Частица массы движется по окружности в центральном поле

Движение частицы в центральном поле

12.1. Сохранение момента импульса в центральном поле.

Сила называется центральной, если для всех точек поля она направлена к одной и той же точке (или от одной и той же точки) и зависит только от расстояния до этой точки, называемой центром сил, или силовым центром.

Уже из определения следует, что центральные силы консервативны.

Итак, центральная сила:

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.1)

Поскольку эта сила консервативна, то можно ввести потенциальную энергию:

Частица массы движется по окружности в центральном поле(12.2)

При движении в центральном поле момент силы равен нулю, т.к. угол между векторами в векторном произведении равен нулю:

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.3)

Тогда из уравнения моментов (11.5) получаем, что момент импульса есть постоянная величина.

При движении частицы в центральном поле полный момент импульса сохраняется, несмотря на то, что система (одна частица) не является замкнутой.

Частица массы движется по окружности в центральном поле Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.4)

Так как Частица массы движется по окружности в центральном поле, т.е. величина и направление вектора

Частица массы движется по окружности в центральном полесохраняются, а вектор момента импульса всегда

перпендикулярен к векторам Частица массы движется по окружности в центральном полеи Частица массы движется по окружности в центральном поле, то движение частицы

происходит в плоскости, перпендикулярной к Частица массы движется по окружности в центральном поле. Отсюда следует,

что частица в поле центральных сил движется по плоской орбите.

Если ось Частица массы движется по окружности в центральном поленаправлена по вектору Частица массы движется по окружности в центральном поле, то Частица массы движется по окружности в центральном поле, а траектория частицы лежит в плоскости, перпендикулярной оси Частица массы движется по окружности в центральном поле. Выше мы получили, что Частица массы движется по окружности в центральном поле, где Частица массы движется по окружности в центральном полепроекция радиус-вектора Частица массы движется по окружности в центральном полена плоскость, в которой лежит траектория частицы. В нашем случае, начало координат и вектор Частица массы движется по окружности в центральном полележит в плоскости орбиты, поэтому

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.5)

Частица массы движется по окружности в центральном поле

Пусть частица движется в в поле центральных сил по плоской траектории, представляющей собой замкнутую кривую.

Площадь Частица массы движется по окружности в центральном полеэлементарного сектора, описываемая радиус-вектором Частица массы движется по окружности в центральном полепри повороте на Частица массы движется по окружности в центральном полеза время Частица массы движется по окружности в центральном поле:

Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Выберем за начало отсчета точку О и найдем площадь сектора Частица массы движется по окружности в центральном поле, показанного на рисунке.

Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Здесь Частица массы движется по окружности в центральном поле— угол между Частица массы движется по окружности в центральном поле(длина радиус-вектора, проведенного к точке Частица массы движется по окружности в центральном поле) и Частица массы движется по окружности в центральном поле. Будем сжимать отрезок Частица массы движется по окружности в центральном полек точке Частица массы движется по окружности в центральном поле. В пределе Частица массы движется по окружности в центральном поле– касательная к траектории частицы в точке Частица массы движется по окружности в центральном поле, т.е. Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Тогда можем записать

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.6)

Вводя понятие секториальной скорости как площади, описываемой радиусом-вектором Частица массы движется по окружности в центральном полев единицу времени, получаем

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.7)

Т.о., мы получили математическое выражение 2-го закона Кеплера, устанавливающего постоянство секториальной скорости планеты Частица массы движется по окружности в центральном полепри движении в центральном поле:

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.8)

Этому закону подчиняется, например, движение планет по эллиптическим орбитам.

Примечание: Закон сохранения момента импульса частицы, движущейся в центральном поле иногда

называют “интегралом площадей”.

Итак, свойства движения частицы в центральном поле:

1) движение плоское, плоскость проходит через точку 0, определенный относительно которой момент импульса частицы сохраняется.

2) секториальная скорость постоянна (II закон Кеплера).

12.2. Закон сохранения энергии в центральном поле.

Центральные силы консервативны, следовательно, полная энергия частицы в системе «силовой центр – частица» (замкнутая система) сохраняется.

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.9)

Частица массы движется по окружности в центральном полеПоскольку задача плоская, удобно воспользоваться полярными координатами и представить импульс частицы в виде суммы радиальной и азимутальной составляющих:

Частица массы движется по окружности в центральном поле.

В полярных координатах выражения для момента импульса Частица массы движется по окружности в центральном полеи полной энергии Частица массы движется по окружности в центральном полечастицы приобретают вид:

Частица массы движется по окружности в центральном поле; (12.10)

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.11)

В выражении (12.10) Частица массы движется по окружности в центральном поле, т.к. Частица массы движется по окружности в центральном поле, и

Частица массы движется по окружности в центральном поле, (12.10а)

т.к. траектория частицы плоская и Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Если, воспользовавшись (12.10), исключить из уравнения (12.11) азимутальную составляющую импульса частицы Частица массы движется по окружности в центральном поле, то полную механическую энергию частицы можно записать как

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.12)

Примечание. Величину Частица массы движется по окружности в центральном поленазывают центробежной энергией.

Уравнение (12.12) содержит только одну неизвестную – радиальную компоненту импульса Частица массы движется по окружности в центральном поле. Поэтому оно может формально рассматриваться как уравнение для энергии одномерного – радиального – движения частицы. В этом случае роль потенциальной энергии играет функция

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.13)

Т.о., можно сказать, что задача о движении частицы в центральном поле сводится к нахождению условий финитности (инфинитности) одномерного движения частицы в радиальном направлении в поле, описываемом эффективной потенциальной функцией Частица массы движется по окружности в центральном поле.

12.3. О траектории движения частицы.

Представим компоненты импульса, записанного в полярных координатах, следующим образом:

Частица массы движется по окружности в центральном поле(12.14)

Далее, т.к. угол между вектором угловой скорости Частица массы движется по окружности в центральном полеи радиус-вектором Частица массы движется по окружности в центральном полеравен Частица массы движется по окружности в центральном поле, то

Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Тогда из (12.10а, 12.12 и 12.14) для энергии и момента импульса частицы, движущейся в центральном поле, получаем

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.15)

Из второго уравнения (12.15) получаем

Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Разделяя переменные, находим в неявном виде зависимость Частица массы движется по окружности в центральном поле:

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.16)

Из первого уравнения (12.15) имеем

Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Исключив из уравнений (12.15) время Частица массы движется по окружности в центральном поле, находим уравнение траектории частицы в центральном поле в полярных координатах (связь между Частица массы движется по окружности в центральном полеи Частица массы движется по окружности в центральном поле):

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.17)

Значения Частица массы движется по окружности в центральном поле, при которых энергия частицы равна

Частица массы движется по окружности в центральном поле, (12.18)

определяют границы области движения по расстоянию от центра поля. При выполнении равенства (12.18) радиальная скорость Частица массы движется по окружности в центральном полеобращается в нуль. Однако равенство нулю ( Частица массы движется по окружности в центральном поле) радиальной составляющей скорости не означает, что частица остановилась, т.к. азимутальная (угловая) компонента скорости отлична от нуля ( Частица массы движется по окружности в центральном поле), поскольку в центральном поле Частица массы движется по окружности в центральном поле. Равенство Частица массы движется по окружности в центральном полеопределяет “точку поворота” траектории, в которой функция Частица массы движется по окружности в центральном поледостигает либо максимального, либо минимального значения, после чего начинает, соответственно, убывать или возрастать.

Если область допустимого изменения Частица массы движется по окружности в центральном полеограничена лишь условием Частица массы движется по окружности в центральном поле, то движение частицы инфинитно – её траектория приходит из бесконечности и уходит на бесконечность.

Если область изменения Частица массы движется по окружности в центральном полеимеет две границы Частица массы движется по окружности в центральном полеи Частица массы движется по окружности в центральном поле, то движение является финитным и траектория частицы лежит внутри кольца, ограниченного окружностями Частица массы движется по окружности в центральном полеи Частица массы движется по окружности в центральном поле, определяющими границы движения. Однако траектория при этом может оставаться незамкнутой.

За время прохождения одной петли (от Частица массы движется по окружности в центральном поледо Частица массы движется по окружности в центральном полеи снова до Частица массы движется по окружности в центральном поле) радиус-вектор частицы совершит поворот на угол

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (12.19)

Условие замкнутости траектории: траектория будет замкнутой, если Частица массы движется по окружности в центральном поле, где Частица массы движется по окружности в центральном полеи Частица массы движется по окружности в центральном поле— целые

Частица массы движется по окружности в центральном полечисла, т.е. за одну петлю радиус-вектор должен повернуться

на угол, равный рациональной части от Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Тогда через Частица массы движется по окружности в центральном полеповторений этого периода времени радиус-

вектор точки, сделав Частица массы движется по окружности в центральном полеполных оборотов, совпадет со своим

первоначальным значением, т.е. траектория замкнется.

Однако такой исход является скорее исключением,

нежели правилом. Существуют лишь два типа центральных

полей, в которых все траектории финитных движений

замкнуты. Это поля, где зависимость потенциальной энергии

от расстояния от центра поля имеет вид:

Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Задача Кеплера (Кеплерова задача) — задача о движении частицы в поле центральных сил, убывающих обратно пропорционально квадрату расстояния от центра поля. Этому закону подчиняются силы гравитационного притяжения между точечными массами (или телами, обладающими сферической симметрией), а также кулоновские силы, действующие между точечными электрическими зарядами. Поэтому такие поля являются важнейшим случаем центральных полей.

В таком поле потенциальная энергия частицы определяется выражением

Частица массы движется по окружности в центральном поле, (13.1)

где Частица массы движется по окружности в центральном полепостоянная величина, Частица массы движется по окружности в центральном полерасстояние от центра поля.

Рассмотрим случай, когда Частица массы движется по окружности в центральном поле, т.е. сила, действующая на частицу массой, направлена к центру поля и

Частица массы движется по окружности в центральном полеявляется силой притяжения. Зависимость эффективной

Частица массы движется по окружности в центральном поле(13.2)

от расстояния от центра поля показана на рисунке.

При Частица массы движется по окружности в центральном поле Частица массы движется по окружности в центральном полестремится к Частица массы движется по окружности в центральном поле, а при Частица массы движется по окружности в центральном поле

она стремится к нулю со стороны отрицательных

значений; при Частица массы движется по окружности в центральном полефункция имеет минимум,

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (13.3)

Из рисунка видно, что движение частицы будет инфинитным при Частица массы движется по окружности в центральном поле, и финитным при Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Форму траектории получаем интегрированием формулы (12.15) после подстановки Частица массы движется по окружности в центральном поле:

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (13.4)

Выбирая начало отсчета угла Частица массы движется по окружности в центральном полетак, чтобы постоянная интегрирования обращалась в нуль ( Частица массы движется по окружности в центральном поле), и введя обозначения

Частица массы движется по окружности в центральном поле, Частица массы движется по окружности в центральном поле, (13.5)

получим уравнение траектории в виде:

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (13.6)

Приложение. Выражение (13.6) – уравнение конического сечения с фокусом в начале координат в полярных координатах; Частица массы движется по окружности в центральном полеи Частица массы движется по окружности в центральном полетак называемые параметр и эксцентриситет орбиты, соответственно.

Коническими сечениями называют эллипс, параболу и гиперболу, т.к. их можно получить на поверхности

круглого конуса в пересечении с плоскостью Частица массы движется по окружности в центральном поле, не проходящей через

вершину конуса. При этом поверхность конуса предполагается

неограниченно продолженной в обе стороны от вершины.

Если плоскость Частица массы движется по окружности в центральном полене параллельна ни одной образующей конуса, то

коническое сечение есть эллипс. Эллипсом называется геометрическое

место точек, сумма расстояний от которых до двух данных точек,

называемых его фокусами, есть величина постоянная. Отношение

фокусного расстояния эллипса к длине его большой оси называется

эксцентриситетом эллипса Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Частица массы движется по окружности в центральном поле

Если плоскость Частица массы движется по окружности в центральном полепараллельна только одной из образующих конуса

Частица массы движется по окружности в центральном поле( Частица массы движется по окружности в центральном поле), то коническое сечение есть парабола. Параболой

называют геометрическое место точек, равноотстоящих

от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой

называемой директрисой. Исходя из её определения,

эксцентриситет параболы принимают равным единице

( Частица массы движется по окружности в центральном поле).

Если плоскость Частица массы движется по окружности в центральном полепараллельна двум образующим конуса

( Частица массы движется по окружности в центральном полеи Частица массы движется по окружности в центральном поле), то коническое сечение есть гипербола.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность

расстояний от которых до двух данных точек, называемых

фокусами, есть величина постоянная. Величина, определяемая

как отношение фокусного расстояния к длине действительной

оси (длина отрезка, соединяющего вершины гиперболы), называется

Частица массы движется по окружности в центральном полеэксцентриситетом гиперболы Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Из аналитической геометрии известно, что все эллипсы (кроме

окружности), параболы и гиперболы обладают следующим свойством: для

каждой из этих линий остается неизменным отношение

Частица массы движется по окружности в центральном поле,

Частица массы движется по окружности в центральном полегде Частица массы движется по окружности в центральном полерасстояние от

произвольной её точки Частица массы движется по окружности в центральном поледо

данной точки Частица массы движется по окружности в центральном поле(фокуса), а

Частица массы движется по окружности в центральном полерасстояние от точки Частица массы движется по окружности в центральном поле

до данной прямой Частица массы движется по окружности в центральном поле

Обобщая сказанное, можно дать

общее определение конического

сечения (эллипса, гиперболы и

параболы): коническое сечение есть

геометрическое место точек, отношение

расстояний которых до данной точки

(фокуса) и до данной прямой (директрисы) есть величина постоянная Частица массы движется по окружности в центральном поле.

для эллипса Частица массы движется по окружности в центральном поле;

для параболы Частица массы движется по окружности в центральном поле;

для гиперболы Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Из (13.5) следует, что при Частица массы движется по окружности в центральном полеэксцентриситет Частица массы движется по окружности в центральном поле, т.е. орбита является эллипсом и движение частицы финитно. Большая и малая полуоси эллипса, согласно формулам аналитической геометрии, равны

Частица массы движется по окружности в центральном поле, (13.7)

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (13.8)

Частица массы движется по окружности в центральном полерасстояние между фокусами эллипса.

Из уравнения (13.6) следует, что точка с Частица массы движется по окружности в центральном полеявляется ближайщей к центру (перигелий орбиты), что, вообще говоря, является следствием сделанного выбора начала отсчета угла Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Наименьшее и наибольшее расстояния частицы от центра поля (фокуса эллипса) составляют (из 13.6)

Частица массы движется по окружности в центральном поле

Частица массы движется по окружности в центральном поле; Частица массы движется по окружности в центральном поле(13.9)

и зависят только от энергии частицы, поскольку из (13.7),

следует, что большая полуось эллипса Частица массы движется по окружности в центральном полезависит только от

энергии, но не от момента импульса частицы).

Примечание. Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце

первый закон Кеплера.

Время обращения по эллиптической орбите (период Частица массы движется по окружности в центральном поле) можно определить с помощью закона сохранения импульса частицы в форме “интеграла площадей”. Интегрируя выражение (12.8) по времени от нуля до Частица массы движется по окружности в центральном поле, получаем

Частица массы движется по окружности в центральном поле, (13.10)

где Частица массы движется по окружности в центральном полеплощадь орбиты. Для эллипса Частица массы движется по окружности в центральном поле, и используя (13.7) и (13.8), находим

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (13.11)

Тот факт, что квадрат периода обращения должен быть пропорционален кубу линейных размеров орбиты, составляет содержание третьего закона Кеплера.

Отметим, что период обращения, как следует из (13.11) зависит только от энергии частицы.

При Частица массы движется по окружности в центральном поле, когда энергия частицы достигает минимума (13.3), эллипс вырождается в окружность.

В случае если энергия частицы Частица массы движется по окружности в центральном поле, её движение инфинитно.

Если энергия частицы положительна Частица массы движется по окружности в центральном поле, то эксцентриситет её орбиты Частица массы движется по окружности в центральном поле(см. 13.5), т.е. траектория движения является гиперболой, огибающей фокус (центр поля). Расстояние перигелия от центра

поля определяется выражением

Частица массы движется по окружности в центральном поле, (13.12)

Частица массы движется по окружности в центральном поле Частица массы движется по окружности в центральном поле(13.13)

В случае, когда полная энергия частицы Частица массы движется по окружности в центральном поле

эксцентриситет кривой Частица массы движется по окружности в центральном поле, т.е. частица движется по параболе,

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (13.14)

Этот случай реализуется, если частица начинает свое движение

из состояния покоя на бесконечности.

Используя выражение (13.9, 13.12 и 13.14) и соответствующие значения эксцентриситета, можно найти скорость частицы в перигелии при движении по всем рассмотренным траекториям. В точке поворота (перигелии) Частица массы движется по окружности в центральном поле, поэтому Частица массы движется по окружности в центральном поле.

По окружности ( Частица массы движется по окружности в центральном поле) будет двигаться частица, имеющая скорость

Частица массы движется по окружности в центральном поле,

движению по параболе ( Частица массы движется по окружности в центральном поле) будет соответствовать скорость

Частица массы движется по окружности в центральном поле.

Если скорость частицы лежит в интервале

Частица массы движется по окружности в центральном поле,

то её траекторией является эллипс ( Частица массы движется по окружности в центральном поле).

Частица массы движется по окружности в центральном поле,

то траектория частицы имеет форму гиперболы ( Частица массы движется по окружности в центральном поле).

В небесной механике Частица массы движется по окружности в центральном полеи Частица массы движется по окружности в центральном полепервая и вторая космические скорости.

Обратимся теперь к движению в поле отталкивания, в котором потенциальная энергия частицы определяется выражением

Частица массы движется по окружности в центральном поле, (13.15)

где Частица массы движется по окружности в центральном поле.

В этом случае эффективная потенциальная энергия частицы

Частица массы движется по окружности в центральном поле Частица массы движется по окружности в центральном поле(13.16)

монотонно убывает от бесконечности до нуля Частица массы движется по окружности в центральном поле

при изменении расстояния от центра поля от нуля до

бесконечности Частица массы движется по окружности в центральном поле. Очевидно, что полная

энергия частицы Частица массы движется по окружности в центральном полеможет быть только положительной

и её движение инфинитно. Все вычисления в этом случае

полностью аналогичны приведенным выше.

Траектория частицы является гиперболой

Частица массы движется по окружности в центральном поле, (13.17)

где характеристики кривой по-прежнему определяются

Двигаясь по такой траектории, частица проходит мимо центра поля, как показано на рисунке. Расстояние

Частица массы движется по окружности в центральном поле. (13.18)

В заключение рассмотрения задачи Кеплера укажем, что при движении в поле центральных сил, котором потенциальная энергия частицы определяется выражением Частица массы движется по окружности в центральном полес любым знаком Частица массы движется по окружности в центральном поле, существует интеграл движения (сохраняющийся во времени вектор), специфический именно для этого поля:

Частица массы движется по окружности в центральном поле, (13.19)

что легко проверить непосредственным вычислением, взяв от него производную по времени.

Сохраняющийся вектор (13.19) направлен вдоль большой оси от фокуса к перигелию и равен по величине Частица массы движется по окружности в центральном поле. Проще всего в этом убедиться, рассмотрев его значение в перигелии.

Интеграл движения, наряду с такими сохраняющимися величинами, полная энергия Частица массы движется по окружности в центральном полеи момент импульса Частица массы движется по окружности в центральном полечастицы, является однозначной функцией состояния (положения и скорости) частицы.

Видео:Степаньянц К. В. - Теоретическая механика I - Движение в центральном полеСкачать

Степаньянц К. В. - Теоретическая механика I - Движение в центральном поле

Энергия

1.77. Найти приращение энергии ΔE, если: а) Е1=2 Дж, E2=5 Дж, б) E1=10 Дж, E2=8 Дж.

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.78. Для указанных в задаче 1.77 начальной Е1 и конечной Е2 энергий найти убыль энергии -ΔE.

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.79. Первоначально покоившаяся частица, находясь под действием силы F=1ex+2ey+3ez (Н), переместилась из точки (2, 4, 6) (м) в точку (3, 6, 9) (м). Найти кинетическую энергию T частицы в конечной точке.

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.80. Находясь под действием постоянной силы с компонентами (3, 10, 8) (Н), частица переместилась из точки 1 с координатами (1, 2, 3) (м) в точку 2 с координатами (3, 2, 1) (м). Определить: а) Какая при этом совершается работа А? б) Как изменилась кинетическая энергия частицы?

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.81. Доказать соотношение: Tл = Tц + mVC 2 /2, где Tл — кинетическая энергия системы материальных точек, определяемая в лабораторной системе отсчета (л-системе), Tц — кинетическая энергия, определяемая в системе центра масс (ц-системе), m — суммарная масса системы, VC — скорость центра масс в л-системе.

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.82. Потенциальная энергия частицы в некотором силовом поле определяется выражением U=1,00x+2,00y 2 +3,00z 3 (U в Дж, координаты в м). Найти работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе из точки с координатами (1,00; 1,00; 1,00) в точку с координатами (2,00; 2,00; 2,00).

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.83. Потенциальная энергия частицы определяется выражением U=a(x 2 +y 2 +z 2 ), где a — положительная константа. Частица начинает двигаться из точки с координатами (3,00; 3,00; 3,00) (м). Найти ее кинетическую энергию T в момент, когда частица находится в точке с координатами (1,00; 1,00; 1,00) (м).

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.84. Два тела соскальзывают без трения и без начальной скорости с наклонных плоскостей 1 и 2 (рис. 1.12). а) Сравнить скорости тел v1 и v2 в конце соскальзывания. б) Одинаковы ли времена соскальзывания t1 и t2?

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.85. Имеются две наклонные плоскости, совпадающие с хордами одной и той же окружности радиуса R (рис. 1.13). С каждой из них соскальзывает без трения и без начальной скорости небольшое тело. Для какой из плоскостей время соскальзывания больше?

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.86. Небольшое тело массы m устанавливают в верхней точке наклонной плоскости высоты h и сообщают ему начальную скорость v0, в результате чего оно начинает сползать по плоскости вниз (рис. 1.14). Поверхность плоскости неоднородна, поэтому скорость сползания изменяется некоторым произвольным образом. Однако в нижней точке плоскости скорость имеет первоначальное значение v0. Какую работу А совершают силы трения на всем пути движения тела?

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.87. Небольшое тело начинает скользить без трения с вершины сферы радиуса R вниз (рис. 1.15). На какой высоте h над центром сферы тело отделится от поверхности сферы и полетит свободно?

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.88. По желобу, имеющему форму, показанную на рис. 1.16 (горизонтальный участок желоба сдвинут относительно наклонного в направлении, перпендикулярном к рисунку), с высоты h начинает скользить без трения небольшое тело (материальная точка). а) При каком минимальном значении высоты h тело опишет полную петлю, не отделяясь от желоба? б) Чему равна при таком значении h сила F давления тела на желоб в точке A?

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.89. Градиент скалярной функции φ в некоторой точке P представляет собой вектор, направление которого совпадает с направлением l, вдоль которого функция φ, возрастая по величине, изменяется в точке P с наибольшей скоростью. Модуль этого вектора равен значению dφ/dl в точке P. Аналитически это можно записать следующим образом: ∇φ = (dφ/dl)el. 1. Исходя из этого определения, найти выражения для: а) ∇r, б) ∇(1/r), в) ∇f(r), где r — модуль радиус-вектора точки P. 2. Убедиться в том, что такие же выражения получаются с помощью формулы: ∇φ = (∂φ/∂x)ex + (∂φ/∂y)ey + (∂φ/∂z)ez.

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.90. Потенциальная энергия частицы имеет вид: a) U=α/r, б) U=kr 2 /2, где r — модуль радиус-вектора r частицы; α и k — константы (k>0). Найти силу F, действующую на частицу, и работу А, совершаемую над частицей при переходе ее из точки (1, 2, 3) в точку (2, 3, 4).

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.91. Потенциальная энергия частицы имеет вид U = a (x/y — y/z), где a — константа. Найти: а) силу F, действующую на частицу, б) работу А, совершаемую над частицей силами поля при переходе частицы из точки (1, 1, 1) в точку (2, 2, 3)

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.92. Потенциальная энергия частицы, находящейся в центрально-симметричном силовом поле, имеет вид U = a/r 3 — b/r 2 , где a и b — положительные константы. а) Имеется ли у этой частицы положение устойчивого равновесия по отношению к смещениям в радиальном направлении? б) Нарисовать примерную кривую зависимости U от r.

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.93. Частица движется по окружности в поле центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от силового центра. В каком соотношении находятся в этом случае кинетическая T, потенциальная U и полная Е энергии частицы?

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.94. Частица массы m находится в силовом поле вида F=-(α/r 2 )er (α — положительная константа, r — модуль, а er — орт радиус-вектора частицы). Частицу поместили в точку с радиус-вектором r0 и сообщили ей начальную скорость v0, перпендикулярную к r0. По какой траектории будет двигаться частица?

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.95. При каком условии траекторией частицы из предыдущей задачи будет окружность?

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.96. Невесомая нерастяжимая нить может скользить без трения по изогнутому желобу (рис. 1.17). К концам нити прикреплены грузы массами m1=3,00 кг и m2=1,00 кг. Груз массы m1 поднимают настолько, чтобы груз массы m2 коснулся пола, и отпускают. Высота h1=1,00 м. На какую высоту h2 над полом поднимется груз массы m2 после того, как груз массы m1 ударится о пол?

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.97. Автомобиль массы m=1,00 т ехал некоторое время по горизонтальному участку дороги с постоянной скоростью v=80 км/ч. При въезде на подъем, образующий с горизонтом угол α=10,0°, для того чтобы сохранить прежнюю скорость, пришлось, «прибавив газ», увеличить вращающий момент, приложенный к ведущим колесам, в η=6,20 раза. Считая силу F сопротивления воздуха движению автомобиля пропорциональной квадрату скорости, определить коэффициент k в формуле F=kv 2 . Трением в шинах пренебречь.

Частица массы движется по окружности в центральном поле

1.98. По резиновому шнуру, подвешенному одним концом к кронштейну (рис. 1.18), может скользить с независящим от скорости трением муфта массы m = 0,300 кг. Трение характеризуется силой F = 0,294 Н. Длина недеформированного шнура l0=1,00 м, коэффициент пропорциональности между упругой силой и удлинением шнура k = 560 Н/м. На нижнем конце шнура имеется упор. Муфту поднимают в крайнее верхнее положение и отпускают. Пренебрегая внутренним трением в шнуре, размерами муфты, а также массами шнура и упора, определить: а) удлинение шнура Δl в момент достижения муфтой упора, б) скорость муфты v в этот момент, в) максимальное удлинение шнура Δlmax.

Частица массы движется по окружности в центральном поле

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми Частица массы движется по окружности в центральном поле

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

Видео:Движение заряженной частицы в магнитном поле | Физика ЕГЭ с Никитой АрхиповымСкачать

Движение заряженной частицы в магнитном поле | Физика ЕГЭ с Никитой Архиповым

Частица массы m движется по окружности радиусом R. Нормальное ускорение частицы подчиняется уравнению: a= at^2, где α − размерная

Видео:Физика - движение по окружностиСкачать

Физика - движение по окружности

Ваш ответ

Видео:55. Движение частиц в электромагнитных поляхСкачать

55. Движение частиц в электромагнитных полях

решение вопроса

Видео:Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорениеСкачать

Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорение

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,282
  • гуманитарные 33,619
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 607,022
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

🌟 Видео

Урок 276. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном полеСкачать

Урок 276. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле

Теоретическая механика. Лекция №5. Движение в центральном полеСкачать

Теоретическая механика. Лекция №5. Движение в центральном поле

Халилов В. Р. - Теоретическая механика - Движение в центрально-симметричном полеСкачать

Халилов В. Р. - Теоретическая механика - Движение в центрально-симметричном поле

Элементарные частицы, масса и гравитация | Физик Алексей СемихатовСкачать

Элементарные частицы, масса и гравитация | Физик Алексей Семихатов

Физика | Равномерное движение по окружностиСкачать

Физика | Равномерное движение по окружности

Движение материальной точки по окружности | Физика ЕГЭ, ЦТСкачать

Движение материальной точки по окружности | Физика ЕГЭ, ЦТ

Теормех. 2021-ноя-17. Движение в центральном полеСкачать

Теормех. 2021-ноя-17. Движение в центральном поле

Центробежная силаСкачать

Центробежная сила

Физика - импульс и закон сохранения импульсаСкачать

Физика - импульс и закон сохранения импульса

Механика - Движение в поле центральных сил. Момент импульсаСкачать

Механика - Движение в поле центральных сил. Момент импульса

Форш П. А. - Теоретическая механика - Интегрирование уравнений движения. Движение в центральном полеСкачать

Форш П. А. - Теоретическая механика - Интегрирование уравнений движения. Движение в центральном поле

Теория движения заряженных частиц в электрическом поле .Часть 1Скачать

Теория движения заряженных частиц в электрическом поле .Часть 1

🔴 ЕГЭ-2024 по физике. Разбор варианта №19 (Демидова М.Ю., 30 вариантов, ФИПИ, 2024)Скачать

🔴 ЕГЭ-2024 по физике. Разбор варианта №19 (Демидова М.Ю., 30 вариантов, ФИПИ, 2024)

Теоретическая механика 6 Движение в центрально симметричном полеСкачать

Теоретическая механика 6 Движение в центрально симметричном поле

Аналитическая механика 5. Движение точки в центральном поле.Скачать

Аналитическая механика 5. Движение точки в центральном поле.
Поделиться или сохранить к себе: