Построение тупоугольного треугольника в окружности

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
   если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

1. Радиус описанной окружности около треугольника,
   если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
   если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
   если известны все стороны:
   

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
   если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

1. Средняя линия треугольника вписанного
   в окружность, если известно основание:
   

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

1. Высота треугольника вписанного в окружность,
   если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Свойства

• Центр вписанной в треугольник окружности
  находится на пересечении биссектрис.
• В треугольник, вписанный в окружность,
  можно вписать окружность, причем только одну.
• Для треугольника, вписанного в окружность,
  справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
  и Теорема Пифагора.
• Центр описанной около треугольника окружности
  находится на пересечении серединных перпендикуляров.
• Все вершины треугольника, вписанного
  в окружность, лежат на окружности.
• Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
• Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
  треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
  формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

1. Проведем серединные
   перпендикуляры — HO, FO, EO.
2. O — точка пересечения серединных
   перпендикуляров равноудалена от
   всех вершин треугольника.
3. Центр окружности — точка пересечения
   серединных перпендикуляров — около
   треугольника описана окружность — O,
   от центра окружности к вершинам можно
   провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность — это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Серединный перпендикуляр к отрезку

Окружность описанная около треугольника

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Фигура	Рисунок	Свойство
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника		Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке. Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольника		Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника. Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружности		Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности		Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы. Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности		Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусов
Площадь треугольника
Радиус описанной окружности

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольника

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольника

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружности

Для любого треугольника справедливо равенство:

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .

(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Как построить тупоугольный треугольник

Еще дети дошкольного возраста знают, как выглядит треугольник. А вот с тем, какие они бывают, ребята уже начинают разбираться в школе. Одним из видов является тупоугольный треугольник. Понять, что это такое, проще всего, если увидеть картинку с его изображением. А в теории это так называют «простейший многоугольник» с тремя сторонами и вершинами, одна из которых является тупым углом.

Разбираемся с понятиями

В геометрии различают такие виды фигур с тремя сторонами: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники. При этом свойства этих простейших многоугольников одинаковы для всех. Так, для всех перечисленных видов будет соблюдаться такое неравенство. Сумма длин любых двух сторон обязательно будет больше протяженности третьей стороны.

Для каждого многоугольника с тремя вершинами верно и то, что, продолжая любую из сторон, мы получим угол, размер которого будет равен сумме двух несмежных с ним внутренних вершин. Периметр тупоугольного треугольника рассчитывается так же, как и для других фигур. Он равняется сумме длин всех его сторон. Для определения площади треугольника математиками были выведены различные формулы, в зависимости от того, какие изначально присутствуют данные.

Правильное начертание

Одним из важнейших условий решения задач по геометрии является верный рисунок. Часто учителя математики говорят о том, что он поможет не только наглядно представить, что дано и что от вас требуется, но на 80% приблизиться к правильному ответу. Именно поэтому важно знать, как построить тупоугольный треугольник. Если вам нужна просто гипотетическая фигура, то вы можете нарисовать любой многоугольник с тремя сторонами так, чтобы один из углов был больше 90 о .

Основные линии

Зачастую школьникам мало знать только то, как должны выглядеть те или иные фигуры. Они не могут ограничиться лишь информацией о том, какой треугольник тупоугольный, а какой прямоугольный. Курсом математики предусмотрено, что их знания об основных особенностях фигур должны быть более полными.

Так, биссектрисы делят угол пополам, а противоположную сторону – на отрезки, которые пропорциональны прилегающим сторонам.

Медиана делит любой треугольник на два равных по площади. В точке, в которой они пересекаются, каждая из них разбивается на 2 отрезка в пропорции 2 : 1, если смотреть от вершины, из которой она вышла. При этом большая медиана всегда проведена к его наименьшей стороне.

Не меньше внимания уделяется и высоте. Это перпендикуляр к противоположной от угла стороне. Высота тупоугольного треугольника имеет свои особенности. Если она проведена из острой вершины, то она попадает не на сторону этого простейшего многоугольника, а на ее продолжение.

Серединный перпендикуляр – это отрезок, который выходит из центра грани треугольника. При этом он расположен к ней под прямым углом.

Работа с окружностями

В начале изучения геометрии детям достаточно понять, как начертить тупоугольный треугольник, научиться отличать его от остальных видов и запомнить его основные свойства. А вот старшеклассникам этих знаний уже мало. Например, на ЕГЭ часто встречаются вопросы про описанные и вписанные окружности. Первая из них касается всех трех вершин треугольника, а вторая имеет по одной общей точке со всеми сторонами.

Построить вписанный или описанный тупоугольный треугольник уже намного сложнее, ведь для этого необходимо для начала выяснить, где должен находиться центр окружности и ее радиус. Кстати, необходимым инструментом станет в этом случае не только карандаш с линейкой, но и циркуль.

Те же сложности возникают при построении вписанных многоугольников с тремя сторонами. Математиками были выведены различные формулы, которые позволяют определить их месторасположение максимально точно.

Вписанные треугольники

Как уже было сказано ранее, если круг проходит через все три вершины, то это называется описанной окружностью. Главным ее свойством является то, что она единственная. Чтобы выяснить, как должна располагаться описанная окружность тупоугольного треугольника, необходимо помнить, что ее центр находится на пересечении трех серединных перпендикуляров, которые идут к сторонам фигуры. Если в остроугольном многоугольнике с тремя вершинами эта точка будет находиться внутри него, то в тупоугольном – за его пределами.

Зная, например, что одна из сторон тупоугольного треугольника равна его радиусу, можно найти угол, который лежит напротив известной грани. Его синус будет равен результату от деления длины известной стороны на 2R (где R – это радиус окружности). То есть sin угла будет равен ½. Значит, угол будет равен 150 о .

Если вам необходимо найти радиус описанной окружности тупоугольного треугольника, то вам пригодятся сведения о длине его сторон (c, v, b) и его площади S. Ведь радиус высчитывается так: (c х v х b) : 4 х S. Кстати, неважно, какого именно у вас вида фигура: разносторонний тупоугольный треугольник, равнобедренный, прямо- или остроугольный. В любой ситуации, благодаря приведенной формуле, вы можете узнать площадь заданного многоугольника с тремя сторонами.

Описанные треугольники

Также довольно часто приходится работать со вписанными окружностями. По одной из формул, радиус такой фигуры, умноженный на ½ периметра, будет равняться площади треугольника. Правда, для ее выяснения вам необходимо знать стороны тупоугольного треугольника. Ведь для того чтобы определить ½ периметра, необходимо сложить их длины и разделить на 2.

Чтобы понять, где должен находиться центр круга, вписанного в тупоугольный треугольник, необходимо провести три биссектрисы. Это линии, которые делят углы пополам. Именно на их пересечении и будет находиться центр окружности. При этом он будет равноудален от каждой из сторон.

Радиус такой окружности, вписанной в тупоугольный треугольник, равняется квадратному корню из частного (p-c) х (p-v) х (p-b) : p. При этом p – это полупериметр треугольника, c, v, b – его стороны.

Определения

Тупоугольным треугольником будет называться любой треугольник, содержащий тупой угол. Тупоугольный треугольник может быть равнобедренным, но при этом не может быть равносторонним или прямоугольным. Собственно на этом свойства этой фигуры заканчиваются. В остальном это обычный треугольник и подход к решению таких фигур ничем не отличается.

Рис. 1. Тупоугольный треугольник.

В треугольнике сумма углов равна 180 градусам, поэтому только один угол треугольника может быть тупым, два других при этом всегда острые. Площадь тупоугольного треугольника находится так же, как площадь произвольного треугольника.

Рис. 2. Высота в тупоугольном треугольнике.

Только в тупоугольном треугольнике высота может лежать за пределами треугольника.

Рассмотрим несколько интересных задач на нахождение данных в тупоугольном треугольнике.

Пример решения задачи

Рис. 3. Рисунок к задаче.

Для решения любой задачи можно найти несколько способов. В данной ситуации можно пойти через площадь треугольников, достроить тупоугольный треугольник до прямоугольного или воспользоваться теоремой косинусов. Каждый из способов дает представление о том, как можно решать задачи с тупоугольным треугольником. Воспользуемся каждым из них.

Ответ в каждом случае должен быть одинаков. Но если округлять неточные ответы, то в одной задаче при одинаковых решениях можно получить разные величины. Будьте внимательны, результат не должен отличаться больше, чем на 1.

• Через площадь треугольников. Площадь можно найти как половину произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию. А можно как половину произведения двух сторон на синус угла между ними. Нам известен косинус угла, а через косинус всегда можно найти синус.

Теперь запишем две формулы площади, выразим через них высоту и найдем ее значение.

• Второй способ это достроить тупоугольный треугольник до прямоугольного. Если присмотреться, то можно заметить на чертеже два прямоугольных треугольника – это треугольники АМС и АМВ. В треугольнике АМВ можно найти косинус угла АВМ с помощью формул-приведений. Затем через значение косинуса найти значение синуса того же угла. А синус это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Противолежащей катет – это искомая нами высота, а гипотенуза это сторона АВ прямоугольного треугольника.

Тогда синус, как и в первом способе, выразим через основное тригонометрическое тождество.

• Третий метод это теорема синусов и косинусов. Для того, чтобы воспользоваться этим способом, через теорему косинусов найдем значение АС, потом через теорему синусов найдем синус угла АСВ и определим АМ из синуса угла АСВ большого прямоугольного треугольника АМС.

$$sqrt =sqrt =sqrt =3sqrt $$ – по теореме косинусов.

Значение синуса угла АВС определим по основному тригонометрическому тождеству.

Выразим искомый синус угла АСВ.

Выразим из треугольника АМС и найденного значения синуса сторону АМ.

Ответы всех трех способов совпали, а значит задача решена верно.

Что мы узнали?

Мы поговорили об определении тупоугольного треугольника. Узнали и посмотрели на практике, какие методы решения тупоугольных треугольников существуют, а так же выяснили ,какие формулы и теоремы необходимо знать для успешного решения тупоугольного треугольника.

Тест по теме

Оценка статьи

Средняя оценка: 4.6 . Всего получено оценок: 134.

Не понравилось? — Напиши в комментариях, чего не хватает.

Содержание

1. Определения
2. Пример решения задачи
3. Что мы узнали?

Бонус

Тест по теме

• Площадь прямоугольного треугольника
• Высота треугольника
• Площадь правильного треугольника
• Площадь прямого треугольника
• Площадь равностороннего треугольника
• Площадь равнобедренного треугольника
• Медиана треугольника
• Правильный треугольник Тупоугольный треугольник
• Остроугольный треугольник
• Свойства прямоугольного треугольника
• Стороны прямоугольного треугольника
• Средняя линия прямоугольного треугольника
• Признаки подобия прямоугольных треугольников
• Высота равностороннего треугольника
• Медиана равностороннего треугольника
• Неравенство треугольника
• Длина медианы правильного треугольника
• Равнобедренный тупоугольный треугольник
• Средняя линия прямоугольного треугольника
• Длина средней линии треугольника

По многочисленным просьбам теперь можно: сохранять все свои результаты, получать баллы и участвовать в общем рейтинге.

1. 1. Михаил Тяпин 214
2. 2. Наталия Дробот 198
3. 3. Мария Кауфман 192
4. 4. Игорь Проскуренко 157
5. 5. Соня Зверева 153
6. 6. Василиса Варавкина 119
7. 7. Иоанн Стефановский 107
8. 8. Софья Холена 94
9. 9. Оля Проскурина 85
10. 10. Татьяна Бежина 83

1. 1. Мария Николаевна 13,500
2. 2. Лариса Самодурова 12,695
3. 3. Liza 12,310
4. 4. Кристина Волосочева 11,445
5. 5. TorkMen 11,441
6. 6. Ekaterina 11,176
7. 7. Влад Лубенков 11,100
8. 8. Лиса 11,070
9. 9. Юлия Бронникова 11,060
10. 10. Вячеслав 10,840

Самые активные участники недели:

• 1. Виктория Нойманн — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
• 2. Bulat Sadykov — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
• 3. Дарья Волкова — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Три счастливчика, которые прошли хотя бы 1 тест:

• 1. Наталья Старостина — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
• 2. Николай З — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.
• 3. Давид Мельников — подарочная карта книжного магазина на 500 рублей.

Карты электронные(код), они будут отправлены в ближайшие дни сообщением Вконтакте или электронным письмом.

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим виды треугольников и научимся строить прямоугольный треугольник на нелинованной бумаге. Вначале вспомним определение треугольника и его элементы, какие существуют виды углов, узнаем, как на нелинованной бумаге построить прямой угол. Далее узнаем, как делятся треугольники на виды в зависимости от типа углов в них. Рассмотрим несколько задач на нахождение вида треугольников и на построение

Треугольник и его элементы

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой и трех соединяющих их отрезков. В любом треугольнике различают следующие элементы:

Вершины (рис. 1). Это точки.

Рис. 1. Элементы треугольника: вершины

Стороны (Рис. 2). Это отрезки.

Рис. 2. Элементы треугольника: стороны

Рис. 3. Элементы треугольника: углы

Виды углов

Развернутый угол. (Рис. 4)

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Рис. 4. Виды углов: развернутый

Прямой угол (Рис. 5)

Прямой угол составляет половину развернутого.

Рис. 5. Виды углов: прямой угол

Прямой угол можно получить путем складывания бумаги. Сложив лист дважды, мы получим модель прямого угла, его составляют линии сгиба.

Приложим модель угла к углу на чертеже (Рис. 5) таким образом, чтобы углы и стороны совпали (Рис. 6).

Рис. 5. Модель угла и угол на чертеже

Рис. 6. Модель угла, приложенная к углу на чертеже

Мы убедились, что на чертеже действительно изображен прямой угол.

Для удобства определения, прямой угол или нет, используют особый инструмент – прямоугольный треугольник (Рис. 7).

Рис. 7. Прямоугольный треугольник

Непрямые углы делятся на острые (Рис. 8) и тупые (Рис. 11).

Рис. 8. Виды углов: острый угол

Острый угол меньше прямого (Рис. 10).

Рис. 10. Сравнение острого и прямого угла

Рис. 11. Виды углов: тупой угол

Тупой угол больше прямого (Рис. 12).

Рис. 12. Сравнение тупого и прямого угла

Виды треугольников

Прямоугольный треугольник (Рис. 13). Угол – прямой.

Рис. 13. Виды треугольников: прямоугольный треугольник

Остроугольный треугольник (Рис. 14). Все углы данного треугольника острые.

Рис. 14. Виды треугольников: остроугольный треугольник

Тупоугольный треугольник (Рис. 15). Угол – тупой.

Рис. 15. Виды треугольников: тупоугольный треугольник

Задание 1 (определение вида треугольников)

Назовите номера тупоугольных, остроугольных и прямоугольных треугольников на рисунке 16.

Рис. 16. Иллюстрация к заданию 1

Треугольник номер 1 – остроугольный, у него все углы острые. Треугольники номер 3 и 4 – тупоугольные, каждый из них имеет один тупой угол. Фигура номер 2 – прямоугольный треугольник. Проверим, действительно ли эта фигура имеет прямой угол, с помощью прямоугольного треугольника (Рис. 17).

Рис. 17. Проверка треугольника номер 2

Мы видим, что вершины и стороны прямого угла совпали, значит, угол прямой, а треугольник прямоугольный.

Задание 2 (построение прямоугольного треугольника)

Постройте на нелинованной бумаге треугольник – 20 см.

Построим точку (Рис. 18).

Рис. 18. Точка

Проведем через точку прямую (Рис. 19).

Рис. 19. Прямая, проведенная через точку

Для построения прямого угла воспользуемся прямоугольным треугольником. Приложим треугольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой , а одна из сторон совпала с лучом, как показано на рис. 20.

Рис. 20. Построение прямого угла

Проведем по второй стороне прямого угла треугольника луч из точки и получим прямой угол (Рис. 21).

Рис. 21. Полученный прямой угол

Выполним построение сторон треугольника. Построим отрезок , который равен 15 см (Рис. 22).

Рис. 22. Отрезок

Построим отрезок , который равен 20 см (Рис. 23).

Рис. 23. Отрезок

Соединим полученные точки отрезком см.

Рис. 24. Треугольник

Виды треугольников в зависимости от длины сторон

В зависимости от длины сторон можно выделить разносторонние и равнобедренные треугольники. Вспомним, если у треугольника длины всех сторон различные, то такой треугольник называется разносторонним. Если в треугольнике две стороны по длине равны, то такой треугольник называется равнобедренным, а равные по длине стороны называют боковыми сторонами треугольника, а третья сторона называется основанием треугольника.

Задание 3 (построение прямоугольного равнобедренного треугольника и прямоугольника)

Постройте равнобедренный треугольник по 20 см. Дополните этот треугольник до прямоугольника.

Построим точку (Рис. 25).

Рис. 25. Точка

Проведем через точку прямую (Рис. 26).

Рис. 26. Прямая, проведенная через точку

Для построения прямого угла воспользуемся прямоугольным треугольником. Приложим прямоугольный треугольник так, чтобы вершина прямого угла совпала с точкой , а одна из сторон треугольника – с лучом (Рис. 27).

Рис. 27. Построение прямого угла

Построим по второй стороне прямого угла луч из точки . Получим прямой угол (Рис. 28).

Рис. 28. Прямой угол

Выполним построение сторон треугольника. Отложим на каждом луче отрезок, равный 20 см, и обозначим точки буквами (Рис. 29).

Рис. 29. Стороны будущего треугольника

Соединим полученные точки отрезком (Рис. 29). Мы получили прямоугольный треугольник по 20 см.

Рис. 29. Треугольник

Выполним вторую часть задания: достроим этот треугольник до прямоугольника. В прямоугольнике все углы прямые. Построим прямой угол с вершиной (Рис. 30).

Рис. 30. Построение прямого угла с вершиной

Проведем луч из точки по второй стороне треугольника (Рис. 31).

Рис. 31. Луч из точки

У прямоугольника противоположные стороны равны. Отложим отрезок на новом луче, который равен по длине отрезку (Рис. 32).

Рис. 32. Построение стороны

Соединим точки (Рис. 33).

Рис. 33. Прямоугольник

Обратите внимание, в прямоугольнике все стороны равны, значит, получился квадрат (Рис. 34).

Рис. 34. Полученный квадрат

Заключение

Мы сегодня познакомились с видами треугольников: остроугольным, тупоугольным и прямоугольным, и учились строить прямоугольный треугольник на нелинованной бумаге с помощью инструмента «прямоугольный треугольник».

Список литературы

1. Петерсон Л.Г. Математика. 4 класс. Учебник в 3 ч. – М.: 2013. – 96 с. + 128 с. +96 с.
2. Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. Математика. 4 класс. Учебник в 3 ч. . 2-е изд., испр. – М.: 2013.; Ч.1 – 96 с., Ч.2 – 96 с., Ч.3 – 96 с.
3. Математика. Учебник для 4 кл. нач. шк. В 2 ч./М.И. Моро, М.А. Бантова – М.: Просвещение, 2010.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

1. Постройте на нелинованной бумаге прямоугольный треугольник см. Какой вид имеет такой треугольник?
2. Сколько на рисунке треугольников? Сколько из них прямоугольных?
   
3. Задача на смекалку.
4. Нильс летел в своей стае на спине гуся Мартина. Он обратил внимание, что построение стаи напоминает треугольник: впереди вожак, затем два гуся, в третьем ряду три и т. д. Стая остановилась на ночлег на льдине. Нильс увидел, что расположение гусей на этот раз напоминает квадрат, состоящий из рядов, в каждом ряду – одинаковое количество гусей, причем число гусей в каждом ряду равно числу рядов. Гусей в стае меньше 50. Сколько гусей в стае?

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.