Построение перпендикуляра двумя окружностями

Построение перпендикулярных прямых

Примеры:

1. Даны прямая и точка на ней. Построить прямую проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Дано: прямая m, MПостроение перпендикуляра двумя окружностямиm.

Построить: МPПостроение перпендикуляра двумя окружностямиm.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки прямую m и отмечаем на ней точку М.

Построение перпендикуляра двумя окружностями

На лучах прямой m, исходящих из точки М, с помощью циркуля откладываем равные отрезки МА и МВ (МА = МВ). Для этого строим окружность с центром в точке М, при этом всю окружность строить не обязательно, достаточно сделать пометки по разные стороны от точки М (смотри выделенное красным).

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Затем строим две окружности с центрами в точках А и В радиуса АВ (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное фиолетовым и красным цветом).

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Данные окружности пересекаются в двух точках, обозначим их Р и Q. Проведем с помощью линейки через точку М и одну из точек Р или Q прямую, например, МР.

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Докажем, что прямая МР — искомая прямая, т.е. что МPПостроение перпендикуляра двумя окружностямиm.

Рассмотрим треугольник АРВ.

Построение перпендикуляра двумя окружностями

АР = ВР, т.к. по построению это радиусы одинаковых окружностей, следовательно, Построение перпендикуляра двумя окружностямиАРВ — равнобедренный. По построению МА = МВ, т.е. МР — медиана равнобедренного треугольника, тогда по свойству равнобедренного треугольника МР и высота, т.е. МPПостроение перпендикуляра двумя окружностямиm. Что и требовалось доказать.

2. Даны прямая и точка не лежащая на этой прямой. Построить прямую проходящую через данную точку и перпендикулярную к данной прямой.

Дано: прямая m, MПостроение перпендикуляра двумя окружностямиm.

Построить: МNПостроение перпендикуляра двумя окружностямиm.

Решение:

Произвольно строим с помощью линейки прямую m и отмечаем точку М, не лежащую на прямой m.

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Далее строим окружность с центром в данной точке М, пересекающую прямую m в двух точках, которые обозначим буквами А и В (всю окружность строить необязательно, смотри выделенное красным цветом).

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Затем построим две окружности с центрами в точках А и В, проходящие через точку М (полностью окружности строить необязательно, смотри выделенное синим и зеленым цветом). Эти окружности пересекутся в точке М и еще в одной точке, которую обозначим буквой N. Проведем прямую МN.

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Докажем что, прямая МN — искомая, т.е. МNПостроение перпендикуляра двумя окружностямиm.

Построение перпендикуляра двумя окружностями

В Построение перпендикуляра двумя окружностямиАМN и Построение перпендикуляра двумя окружностямиВМN: АМ = АN = ВМ = ВN — радиусы, МN — общая, следовательно, Построение перпендикуляра двумя окружностямиАМN =Построение перпендикуляра двумя окружностямиВМN (по трем сторонам), значит, углы ВМС и АМС равны (С точка пересечения прямых m и МN). Отсюда следует, что отрезок МС — биссектриса равнобедренного треугольника АМВ (АМ = ВМ — радиусы) с основанием АВ, тогда по свойству равнобедренного треугольника АМ — высота, значит, МNПостроение перпендикуляра двумя окружностямиАВ, т.е. МNПостроение перпендикуляра двумя окружностямиm.

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Построение перпендикуляра к линии

Видео:Перпендикуляр к прямой через заданную точку.Скачать

Перпендикуляр к прямой через заданную точку.

Построение перпендикуляра из данной точки к прямой

Из данной точки С проводят дугу окружности произвольного радиуса так чтобы она пересекала прямую, заданную отрезком АВ, в точках D и F. Из этих точек описывают две дуги окружности радиусом R, несколько большим половины отрезка DF, до пересечения в точке Е. Точки С и Е соединяют прямой которая и будет искомым перпендикуляром.

Видео:Построение перпендикуляра к прямойСкачать

Построение перпендикуляра к прямой

Построение перпендикуляра из данной точки к кривой линии

Построение нормали к кривой проходящей через точку А, не принадлежащую кривой m, можно выполнить следующим образом:

2. Отметим точки пересечения окружностей с кривой -1, 11, 2, 21, 3, 31, 4, 41;

3. Из концов хорд восстановим перпендикуляры (при этом перпендикуляры, восстановленные из точек 1, 2, 3, 4, имеют противоположное направление перпендикулярам, восстановленным из точек 11, 21, 31, 41);

4. На полученных перпендикулярах отложим отрезки, равные длине соответствующих хорд;

5. Полученные точки соединим плавной кривой l;

Видео:Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Через точку O провести прямую, перпендикулярную данной прямой a.

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Возможно два варианта:

  1. точка O лежит на прямой a;
  2. точка О не лежит на прямой a.

Рассмотрим поочередно оба варианта.

Шаг 1. Проводим окружность с произвольным радиусом r с центром в точке O. Окружность пересекает прямую в точках A и B.
Построение перпендикуляра двумя окружностями

Шаг 2. Из точек A и B проводим окружности с радиусом AB. Пусть тоска С – точка пересечения этих окружностей.

Обращаю ваше внимание на то что точки А и В мы получили на первом шаге, при построении окружности с произвольным радиусом.

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Шаг 3. Искомая прямая проходит через точки С и О.

Проведем отрезки AC и CB. Δ ACO = Δ BCO по третьему признаку равенства треугольников (AO = OB, AC = CB, по построению, CO – общая). ∠ COA = ∠ COB = 90 °. Прямая CO ⊥ AB.

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Как было уже сказано выше все четыре угла образованных при пересечении двух прямых перпендикулярны если хотя бы один из них перпендикулярен, т.е. является прямым и равен 90 градусов.

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Второй вариант такой же простой только имеет немного другой принцип поиска наших начальных точек А и В.

Шаг 1. Из точки O проводим окружность некоторым радиусом r, таким чтобы окружность пересекала прямую a. Пусть A и B – точки пересечения окружности с прямой a.

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Шаг 2. Проведем окружности тем же радиусом r с центрами в точках A и B. Пусть точка O1 – точка пресечения этих окружностей, лежащая в полуплоскости, отличной от той, в которой лежит точка O.

Построение перпендикуляра двумя окружностями

Шаг 3. Проведем через точки O и O1 прямую. Это и будет искомая прямая.

Пусть прямые OO1 и AB пересекаются в точке С. Δ AOB = Δ BO1A по третьему признаку равенства треугольников (AO = OB = AO1 = O1B, по построению, AB – общая). Отсюда следует, что ∠ OAС = ∠ O1AC. Δ OAC = Δ O1AC по первому признаку равенства треугольников (AO = AO1, по построению, ∠ OAС = ∠ O1AC, AС – общая). Следовательно ∠ OСA = ∠ O1CA, а так как эти углы смежные, то они прямые. Поэтому OC – перпендикуляр, опущенный из точки O на прямую a.

Т. е. с помощью циркуля и линейки мы можем стоить перпендикулярные прямые, независимо от того точка через какую должен проходить перпендикуляр находиться на отрезке или за его пределами. Оба варианта имеют три шага, единственная сложность в том что бы правильно найти начальные точки А и В.

🎬 Видео

Касательные к окружностиСкачать

Касательные к окружности

Построение перпендикулярных прямых.7 классСкачать

Построение перпендикулярных прямых.7 класс

Построение перпендикуляраСкачать

Построение перпендикуляра

Сопряжение окружностейСкачать

Сопряжение окружностей

2-Построение перпендикуляра между двумя точками на прямойСкачать

2-Построение перпендикуляра между двумя точками на прямой

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

Построение перпендикуляра к прямой через точку не лежащую на этой прямой циркулемСкачать

Построение перпендикуляра к прямой через точку не лежащую на этой прямой циркулем

Сверхсветовая скорость во ВселеннойСкачать

Сверхсветовая скорость во Вселенной

Внешняя касательная к двум окружностямСкачать

Внешняя касательная к двум окружностям

Построение касательной к окружностиСкачать

Построение касательной к окружности

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Построение серединного перпендикуляра. Деление отрезка пополамСкачать

Построение серединного перпендикуляра. Деление отрезка пополам

2. Построения с помощью циркуля и линейки.Скачать

2. Построения с помощью циркуля и линейки.

Внешнее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок13.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Внешнее сопряжение двух дуг окружностей третьей дугой. Урок13.(Часть1.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Построение перпендикуляра к прямой при помощи циркуляСкачать

Построение перпендикуляра к прямой при помощи циркуля

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение
Поделиться или сохранить к себе: