по очереди в уравнение плоскости. Решаем полученную систему.

Покажем, как это делается.

Напишем уравнение плоскости, проходящей через точки M (1; 0; 1), N (2; −2; 0) и K (4; 1; 2).

Уравнение плоскости выглядит так:

Постройте куб и найдите вектор

Подставим в него по очереди координаты точек M, N и K.

Постройте куб и найдите вектор

То есть A + C + D = 0.

Постройте куб и найдите векторПостройте куб и найдите вектор

Аналогично для точки K:

Постройте куб и найдите вектор

Получили систему из трех уравнений:

Постройте куб и найдите вектор

В ней четыре неизвестных: A, B, C и D. Поэтому одну из них мы выберем сами, а другие выразим через нее. Правило простое — вместо одной из переменных можно взять любое число, не равное нулю.

Пусть, например, D = −2. Тогда:

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Выразим C и B через A и подставим в третье уравнение:

Постройте куб и найдите вектор

Решив систему, получим:

Постройте куб и найдите вектор

Уравнение плоскости MNK имеет вид:

Постройте куб и найдите вектор

Умножим обе части уравнения на −3. Тогда коэффициенты станут целыми:

Постройте куб и найдите вектор

Вектор Постройте куб и найдите вектор— это нормаль к плоскости MNK.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку Постройте куб и найдите векторимеет вид:

Постройте куб и найдите вектор

Угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям:

Постройте куб и найдите вектор

Не правда ли, знакомая формула? Скалярное произведение нормалей поделили на произведение их длин.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуется четыре угла.

Постройте куб и найдите вектор

Мы берем меньший из них. Поэтому в формуле стоит модуль скалярного произведения — чтобы косинус угла был неотрицателен.

4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.

Строим чертеж. Видно, что плоскости AEF и BDD1 пересекаются где-то вне куба. В классическом решении пришлось бы строить линию их пересечения. Но векторно-координатный метод значительно всё упрощает. Не будем ломать голову над тем, по какой прямой пересекаются плоскости. Просто отметим координаты нужных нам точек и найдем угол между нормалями к плоскостям AEF и BDD1.

Постройте куб и найдите вектор

Сначала — нормаль к плоскости BDD1. Конечно, мы можем подставить координаты точек B, D и D1 в уравнение плоскости и найти коэффициенты, которые и будут координатами вектора нормали. А можем сделать хитрее — увидеть нужную нормаль прямо на чертеже. Ведь плоскость BDD1 — это диагональное сечение куба. Вектор Постройте куб и найдите векторперпендикулярен этой плоскости.

Итак, первый вектор нормали у нас уже есть: Постройте куб и найдите вектор

Напишем уравнение плоскости AEF.

Постройте куб и найдите вектор

Берем уравнение плоскости Постройте куб и найдите вектори по очереди подставляем в него, вместо x, y и z, соответствующие координаты точек A, E и F.

Постройте куб и найдите векторПостройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Пусть С = -1. Тогда A = B = 2.

Уравнение плоскости AEF: Постройте куб и найдите вектор

Нормаль к плоскости AEF: Постройте куб и найдите вектор

Найдем угол между плоскостями:

Постройте куб и найдите вектор

5. Основание прямой четырехугольной призмы BCDA1B1C1D1 — прямоугольник ABCD, в котором AB = 5, AD = √33. Найдите тангенс угла между плоскостью грани AA1D1D и плоскостью, проходящей через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D, если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3.

Эта задача наглядно показывает, насколько векторный метод проще классического. Попробуйте, для разнообразия, построить необходимые сечения и провести все доказательства — как это делается в «классике» 🙂

Строим чертеж. Прямую четырехугольную призму можно по-другому назвать «параллелепипед».

Постройте куб и найдите вектор

Замечаем, что длина и ширина параллелепипеда у нас есть, а вот высота — вроде не дана. Как же ее найти?

«Расстояние между прямыми A1C1 и BD равно √3». Прямые A1C1 и BD скрещиваются. Одна из них — диагональ верхнего основания, другая — диагональ нижнего. Вспомним, что расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Общий перпендикуляр к A1C1 и BD — это, очевидно, OO1, где O — точка пересечения диагоналей нижнего основания, O1 — точка пересечения диагоналей верхнего. А отрезок OO1 и равен высоте параллелепипеда.

Плоскость AA1 D1 D — это задняя грань призмы на нашем чертеже. Нормаль к ней — это любой вектор, перпендикулярный задней грани, например, вектор Постройте куб и найдите векторили, еще проще, вектор Постройте куб и найдите вектор.

Осталась еще «плоскость, проходящая через середину ребра CD перпендикулярно прямой B1D». Но позвольте, если плоскость перпендикулярна прямой B1D — значит, B1D и есть нормаль к этой плоскости! Координаты точек B1 и D известны:

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Координаты вектора Постройте куб и найдите вектор— тоже:

Постройте куб и найдите вектор

Находим угол между плоскостями, равный углу между нормалями к ним:

Постройте куб и найдите вектор

Зная косинус угла, находим его тангенс по формуле

Постройте куб и найдите вектор

Получим:
Постройте куб и найдите вектор

Ответ: Постройте куб и найдите вектор

Угол между прямой m и плоскостью α тоже вычисляется с помощью скалярного произведения векторов.

Пусть Постройте куб и найдите вектор— вектор, лежащий на прямой m (или параллельный ей), Постройте куб и найдите вектор— нормаль к плоскости α.

Постройте куб и найдите вектор

Находим синус угла между прямой m и плоскостью α по формуле:

Постройте куб и найдите вектор

6. В кубе ABCDA1B1C1D1 точка E — середина ребра A1B1. Найдите синус угла между прямой AE и плоскостью BDD1.

Как всегда, рисуем чертеж и выбираем систему координат

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Находим координаты вектора Постройте куб и найдите вектор.

Нужно ли нам уравнение плоскости BDD1? В общем-то, без него можно обойтись. Ведь эта плоскость является диагональным сечением куба, а значит, нормалью к ней будет любой вектор, ей перпендикулярный. Например, вектор Постройте куб и найдите вектор.

Найдем угол между прямой и плоскостью:

Постройте куб и найдите вектор

Ответ: Постройте куб и найдите вектор

Расстояние от точки M с координатами x0, y0 и z0 до плоскости α, заданной уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно найти по формуле:

Постройте куб и найдите вектор

7. В основании прямоугольного параллелепипеда BCDA1B1C1D1 лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = Постройте куб и найдите вектор, AD = Постройте куб и найдите вектор. Высота параллелепипеда AA1 = Постройте куб и найдите вектор. Найдите расстояние от точки A до плоскости A1DB.

Построим чертеж и выпишем координаты точек:

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Постройте куб и найдите вектор

Запишем уравнение плоскости A1DB. Вы помните, как это делается — по очереди подставляем координаты точек A1, D и B в уравнение Ax + Be + Cz + D

Постройте куб и найдите векторПостройте куб и найдите вектор

Решим эту систему. Выберем Постройте куб и найдите вектор

Тогда Постройте куб и найдите вектор

Уравнение плоскости A1DB имеет вид:

Постройте куб и найдите вектор

Дальше все просто. Находим расстояние от точки A до плоскости A1DB:

Постройте куб и найдите вектор

В некоторых задачах по стереометрии требуется найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. В этом случае можно выбрать любую точку, принадлежащую данной прямой.


источники:

💡 Видео

Угол между векторами. 9 класс.Скачать

Угол между векторами. 9 класс.

№402. Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0)Скачать

№402. Даны координаты четырех вершин куба ABCDA1B1C1D1: А (0; 0; 0), В (0; 0; 1), D (0; 1; 0)

Координаты вектора в пространстве. 11 класс.Скачать

Координаты вектора  в пространстве. 11 класс.

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnlineСкачать

СЕЧЕНИЯ. СТРАШНЫЙ УРОК | Математика | TutorOnline

Найдите разложение вектора по векторам (базису)Скачать

Найдите разложение вектора по векторам (базису)

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Координаты точки и координаты вектора 1.

Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Как построить точки в системе координат OXYZ

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение координат вектора. Практическая часть. 9 класс.

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Разложение вектора по базису. 9 класс.Скачать

Разложение вектора по базису. 9 класс.

10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторов

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Как находить угол между векторамиСкачать

Как находить угол между векторами

9 класс, 2 урок, Координаты вектораСкачать

9 класс, 2 урок, Координаты вектора

Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Как разложить вектор по базису - bezbotvy
Поделиться или сохранить к себе: