Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Сумма углов четырехугольника
Содержание
  1. Свойства
  2. Определение четырехугольника, выпуклые четырехугольники, сумма углов выпуклого четырехугольника
  3. Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения
  4. Внутренние и внешние углы четырехугольника
  5. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника
  6. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника
  7. Параллелограмм
  8. Параллелограмм и его свойства
  9. Признаки параллелограмма
  10. Прямоугольник
  11. Признак прямоугольника
  12. Ромб и квадрат
  13. Свойства ромба
  14. Трапеция
  15. Средняя линия треугольника
  16. Средняя линия трапеции
  17. Координаты середины отрезка
  18. Теорема Пифагора
  19. Справочный материал по четырёхугольнику
  20. Пример №1
  21. Признаки параллелограмма
  22. Пример №2 (признак параллелограмма).
  23. Прямоугольник
  24. Пример №3 (признак прямоугольника).
  25. Ромб. Квадрат
  26. Пример №4 (признак ромба)
  27. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
  28. Пример №5
  29. Пример №6
  30. Трапеция
  31. Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).
  32. Центральные и вписанные углы
  33. Пример №8
  34. Вписанные и описанные четырёхугольники
  35. Пример №9
  36. Пример №10
  37. 🔍 Видео

Свойства

  1. Сумма углов четырехугольника равна 360°.
    ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°.
    Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника
  2. Если четырехугольник правильный, то каждый угол по 90°
    и этот четырехугольник является квадратом.
    ∠A = ∠B = ∠C = ∠D, ⇒ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°,
    ABCD — квадрат.
    Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника
  3. Сумма противоположных углов четырехугольника равна 180°,
    если около четырехугольника описана окружность.
    ∠A + ∠С = ∠В + ∠D = 180°.
    Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Такие четырехугольники называют вписанными.

Это все виды четырехугольников,
которые изучаются в школьном
курсе по геометрии.

Видео:8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольник

Определение четырехугольника, выпуклые четырехугольники, сумма углов выпуклого четырехугольника

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

  • Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.
  • Вершины, не являющиеся соседними, называются противоположными.
  • Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.
  • Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами.
  • Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими сторонами.
  • Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360°.

Че­ты­рех­уголь­ник на­зы­ва­ет­ся вы­пук­лым, если можно через любую его сто­ро­ну про­ве­сти пря­мую, и че­ты­рех­уголь­ник пол­но­стью ока­жет­ся в одной из двух об­ра­зо­вав­ших­ся по­лу­плос­ко­стей.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Виды четырехугольников

Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Прямоугольник – параллелограмм, у которого все углы прямые.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.

Трапеция – четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Дельтоид – четырехугольник, у которого две пары смежных сторон равны.

Укажите пары противоположных сторон четырехугольника.

Найдите периметр четырехугольника ABCD, если АВ = 16 см, ВС = 12 см, СD = 8 см и АD = 18 см.

Дан выпуклый четырехугольник АВСD. (∠А = 61º, ∠В = 110º, ∠С = 92º) . Найдите градусную меру угла (∠D) .

В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС = 12 и BD = 10. Найти периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

Найдите периметр четырехугольника ABCD, если АВ = 12 см, ВС = 17 см, CD = 5 см и AD = 14 см.

Найдите большую сторону четырехугольника, если его периметр равен 66 см, а одна из сторон больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей, а четвертая – в три раза больше второй.

Расстояния от середины стороны АD выпуклого четырехугольника ABCD до середин сторон АВ и CD равны соответственно 6 и 12. Найдите длину большей диагонали четырехугольника ABCD.

В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные – 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Найдите наибольший угол выпуклого четырехугольника, если его углы пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Какие из наборов углов могут быть углами четырехугольника?

Видео:Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

Четырехугольник — виды и свойства с примерами решения

Содержание:

Четырёхугольник — это фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков. При этом, никакие три из указанных точек не должны быть расположены на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырёхугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами четырёхугольника.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Вершины, являющиеся концами одной стороны четырёхугольника, называются соседними, а вершины, не принадлежащие одной стороне — противолежащими. Стороны, имеющие общую вершину, называются соседними сторонами, а не имеющие общих вершин — противолежащими сторонами. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины, называются диагоналями четырёхугольника. Точки, принадлежащие четырёхугольнику, делят плоскость q на два множества, которые образуют две области — внутреннюю и внешнюю.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Четырёхугольник называется выпуклым, если все точки, принадлежащие внутренней области, находятся в одной полуплоскости от линии, содержащей любую сторону четырёхугольника, если эти точки находятся в разных полуплоскостях, то четырёхугольник называется невыпуклым (вогнутым).

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Если соединить любые две точки внутренней области выпуклого многоугольника, то отрезок, соединяющий эти точки, целиком находится во внутренней области четырёхугольника.

Диагонали выпуклого четырёхугольника находятся во внутренней области. У невыпуклого четырёхугольника одна из диагоналей находится во внешней области. Каждая из двух диагоналей выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Видео:Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.Скачать

Сумма внутренних углов многоугольника. Выпуклые и невыпуклые многоугольники. 8 класс.

Внутренние и внешние углы четырехугольника

Угол, смежный любому углу выпуклого четырёхугольника, называется внешним углом. Из любой вершины четырёхугольника можно провести два внешних угла, которые являются вертикальными углами и соответственно равны друг другу. Поэтому, говоря о внешнем угле четырёхугольника, мы будем иметь в виду, один из них. На рисунке для внутренних углов Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникауглы Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаявляются внешними.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Каждый внутренний угол выпуклого четырёхугольника меньше Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаГрадусная мера внутреннего угла невыпуклого четырёхугольника может быть больше Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внутренних углов выпуклого четырёхугольника равна Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаПоследовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Докажите теорему, основываясь на том, что сумма внутренних углов треугольника равна Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаДоказательство представьте в виде двухстолбчатой таблицы.

Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника

Теорема. Сумма внешних углов выпуклого четырёхугольника равна Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Докажите теорему, опираясь на то, что внешний и внутренний угол, при каждой вершине являются смежными углами.

Параллелограмм

Параллелограмм и его свойства

Параллелограммом называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Теорема 1. Противоположные стороны параллелограмма конгруэнтны. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Теорема 2. Противоположные углы параллелограмма конгруэнтны. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма равна Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаПоследовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Теорема 4. Диагонали параллелограмма пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Теорема 5. Диагонали параллелограмма делят его на два конгруэнтных треугольника. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Признаки параллелограмма

Теорема 1. Четырёхугольник у которого две противоположные стороны конгруэнтный параллельны есть параллелограмм.

Теорема 2. Четырёхугольник с попарно конгруэнтными сторонами есть параллелограмм.

Теорема 3. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и в точке пересечения делятся по полам, то этот четырёхугольник есть параллелограмм.

Прямоугольник

Параллелограмм, все углы которого прямые, называется прямоугольником.

Все свойства параллелограмма относятся к прямоугольнику.

Наряду с этим прямоугольник имеет следующее свойство:

Теорема. Диагонали прямоугольника конгруэнтны. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Признак прямоугольника

Параллелограмм, у которого диагонали конгруэнтны есть прямоугольник.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Ромб и квадрат

Свойства ромба

Параллелограмм, у которого все стороны конгруэнтны, называется ромбом. Все свойства параллелограмма относятся к ромбу. Наряду с этим, ромб обладает следующими свойствами:

Теорема 1. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым утлом. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Теорема 2. (Обратная георема). Параллелограмм, у которого диагонали перпендикулярны, есть ромб. Если Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникато параллелограмм Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаявляется ромбом.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказательство теоремы 1.

Дано: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаромб.

Докажите, что Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказательство (словестное): По определению ромба Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаПри этом, так как ромб является параллелограммом, а диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам, тогда можно записать, что Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаравнобедренный. Медиана Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника(так как Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника), является также и биссектрисой и высотой. Т.е. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаТак как Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаявляется прямым углом, то Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. Аналогичным образом можно доказать, что Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Если четырёхугольник является ромбом или квадратом, то справедливы следующие утверждения.

Ромб:

  • 1. Все свойства параллелограмма действительны для ромба.
  • 2. Все стороны конгруэнтны.
  • 3. Диагонали взаимно перпендикулярны.
  • 4. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Квадрат:

  • 1. Все свойства прямоугольника и ромба действительны для квадрата.
  • 2. Все углы прямые.
  • 3. Все стороны конгруэнтны.
  • 4. Диагонали равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам, являются биссектрисами углов квадрата.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Трапеция

Четырёхугольник, у которого только две стороны параллельны, называется трапецией.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, не параллельные стороны называются боковыми сторонами.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Трапеция, у которой боковые стороны равны называется равнобедренной трапецией.

Трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основанию называется прямоугольной трапецией.

Теорема 1. В равнобедренной трапеции углы, прилежащие к основанию конгруэнтны. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Теорема 2. Диагонали равнобедренной трапеции конгруэнтны. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

План доказательства теоремы 2

Дано: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаравнобедренная трапеция. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Докажите: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Средняя линия треугольника

Теорема Фалеса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне конгруэнтные отрезки, то они отсекают конгруэнтные отрезки и на другой его стороне. Если Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникатогда Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаЗапишите в тетради доказательство теоремы, заполнив пропущенные строки.

Доказательство: через точку Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапроведем параллельную прямую к прямой Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Если в условии теоремы Фалеса, вместо угла взять две произвольные прямые, то результат не изменится.

Исследование: 1) В треугольнике Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникачерез точку Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника— середину стороны Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапроведите прямую параллельную Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаКакая фигура получилась? Является ли Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникатрапецией? Измерьте и сравните основания полученной трапеции. 2) Измерьте и сравните длины отрезков Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаМожно ли утверждать, что Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Определение: Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией этого треугольника. Теорема. Средняя линия, соединяющая середины двух сторон треугольника, параллельна третьей стороне и равна ее половине Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказательство. Пусть дан треугольник Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаи его средняя линия Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаПроведём через точку Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапрямую параллельную стороне Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаПо теореме Фалеса, она проходит через середину стороны Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникат.е. совпадает со средней линией Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаТ.е. средняя линия Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапараллельна стороне Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаТеперь проведём среднюю линию Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаТ.к. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникато четырёхугольник Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаявляется параллелограммом. По свойству параллелограмма Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаПо теореме Фалеса Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаТогда Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаТеорема доказана.

Средняя линия трапеции

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющим середины боковых сторон трапеции.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказательство: Через точку Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаи точку Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникасередину Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапроведём прямую и обозначим точку пересечения со стороной Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникачерез Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Координаты середины отрезка

Исследование: Начертите числовую ось. Постройте окружность с центром в точке Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникарадиусом 3 единицы. Вычислите значение выражения Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаЕсть ли связь между значением данного выражения и координатой точки Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Координаты середины отрезка

1) Пусть на числовой оси заданы точки Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаи Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаи точка Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникакоторая является серединой отрезка Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникато Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаа отсюда следует, что Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

2) По теореме Фалеса, если точка Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаявляется серединой отрезка Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникато на оси абсцисс точка Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаявляется соответственно координатой середины отрезка концы которого находятся в точках Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаи Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

3) Координаты середины отрезка Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникас концами Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаи Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаточки Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольниканаходятся так:

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Убедитесь, что данная формула верна в случае, если отрезок Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапараллелен одной из осей координат.

Теорема Пифагора

В этом разделе вы научитесь:

  • различать рациональные и иррациональные числа;
  • упрощать выражения, содержащие квадратные корни;
  • решать задания на извлечение квадратного корня;
  • основам теоремы Пифагора;
  • решать практические задачи, применяя теорему Пифагора.

При решении таких задач как вычисления силы шторма на море, скорости автомобиля при аварии, определения места приземления при прыжке с парашютом часто приходится проводить вычисления с числами, стоящими под знаком корня.

Теорема Пифагора очень часто используется при решении геометрических задач.

Имя Пифагора ассоциируется с прямоугольным треугольником и соотношением между его сторонами. Греческий учёный Пифагор, живший в VI веке до нашей эры, является основателем школы, в которой преподавались музыка, гимнастика, философия и геометрия. Ученики школы называли себя Пифагорейцами. Они провозглашали гармонию музыки и чисел в природе и не верили в существование иррациональных чисел.

Практическая работа:

Шаг 1. Вырежьте из картона два одинаковых квадрата.

Шаг 2. На стороне одного из них отметьте отрезки Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникакак показано на рисунке и разрежьте его на два квадрата и два прямоугольника.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Шаг 3. Полученные фигуры расположите, как показано на рисунке.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Шаг 4. На сторонах другого квадрата отметьте отрезки Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникакак показано на рисунке и отрежьте четыре прямоугольных треугольника.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Шаг 5. Что вы можете сказать о конгруэнтности данных треугольников? К какому виду относится оставшаяся фигура, после того, как вы отрезали треугольники и убрали их? Чему равен каждый внутренний угол данного четырёхугольника?

Шаг 6. Расположите полученные фигуры, как показано на рисунке.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Шаг 7. Сравните результаты, которые вы получили на 3 и 6 шагах. К какому выводу вы пришли?

Теорема Пифагора:

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Если рассмотреть площади квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника, то теорему Пифагора можно перефразировать так: в прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Если в прямоугольном треугольнике заданы две стороны, то третью сторону можно найти по теореме Пифагора.

Пример:

Найдём длину катета на рисунке:

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Историческая справка: Пифагор родился в 569 году до нашей эры на острове Самос в Греции. В истории его имя увековечено теоремой, которая называется теоремой Пифагора. Она известна своей простотой и практическим значением. Об этой теореме знали ещё задолго до Пифагора. Однако, из письменных источников следует, что впервые её доказал именно Пифагор. Помимо оригинального доказательства теоремы самим Пифагором, известны также доказательстве» Эвклида, Леонардо да Винчи, Президента Америки Джеймса Гарфилда. В 1940 году широкой публике была представлена книга, где приводилось 370 доказательств теоремы. На рисунке вы видите статую, возведённую в честь Пифагора на его родине на острове Самос.

Обратная теорема:

Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то такой треугольник является прямоугольным треугольником. Если Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникато, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника— прямоугольный.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Прямоугольные треугольники, которых выражаются натуральными числами, называются Пифагоровыми треугольниками. Самый распространённый прямоугольный треугольник имеет стороны 3; 4; 5. Древние египтяне повсеместно пользовались этим треугольником для измерений. Такой треугольник называется Египетским треугольником. Треугольники со сторонами 5,12,13; 8,15,17; 7,24,25. также являются треугольниками Пифагора. А эти числа называются Пифагоровыми тройками. Если числа Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаявляются Пифагоровыми тройками, то и числа Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникатакже являются Пифагоровыми тройками.

Видео:Найдите углы четырёхугольникаСкачать

Найдите углы четырёхугольника

Справочный материал по четырёхугольнику

Обозначим четыре точки, например А, В, С, D, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Последовательно соединим их непересекающимися отрезками АВ, ВС, CD, DA. Получим четырёхугольник ABCD.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника(рис. 1).

Точки А, В, С, D — вершины четырёхугольника, отрезки АВ, ВС, CD, DA — его стороны. Углы DAB, ABC, BCD, CDA — это углы четырёхугольника. Их также обозначают одной буквой — Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаПоследовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Вершины, стороны и углы четырёхугольника называют его элементами. ? | Почему фигуры, изображённые на рисунках 2 и 3, не являются четырёхугольниками?

У фигуры на рисунке 2 отрезки АС и BD пересекаются, а у фигуры на рисунке 3 точки A, D, С лежат на одной прямой. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Четырёхугольник обозначают, последовательно записывая его вершины, начиная с любой из них. Например, четырёхугольник на рисунке 4 можно обозначить так: ABCD, или BCDA, или CDAB и т. д. Но для данного четырёхугольника запись, например, ADBC либо CDBA — неверна.

Две вершины, два угла или две стороны четырёхугольника могут быть либо соседними, либо противоположными. Например, в четырёхугольнике ABCD (рис. 4) вершины А и D, ZA и ZD, стороны AD и АВ — соседние, а вершины А и С, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника, стороны AD и ВС — противоположные.

Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника, называются его диагоналями. На рис. 4 отрезки АС и BD — диагонали четырёхугольника ABCD.

Четырёхугольники бывают выпуклыми и невыпуклыми.

Если четырёхугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, соединяющей две его соседние вершины, то он выпуклый. На рисунке 5 четырёхугольник выпуклый, а на рисунке б — невыпуклый, поскольку он не лежит по одну сторону от прямой, проходящей через вершины М и N.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Мы будем изучать лишь выпуклые четырёхугольники. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется его периметром. Периметр обозначают буквой Р.

Записать, что периметр четырёхугольника ABCD равен 40 см, можно так: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника=40 cm

Пример:

Докажите, что каждая сторона четырёхугольника меньше суммы трёх других его сторон.

Решение:

Диагональ АС четырёхугольника ABCD делит его на два треугольника ABC и ADC (рис. 7). В Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника+ CD (по неравенству треугольника). Тогда Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. Аналогично АВ 45 и DC и секущей АС. Из равенства треугольников ABC и CD А следует: 1) АВ = DC, ВС = AD 2) Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. Углы А и С параллелограмма равны как суммы равных углов.

Может ли в параллелограмме быть только один острый угол? Не может, так как, согласно доказанной теореме, таких углов два.

Пример №1

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Докажите это.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Решение:

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника(рис. 31) по свойству внутренних односторонних углов при параллельных прямых ВС и AD и секущей АВ. Аналогично Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника(АВ CD, ВС-секущая), Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника(ВС || AD, CD — секущая), Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника(АВ || CD, AD- секущая).

Теорема (свойство диагоналей параллелограмма).

Диагонали параллелограмма точкой их пересечения делятся пополам.

Дано: ABCD — параллелограмм (рис. 32), АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей. Доказать: АО = ОС, ВО = OD.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказательство. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапо стороне А и прилежащим к ней углам. Из них ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникакак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD, (BC || AD, АС— секущая). Из равенства треугольников AOD и СОВ следует: АО = ОС, ВО = OD.

Для того чтобы доказать равенство отрезков (углов) в параллелограмме, докажите равенство треугольников, соответствующими элементами которых являются эти отрезки (углы).

Свойства параллелограмма приведены в таблице 3.Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

1. Возникает вопрос: Сколько данных необходимо для построения параллелограмма ?Таких данных должно быть три, среди которых — не более одного из его углов (один угол параллелограмма определяет остальные углы).

2. Название «параллелограмм» (parallelogrammon) происходит от сочетания греческих слов: «параллелос» — идущий рядом и «грамма» — линия.

Этот термин впервые упоминается в «Началах» Евклида (III в. до н. э.). Сначала вместо термина «параллелограмм» древнегреческий учёный использовал словосочетание «образованная параллельными линиями площадь» (часть плоскости, ограниченная двумя парами параллельных прямых).

Признаки параллелограмма

Решaя задачи, иногда требуется установить, что данный четырёхугольник — параллелограмм. Для этого используют признаки параллелограмма.

Теорема (признак параллелограмма).

Если противоположные стороны четырёхугольника попарнo равны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 52), АВ = DC, ВС = AD.

Доказать: ABCD— параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ BD (рис. 52). Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапо трём сторонам. У них BD— общая сторона, АВ = DC и ВС = AD по условию. Из равенства треугольников следует: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаУглы CBD и ADB— внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей BD. Поэтому ВС || AD. Углы ABD и СОВ также внутренние накрест лежащие при прямых АВ и DC и секущей BD. Поэтому АВ || DC. Так как в четырёхугольнике ABCD ВС ||AD и АВ ||DC, то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Можно ли считать четырёхугольник параллелограммом, если в нём две противоположные стороны равны, а две другие — параллельны?

Нет, нельзя. На рисунке 53 АВ = CD, ВС || AD, но четырёхугольник ABCD — не параллелограмм. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Теорема (признак параллелограмма).

Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырёхугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырёхугольник (рис. 54), и АВ = DC, АВ || DC.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Проведём диагональ АС (рис. 54). Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапо двум сторонам и углу между ними. У них АС — общая сторона, АВ = DC по условию, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникакак внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых АВ и DC и секущей АС. Из равенства треугольников следует: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаНо углы DAC и ВС А — внутренние накрест лежащие при прямых ВС и AD и секущей АС. Поэтому ВС || AD. Поскольку в четырёхугольнике ABCD AD || БС(по доказанному) и АВ || DC (по условию), то, по определению, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пример №2 (признак параллелограмма).

Если диагонали четырёхугольника делятся точкой их пересечения пополам, то такой четырёхугольник — параллелограмм. Докажите это.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Решение:

Пусть ABCD—данный четырёхугольник, О — точка пересечения его диагоналей и ВО= OD, АО= ОС (рис. 55). Докажем, что ABCD — параллелограмм. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапо двум сторонам и углу между ними. У них ВО = OD, АО = ОС по условию, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникакак вертикальные. Из равенства треугольников следует: ВС= AD и Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаНо углы ОВС и ODA — внутренние накрест лежащие при прямых BCuADh секущей BD. Поэтому BC\AD.

Поскольку в четырёхугольнике ABCD ВС= AD и ВС || AD, то, согласно доказанному признаку, этот четырёхугольник — параллелограмм.

Чтобы установить, что четырёхугольник — параллелограмм, докажите, что в нём:

  1. либо противоположные стороны попарно параллельны (определение параллелограмма),
  2. либо противоположные стороны попарно равны (признак),
  3. либо две противоположные стороны равны и параллельны (признак),
  4. либо диагонали делятся точкой их пересечения пополам (признак).

Вам уже знакомы понятия «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно». В таблице 5 рассмотрите пары утверждений А и В и выясните смысл этих понятий.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Обратите внимание, что утверждения «Л достаточно для в» и «А необходимо для В» — взаимно обратные. Их можно объединить и сформулировать следующим образом.

Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы его противоположные стороны были попарно равны.

Иногда вместо «необходимое и достаточное условие» говорят «необходимый и достаточный признак», а чаще — просто «признак». Поэтому теоремы этого параграфа называем «признаками параллелограмма».

Прямоугольник

Параллелограммы, как и —у треугольники, можно разделить на виды. Прямоугольник — один из видов параллелограмма. На рисунке 73 вы видите параллелограмм ABCD являющийся прямоугольником. Дайте определение прямоугольнику и сравните его с приведённым в учебнике. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Параллелограмм, у которого все углы прямые, называется прямоугольником.

Поскольку прямоугольник — частный вид параллелограмма, то ему присущи все свойства параллелограмма:

  1. противоположные стороны равны;
  2. противоположные углы равны;
  3. диагонали делятся точкой их пересечения пополам.

Кроме этих свойств прямоугольник имеет ещё и особое свойство.

Дано: ABCD — прямоугольник, АС и BD — диагонали (рис. 74).

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказать: АС = BD.

Доказательство. Прямоугольные треугольники ACDw DBA равны по двум катетам. При этом AD — общий катет, а катеты АВ и DC равны как противоположные стороны параллелограмма. Из равенства треугольников следует: АС = BD.

Свойства прямоугольника приведены в таблице 8.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаМожно ли утверждать, что параллелограмм, в котором диагонали равны, является прямоугольником? Да, но это нужно доказать.

Пример №3 (признак прямоугольника).

Если диагонали параллелограмма равны, то такой параллелограмм — прямоугольник. Докажите это.

Решение:

Пусть ABCD — параллелограмм, в котором АС = BD (рис. в табл. 8). Докажем, что Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапо трём сторонам. У них AD — общая сторона, АС = BD по условию, АВ = DC — как противоположные стороны параллелограмма. Из этого следует, что Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. Поскольку в параллелограмме противоположные углы равны, то: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. По свойству углов четырёхугольника, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Следовательно, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника: 4 = 90°, то есть параллелограмм ABCD — прямоугольник.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — прямоугольник, докажите, что у него: либо все его углы прямые (определение прямоугольника), либо диагонали равны (признак).

Можно ли утверждать, что четырёхугольник, в котором диагонали равны, — это прямоугольник? Нет, нельзя (см. рис. 75). Необходимо проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма. Например, делятся ли диагонали точкой их пересечения пополам.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Возникает вопрос: Можно ли сформулировать другие определения прямоугольника ?

В младших классах прямоугольником называли четырёхугольник, все углы в котором прямые. Теперь мы определили прямоугольник как частный вид параллелограмма. Возможны и такие определения прямоугольника: параллелограмм, в котором все углы равны (действительно, сумма углов параллелограмма составляет 360°, тогда каждый из них равен 90°); параллелограмм, в котором есть прямой угол (действительно, в параллелограмме сумма смежных углов составляет 180е, а противоположные углы равны. Если один из его углов прямой, то и три остальные — прямые). Эти определения прямоугольника эквивалентны.

Следовательно, существуют разные определения одного и того же понятия.

Ромб. Квадрат

Могут ли в параллелограмме все стороны быть равными? Да, могут. На рисунке 94 в параллелограмме ABCD АВ = ВС = = CD = AD. Это ещё один вид параллелограмма — ромб.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.

Можно ли утверждать, что параллелограмм является ромбом, если две его смежные стороны равны? Да, можно. Равенство всех сторон такого параллелограмма следует из свойства: противоположные стороны параллелограмма равны.

Теорема (свойства диагоналей ромба). Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба делят его углы пополам.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Дано: ABCD — ромб (рис. 95), О— точка пересечения диагоналей АС и BD.

Доказать: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказательство. Согласно определению ромба АВ = ВС, поэтому треугольник ABC— равнобедренный. Так как ромб ABCD— параллелограмм, то АО — ОС. Отсюда ВО— медиана равнобедренного треугольника ABC, следовательно, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Аналогично доказываем, что диагональ BD делит пополам угол D, а диагональ АС— углы А и С ромба ABCD.

Свойства ромба приведены в таблице 10. Таблица 1 О

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Пример №4 (признак ромба)

Докажите, что параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Решение:

Пусть ABCD — данный параллелограмм, в котором Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника(рис. 96). Докажем, что ABCD— ромб. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапо двум сторонами и углу между ними.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Так как ромб — это частный вид параллелограмма, то он имеет все свойства параллелограмма (назовите их). Кроме того, ромб обладает особыми свойствами. У них сторона АО — общая, OB = OD по свойству диагоналей параллелограмма, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапо условию. Из равенства треугольников следует: АВ = AD. Тогда АВ = CD и AD = ВС по свойству противоположных сторон параллелограмма. Итак, все стороны параллелограмма равны, поэтому он является ромбом.

Для того чтобы установить, что данный параллелограмм — ромб, докажите, что в нем:

  • либо все стороны равны (определение ромба),
  • либо диагонали взаимно перпендикулярны (признак).

Прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом.

На рисунке 97 вы видите квадрат ABCD.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Существуют и другие определения квадрата: ромб, в котором все углы прямые, называется квадратом; прямоугольник, в котором все стороны равны, называется квадратом; параллелограмм, в котором все стороны равны и все углы прямые, называется квадратом. Следовательно, квадрат имеет все свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Перечислим свойства квадрата.

  1. Противоположные стороны и противоположные углы квадрата равны. Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам (свойства параллелограмма).
  2. Диагонали квадрата равны (свойство прямоугольника).
  3. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам (свойства ромба).

Квадрат является частным видом и ромба, и прямоугольника, и параллелограмма. Ромб и прямоугольник — это частные виды параллелограмма. Соотношение между видами параллелограммов показано на Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

1. Рассмотрите таблицу классификации параллелограммов по соседним углам и смежным сторонам. Предложите собственную классификацию изученных видов параллелограмма.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

2. Кроме параллелограммов есть ещё один вид четырёхугольников — дельтоид. Эту фигуру получим, если два равнобедренных треугольника ABC и ADCc равными основаниями АС приложить друг к другу так, как показано на рисунке 99.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Свойства дельтоида следуют из свойств равнобедренного треугольника. Например, диагонали взаимно перпендикулярны, одна из них делит углы пополам и другую диагональ — пополам. Сформулируйте, пользуясь рисунком, другие свойства дельтоида. Если равнобедренные треугольники, из которых образован дельтоид, равны, то такой дельтоид является ромбом. Если равнобедренные треугольники к тому же прямоугольные, то дельтоид является квадратом.

3. Слово «ромб» происходит от греческого rhombos — юла, вращение. Слово «квадрат» происходит от латинского quadratum — четырёхугольник. Квадрат был первым четырёхугольником, который рассматривался в геометрии.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника

Начертите угол ABC (рис. 117).

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Произвольным раствором циркуля отложите на стороне АВ угла равные отрезки Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаи Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаПроведите с помощью чертёжного угольника и линейки через точки Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапараллельные прямые, которые пересекут сторону ВС этого угла в точках Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаПри помощи циркуля сравните длины отрезков Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаСделайте вывод.

Теорема Фалёса. Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Дано: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказать: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказательство. Проведём через точки Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапрямые Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапараллельные ВС. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапо стороне и прилежащим к ней углам. У них Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапо условию, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникакак соответственные углы при параллельных прямых. Из равенства этих треугольников следует, что Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаи Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникакак противоположные стороны параллелограммов Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Справедлива ли теорема Фалеса, если вместо сторон угла взять две произвольные прямые? Да, справедлива. Параллельные прямые, пересекающие две заданные прямые и отсекающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой (рис. 119).

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Пример №5

Разделите данный отрезок АВ на пять равных частей.

Решение:

Проведём из точки А луч АС, не лежащий на прямой АВ (рис. 120).

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Отложим на луче АС пять равных отрезков: АА,Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаПроведём прямую Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. Через точки Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникапроведём прямые, параллельные прямой Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. По теореме Фалеса, эти прямые делят отрезок АВ на пять равных частей.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

На рисунке 121 отрезок MN — средняя линия Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника, так как точки М и N — середины сторон АВ и ВС.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Теорема (свойства средней линии треугольника). Средняя линия треугольника параллельна третьей его стороне и равна её половине.

Дано: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника(рис. 122), AD = BD, СЕ= BE.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказать: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказательство. 1) Пусть DE- средняя линия Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. Проведём через точку D прямую, параллельную АС. Согласно теореме Фалеса, она пересекает отрезок ВС в его середине £, то есть содержит среднюю линию DE. Следовательно DE || АС.

2) Проведём прямую EF|| АВ. По теореме Фалеса, прямая EFделит отрезок 1

АС пополам: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. По построению, четырёхугольник ADEF- параллелограмм, поэтому DE= AF. Следовательно, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Пример №6

Докажите, что середины сторон четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение:

Пусть ABC— данный четырёхугольник и М, N, Р, К — середины его сторон (рис. 123). Докажем, что MNPK — параллелограмм. Проведём диагональ AC. MN— средняя линия ААВС.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Поэтому Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. КР— средняя линия треугольника ADC. Поэтому КР || АС и Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Получаем: MN || АС и КР || АС, отсюда MN || КРПоследовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника, отсюда MN= КР. Противоположные стороны MN и КР четырёхугольника MNPK равны и параллельны, следовательно, это параллелограмм.

Если по условию задачи даны середины некоторых отрезков, то можно использовать свойства средней линии треугольника.

Древнегреческого учёного Фалеса из Милета (625 — 548 гг. до н. э.) считают одним из семи мудрецов мира. Гений Фалеса нашёл воплощение в разных сферах деятельности. Он занимался инженерным делом, был государственным деятелем, математиком, астрономом. Особой заслугой Фалеса является то, что он ввёл в математику идею доказательства. Учёный доказал, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, что диаметр делит окружность на две равные части, что прямой угол можно вписать в полуокружность и т. д. Историки полагают, что именно Фалес начал использовать основные геометрические инструменты — циркуль и линейку. Учёный измерял высоту египетских пирамид по длине их теней, впервые предсказал солнечное затемнение, наблюдавшееся в 585 г. до н. э.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Трапеция

Вы уже знаете, что четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами — параллелограмм.

На рисунке 143 изображён четырёхугольник ABCD, две стороны AD и ВС которого параллельны, а две другие — АВ и CD — непараллельны. Такой четырёхугольник — трапеция. Дайте определение трапеции и сравните его с приведённым в учебнике.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Трапецией называется четырёхугольник, в которомдве стороны параллельны, а две другие — непараллельны.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. На рисунке 144 AD и ВС — основания трапеции, АВ и CD — боковые стороны.

Могут ли основания трапеции быть равными? Не могут, поскольку тогда получим параллелограмм.

Высотой трапеции называется перпендикуляр, проведённый из любой точки одного основания к другому основанию либо его продолжению (рис. 144).

Трапеция, в которой боковые стороны равны, называется равнобедренной. На рисунке 145 трапеция MNKP — равнобедренная, поскольку MN = КР.

Трапецию, один из углов которой прямой, называют прямоугольной. Трапеция ABCD (рис. 146) — прямоугольная, поскольку Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника= 90*.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

На рисунке 147 отрезок EF — средняя линия трапеции ABCD, так как точки Е и F — середины боковых сторон АВ и CD.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Теорема (свойства средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Дано: ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 148), EF— средняя линия. Доказать: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказательство. Поскольку EF — средняя линия трапеции ABCD, то АЕ= BE, DF= CF. Через точки В и проведём прямую, пересекающую продолжение основания ADb точке Q. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаno стороне и прилежащим к ней углам. У них CF = FD по условию, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникакак вертикальные, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникавнутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых ВС и АО и секущей CD. Из равенства треугольников следует: BF— F0, то есть средняя линия ЕF трапеции является средней линией треугольника АВО.

1) По свойству средней линии треугольника EF || АО, поэтому EF || AD. Поскольку AD || ВС, то EF\ ВС.

Пример №7 (свойство равнобедренной трапеции).

В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Докажите это.

Решение:

Пусть в трапеции ABCD (рис. 149) АВ = CD. Докажем, что углы при основании AD равны.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Проведём СЕ || АВ. Полученный четырёхугольник АВСЕ— параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны. По свойству параллелограмма, АВ = СЕ, а по условию — АВ = CD. Следовательно, С£= CD и Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаравнобедренный. Поэтому Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникасоответственные углы при параллельных прямых СЕ и АВ и секущей АЁ. Отсюда

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Если в условии задачи дана трапеция, то полезно такое дополнительное построение: проведите через вершину трапеции прямую, параллельную боковой стороне (рис. 149 или 150), и используйте свойства полученных параллелограмма и треугольника.

Решите предыдущую задачу, используя рисунок 150. Посмотрите на рисунок 151, где изображены изученные вами

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Центральные и вписанные углы

Проведём окружность с центром О и построим угол с вершиной в центре окружности (рис. 182). Получили центральный угол в окружности.

Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаПоследовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Теорема (о вписанном угле). Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Дано: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника— вписанный в окружность с центром О (рис. 188 — 190).

Доказать: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказательство. Рассмотрим три случая расположения центра , окружности относительно сторон данного вписанного угла.

1. Центр окружности лежит на стороне вписанного угла (рис. 188). Проведём отрезок ОД тогда центральный угол АОС является внешним углом Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. По свойству внешнего угла треугольника, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаПоследовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника— равнобедренный (ОВ= OA = R). Поэтому Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаизмеряется дугой АС. Следовательно, вписанный угол ABC измеряется половиной дуги АС.

2. Центр окружности лежит во внутренней области вписанного угла (рис. 189). Проведём луч ВО, тогда данный угол равен сумме двух углов:Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Из доказанного в первом случае следует, что Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаизмеряется половиной дуги AD, a Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника— половиной дуги DC. Поэтому Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаизмеряется суммой полудуг AD и DC, то J есть половиной дуги АС.

3. Центр круга лежит во внешней области вписанного угла (рис. 190). Проведём луч ВО, тогда: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Следствие 1.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 191). Действительно, каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Следствие 2.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой (рис. 192). Действительно, такой угол измеряется половиной полуокружности, то есть 180°: 2 = 90°. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Равны ли вписанные углы, опирающиеся на равные дуги (рис. 193)? Да, так как каждый из этих углов измеряется половиной равных дуг, градусные меры которых равны.

Пример №8

Хорды окружности АВ и ВС образуют угол 30°. Найдите хорду АС, если диаметр окружности равен 10 см.

Решение:

Проведём диаметр CD и соединим точки A и D (рис. 194). Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникакак вписанные, опирающиеся на дугу АС (следствие 1). Поэтому Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника, так как опирается на диаметр окружности (следствие 2). Тогда в прямоугольном треугольнике ADC катет АС лежит против угла 30° и равен половине гипотенузы CD. Следовательно, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Для того чтобы доказать равенство двух углов, покажите, что они являются вписанными в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу либо на равные дуги данной окружности.

Рассмотрим геометрическое место точек, которое используется при решении сложных задач на построение.

Пусть АВ — некоторый отрезок прямой а, М— произвольная точка, не лежащая на прямой a, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника(рис. 195). Тогда говорят: из точки М отрезок АВ виден под углом а.

Если описать окружность около Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника(рис. 196), то из любой точки дуги АМВ (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а (следствие 1 из теоремы о вписанном угле). Поскольку точку можно взять и с другой стороны от прямой а, то существует ещё одна дуга, например ANB(рис. 197), из каждой точки которой (кроме точек А и В) отрезок АВ виден под углом а. Поэтому геометрическим местом точек, из которых отрезок АВ виден под углом а, является фигура, состоящая из двух дуг АМВ и AN В без точек А и В. Чтобы построить одну из двух дуг этого геометрического места точек для острого угла а, необходимо: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Вписанные и описанные четырёхугольники

Отметим на окружности четыре точки и соединим их хордами (рис. 222). Получили четырёхугольник, вписанный в окружность. Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Четырёхугольник, все вершины которого лежат на окружности, называется вписанным в эту окружность, а окружность — описанной около этого четырехугольника.

Отметим на окружности четыре точки и проведём через них отрезки касательных, как показано на рисунке 223. Получили четырёхугольник, описанный около окружности.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Четырёхугольнику все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность — вписанной в этот четырёхугольник.

Свойство вписанного четырёхугольника и его признак связаны с углами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство углов вписанного четырёхугольника). Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна 180″.

Дано: четырёхугольник ABCD, вписанный в окружность (рис. 224).

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказать: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказательство. Углы А, В, Си D вписаны в окружность.

Из теоремы о вписанном угле следует: Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Тогда Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Сумма всех углов четырёхугольника равна 360°, а сумма углов А и С — 180°. Тогда Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Около каждого ли четырёхугольника можно описать окружность? В отличие от треугольника не каждый четырёхугольник — вписанный. Приведём признак вписанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак вписанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике сумма двух противоположных углов равна 180е, то около такого четырёхугольника можно описать окружность.

Пример №9

Докажите, что около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

Решение:

Пусть ABCD — равнобедренная трапеция с основаниями AD и ВС (рис. 225). Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Докажем, что Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна 180° (следует из свойства параллельных прямых).

Поэтому, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника. По свойству равнобокой трапеции, Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Тогда Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникаи, согласно признаку вписанного четырёхугольника, трапеция ABCD— вписанная. Свойство описанного четырёхугольника и его признак связаны со сторонами этого четырёхугольника.

Теорема (свойство сторон описанного четырёхугольника). Суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны.

Дано: четырёхугольник ABCD, описанный около окружности (рис. 226), Е, F, K и P — точки касания.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Доказать: АВ + CD = ВС + AD.

Доказательство. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки: АЕ = АР; BE = BF, СК = CF, DK = DP. Сложив почленно эти равенства, получим: АЕ + BE + СК + DK = АР + BF + CF + DP, то есть АВ + CD = ВС + AD.

В каждый ли четырёхугольник можно вписать окружность? В отличие от треугольника, не в каждый четырёхугольник можно вписать окружность. Приведём признак описанного четырёхугольника без доказательства.

Теорема (признак описанного четырёхугольника). Если в четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP (рис. 227) — вписанный, покажите, что: либо ے M + ے K = 180°, либо ے N + ے P= 180°. Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD (рис. 227) — описанный, покажите, что: AB + CD = AD + BC.

1. Кроме окружностей, вписанной и описанной около четырёхугольника, существуют ещё и вневписанные окружности.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Проведём в произвольном четырёхугольнике ABCD биссектрисы внешних углов при вершинах А, В, С и D [рис. 228). Точки их пересечения Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникацентры четырёх вневписанных окружностей. Каждая из них касается одной стороны четырёхугольника и продолжении двух других его сторон. Вневписанные окружности имеют следующее свойство: их центры являются вершинами четырёхугольника Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольникавписанного в окружность. Действительно,

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Следовательно, четырёхугольник Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника— вписанный в окружность.

2. Древнегреческие учёные открыли, кроме уже известных вам, другие интересные свойства вписанных и описанных четырёхугольников. Например.

Теорема Птолемея (II в.). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.

Задача Архимеда (III в. до н. э.). Если диагонали вписанного четырёхугольника перпендикулярны, то сумма квадратов четырёх отрезков, на которые делятся диагонали точкой пересечения, равна квадрату диаметра описанной окружности. Позднее (IX — XIII в.) арабские учёные дополнили сведения о вписанных и описанных четырёхугольниках и способах исследования их свойств. Так, одарённый геометр Гасан ибн-Гайтем (умер в 1038 г.) предложил, способ, позволяющий установить, используя лишь циркуль, является ли данный четырёхугольник вписанным. Пусть дан четырёхугольник ABCD(рис. 229).

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Продолжим сторону AD за точку D. Проведём дуги равных окружностей с центрами в точках В и D. Если KL = МО, то четырёхугольник ABCD — вписанный, так как ے ABC + ے ADC = 180° (докажите это). В иных случаях четырёхугольник не является вписанным.

4 | 3. При решении задач иногда рассматриваются окружности, не заданные в условии. На рисунке к задаче сначала находим четырёхугольник, около которого можно описать окружность либо в который можно вписать окружность, а потом используем свойства хорд, диаметров, вписанных углов, углов с вершиной внутри окружности и т. д.

Последовательность углов в градусах выпуклого четырехугольника

Пример №10

Из произвольной точки М катета ВС прямоугольного треугольника ABC проведён перпендикуляр MD к гипотенузе АВ (рис. 230). Докажем, что ے MAD= ے MCD.

Решение:

Около четырёхугольника ADMC можно описать окружность, так как ے ACM+ ے ADM= 180°.

Тогда ے MAD= ے MCD— вписанные углы, опирающиеся на одну дугу MD.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Площади фигур в геометрии
  • Площади поверхностей геометрических тел
  • Вычисление площадей плоских фигур
  • Преобразование фигур в геометрии
  • Парабола
  • Многогранник
  • Решение задач на вычисление площадей
  • Тела вращения: цилиндр, конус, шар

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Задание 24 ОГЭ по математике. Геометрические фигуры. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника 300Скачать

Задание 24 ОГЭ по математике. Геометрические фигуры. Сумма трех углов выпуклого четырехугольника 300

№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.Скачать

№370. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

8 класс, 3 урок, ЧетырехугольникСкачать

8 класс, 3 урок, Четырехугольник

Сумма углов в выпуклом многоугольнике. Выпуклый четырехугольник.Скачать

Сумма углов в выпуклом многоугольнике. Выпуклый четырехугольник.

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360°. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ?  Примеры | МАТЕМАТИКА 5 класс

Выпуклый четырехугольникСкачать

Выпуклый четырехугольник

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс | Геометрия 8 класс | МегаШколаСкачать

Что такое выпуклый четырёхугольник? | Математика 8 класс  |  Геометрия 8 класс | МегаШкола

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnlineСкачать

Многоугольники. Математика 8 класс | TutorOnline

Выпуклые и невыпуклые многоугольникиСкачать

Выпуклые и невыпуклые многоугольники

77 Сумма величин углов выпуклого четырёхугольника (145)Скачать

77 Сумма величин углов выпуклого четырёхугольника (145)

7 9 2011 СССР 78 внутрь выпуклого четырёхугольника данной площади и данного периметра поместить окружностьСкачать

7 9 2011 СССР 78   внутрь выпуклого четырёхугольника данной площади и данного периметра поместить окружность

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать

Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой,  развернутый угол

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Геометрия. 8 класс. Выпуклый многоугольник /10.09.2020/Скачать

Геометрия. 8 класс. Выпуклый многоугольник /10.09.2020/
Поделиться или сохранить к себе: