Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Что такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Что такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяСвойства хорд и дуг окружности
Что такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Что такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Что такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяТеорема о бабочке

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Видео:Радиус Хорда ДиаметрСкачать

Радиус Хорда Диаметр

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная
КругЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная
РадиусЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная
ХордаЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная
ДиаметрЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная
КасательнаяЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная
СекущаяЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная
Окружность
Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаЧто такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Пересекающиеся хорды
Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная
Пересекающиеся хорды
Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Тогда справедливо равенство

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Окружность

Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.

Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой O:

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Видео:РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?Скачать

РАДИУС ОКРУЖНОСТЬ ДИАМЕТР КРУГ / 3 КЛАСС МАТЕМАТИКА. ЧТО ТАКОЕ ОКРУЖНОСТЬ ? ЧТО ТАКОЕ РАДИУС ?

Построение окружности циркулем

Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Радиус, хорда и диаметр

Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой R или r.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:

Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Для обозначения дуг используется символ Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная:

  • Что такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяAFB — дуга с концами в точках A и B, содержащая точку F;
  • Что такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяAJB — дуга с концами в точках A и B, содержащая точку J.

О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Хорда AB стягивает дуги Что такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяAFB и Что такое окружность хорда радиус диаметр касательнаяAJB.

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Геометрия. Урок 5. Окружность

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

  • Определение окружности
  • Отрезки в окружности

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности .

Что такое окружность хорда радиус диаметр касательная

Видео:Окружность. Круг. 5 класс.Скачать

Окружность. Круг. 5 класс.

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности .

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается . ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается . ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны .

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Видео:Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27862Скачать

Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27862

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

Длина дуги окружности , на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Видео:Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)Скачать

Математика 3 класс (Урок№33 - Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Видео:Подготовка к ОГЭ. Касательная к окружности, хорда, радиус, диаметр.Скачать

Подготовка к ОГЭ. Касательная к окружности, хорда, радиус, диаметр.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

🌟 Видео

Решу ОГЭ по математике. 16 задание. Окружность, радиус ,касательная ,секущая, хордаСкачать

Решу ОГЭ по математике. 16 задание. Окружность, радиус ,касательная ,секущая, хорда

Окружность, круг и их элементы: касательная, хорда, радиусСкачать

Окружность, круг и их элементы: касательная, хорда, радиус

Окружность круг хорда диаметр радиус дуга сектор сегментСкачать

Окружность   круг   хорда   диаметр   радиус   дуга   сектор   сегмент
Поделиться или сохранить к себе: