Построить равносторонний треугольник с вершинами на параллельных прямых

Оксана Заборовская 5 лет назад Просмотров:

1 На трех параллельных прямых Все начиналось с «классических» задач на тему «Поворот»: а) Постройте равносторонний треугольник с вершинами на трех данных параллельных прямых; б) Постройте квадрат, три вершины которого принадлежат трем данным параллельным прямым. Постепенно появлялись альтернативные способы решения этих двух задач. А также стали встречаться другие задачи, в которых главным «действующим» лицом оказывались три параллельные прямые. Постепенно сложилась коллекция таких задач, которая может быть полезна как на уроке в математическом классе, так и во время работы спецкурса. С удовольствием выносим подборку задач с тремя параллельными прямыми на суд читателей. Задача 1. Постройте равнобедренный треугольник ABC (AC = AB) с углом BAC = α, три вершины которого лежат на трех данных параллельных прямых. Пусть равнобедренный ABC (AC = AB), вершины которого лежат на параллельных прямых k; n; t, построен (рис.1). Окружность с центром в точке A радиуса AB = AC пусть пересекает прямую k в точке D. Тогда BDC (вписанный, равен половине 2 соответствующего центрального угла BAC = α). При этом DAC является равнобедренным, и серединный перпендикуляр к DC проходит через вершину A. Отсюда построение: из любой точки D к прямой k проводим луч под углом 2 к прямой k. Он пересечет прямую t в вершине C. После чего серединный перпендикуляр к DC в пересечении с прямой n дает вершину A. Засечка из A радиусом, равным AC, позволит получить на прямой k недостающую вершину B. Задача 2. Постройте равносторонний треугольник ABC с вершинами на трех данных параллельных прямых k; n; t. I способ. Эта задача частный случай задачи 1, когда 60.

2 II способ (классический). Осуществим поворот на угол 60 вокруг точки A по часовой стрелке. Тогда вершина B перейдет в C. Остается построить прямую k 1, являющуюся образом прямой k при повороте на 60 по часовой стрелке (рис.2). Точка ее пересечения с прямой t совпадает с вершиной C. Дальнейшее очевидно. Задача 3. Постройте треугольник с углами 30, 60, 90, вершины которого лежат на трех данных параллельных прямых. Пусть A 90 ; B 60 ; C 30 и k; n; t три данные параллельные прямые (рис.3). Анализ показывает, что если мы построим прямую q, параллельную данным и находящуюся на равных расстояниях от k и t, то точка Q середина гипотенузы BC будет принадлежать q. При этом, очевидно, ABQ равносторонний. Остается построить равносторонний ABQ с вершинами на параллельных прямых k; n; q (задача 2) и продлить BQ до пересечения с прямой t в недостающей вершине C. Задача 4. Постройте квадрат ABCD, три вершины которого лежат на трех данных параллельных прямых k; n; t. I способ. Решение аналогично тому, как это сделано в задаче 1. Опишем его. Анализ показывает, что окружность с центром в A радиуса AB пересекает прямую k в точке K такой, что BKD 45 (вписанный, равен половине угла BAD) рис.4. Тогда из произвольной точки K k проводим луч под углом 45 к этой прямой. Он пересечет t в вершине D. Серединный перпендикуляр к отрезку KD позволит получить вершину A n. Дальнейшее очевидно! II способ классический. При повороте вокруг точки A n на 90, например, по часовой стрелке, вершина B перейдет в вершину D. Тогда прямая k 1 образ прямой k при таком повороте вокруг точки A пересечет прямую t в вершине D (рис.5). Причем AD сторона искомого квадрата.

3 III способ. Анализ показывает, что ABE DAF по гипотенузе и острому углу (рис.6). Отложив AF BE (BE расстояние между k и n) и проведя из F перпендикуляр к прямой t, получим вершину D квадрата ABCD. Задача 5. Три вершины квадрата лежат на трех параллельных прямых, расстояния между которыми равны a и b (рис.7). Найдите сторону квадрата. Как было показано в задаче 4 (III способ), BE = AF = a и FD = b. Тогда из теореме Пифагора Задача AD AF FD a b. AFD по F точка в плоскости, где расположены три параллельные прямые k; n; t. Проведите через F прямую, чтобы разность длин высекаемых отрезков между соседними параллельными прямыми была равна данному отрезку a. Анализ показывает, что если провести прямую q параллельно данным на расстоянии от n, равном расстоянию от k до n (рис.8), то искомая прямая пересечет q в точке Q такой, что QT = a (поскольку QN = KN). Тогда строим прямую q. Затем из произвольной ее точки (например, D) делаем засечку на прямой t раствором циркуля, равным a. Получим отрезок DE = a. Прямая, проведенная через F параллельно DE, даст требуемое: NT KN NT QN QT DE a.

4 Задача 7. Через вершины треугольника ABC проведены параллельные друг другу прямые k; n; t, встречающие описанную около треугольника ABC окружность соответственно в точках K; N; T (рис.9). Докажите, что KNT ABC. Доказательство. Поскольку AN KB, а BT NC (дуги, заключенные между параллельными хордами, равны), то AC = KT как хорды, стягивающие равные дуги. Аналогично, AB = KN (так как A K B N A K ). Точно так же BC = NT (что следует из равенства B T C и N C T ). Тогда ABC KNT по трем сторонам. Задача 8. Внутри окружности с центром O даны точки K и T. Провести через указанные точки три параллельные хорды, чтобы две из них были равны. Соединим K и T и найдем середину отрезка KT точку N (рис.10). Прямая NO, содержащая диаметр окружности, определит направление хорд. Хорды AB и CD, проведенные параллельно NO через K и T соответственно, будут равны как хорды, равноудаленные от центра окружности (покажите!). Задача 9. Через три данные точки проведите три параллельные прямые, чтобы расстояния между ними были равны. Сколько решений имеет задача? Если данные точки K; N; T лежат на одной прямой и при этом KN = NT, то подойдут любые три параллельные прямые k; n; t (рис.11). Очевидно, если KN NT (точки K; N; T по-прежнему лежат на одной прямой), то необходимые прямые провести невозможно.

5 Рассмотрим случай, когда точки K; N; T не лежат на одной прямой. Тогда, соединив их, получим KNT. Из вершины N проведем луч n, совпадающий с медианой NE треугольника NTK (рис.12). Прямые k и t, проведенные параллельно n через точки K и T соответственно, будут искомыми. Действительно, KK1 TT1 это следует из равенства KK1E и TT1 E. Поскольку первую медиану можно провести из K или T, то в этом случае задача имеет три решения. Покажите самостоятельно, что других решений нет. Задача 10. От трех параллельных прямых k; n; t остались n и t, а также точка K k. Пользуясь только линейкой, восстановите прямую k. Из произвольной точки A прямой t проведем луч AK, который остановим в произвольной точке B (за точкой K) рис.13. Произвольный луч из B пересечет прямую t в точке C. При этом D AB n и E BC n. Проводим AE и CD, пересекающиеся в точке F. Тогда BF согласно так называемой лемме о трапеции пройдет через середины отрезков AC и DE. Пусть P KE BF. Проведем DP до пересечения с BC в точке Q. Тогда KQ n покажите! Задача 11. Прямые k; n; t параллельны. Точки K k и N n выбраны произвольно. Из этих точек проведены перпендикуляры KK 1 и NN 1 к прямой t. E KN1 NK1 и EF t (рис.14). Докажите, что длина отрезка EF не зависит от положения точек K и N соответственно на прямых k и n. Доказательство.

6 EF FK1 Пусть NN1 a и KK1 b. Из подобия EK1F и NK1N1: (1). Аналогично a N K EF b NF N K 1 (2) из подобия EFN и KK1N. Сложив левые и правые части равенств (1) EF EF ab и (2), получаем: 1, откуда EF. Таким образом, длина отрезка EF a b a b зависит только от расстояния между прямыми n и t; k и t. Задача 12. Через вершины треугольника ABC проведены три параллельные прямые k; n; t соответственно. Они пересекают прямые BC; AC и AK в точках K; N; T. Найдите отношение площадей KNT и ABC. Пусть E AB KN и F BC NT (рис.15). Поскольку AKBN трапеция, то SAEN SBEK S1 (треугольники, прилегающие к боковым сторонам трапеции, равновелики). Аналогично BTCN трапеция и SBFT SCFN S2. Пусть SBFNE S3. Так как AKTC тоже трапеция ( k t), то S KBT = S ABC = S 1 + S 2 + S 3. Итак, S ABC = S 1 + S 2 + S 3. В то же время S KNT = S 1 + S 2 + S 3 +(S 1 + S 2 + S 3 ) = 2(S 1 + S 2 + S 3 ). Поэтому S : S 2:1. Задача 13. Вершины равностороннего треугольника со стороной q расположены на трех параллельных прямых. Расстояние между крайними прямыми равно m. Докажите, что 2 m q m. 3 Доказательство. Пусть ABC данный равносторонний треугольник со стороной q. k; n; t три параллельные прямые. Расстояние между крайними из них (k и t) равно m (рис.16). Проведем CK = m перпендикулярно нашим прямым. Очевидно, q m (гипотенуза не меньше катета) из ACK KNT 1 1 ABC m. Из этого же треугольника: sin CAK, где q

7 CAK 60. Тогда возрастает). Имеем: 3 sin CAK (на интервале от 0 до 90 функция синус 2 m 3 q 2, или q m 23, или q m, что и требовалось доказать. 23 Задача 14. Даны три параллельные прямые k; n; t и три точки D; E; F. Постройте треугольник ABC так, чтобы его вершины лежали на данных прямых, а стороны (или их продолжения) проходили через три данные точки. Для построения воспользуемся теоремой Дезарга: пусть даны два треугольника XYZ и X 1 Y 1 Z 1 с попарно непараллельными сторонами. Известно, что прямые X 1 X; Y 1 Y и Z 1 Z пересекаются в точке Q (рис.17) или параллельны (говорят, что в таком случае точка Q находится в бесконечности). Тогда точки K, N, T точки пересечения соответственно прямых XZ и X 1 Z 1 ; ZY и Z 1 Y 1 ; XY и X 1 Y 1 принадлежат одной прямой. Для доказательства теоремы Дезарга можно несколько раз воспользоваться теоремой Менелая. Теперь перейдем непосредственно к решению задачи. Пусть искомый ABC построен. Анализ показывает, что если построить A1 B1C 1 с соответственными вершинами на прямых k; n; t (их точка пересечения Q находится в бесконечности), где D AB A1B 1; E BC B1C 1, то точка P CA C1A 1 лежит на прямой DE, то есть P D E одна прямая (рис.18). Отсюда вытекает следующее построение: 1) берем точку B 1 на прямой n (произвольно) и проводим B 1 D до пересечения с k в точке A 1 ; 2) проводим B 1 E до пересечения с t в точке C 1 ; 3) прямые ED и C 1 A 1 пересекутся в точке P; 4) прямая PF в пересечении с k и t дает вершины A и C соответственно; 5) очевидно, AD и CE при продолжении пересекутся в недостающей вершине B, где B n. Несколько задач, связанных с тремя параллельными прямыми, предложим для самостоятельного решения. Задача 15. По двум параллельным прямым движутся

8 отрезки AB = a и CD = b. Докажите, что точка пересечения AD и BC движется по третьей прямой, параллельной данным. Задача 16. Через точку Q вне трех параллельных прямых проведите секущую так, чтобы сумма отрезков на соседних параллельных прямых была равна данному отрезку. Задача 17. Вершины равностороннего треугольника лежат на трех параллельных прямых. Расстояния от средней из них до двух крайних равны a и b. Найдите сторону треугольника. Задача 18. Строятся всевозможные треугольники с вершинами на трех данных параллельных прямих. Найдите геометрическое место центроидов треугольника. Задача 19. На прямой отложены равные отрезки AB = BC. Постройте через A; B; C три параллельные прямые, которые отсекают на другой данной прямой отрезки, равные a. Задача 20. Внутри окружности с центром O даны точки K и T. Пользуясь только линейкой, проведите через указанные точки три параллельные хорды, чтобы две из них были равны. А.Карлюченко, Г.Филипповский.

Видео:Построение равнобедренного треугольникаСкачать

Урок по теме «Решение задач по теме «Движение»

Разделы: Математика

Образовательная: совершенствовать знания учащихся по теме “Движение”, Показать применение преобразования “Движения” при решении геометрических и практических задач.

Развивающая: развитие умения обобщать, развитие интереса к изучаемому предмету.

Воспитательная: выработать внимание, самостоятельность при работе на уроке.

I. Орг.момент

II. Проверка домашней работы

III. Устная работа

1) Вспомнить определение преобразования движения.

2) Виды движений. К доске вызываются 4 ученика, каждый из них формулирует определение конкретного вида преобразования Движения. На доске чертится следующий кластер:

3) Повторить свойства движений.

IV. Решение задач

Задача № 1. По одну сторону от отрезка АЕ построены равносторонние треугольники АВС и СДЕ; Р – середина ВЕ, М – середина АД. Докажите, что треугольник СМР – равносторонний.

Выполним преобразование поворот вокруг точки С на угол 60 0 против часовой стрелки. Точка Е переходит в точку D, точка В – в точку А.Отрезок ВЕ переходит в отрезок DА. По свойству поворота середина ВЕ переходит в середину DА, т.е. точка Р переходит в точку М. Значит СР=СМ, и угол РСМ=60 0 . Следовательно, треугольник СМР равносторонний.

Задача № 2 Построить равносторонний треугольник АВС с вершинами на трех данных параллельных прямых.

Допустим, что треугольник построен. Тогда, при повороте вокруг точки А против часовой стрелки на угол 60 0 точка С переходит в точку В, а прямая m₃ в прямую m.

Построение:

1. На прямой m₁ взять точку А.
2. Повернуть прямую m₃ вокруг точки А против часовой стрелке на угол 60 0 . Прямая m₃ переходит в прямую m . Точка пересечения этих прямых есть точка В.
3. Выполнить поворот вокруг точки А на угол 60 0 по часовой стрелке точку В. Полученная точка и есть точка С.
4. Построить треугольник АВС.

Задача № 3 Два прямоугольных треугольника расположены так, что их медианы проведенные к гипотенузе параллельны и равны. Докажите, что угол между некоторыми катетами вдвое меньше угла между гипотенузами.

Выполним параллельный перенос на вектор . При этом переносе точка С—> С₁,точка М —> М₁.

Построим окружность с центром в точке М₁ и радиуса М₁А. М₁ – середина гипотенузы прямоугольных треугольников® точки А, А₁, С₁, В₁, В – лежат на этой окружности. Угол между гипотенузами АМ₁А₁ – центральный угол, опирающийся на дугу АА₁, угол между катетами АС₁А₁ – также опирается на эту дугу и он вписанный. По теореме о вписанном угле 2? АС₁А₁=? АМ₁А₁

Задача № 4 (Задача на применение движения (параллельного переноса, неравенство треугольника) В каком месте следует построить мост MN через реку, разделяющую две данные деревни А и В, чтобы путь АМNВ из деревни А в деревню В был кратчайшим? (берега реки считаются параллельными прямыми, мост строиться перпендикулярно реке).

Предположим, что некоторое положение моста найдено. При параллельном переносе, переводящем точку М в точку N, точка А перейдет в некоторую точку А₁. Тогда АМ+МN+NВ=АА₁+А₁N+NBАА₁+А₁В (неравенство треугольника), причем равенство достигается, когда точки А₁, N, и В лежат на одной прямой.

Отсюда вытекает следующий способ построения . Выполним параллельный перенос точки А на вектор . Точка А переходит в точку А₁. Соединив точку А₁ с точкой В, получим точу Д, которая и будет точкой начала моста.

V. Подведение итогов урока

1. Вопросы на стр. 281.

2. №1176, Дополнительная задача.

Дополнительная задача: На сторонах треугольника АВС построены из вне равносторонние треугольники АВС₁, ВСА₁, АСВ₁. Докажите, что АА₁, ВВ₁, СС₁ равны и угол между любыми двумя отрезками равен 60 0 .

Выполним преобразование поворот вокруг точки А по часовой стрелке на угол равный 60 0 . При этом АС_1® АВ, а АС® АВ₁. Следовательно СС_1® В₁В. Следовательно, отрезки СС₁ и В₁В равны и угол между ними 60 0 , т.к. поворот сохраняет равенство углов.

Аналогично для сторон АА₁ и СС₁.

Литература

1. Геометрия: Учеб для 7-9 кл. образовательных . учреждений/ Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, и др.
2. Геометрия 7-9, Гордин Р.К. Сборник задач

Видео:№194. Начертите треугольник. Через каждую вершину этого треугольника с помощью чертежногоСкачать

Метод вращения

Указание. Пусть KLMP — искомый квадрат. Тогда центр О квадрата совпадает с центром параллелограмма. Повернем всю фигуру вокруг точки О на 90°; при этом точка М перейдет в точку Р, прямая I (11AD, Mel) перейдет в V, точка Я (ОЯ 1 I, Я е I) перейдет в Я’. Отсюда, выполняя обратный поворот на 90°, можно получить точку М (так как ОН _L Z), а следовательно, получим диагонали КМ и PL.

6.3. Даны две окружности О_а(г_а) и 0₂(г₂), точка М и угол а. Построить равнобедренный треугольник АВС (АВ = АС) так, чтобы угол А равнялся а, вершина А совпадала с точкой М, а две другие вершины лежали бы на окружностях 0₁(г₁) и 0₂(г₂).

Указание. Повернуть вокруг точки М одну из данных окружностей на угол а и найти точки пересечения с другой окружностью. Задача может иметь одно, два или ни одного решения.

• 6.4. Даны точка А, прямая а и окружность О (г). Построить равносторонний треугольник с вершиной в точке А так, чтобы другие его вершины лежали соответственно на прямой а и окружности О (г).
• 6.5. В данный квадрат ABCD вписать равносторонний треугольник, одна из вершин которого дана на стороне квадрата.
• 6.6. Даны две прямые: р и q и точка А. Построить равносторонний треугольник так, чтобы одна его вершина совпадала с точкой А, а две другие лежали на прямых р ид.
• 6.7. На двух данных отрезках найти такую пару точек, что поворот вокруг данной точки на 45° отображает одну точку пары на другую.
• 6.8. Указать соответственно на данных прямой и отрезке такие две точки, чтобы одну из них можно было бы отобразить на другую поворотом вокруг данной точки на 30°.
• 6.9. На данных окружности и прямой найти такие пары точек, что одна точка является образом другой при повороте вокруг данной точки на 72°.
• 6.10. Даны полоса с краями а и Ъ и точка Р, принадлежащая этой полосе (Р g а, Р € Ь). Найти на ее краях а и b соответственно такие точки А и В, что РА = РВ и ZAPB = 90°.
• 6.11. Даны окружности (С^; 3 см), (0₂; 4 см) и точкам. Найти на данных окружностях соответственно точки А и В такие, чтобы AM = МВ и ZAMB = 60°.
• 6.12. На прямыху = Зх + 1 и у = -2х + 3 найти соответственно точки А и В, чтобы они находились на одинаковом расстоянии от начала координат и ZAOB = 90°.
• 6.13. Даны окружность и треугольник. Построить такой отрезок, чтобы концы его принадлежали данным окружности и сторонам треугольника, находились на одинаковом расстоянии от данной точки и были видны из нее под углом 120°.
• 6.14. Даны произвольный треугольник АВС и точка Р, принадлежащая внутренней области треугольника. Указать на сторонах ВС и АС соответственно точки К и М такие, что РК = КМ и ZKPM = 45°.
• 6.15. Построить равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной была данная точка Р, другая принадлежала данной прямой а, третья — прямой Ъ.
• 6.16. Даны угол и точка А внутри него. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник, вершиной прямого угла которого является точка А, а две другие вершины принадлежат сторонам данного угла.
• 6.17. Даны окружность, квадрат и точка Р. Построить равнобедренный треугольник РАВ (РА = РВ), вершины А и В которого принадлежат окружности и стороне квадрата, a ZAPB = 45°.
• 6.18. Построить равносторонний треугольник так, чтобы его вершины принадлежали трем данным параллельным прямым.
• 6.19. Даны полоса с краями а и с и прямая Ь, принадлежащая полосе. Построить ромб ABCD так, чтобы его вершины А, В и С принадлежали соответственно прямым а,Ь и с, a ZABC = 60°.
• 6.20. Построить квадрат так, чтобы три его вершины принадлежали трем данным прямым.
• 6.21. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник так, чтобы вершины его острых углов принадлежали данным окружностям, а вершиной прямого угла являлась данная точка.
• 6.22. В данный квадрат вписать равносторонний треугольник так, чтобы одна из его вершин совпала с вершиной квадрата, а две другие принадлежали сторонам квадрата.
• 6.23. На сторонах АВ и АС треугольника АВС построены квадраты ABNM и ACQP, расположенные с треугольником АВС в различных полуплоскостях соответственно с границами АВ и АС. Доказать, что: а) МС = ВР; б) МС1 ВР.
• 6.24. Дан квадрат ABCD. Через центр этого квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, отличные от прямых АС и BD. Доказать, что фигуры, являющиеся пересечением этих прямых с квадратом, равны.
• 6.25. Отрезки, концами которых служат внутренние точки противоположных сторон квадрата, перпендикулярны. Доказать, что эти отрезки равны.
• 6.26. Земельный участок квадратной формы был огорожен. От изгороди сохранились четыре столба на сторонах квадрата. Восстановить границу участка.
• 6.27. Через центр равностороннего треугольника проведены две прямые, угол между которыми равен 60° и которые не содержат вершин треугольника. Доказать, что отрезки этих прямых, заключенные между сторонами треугольника, равны.
• 6.28. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС построены квадраты ABMN и BCPQ, причем квадрат ABMN и треугольник АВС принадлежат различным полуплоскостям с границей АВ, а квадрат BCPQ и треугольник АВС — одной полуплоскости с границей ВС. Доказать, что MQ1AC и MQ = AC.
• 6.29. На сторонах АВ, ВС, CD и DA квадрата ABCD от вершин А, В, С и D отложены конгруэнтные отрезки АА,, ВВ,, СС_Х и DD,. Доказать, что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ — квадрат.
• 6.30. Хорды одной и той же окружности находятся на одинаковом расстоянии от центра окружности. Доказать, что они равны.
• 6.31. Даны две перпендикулярные прямые и точка, не принадлежащая им. Построить равносторонний треугольник с вершиной в данной точке и с двумя другими вершинами на данных прямых.
• 6.32. Построить равносторонний треугольник так, чтобы одной его вершиной была данная точка Р, другая принадлежала данной прямой а, третья — прямой Ь.
• 6.33. Построить равносторонний треугольник, имеющий одной своей вершиной данную точку А, а две другие вершины — на данных параллельных прямых.
• 6.34. Даны две параллельные прямые а, b и точка А, не принадлежащая им. Построить равнобедренный треугольник с данным углом а, вершина которого находится в данной точке А, а вершины основания лежат на прямых а и Ь.
• 6.35. Даны три параллельные прямые а, Ь, с. Построить равносторонний треугольник АВС, вершины которого лежат на данных прямых.
• 6.36. Построить равносторонний треугольник, вершины которого лежат на трех параллельных прямых, а центр — на четвертой прямой, не параллельной трем заданным.
• 6.37. В данный квадрат вписать равносторонний треугольник.
• 6.38. Построить квадрат так, чтобы три его вершины лежали на трех данных параллельных прямых.
• 6.39. Построить квадрат так, чтобы три его вершины принадлежали трем данным пересекающимся прямым.
• 6.40. Из данной точки Р, как из центра, описать дугу окружности так, чтобы концы ее лежали на двух данных окружностях, а градусная мера ее была равна градусной мере данного угла.
• 6.41. Даны две прямые, точка О и угол а. Провести такую окружность с центром О, чтобы одна из дуг этой окружности, концы которой принадлежат данным прямым, по угловой мере была равна а.
• 6.42. Даны две окружности и точка М. Построить равносторонний треугольник MNP, вершины которого N и Р принадлежат данным окружностям.
• 6.43. Даны три концентрические окружности. Построить равносторонний треугольник, вершины которого принадлежат этим окружностям.
• 6.44. Даны окружность, квадрат и точка Р. Построить равнобедренный треугольник РАВ (РА = РВ), вершины А и В которого принадлежат окружности и стороне квадрата, a ZAPB = 45°.
• 6.45. Даны угол и внутри него точка Л. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник, вершина прямого угла которого совпадает с точкой А, а две другие вершины принадлежат сторонам угла.
• 6.46. Построить равнобедренный прямоугольный треугольник так, чтобы вершины его острых углов принадлежали данным окружностям, а вершиной прямого угла являлась данная точка.
• 6.47. Построить квадрат ABCD по его центру О и двум точкам М и N, принадлежащим прямым ВС и CD.
• 6.48. Построить квадрат ABCD по вершине А и двум точкам М и N, принадлежащим прямым ВС и CD.
• 6.49. На окружности с центром в точке О найти две такие точки С и D, что ZCOD = а, АС || BD, где А и В — две данные точки; а — величина данного угла.
• 6.50. Построить треугольник АВС, зная три точки, являющиеся центрами квадратов, построенных на сторонах треугольника, вне его.
• 6.51. Даны четыре точки К, L, М и N. Построить квадрат, стороны которого или их продолжения проходят через эти четыре точки.
• 6.52. Даны четыре точки К, L, М и N, расположенные на одной прямой. Построить квадрат, у которого продолжения двух противоположных сторон пересекают эту прямую в точках К и L, а продолжения двух других сторон — в точках М и N.

📸 Видео

Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

ПОСТРОИТЬ ПРОЕКЦИИ РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА ПО ЗАДАННЫМ УСЛОВИЯМ. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.Скачать

№196. Дан треугольник ABC. Сколько прямых, параллельных стороне АВ, можно провестиСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

№195. Начертите треугольник ABC и отметьте точку D на стороне АС. Через точку D с помощьюСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

Параллельные прямые (задачи).Скачать

Задача, которую боятсяСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Равнобедренный треугольник. 7 класс.Скачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

МЕРЗЛЯК-7 ГЕОМЕТРИЯ. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ПАРАГРАФ-13Скачать

МЕРЗЛЯК 7 ГЕОМЕТРИЯ. СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ. ПАРАГРАФ-15Скачать