Все центральные углы окружности равны верно или нет

Углы, связанные с окружностью
Все центральные углы окружности равны верно или нетВписанные и центральные углы
Все центральные углы окружности равны верно или нетУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Все центральные углы окружности равны верно или нетДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |Скачать

Всё про вписанные и центральные углы за 4 минуты | Борис Трушин |

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголВсе центральные углы окружности равны верно или нет
Вписанный уголВсе центральные углы окружности равны верно или нетВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголВсе центральные углы окружности равны верно или нетВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголВсе центральные углы окружности равны верно или нетДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголВсе центральные углы окружности равны верно или нетВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаВсе центральные углы окружности равны верно или нет

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиВсе центральные углы окружности равны верно или нетВсе центральные углы окружности равны верно или нет
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаВсе центральные углы окружности равны верно или нетВсе центральные углы окружности равны верно или нет
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияВсе центральные углы окружности равны верно или нетВсе центральные углы окружности равны верно или нет
Угол, образованный касательной и секущейВсе центральные углы окружности равны верно или нетВсе центральные углы окружности равны верно или нет
Угол, образованный двумя касательными к окружностиВсе центральные углы окружности равны верно или нетВсе центральные углы окружности равны верно или нет

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Все центральные углы окружности равны верно или нет
Формула: Все центральные углы окружности равны верно или нет
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Все центральные углы окружности равны верно или нет

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Все центральные углы окружности равны верно или нет
Формула: Все центральные углы окружности равны верно или нет
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Все центральные углы окружности равны верно или нет

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Все центральные углы окружности равны верно или нет

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном углеСкачать

8 класс, 34 урок, Теорема о вписанном угле

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Все центральные углы окружности равны верно или нет

В этом случае справедливы равенства

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Все центральные углы окружности равны верно или нет

В этом случае справедливы равенства

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

Центральные и вписанные углы

Все центральные углы окружности равны верно или нет

О чем эта статья:

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

Все центральные углы окружности равны верно или нет

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

Все центральные углы окружности равны верно или нет

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

Все центральные углы окружности равны верно или нет

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

Все центральные углы окружности равны верно или нет

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

ㄥBAC + ㄥBDC = 180°

Видео:ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный УголСкачать

ВАЖНЫЕ УГЛЫ в Геометрии — Центральный и Вписанный Угол

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

Все центральные углы окружности равны верно или нет

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Видео:Вписанный угол в окружность ❤️ #геометрияСкачать

Вписанный угол в окружность ❤️ #геометрия

Вписанные и центральные углы, их свойства

теория по математике 📈 планиметрия

Видео:ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс АтанасянСкачать

ЦЕНТРАЛЬНЫЙ угол ВПИСАННЫЙ угол окружности 8 класс Атанасян

Вписанный угол

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.Все центральные углы окружности равны верно или нет

Свойства вписанных углов

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

На рисунке показан вписанный угол АСВ и дуга АВ, на которую он опирается. Если, например, дуга АВ=60 0 , то угол АСВ будет равен 30 0 . И наоборот, например, если угол АСВ равен 50 0 , то дуга АВ будет равна 100 0 .

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Свойство вписанного угла №2

Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу, равны.

На рисунке показаны три вписанных угла – ACD, AFD, AND, которые опираются на одну и ту же дугу AD, поэтому эти углы равны.

Все центральные углы окружности равны верно или нетСвойство вписанного угла №2

Вписанный угол, который опирается на диаметр, прямой.

На рисунке угол ВСА опирается на диаметр АВ, следовательно, он равен 90 0 .

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Центральный угол

Центральный угол – это угол, вершина которого лежит в центре окружности.

Все центральные углы окружности равны верно или нет

Свойства центральных углов

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

На рисунке показан центральный угол АОВ, который опирается на дугу АВ. Например, дуга АВ равна 80 0 , тогда угол АОВ равен также 80 0 . И наоборот, например, если центральный угол АОВ будет равен 70 0 , то и дуга АВ также будет равна 70 0 .

Все центральные углы окружности равны верно или нетСвойства вписанного и центрального угла

Если центральный и вписанный угол опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла. И наоборот, центральный угол в 2 раза больше вписанного, если они опираются на одну и ту же дугу.

На рисунке показаны вписанный угол АВС и центральный угол АОС, которые опираются на одну и ту же дугу АС. Например, если величина угла АОС равна 120 0 , то величина угла АВС будет равна 60 0 .

🎥 Видео

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Углы в окружности. 16 задание ОГЭ математика 2023 | Молодой РепетиторСкачать

Углы в окружности. 16 задание ОГЭ математика 2023 | Молодой Репетитор

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№26 - Градусная мера дуги окружности. Центральные углы.)

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.Скачать

Решение задач на тему центральные и вписанные углы.

Углы в окружности | ФормулыСкачать

Углы в окружности | Формулы

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Геометрия. 8 класс. Урок 11 "Вписанные углы"Скачать

Геометрия. 8 класс. Урок 11 "Вписанные углы"

Центральные и вписанные углы окружностиСкачать

Центральные и вписанные углы окружности
Поделиться или сохранить к себе: