Последовательность нахождения угла между скрещивающимися прямыми с помощью параллельного переноса

В статье рассматриваются определения угла между скрещивающимися прямыми с приведением графических иллюстраций. При имеющихся координатах направляющих векторов заданных прямых научимся находить искомый угол. В заключительной части решим задачи на нахождение угла.

Видео:Урок 6. Угол между прямыми в пространстве. Стереометрия с нуля.Скачать

Угол между скрещивающимися прямыми – определение

Для нахождения искомого угла необходимо пройти несколько этапов.

Две прямые в трехмерном пространстве называются скрещивающимися в случае, если они не находятся в одной плоскости.

Из определения о скрещивающихся прямых следует, что они не являются параллельными или пересекающимися и не совпадают, тогда они находились бы в одной и той же плоскости.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

В трехмерном пространстве имеются скрещивающиеся прямые a и b . Проведем прямые а 1 и b 1 параллельные скрещивающимся a и b . Точка М₁ является точкой пространства, через которую они проходят. Отсюда получаем, что а₁ и b 1 являются пересекающимися прямыми.

Обозначим угол между a 1 и b 1 равным значению α . Построение прямых a 2 и b 2 параллельно скрещивающимися относительно a и b в точке М 2 отличной от М 1 приводит к тому, что значение угла между ними обозначим как α . То есть угол между прямыми a 1 и b 1 равен углу между a 2 и b 2 . В этом можно убедиться, если про/извести параллельный перенос. Тогда точки М 1 и М 2 совпадают.

Углом между скрещивающимися прямыми называют угол, который образуется между двумя параллельными заданными скрещивающимися прямыми.

Отсюда следует, что угол не зависит от точки M и ее выбора. Поэтому точка M может быть любой. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Видео:Угол между прямыми в пространстве. 10 класс.Скачать

Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Угол между скрещивающимися прямыми определяется через угол пересекающихся прямых. Поиск угла сводится к его нахождению между пересекающимися прямыми пространства. Школьные методы решения основываются на необходимости построения на основе подобия фигур или теоремах косинуса, что позволит определить синус, косинус, тангенс угла прямоугольного треугольника.

Удобным способом решения считается нахождение угла методом координат. Рассмотрим его.

Трехмерное пространство имеет прямоугольную систему координат О х у z . Имеется задача, в которой необходимой найти угол α , образованный скрещивающимися прямыми a и b с заданными уравнениями прямых в пространстве.

Для решения необходимо взять произвольную точку в трехмерном пространстве и обозначить буквой M , что дает понять, через нее проходят прямые a 1 и b 1 , которые параллельны скрещивающимся a и b . Угол α , образованными прямыми a и b , из этого определения получится равным пересекающимся a 1 и b 1 _.

Для нахождения искомого угла между a 1 и b 1 необходимо использовать формулу для нахождения угла между пересекающимися прямыми, а для этого нужно знать значение координат направляющих векторов у прямых a 1 и b 1 _.

Для их получения необходимо применить определение направляющего вектора, которое говорит о том, что множества векторов совпадают. Направляющие векторы прямых обозначают a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) .

Векторы a → и b → имеют координаты, определяющиеся из условия по уравнению или по координатам точек пересекающихся прямых. Тогда получаем, что угол между двумя скрещивающимися прямыми a и b вычисляется из формулы α = a r c cos a → , b → a → · b → = a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2 , а a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) являются направляющими векторами прямых a и b .

Использование формулы для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми а и b дает выражение вида cos α = a → , b → a → · b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2 .

При помощи основного тригонометрического тождества можно найти синус угла между этими прямыми при известном косинусе из формулы sin α = 1 — cos 2 α .

Найти угол между скрещивающимися прямыми a и b , которые заданы уравнениями x 2 = y — 4 0 = z + 1 — 3 и x = 1 + λ y = 1 — λ z = — 3 + 4 · λ , λ ∈ R и определяются в системе координат О х у z .

Для определения координат необходимо использовать каноническое уравнение прямой в плоскости. необходимо обратить внимание на знаменатель дробей. Отсюда видно, что a → = ( 2 , 0 , — 3 ) является направляющим вектором прямой x 2 = y — 4 0 = z + 1 — 3 . При наличии параметрического уравнения можно определить координаты направляющего вектора, так как она равняются коэффициентам, тогда получаем, что b → = ( 1 , — 1 , 4 ) является направляющим вектором для прямой вида x = 1 + λ y = 1 — λ z = — 3 + 4 · λ , λ ∈ R .

Отсюда получаем, что имеются все необходимые формулы и данные для того, чтобы произвести вычисление угла между скрещивающимися прямыми. Имеем, что

α = a r c cos a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2 = a r c cos 2 · 1 + 0 · ( — 1 ) + ( — 3 ) · 4 2 2 + 0 2 + ( — 3 ) 2 · 1 2 + ( — 1 ) 2 + 4 2 = = a r c cos 10 13 · 18 = a r c cos 10 3 26

Ответ: угол между скрещивающимися прямыми равен a r c cos 10 3 26 .

Найти значение синуса и косинуса угла между скрещивающимися прямыми, где имеются ребра A D и В С , принадлежащие пирамиде A B C D , с известными вершинами с координатами A ( 0 , 0 , — 1 ) , B ( 5 , 7 , — 5 ) , C ( 3 , 7 , — 5 ) , D ( 1 , 3 , 1 ) .

A D → и B C → являются векторами соответствующих сторон заданной фигуры. Необходимо вычислить координаты с помощью имеющихся данных начала и конца.

Получаем, что A D → = ( 1 — 0 , 3 — 0 , 1 — ( — 1 ) ) ⇔ A D → = ( 1 , 3 , 2 ) B C → = ( 3 — 5 , 7 — 7 , — 5 — ( — 3 ) ) ⇔ B C → = ( — 2 , 0 , — 2 )

Из формулы cos α = a r c cos A D → , B C → A D → · B C → находим косинус угла между заданными скрещивающимися прямыми. Получаем выражение вида

cos α = 1 · ( — 2 ) + 3 · 0 + 2 · ( — 2 ) 1 2 + 3 2 + 2 2 · ( — 2 ) 2 + 0 2 + ( — 2 ) 2 = 6 14 · 8 = 3 2 7

Перейдем к вычислению синуса угла между этими прямыми. Подставляем значения и получаем, что sin α = 1 — cos 2 α = 1 — 3 2 7 2 = 19 2 7 .

Ответ: sin α = 19 2 7 , cos α = 3 2 7 .

В заключительном этапе рассмотрим задачу, в которой нужно найти угол между скрещивающимися прямыми с самостоятельно введенной системой координат.

Имеется прямоугольный параллелепипед A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 со сторонами А В = 3 , А D = 2 и A A 1 = 7 единиц. Точка E делит прямую А А 1 как 5 : 2 . Определить угол между скрещивающимися прямыми В Е и А 1 С .

Ребра заданного параллелепипеда являются взаимно перпендикулярными, поэтому необходимо ввести прямоугольную систему координат для определения угла между указанными скрещивающимися прямыми с помощью метода координат.

Для начала вводится прямоугольная система координат О х у z . Получаем, что начало координат является совпадающим с вершиной A , а О х совпадает с прямой A D , О у с A B , а О z с А А 1 . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Отсюда имеем, что точка B с координатами ( 0 , 3 , 0 ) , E — ( 0 , 0 , 5 ) , A А — ( 0 , 0 , 7 ) , C — ( 2 , 3 , 0 ) . Исходя из координат, мы можем получить координаты векторов B E → и A 1 C → , необходимые для дальнейшего решения задачи. Получаем, что B E → = ( 0 , — 3 , 5 ) , A 1 C → = ( 2 , 3 , — 7 ) .

Применим формулу для нахождения угла, образованного скрещивающимися прямыми, при помощи координат направляющих векторов. Получаем выражение вида

α = a r c cos B E → , A 1 C → B E → · A 1 C → = a r c cos 0 · 2 + ( — 3 ) · 3 + 5 · ( — 7 ) 0 2 + ( — 3 ) 2 + 5 2 · 2 2 + 3 2 + ( — 7 ) 2 = = a r c cos 44 34 · 62 = a r c cos 22 527

Видео:9. Угол между прямымиСкачать

Научно-исследовательская работа «Нахождение угла между скрещивающимися прямыми»

Видео:Задание С2 из ЕГЭ. Угол между скрещивающимися прямыми (bezbotvy)Скачать

«Календарь счастливой жизни:
инструменты и механизм работы
для достижения своих целей»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

5.Список используемой литературы

В представленной работе исследуются методы нахождения угла между скрещивающимися прямыми. Решая тесты ЕГЭ, обратил внимание на то, что в них присутствуют задачи такого типа и не всегда их можно решить, используя только один метод. Решая задачи, я всегда ищу более короткое, рациональное, наиболее красивое решение.

Эта работа актуальна потому что, исследуя методы на нахождение угла между скрещивающимися прямыми, у меня появилась возможность расширить полученные на уроках знания, научиться решать задачи новыми способами, а в дальнейшем применять эти знания на олимпиадах и заданиях ЕГЭ. Предметом моих исследований стали геометрические задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Рассмотреть теоретический аспект угла между скрещивающимися прямыми.

Обобщить все знания, полученные в ходе исследования.

Изучить литературу по данной теме.

Познакомиться с новыми методами нахождения угла между скрещивающимися прямыми.

Подобрать задачи по данной теме.

Исследовать задачи на примере изученных методов и находить наиболее рациональное решение.

Гипотеза: С помощью изученных методов можно найти наиболее рациональное решение олимпиадных задач и заданий ЕГЭ – С2».

Определение: Прямые не лежащие в одной плоскости называются скрещивающимися (см. Рис.1).

Теорема: Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Рисунок 1. Скрещивающиеся прямые.

Угол между скрещивающимися прямыми.

Определение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым (см. рис 2).

Рисунок 2. Угол между скрещивающимися прямыми b и a .

Способы нахождения угла между скрещивающимися прямыми.

Первый способ — с помощью параллельного переноса. Напомним, в чем его суть: мы производим перенос одной из скрещивающихся прямых (или сразу двух) так, чтобы прямые, полученные в результате этого преобразования, пересекались. Тем самым исходная задача сводится к нахождению угла между двумя прямыми на плоскости.

Определение типа прямых.

Параллельный перенос одной или обеих прямых.

Нахождение требуемого угла.

а) Пусть а и b – данные скрещивающиеся прямые. Через одну из них, например, b и через какую-нибудь точку А, лежащую на прямой а, проведем плоскость α.

б) Через точку А проведем прямую с|| b . Получившийся ∠ MAN — угол между скрещивающимися прямыми.

в) Выберем на прямой а — какую-нибудь точку М , а на прямой с — точку N . Получим треугольник AMN . Вычислим стороны треугольника по теореме косинусов и найдем .

Рисунок 3. Поэтапно-вычислительный метод.

Метод трех косинусов.

Определить тип прямых.

Спроектировать скрещивающуюся прямую на плоскость.

Нахождение искомого угла.

Пример (см. рис. 4).

а) а и b -скрещивающиеся прямые. Проведем через прямую а плоскость α пересекающую прямую b .

б) Спроектируем b на α . b 1 — проекция.

Рисунок 4. Метод трех косинусов.

Метод проектирования обеих скрещивающихся прямых на плоскость перпендикулярную одной из них.

Пример (см. рисунок 5).

а) а и b – скрещивающиеся прямые.

б) Плоскость α перпендикулярна прямой а, b пересекает α в точке В, точка А – проекция прямой а, а прямая b 1 проекция прямой b .

в) На прямой b лежит отрезок длинной d , а его проекция на плоскость α имеет длину d 1.

г) Тогда верна формула , где α — угол между прямыми а и b .

Рисунок 5. Метод проектирования обеих скрещивающихся прямых на плоскость перпендикулярную одной из них.

Метод проектирования отрезка одной из скрещивающихся прямых на другую (см. прил. 9).

а) a и b – скрещивающиеся прямые.

б) На прямой a находится отрезок длины d , и его ортогональной проекцией на прямую b является отрезок длиной d 1.

в) Тогда верна формула , где α – угол между прямыми a и b .

Рисунок 6. Метод проектирования отрезка одной из скрещивающихся прямых на другую.

Весьма эффективный метод, но встречается достаточно редко.

Пример (см. рис. 7).

Для тетраэдра верна формула .

Рисунок 7. Метод тетраэдра.

Я подробней остановлюсь на самом универсальном на мой взгляд, самом доступном для понимания, координатном методе.

На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаем направление, т.е. векторы).

Вписываем фигуру в систему координат.

Находим координаты концов векторов.

Находим координаты Векторов.

Подставляем в формулу «косинус угла между векторами».

После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим значение самого угла.

Чтобы освоить этот метод, надо хорошо уметь находить координаты точки в пространстве и правильно располагать многогранники в системе координат. Более подробно с расположением стереометрических фигур в системе координат вы можете ознакомиться в приложение (см. прил. 1-6).

Формула косинуса угла между векторами.

Задача №1. На ребре ВВ 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 взята точка К так, что BK:KB 1 =3:1. Найдите угол между прямыми AK и BD 1 (см. рис.8).

Рисунок 8. Задача №1.

1) AK и BD 1 – скрещивающиеся прямые.

2) Д.П. достроим куб до призмы A1B1C1D1A2B2C2D2, где ABCDA2B2C2D2-куб. Отметить точку Е на АА1 так, что АЕ : ЕА2=3:1. Тогда AK параллельна BE. Рассмотрим треугольник EBD1. Возьмем сторону АВ=1; BE =1.25 (по теореме Пифагора).

3), по правилу параллелепипеда.

4), по теореме Пифагора.

по теореме косинусов.

5)Получим , где α искомый угол.

Пример решения этой же задачи можете пронаблюдать в приложение (см.прил.7-8).

Задача №2. В правильный 4-х угольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 сторона основания равна 2,боковое ребро равно 1. Найдите угол между АА 1 и B 1 D(см.рис.9).

Рисунок 9. Задача №2.

АА 1 и B 1 D – скрещивающиеся прямые.

т. А — проекция АА 1 , на плоскость ABC .

BD — проекция BD 1 -на АВС, тогда

Задача №3. В правильной 6-ти угольной пирамиде АВС…F 1 сторона основания равна корню квадратному из 2-х, а боковое ребро равно 1. Найдите угол между АF 1 и B 1 C(см. рис. 10).

Рисунок 10. Задача №3

AF 1 и B 1 C — скрещивающиеся прямые.

F 1 A || BO , где O -центр 6-ти угольника ABCDEF .

Рассмотрим тетраэдр OBB 1 C :, по теореме Пифагора; в правильном треугольнике OB 1 A 1; BB 1 =1; BC = по условию

Задача №4. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми A С 1 и С B 1 .

Видео:Готовимся к ЕГЭ. Стереометрия. Базовые задачи. Угол между прямыми. КубСкачать

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 967 человек из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 340 человек из 71 региона

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 691 человек из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

• Щербакова Татьяна ИвановнаНаписать 6590 14.04.2016

Номер материала: ДБ-032565

14.04.2016 417

14.04.2016 261

14.04.2016 328

14.04.2016 1703

14.04.2016 266

14.04.2016 1476

14.04.2016 450

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Россия направит $10,3 млн на развитие школьного питания в нескольких странах

Время чтения: 1 минута

В Госдуме предложили продлить каникулы для школьников до 16 января

Время чтения: 1 минута

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Число участников РДШ за 2021 год выросло в три раза

Время чтения: 2 минуты

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

Проблемно-реферативный прект «Углы в пространстве»

В работе рассмотрены 4 способа нахождения угла между скрещивающимися прямыми:

-С помощью параллельного переноса

-Способ «в три косинуса»

Решаются и исследуются задания С2 из вариантов ЕГЭ на нахождение угла между скрещивающимися прямыми.

Проект содержит реферат по теме и презентацию.

Видео:Урок 15. Все способы расстояние между скрещивающимися прямыми. Стереометрия с нуля.Скачать

Скачать:

Предварительный просмотр:

Видео:Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Подписи к слайдам:

Выполнил : Гладков Дмитрий ученик 11 класса МАОУ СОШ №58 п. Мулино Володарский район Нижегородская область Руководитель : Байгулова Нина Витальевна учитель математики МАОУ СОШ №58 Углы в пространстве

Угол между прямой и плоскость Угол между плоскостями Угол между скрещивающимися прямыми

Введение Вопросы инновационных технологий в строительстве, космонавтике, технике невозможны без умения производить необходимые чертежи и вычисления, которые требуют знания важных и интереснейших свойств геометрических фигур.

Геометрия в природе В живой природе функция и форма тесно сближены и взаимно обусловлены.

Цели проекта: Обобщить и систематизировать знания, умения и навыки по теме «Многогранники». Иметь представление о типах заданий С2 в вариантах ЕГЭ. Отработать приёмы и методы построения искомого на чертеже. Подготовиться к ЕГЭ.

Задачи проекта: Формирование прочных навыков решения задач по теме: «Углы между скрещивающимися прямыми». Приобрести умение пользоваться справочной и научной литературой. Научиться рассуждать научно и логически.

Содержание ВВЕДЕНИЕ ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ Глава1.Справочный материал §1. Из истории геометрии §2.Полезно знать Глава 2.Способы нахождения углов между скрещивающимися прямыми §3. Параллельный перенос 3.1 Куб 3.2.Шестигранная призма §4. Метод координат 4.1. Координаты куба 4.2. Координаты трехгранной призмы 4.3. Координаты шестигранной призмы 4.4. Координаты четырехугольной пирамиды §5. Способ «в три косинуса» §6. Правило тетраэдра Глава 3. Практическое приложение: «Задания С2 ЕГЭ» §7. Три способа решения одной задачи С2 7.1. Решение 1 (по теореме о 3 перпендикулярах) 7.2. Решение 2 (параллельный перенос) 7.3. Решение 3(метод координат) §8. Решите сами ЗАКЛЮЧЕНИЕ ИСТОЧНИКИ МАТЕРИАЛОВ

Геометрия применялась при постройке величественных сооружений, которые стоят и по сей день. Пирамиды Хеопса Колизей Амфитеатр Пирамида Майя Геометрия в древности

Н. И. Лобачевский Леонард Эйлер Пьер Ферма Евклид Пифагор К.Ф. Гаусс Люди, принявшие участие в создании геометрии как науки

Углом между скрещивающимися прямыми

Полезно знать Прямые называются скрещивающимися, если они не пересекаются и лежат в разных плоскостях. а в α β

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся. a b b M m n

(теорема косинусов) При нахождении угла между пересекающимися прямыми используют формулу Полезно знать a b c

A B C a b c гипотенуза катет катет Прямоугольный треугольник Теорема Пифагора Площадь Если А=30 ˚ , то Если А=45 ˚, то sin A= cos A= tg A= ctgA = с² = а² + b ² S =0,5а ∙ b а =c : 2 а =b а :c b:c а :b b : a S =0,5 с ∙ h c

Правильный треугольник Стороны Углы Площадь Периметр О — точка пересечения 60 ˚ 60 ˚ 60 ˚ а а а О равны равны 60 ˚ S =а²√3:4 высот, медиан, биссектрис, центр вписанной и описанной окружности Р = 3а r R R =2 r =2/3 h= a : √3

Правильный четырёхугольник — квадрат Стороны Углы Площадь Периметр Диагонали О — точка пересечения диагоналей 90 ˚ 90 ˚ 90 ˚ 90 ˚ равны 90 ˚ равны S =а² Р = 4а равны, перпендикулярны, биссектрисы углов центр вписанной и описанной окружности О R r R = 1/ 2 d= a √2 :2; r = 1/2 a

Правильный шестиугольник Стороны Углы Периметр Площадь Диагонали О – точка пересечения диагоналей 60 ˚ 60 ˚ 60 ˚ 120 ˚ равны равны 120 ˚ Р = 6а S =3а²√3:2 равны, биссектрисы углов а центр вписанной и описанной окружности R r О R = а ; r = a √3:2 3 0 ˚

Призма ТРЕУГОЛЬНАЯ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ

Пирамида ТРЕУГОЛЬНАЯ (тетраэдр) ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНАЯ ШЕСТИУГОЛЬНАЯ

Способы нахождения угла между скрещивающимися прямыми С помощью параллельного переноса Метод координат Способ «в три косинуса» Правило тетраэдра α b a

Параллельный перенос № 1

Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. a b M m Полезно знать

D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 1 1 1 1 Прямая AD 1 параллельна прямой ВС 1 , АВ 1 = AD 1 = В 1 D 1 =√ 1²+1²=√2, Угол между п рямыми АВ 1 и ВС 1 равен ∠ В 1 AD 1 . Ответ: 60. Задача 1. В единичном кубе АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между прямыми АВ 1 и ВС 1 . Решение (параллельный перенос) ∆ В 1 AD 1 – равносторонний,  В 1 AD 1 = 60 0.

Задача 2. В кубе ABCDA ₁ B ₁ C 1 ₁ D 1 ₁ все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и CB 1 ₁ A C B D A A 1 D 1 C 1 B 1 Ответ:90 1 1 1 Угол между прямыми АВ и C В₁ равен углу между СВ₁ и CD . Решение (параллельный перенос)  D СВ₁ =90°.

Задача 3. В кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми C А и BD ₁ . A C B D A 1 D 1 C 1 B 1 C 2 B 2 D C 3 B 3 Ответ:90. 1 1 1 √5 √3 √2 √2 Угол между прямыми АС и BD ₁ равен углу D ₁ВС₂ . 1 Решение (параллельный перенос)

Задача4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁ все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и A ₁С ₁ A B C D E F A 1 F 1 E 1 D 1 C 1 B 1 Ответ:30 120 ° 1 1 1 Решение (параллельный перенос) Δ АВС – равнобедренный,  АВС = 120 0 .  САВ = 30 0

1 1 1 А В С D Е F А 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 F 1 О О 1 А В С D Е F А 1 В 1 С 1 D 1 Е 1 F 1 Построим плоскость А 1 D 1 D параллельную плоскости ВВ 1 С 1 С. Прямая AO 1 ll BC 1 . Задача 5 . В правильной шестиугольной призме A … F ₁ , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BC 1 . Решение (параллельный перенос) √2 √2 1 AO 1 = √2, AB 1 = √2. B 1 O 1 = 0,5 B ₁E₁ = 1. Искомый угол между прямыми AB 1 и BC 1 равен  B 1 AO 1 . Ответ: 0 ,75

Метод координат № 2

О А В С ( х ₁; у₁; z₁ ) ( х ₂; у₂ ; z₂ ) ( х ; у ;z ) Длина отрезка: АВ=√ ( х₁-х ₂)²+( у₁-у ₂)² +(z₁-z₂)² Координаты середины отрезка: х= ( х₁+х ₂):2 ; у= ( у₁+у ₂):2 ; z=(z₁+z₂):2 Полезно знать х у z

Координаты вектора АВ Длина вектора АВ Координаты суммы а + b Координаты разности а — b Координаты вектора умноженного на число: Полезно знать В( х ₁; у₁; z ₂ ) А( х ₂; у₂ ; z ₂ ) а( х ₁ ; у ₁; z₁ ) b ( х ₂ ; у ₂; z ₂ ) k а( k х ₁ ; k у ₁; k z ₁ ) k а х у ( х = х ₁ — х ₂ ; у = у ₁ — у ₂; z₁ — z ₂ ) = √х² + у²+ z ² ( х₁ + х₂ ; у₁ + у ₂; z₁ + z₂ ) ( х₁ — х₂ ; у₁ — у ₂; z₁ — z₂ ) ( k х ₁ ; k у ₁; k z ₁ ) z

Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами a (x 1 ; y 1 ; z 1 ) и b (x 2 ; y 2 ; z 2 ). Косинус угла между векторами: a b

Координаты куба Точка A B C D Координаты Точка A 1 B 1 C 1 D 1 Координаты 1 1 1 х у Z A B C D A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ (0; 0; 0) (1; 0; 0) (1; 1; 0) (0; 1; 0) (0; 0; 1) (1; 0; 1) (1; 1; 1) (0; 1; 1)

D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 1 1 1 1 Введем систему координат. н айдём cos  = 1/2 Ответ: 60 З адача1. В единичном кубе АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между прямыми АВ 1 и ВС 1 . Решение (метод координат) х у z Координаты точек: А(0; 0; 0), В ₁ (1; 0; 1), П о формуле Координаты векторов: АВ ₁ (1 ; 0; 1 ), ВС ₁ (0; 0; 1). В(1 ; 0; 0 ), С ₁ (1; 1; 1).  ( А В 1 ;ВС 1 )=60 0 .

Способ «в три косинуса» № 3

a b b 1 Cos  ab =Cos  ab 1 · Cos  bb 1 Полезно знать

Решение (способ «в три косинуса ») D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 Cos (  AB₁ , BC₁ ) = Cos  AB₁B · Cos  B₁BC₁ Построим проекцию ребра АВ 1 на плоскость ( B 1 BC) . Применяя формулу: получаем : Cos (  AB 1 , BC 1 ) =0 , 5 . З адача1. В единичном кубе АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между прямыми АВ 1 и ВС 1 . ( AB ₁ , BC ₁ ) = 60 °. 1 √2 1 1 √2 Ответ: 60

№ 4 С помощью тетраэдра

D А В С 2 l ( AC ² + BD ² )-( CD ² + AB ² ) l Cos(  AD , CB ) = AD · CB Полезно знать

D D 1 А А 1 В В 1 С С 1 2 ( BB ₁² + AC ₁² )-( AB ² + B ₁ C ₁² ) Cos(  AB ₁ , BC ₁ ) = AB 1 · BC 1 Построим тетраэдр с противоположными ребрами AB 1 и BC 1 . Применяя формулу, Получаем: Cos (  AB ₁ ,BC ₁ ) =0 , 5 . Решение (с помощью тетраэдра) З адача1. В единичном кубе АВС D А 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между прямыми АВ 1 и ВС 1 . 1 1 1 √3 √2 √2 ( AB ₁ ,BC ₁ ) = 60 °. Ответ: 60

Практикум: « Решение задач С2 ЕГЭ» Нахождение угла между скрещивающимися прямыми

Найдите несколько способов решения задачи Задача6. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1 .

Ответ: 90 Так как А₁ E 1 А₁В₁ , то А₁ E 1 перпендикуляр к плоскости АА₁В₁, следовательно A 1 B проекция наклонной BE 1 . АВ₁ А ₁B (диагонали квадрата) . Следовательно BE 1 АВ₁ (по теореме о трёх перпендикулярах). Решение 1 ( по теореме о трёх перпендикулярах). Τ Τ Τ Значит ∠ ( АВ₁ ;ВЕ₁ )= 90°.

Решение 2 (параллельный перенос) . Ответ: 90 G 1 2 1 √5 1 1 √3 √7 √2 √2 Построим В G 1 ||АВ₁ . Тогда В G 1 = АВ₁ = √2. ∆ВЕЕ₁ прямоугольный и ВЕ=2, ЕЕ₁=1 , то ВЕ₁=√5 (по теореме Пифагора). Е₁А₁ А₁В₁ , Е₁А₁=√3 , А₁ G 1 =2, то Е₁ G 1 =√7 (по теореме Пифагора). Для ∆ВЕ₁ G 1 проверим теорему Пифагора: √7² =√5²+√2². Значит ∠ Е₁В G 1 =90°. 1 1 Τ

Решение 3 (метод координат). Х Z У Ответ: 90 (1, 0, 0) (0 , √3 , 1) ( 0 , 0, 0) Введем систему координат . Вектор АВ₁(1, 0, 1). Вектор ВЕ₁ (-1, √3, 1). Найдём cos ∠ ( АВ₁ ;ВЕ₁ )=0. Найдём координаты точек: А, В, В₁, Е₁. (1, 0, 1) Значит ∠ ( АВ ₁ ; ВЕ ₁ )= 90°.

Задания С2 ЕГЭ (решите сами) 1.В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 отмечены точки E и F — середины ребер A 1 B 1 и B 1 C 1 соответственно. Найдите угол между прямыми AE и BF. 2. Ребро куба равно 4. Найдите косинус угла между прямыми PQ и EF , P – середина АА1, Q – середина С1 D 1 , Е – середина ВВ1, F – середина DC . 3. В правильной шестиугольной призме A … F 1 , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB 1 и BD 1 . 4. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямыми ВМ и DE, где М — середина ребра SC. 5. В правильной треугольной призме ABCA₁В₁С₁, все рёбра которой равны 1,найдите расстояние между прямыми AA₁ и BC₁. . Ответ: arccos 0,8. Ответ: 1/3. Ответ: 0,25 √2 . Ответ:1 . Ответ: 0,5 √3 .

Заключение Исследование и решение мною заданий С2 ЕГЭ показало, что есть множество способов нахождения углов между скрещивающимися прямыми. Заметил, что для каждой задачи, можно найти рациональный метод решения. Мою работу можно использовать при подготовке к ЕГЭ , при отработке навыков решения заданий C2 .

http://img-fotki.yandex.ru/get/3108/lelbka-saf.1/0_5577_d07190c7_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/27/sm-lydmila.17/0_17993_f3a34074_-1-L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/3314/promza-03.3/0_26186_f5ddd573_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/3211/zvyg-ov.0/0_4606_1f62c48f_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/3303/sharlen59.11/0_1c33b_185e1b1e_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/37/hvosttruboi.0/0_1be5b_9345420c_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/3311/mik3966.2/0_20b58_2f399108_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/2709/tlitvintseva.0/0_1e455_859da4e0_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/52/yealaguna.4/0_f425_b6e64384_L.jpeg http://img-fotki.yandex.ru/get/19/galamish.6/0_dbab_144f93ff_L.jpeg http://alexlarin.net/ege11.html И.Р. Высоцкий « Самое полное издание типовых вариантов заданий ЕГЭ» Москва « Астрель », 2010г. Г.И. Глейзер,« История математики в школе», Москва , « Просвещение» ,1982г. Л.И.Звавич , А.Р.Рязановский «Геометрия в таблицах 7-11 классы» Москва. Издательский дом «Дрофа» ,2005г. А.Л. Семенова и И.В. Ященко «ЕГЭ. Универсальные материалы для подготовки учащихся», Ярославль « Интеллект-центр», 2011г. В.А.Смирнов «Готовимся к ЕГЭ. Геометрия. Стереометрия»– М.:МЦНМЩ,2011 Источники материалов

Спасибо за внимание! «Жизнь не спросит, что ты учил. Жизнь спросит, что ты знаешь»

📺 Видео

ЕГЭ по математике - Угол между скрещивающимися прямымиСкачать

10 класс, 9 урок, Угол между прямымиСкачать

Угол между прямыми в пространстве. Практическая часть. 10 класс.Скачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

10 класс, 7 урок, Скрещивающиеся прямыеСкачать

Угол между Скрещивающимися Прямыми в ПространствеСкачать

Куб. Нахождение угла между скрещивающимися прямымиСкачать

Взаимное расположение прямых в пространстве. 10 класс.Скачать

Стереометрия ЕГЭ. Метод координат. Часть 1 из 5. Угол между прямымиСкачать

✓ Расстояние между скрещивающимися прямыми | ЕГЭ-2018. Задание 13. Математика | Борис ТрушинСкачать

7 класс, 30 урок, Углы с соответственно параллельными или перпендикулярными сторонамиСкачать

#116. РАЗБИРАЕМСЯ В СТЕРЕОМЕТРИИСкачать